Экстремумы и выпуклость.

Асимптоты графика функции

Определение. Критической точкой функции у = f (х ) называется точка в которой производная равна нулю или не существует.

Теорема. Если в промежутке (а; b) производная положительна/отрицательна, то в этом промежутке функция возрастает/убывает.

Теорема. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «+» на «−» (с «−» на «+»), то − точка максимума (минимума) функции

Определение. Функция называется выпуклой вверх(вниз) в промежутке (а; b), если в этом промежутке точки графика лежат под (над) касательными, построенными в этих точках. Точкой перегиба называется точка графика функции, которая делит его на части с разными направлениями выпуклости.

Пример 2.3.

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы, выпуклость.

1. Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.

Сделаем рисунок (рис. 2.1 ).

y′′

x

−

−

+

y

вып. вниз

вып. вверх

вып. вниз

Рис. 2.2. Исследование функции на выпуклость

Вычислим ординаты точек перегиба графика:

Координаты точек перегиба: (0; 0), (1; −1).

2.32. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

2.33. Найти наименьшее и наибольшее значенияфункции:

1) на промежутке ;

2) на промежутке [−1; 1];

3) на промежутке [−4; 4];

4) на промежутке [−2; 1].

2.34. Издержки производства С (у. е.) зависят от объема выпускаемой продукции х (ед.): Найти наибольшие издержки производства, если х изменяется на промежутке . Найти значение х , при котором прибыль будет максимальной, если выручка от реализации единицы продукции равна 15 у. е.

2.35. Требуется выделить прямоугольную площадку земли в 512 м 2 , огородить ее и разделить забором на три равные части параллельно одной из сторон площадки. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на ограждение пошло наименьшее количество материала?

2.36. При заданном периметре прямоугольного окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света.

2.37. Найти максимум прибыли, если доход R и издержки C определяются формулами: где х − количество реализованного товара.

2.38. Зависимость объема выпуска продукции W от капитальных затрат К определяется функцией Найти интервал изменения К , на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.

2.39. Функция издержек имеет вид Доход от реализации единицы продукции равен 200. Найти оптимальное для производителя значение выпуска продукции.

2.40. Зависимость объема выпуска продукции (в денежных единицах) от капитальных затрат определяется функцией Найти интервал значений , на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.

2.41. Считается, что увеличение реализации от затрат на рекламу (млн руб.) определяется соотношением Доход от реализации единицы продукции равен 20 тыс. руб. Найти уровень рекламных затрат, при котором фирма получит максимальную прибыль.

2.42. Доход от производства продукции с использованием единиц ресурса составляет величину Стоимость единицы ресурса – 10 ден. ед. Какое количество ресурса следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?

2.43. Функция издержек имеет вид Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.

2.44. Зависимость дохода монополии от количества выпускаемой продукции определяется как Функция издержек на этом промежутке имеет вид Найти оптимальное для монополии значение выпуска продукции.

2.45. Цена на продукцию монополии-производителя устанавливается в соответствии с отношением, идентифицируемым как . При каком значении выпуска продукции доход от ее реализации будет наибольшим?

2.46. Функция издержек имеет следующий вид при при . В настоящий момент уровень выпуска продукции При каком условии на параметр p фирме выгодно уменьшить выпуск продукции, если доход от реализации единицы продукции равен 50?

2.47. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции:

2.48. Найти асимптоты графика функции:

Указание. Вертикальнаяасимптотаимеет уравнение х = а, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке х = а равен ∞.

Наклоннаяасимптота имеет уравнение

2.4.2. Общая схема исследования функции

и построения ее графика

1. Найти область определения функции и установить наличие вертикальных асимптот.

2. Исследовать функцию на четность/нечетность, периодичность.

3. Установить наличие наклонных (горизонтальных) асимптот.

4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

5. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика.

6. Найти точки пересечения графика с осями координат и дополнительные точки, уточняющие график.

2.49. Исследовать функцию и построить ее график:

Контрольные задания

Вариант 1.

Вариант 2.

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 3.

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Неопределенный интеграл

Определение. Функция F (x ) называется первообразной функции f (x ) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F′ (x ) = f (x ).

Определение. Неопределенным интегралом от функции f (x ) называется семейство ее первообразных:

где F(x) – некоторая первообразная для f (x );

C – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла

Таблица интегралов

3. Частный случай:

Частный случай:

Частный случай

Примеры.

2.50. Найти интегралы:

7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ; 14) .

2.51. Найти интегралы:

1) 2) 3) ; 4) ;

9) 10) 11) 12)

13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

2.5.1. Метод замены переменной

в неопределенном интеграле

где – дифференцируемая функция.

Примеры.

2.52. Найти интегралы методом замены переменной:

10) ; 11) 12) ;

13) 14) 15) ;

16) ; 17) ; 18)

Пример 2.4.

2.53. Найти интегралы от рациональных функций.

1) ; 2) ; 3) dx ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) 8) 9) dx ;

10) ; 11) ; 12)

Пример 2.5.

2.54. Найти интегралы от иррациональных функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

2.55. Найти интегралы от тригонометрических функций:

5) ; 6) ; 7) 8)

2.5.2. Метод интегрирования по частям

в неопределенном интеграле

Пусть u= u(x) , v= v(x) – дифференцируемые функции. Тогда справедливо равенство (формула интегрирования по частям ):

Примеры.

2.56. Найти интегралы, применяя интегрирование по частям:

9) 10) 11) 12)

2.57. Найти интегралы:

1) 2) 3) ; 4) ;

5) 6) ; 7) 8) dx ;

9) 10) ; 11) 12)

Определенный интеграл

Определение. Определенным интегралом от функции f (х ) называется предел интегральной суммы:

При этом функция f(х) называется подынтегральной функцией, а и b – нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Укажем свойства определенного интеграла , которые будут необходимы при решении задач:

Геометрический смысл определенного интеграла : площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f (х ), равна

2.6.1. Правила вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона–Лейбница:

где F′ (x ) = f (x ).

2. Замена переменной:

где x = – функция, непрерывная вместе с на отрезке – функция, непрерывная на отрезке .

3. Интегрирование по частям:

где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на функции.

4. Если f(x) – нечетная функция, то

5. Если f(x) – четная функция, то

Примеры.

2.58. Вычислить интегралы:

1) 2) 3) ; 4)

5) ; 6) 7) ; 8)

9) 10) 11) ; 12)

13) 14) 15) 16)

2.6.2. Геометрические приложения

определенного интеграла

Пример 2.6.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 , х = у 2 .

Графики функций пересекаются в точках (0; 0), (1; 1) (рис. 2.3 ).

Y

X

у = х 2

у = √х

Рис. 2.3. Площадь фигуры

2.59. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

2.60. Найти объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу плоской фигуры, ограниченной линиями:

Указание. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг осей координат Ох и Оу, соответственно равен:

2.61. Найти длину дуги кривой:

1) от х = 0 до х = 1; 2) от х = 0 до х = 1;

3) от точки О(0; 0) до точки А (4; 8).

Указание. Длина дуги кривой при равна

Похожая информация.

План показа: Введение. Введение. 1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций. 1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций. 2.Алгоритм исследования функции на монотонность. 2.Алгоритм исследования функции на монотонность. 3. Примеры исследования функций на монотонность. 3. Примеры исследования функций на монотонность. Выводы. Выводы.

Введение. Введение. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Н.И. Лобачевский Н.И. Лобачевский Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме: Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме: функция - уравнения – преобразования. функция - уравнения – преобразования. В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций. В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций. В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций. В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций. Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству. Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству.

1.Определения возрастающей и убывающей функций. Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве X D(f), если для любых двух точек x 1 и x 2 множества X, таких, что x 1

3. Алгоритм исследования функции на монотонность. 1. Найти область определения функции y = f(x): множество X D(f). 2. Выбрать произвольные значения аргумента x 1 и x 2 множества X такие, что x 1

4. Примеры исследования функций на монотонность. Исследовать на монотонность функцию: Исследовать на монотонность функцию: 1. y = 2 - 5x; 1. y = 2 - 5x; 2. y = x 3 +4; 2. y = x 3 +4; 3. y = x 3 +2x 2 ; 3. y = x 3 +2x 2 ; 4. y = - 3x 3 - x; 4. y = - 3x 3 - x; 5. y = x 0,5 +x 5 ; 5. y = x 0,5 +x 5 ; 6. y = - x 3 - x 0,5. 6. y = - x 3 - x 0,5.

1. y = 2 – 5x. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = 2 – 5x: D(y)= (- ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 – x 2 ; 2 – 5 x 1 > 2 – 5 x Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y). – x 2 ; 2 – 5 x 1 > 2 – 5 x 2 3. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y).">

2. y = x y = x Решение. Решение. 1. Область определения функции y = x: D(y)= (- ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1

3. y = x 3 +2x 2. Решение. Решение. Область определения функции y = x 3 + 2x 2: D(y)= (- ; +). Область определения функции y = x 3 + 2x 2: D(y)= (- ; +). Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1

4. y = – 3x 3 – x. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = – 3x 3 – x: D(y)= (- ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 – x 2 3 ; – x 1 (3x) > – x 2 (3x); – 3x 1 3 – x 1 > – 3x 2 3 – x Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y). – x 2 3 ; – x 1 (3x 1 2 + 1) > – x 2 (3x 2 2 +1); – 3x 1 3 – x 1 > – 3x 2 3 – x 2. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y).">

5. y = x 0,5 +x 5. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = x 0,5 +x 5: D(y)= [ 0 ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1

6. y = - x 3 - x 0,5. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = – x 3 – x 0,5: D(y)= [ 0; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 – x 2 3 ; – x 1 0,5 > – x 2 0,5 ; –x 1 0,5 (x 1 2,5 + 1) > – x 2 (x 2 2,5 +1); – x 1 3 – x 1 0,5 > – x 2 3 – x 2 0,5. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y). – x 2 3 ; – x 1 0,5 > – x 2 0,5 ; –x 1 0,5 (x 1 2,5 + 1) > – x 2 (x 2 2,5 +1); – x 1 3 – x 1 0,5 > – x 2 3 – x 2 0,5. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y).">

Выводы. Выводы. Данный материал подготовлен как вводное повторение для урока по теме « Теорема о корне при решении уравнений». Данный материал подготовлен как вводное повторение для урока по теме « Теорема о корне при решении уравнений». Свойство монотонности функции будет в дальнейшем использоваться для решения нестандартных задач. Свойство монотонности функции будет в дальнейшем использоваться для решения нестандартных задач. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Д.Пойа Д.Пойа

В данном пункте описаны основные условия исследования функций на монотонность и экстремум с помощью производной. Эти условия разделяются на необходимые и достаточные.

Теорема 3 (условие постоянства функции) . Для того чтобы в интервале (a ; b ) функция f (x ) была постоянной, необходимо и достаточно, чтобы ее производная равнялась нулю для всех точек x из (a ; b ).

1). Доказательство необходимости. Пусть функция f (x ) постоянна на (a ; b ), тогда, по первому правилу дифференцирования, ее производная равна 0. Это означает, что необходимость доказана.

2). Доказательство достаточности. Пусть f" (х ) = 0 для всех точек x из (a ; b ). Берутся произвольные точки x 1 , x 2 из (a ; b ), и пусть для определенности x 1 < x 2 . К промежутку [x 1 ; x 2 ] применяется теорема Лагранжа: существует точка x 0 из (x 1 ; x 2) такая, что f (x 2) - f (x 1) = (x 2 - x 1)×f ¢(x 0). Но, по условию, f" (x 0) = 0, следовательно, f (x 2) = f (x 1), т.е. функция f (x ) постоянна на (a ; b ). Это означает, что достаточность доказана. Теорема доказана.

Теорема 4 (необходимое условие монотонности функции) . Пусть в интервале (a ; b ) функция f (x ) дифференцируема. Тогда :

а ) если f (x ) возрастает, то ее производная в (a ; b ) не отрицательна , т.е. f ¢(x ) ³ 0;

б ) если f (x ) убывает, то ее производная в (a ; b ) не положительна , т.е. f ¢(x ) £ 0.

Доказательство. а). Пусть функция f (x ) возрастает в (a ; b ), т.е. для любых x 1 , x 2 из (a ; b ) выполняется соотношение: x 1 < x 2 ® f (x 1) < f (x 2). Тогда, для указанных точек x 1 , x 2 следующее отношение положительное:

Отсюда следует, что производная f ¢(x 1) ³ 0. Утверждение а б ).

Теорема 5 (достаточное условие монотонности функции). Пусть в интервале (a ; b ) функция f (x ) дифференцируема. Тогда :

а ) если f ¢(x ) > 0 на (a ; b ), то f (x ) возрастает на (a ; b );

б) если f ¢(x ) < 0 на (a ; b ), то f (x ) убывает на (a ; b ).

Доказательство. а). Пусть f ¢(x ) > 0 на (a ; b ) и точки x 1 , x 2 из (a ; b ) такие, что x 1 < x 2 . По теореме Лагранжа, существует точка x 0 из (x 1 ; x 2) такая, что f (x 2) - f (x 1) = (x 2 - x 1)×f ¢(x 0). Здесь правая часть равенства положительная, поэтому f (x 2) - f (x 1) > 0, т.е. f (x 2) > f (x 1) . Это означает, что f (x ) возрастает на (a ; b ). Утверждение а ) доказано. Аналогично доказывается утверждение б ).

Пример 9. Функция у = х 3 всюду возрастает, так как с ростом значений х возрастают кубы этих значений. Производная этой функции у ¢= 3х 2 всюду неотрицательная, т.е. выполняется необходимое условие монотонности.

Пример 10. Найти промежутки возрастания и убывания функции у = 0,25х 4 - 0,5х 2 .

Решение. Находится производная данной функции у ¢ = х 3 - х , и строятся промежутки, в которых х 3 - х положительная или отрицательная. Для этого сначала находятся критические точки, в которых у ¢ = 0: х 3 - х = 0 ® х (х + 1)(х -1) = 0 ® х 1 = 0, х 2 = -1 х 3 = 1. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка:

- + - + X

-¥ -2 -1 0 1 2 3 +¥

Черт.36.

В общем случае, для определения знаков производной берут по одной точке в каждом промежутке и вычисляют значения производной в этих точках. Но иногда достаточно взять только одну точку в крайнем правом промежутке, определить знак производной в этой точке, а в остальных промежутках знаки чередовать. В данном примере пусть х = 2, тогда у ¢(2) = 2 3 – 2 = 6 > 0. В правом интервале ставится знак +, а затем знаки чередуются. Получено у ¢ > 0 на промежутках (-1; 0) и (1; +¥), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках возрастает. Далее, у ¢< 0 на (- ¥; -1) и (0; 1), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках убывает. Ниже на чертеже 37 построен график этой функции.

Определение 3 . 1). Точка х о называется точкой максимума функции f (x ), если существует интервал (a ; b ), содержащий х о, в котором значение f (x о) наибольшее, т.е. f (x о) > f (x ) для всех х из (a ; b ).

2). Точка х о называется точкой минимума функции f (x ), если существует интервал (a ; b ), содержащий х о, в котором значение f (x о) наименьшее, т.е. f (x о) < f (x ) для всех х из (a ; b ). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 6 (необходимое условие экстремума функции ). Если х о является точкой экстремума функции f (x ) и существует производная

f ¢(x 0), то f "(x 0) = 0.

Доказательство аналогично доказательству теоремы Ролля.

Точка x 0 , в которой f ¢(x 0) = 0 или f ¢(x 0) не существует, называется критической точкой функции f (x ). Говорят, что критические точки подозрительны на экстремум , т.е. они могут быть точками максимума или минимума, но могут и не быть ими.

Теорема 7 (достаточное условие экстремума функции) . Пусть f (x ) дифференцируема в некотором интервале, содержащем критическую точку х о ( кроме, быть может, самой точки х о). Тогда :

а ) если при переходе через х о слева направо производная f ¢(x ) меняет знак с + на - , то х о является точкой максимума функции f (x );

б ) если при переходе через х о слева направо производная f ¢(x ) меняет знак с - на +, то х о является точкой минимума функции f (x ).

Доказательство. Пусть выполнены все условия пункта а ). Возьмем точку х (из указанного интервала) такую, что х < х о, и применим теорему Лагранжа к интервалу (х ; х о). Получим: f (x 0) - f (x ) = (x 0 - x )×f ¢(x 1), где x 1 – некоторая точка из (х ; х о). По условию, f ¢(x 1) > 0 и (x 0 - x ) > 0, поэтому f (x 0) > f (x ) . Аналогично доказывается, что для любой точки х > х о тоже f (x 0) > f (x ). Из этих утверждений следует, что – точка максимума, утверждение а ) доказано. Аналогично доказывается утверждение б ).

Пример 11. В примере 9 показано, что функция у = х 3 всюду возрастает, следовательно, она не имеет экстремумов. Действительно, ее производная у" = 3х 2 равна нулю только при х о = 0, т.е. в этой точке выполняется необходимое условие экстремума функции. Но при переходе через 0 ее производная у" = 3х 2 не меняет знак, поэтому х о = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Пример 12. В примере 10 показано, что функция у = 0,25х 4 - 0,5х 2 имеет критические точки х 1 = 0, х 2 = -1, х 3 = 1. На чертеже 34 указано, что при переходе через эти точки ее производная меняет знак, следовательно, х 1 , х 2 , х 3 - точки экстремума, при этом х 1 = 0 - точка максимума, а х 2 = -1, х 3 = 1 - точки минимума.

Далее, делается чертеж к этому примеру. Функция f (x ) = 0,25х 4 - 0,5х 2 исследуется на четность : f (-x ) = 0,25(-х ) 4 - 0,5(-х ) 2 = f (x ), следовательно, эта функция четная, и ее график симметричен относительно оси ОY . Строятся найденные выше точки графика и некоторые вспомогательные точки, лежащие на графике, и они соединяются плавной линией.

y = 0,25x 4 - 0,5x 2 0,5 -0,11

1 0 max 1 х Ö `1/3 –0,14 A B

Черт.37.

Теорема 8 (второе достаточное условие экстремума ). Пусть х 0 – критическая точка функции f (x ), и существует производная второго порядка f ¢¢(х 0). Тогда :

a ) если f ¢¢( х 0) < 0, то х 0 – точка максимума функции f (x );

б) если f ¢¢(х 0) > 0, то х 0 - точка минимума функции f (x ).

Доказательство этой теоремы не рассматривается (см.).

Пример 13. Исследовать на экстремум функцию y = 2x 2 - x 4 .

Решение. Находится производная y ¢ и критические точки, в которых

y ¢= 9: y ¢= 4x - 4x 3 ; 4x - 4x 3 = 0 ® x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = -1 - критические точки. Находится производная второго порядка y ¢¢ и вычисляются ее значения в критических точках: y ¢¢= 4 –12х 2 ; y ¢¢(0) = 4, y ¢¢(1) = –8, y ¢¢(-1) = –8. Так как y ¢¢(0) > 0, то x 1 = 0 - точка минимума; и так как y ¢¢(1) < 0, y ¢¢(-1) < 0, то x 2 = 1, x 3 = -1 - точки максимума данной функции.

Абсолютными экстремумами функции на сегменте [a ; b ] называются наибольшее и наименьшее значения f (x ) на [a ; b ]. Эти экстремумы достигаются или в критических точках функции f (x ), или на концах сегмента [a ; b ].

Пример 14. Определить наибольшее и наименьшее значения функции у = х 2 ×lnx на промежутке .

Решение. Находится производная данной функции и ее критические точки: у ¢ = 2x ×lnx + x 2 ×(1/x ) = x ×(2lnx +1); x ×(2×lnx +1) = 0 ® а) х 1 = 0; б) 2×lnx + 1 = 0 ® ln x = -0,5 ® х 2 = e - 0,5 = 1/Ö `e » 0,607. Критическая точка х 1 = 0 не входит в рассматриваемый промежуток , поэтому находятся значения функции в точке х 2 = e - 0,5 и на концах а = 0,5, b = e . у (e -0,5) = (e - 0,5) 2 ×ln (e - 0,5) = e - 1 (-0,5) = -0,5/e » -0,184; у (0,5) = 0,25×ln 0,5 » 0,25(-0,693) = -0,17325; у (e ) = e 2 ×lne = e 2 ×1» 7,389. Выбираются наибольшее и наименьшее среди найденных значений: наибольшее значение »7,389 в при х = е , наименьшее значение » -0,184 в при х = e - 0,5 .

Задачи на экстремум.

В таких задачах рассматриваются две переменные величины х и у , и требуется найти такое значение х , при котором значение у является наибольшим или наименьшим. Решение такой задачи содержит следующие шаги:

1) выбирается экстремальная величина y , максимум или минимум которой необходимо найти;

2) выбирается переменная х , и y выражается через х ;

3) вычисляется производная у " и находятся критические точки, в которых у " равна 0 или не существует;

4) исследуются критические точки на экстремум;

5) рассматриваются значения y на концах, и вычисляется требуемая в задаче величина.

Пример 15. Экспериментально установлено, что расход бензина

у (л) на 100 км пути автомобилем ГАЗ-69 в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией у = 18 - 0,3х + 0,003х 2 . Определить наиболее экономичную скорость.

Решение. Здесь первые два шага 1) и 2) выполнены в условии задачи. Поэтому сразу вычисляется производная: у" = -0,3 +0,006х , и находится критическая точка: -0,3 + 0,006х = 0 ® х о = 50 . Теперь, прменяется второе достаточное условие экстремума: у"" = 0,006 > 0 в любой точке, следовательно, х о = 50 - точка минимума. Вывод: наиболее экономичная скорость равна 50 км/ч, при этом расход бензина равен 18 - 0,3×50 + 0,003×50 2 = 10,5 л. на 100 км.

Пример 16. Из квадратного листа картона со стороной 60 см вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивают прямоугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим .

Решение. Осуществляются указанные выше шаги решения задачи.

1). По условию объем коробки должен быть наибольшим, поэтому пусть y - объем коробки.

2). За х (см) берется сторона вырезаемого квадрата. Тогда высота коробки будет равна х и основанием коробки будет квадрат со стороной

(60 – 2х ), его площадь равна (60 – 2х ) 2 . Следовательно, объем коробки равен y = х (60 – 2х ) 2 = 3600х - 240х 2 + 4х 3 .

3). Вычисляется производная и находятся критические точки: у" = 3600 - 480х + 12х 2 ; х 2 - 40х +300 = 0 ® х 1 =10, х 2 =30 - критические точки.

4). Производная 2-го порядка равна у"" = - 480 + 24х и у"" (10) = -240, у"" (30) = 240. По теореме 8, х 1 =10 - точка максимума и y max = 400 (см 3).

5). Кроме того, х может принять крайнее значение х 3 = 0. Но у (0) = 0 - это меньше чем y max .

Ответ: сторона вырезаемого квадрата равна 10 см.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20

Формирование понятия производной в средней школе.

Введению понятия производной функции предшествует рассмотрение 2-х задач: 1)физической – задача о мгновенной скорости движения; 2)геометрической – о касательной к линии. Т.е. понятие производной функции должно формироваться на основе задач, приводящих к этому понятию. Заметим, что чем задачи разнороднее, тем лучше, так как именно разнородность приложения подчеркивается общность понятия производной. Отметим также, что рассмотрение задачи о мгновенной скорости позволяет выяснить механический смысл производной, а задачи о касательной к линии – ее геометрический смысл.

Внимание учащихся обращается на то, что решение каждой рассмотренной выше конкретной задачи по существу сводится к следующему.

А) Рассматривается функция f(x), определенная на некотором интервале (a,b). Берется некоторая точка х – фиксированная точка интервала (a,b) и точка х+- произвольная точка интервала (a,b) (
- приращение аргумента, которое может быть как положительным, так и отрицательным), т.е. а

Б) Рассматривается приращение функции, соответствующее приращению аргумента
:
=f(x+
) –f(x), и затем отношение приращения функции
к вызвавшему его приращению аргумента
:

Данное отношение есть функция переменной
, определенная для всех значений
из интервала (a-x,b-x), кроме
=0.

В) Ищется придел функции F(
) при
→0, и, если он существует, то его называют производной функцииf(x) в данной точке х.

Таким образом, естественно возникает следующее определение: производной функции f(x) в точке х называется придел отношения приращения данной функции в точке х к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует.

Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы

1. Исследование функций на монотонность

Н

рис 1

Рисунок 2

а рис.1 представлен график некоторой возрастающей дифференцируемой функции

х =х 1 их = х 2 . Что общего у построенных прямых? Общее то, что обе они со­ставляют с осьюх острый угол, а значит, у обеих прямых положитель­ный угловой коэффициент. Но угло­вой коэффициент касательной ра­вен значению производной в абсцис­се точки касания. Таким образом,
и
. А в точкех = касательная параллельна осих, в этой точке выполняется равен­ство
. Вообще в любой точ­кех из области определениявозрастающей дифференцируемой функции выполняется неравенство
.

На рис.2 представлен график некоторой убывающей дифференци­руемой функции
. Проведем касательные к графику в точкахх =х 1 их = х 2 . Что общего у по­строенных прямых? Общее то, что обе они составляют с осьюх тупой угол, а значит, у обеих прямых отрицательный угловой коэффи­циент. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом,
и
. А в точке х = касательная параллель­на осих , в этой точке выполняется равенство
. Вообще в любой точкех из области определенияубывающей дифферен­цируемой функции выполняется неравенство
.

Эти рассуждения показывают, что между характером моно­тонности функции и знаком ее производной есть определенная связь: если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна; если функ­ция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна.

Для практики гораздо важнее то, что верны и обратные те­оремы, показывающие, как по знаку производной можно уста­новить характер монотонности функции на промежутке. При этом, во избежание недоразумений, берут только открытые про­межутки, т. е. интервалы или открытые лучи. Дело в том, что для функции, определенной на отрезке
, не очень коррект­но ставить вопрос о существовании и о значении производной в концевой точке (в точкех = а или в точкех = b ), поскольку в точкех =а приращение аргумента может быть только положи­тельным, а в точкех =b - только отрицательным. В определе­нии производной такие ограничения не предусмотрены.

Теорема 1. Х выполняется неравенство
(причем равенство

возрастает на промежутке X.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство
(причем равенство
выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция
убывает на промежутке X.

Доказательства этих теорем проводят обычно в курсе высшей математики. Мы ограничимся проведенными выше рассуждени­ями «на пальцах» и для вящей убедительности дадим еще физи­ческое истолкование сформулированных теорем.

Пусть по прямой движется материальная точка,
- закон движения. Если скорость все время положительна, то точка постоянно удаляется от начала отсчета, т. е. функция
возрастает. Еслиже скорость все время отрицательна,то точкапостоянно приближается к началу отсчета, т. е. функция
убывает. Если скорость движения была положительна, затем в какой-то отдельный момент времени обратилась в нуль, а потом снова стала положительной, то движущееся тело в указанный момент времени как бы притормаживает, а потом продолжает удаляться от начальной точки. Так что и в этом случае функция
возрастает. А что такое скорость? Это производная пути по времени. Значит, от знака производной (скорости) зависит характер монотонности функции - в данном случае функции
. Об этом как раз и говорят обе сформулированные теоремы.

Завершая рассуждения об исследовании функций на монотонность, обратим внима­ние на одно обстоятельство. Мы видели, что если на промежутке Х выполняется не­равенство
, то функция
возрастает на промежуткеX ; если же на промежуткеХ выполняется неравенство
, то функция убывает на этом про­межутке. А что будет, если на всем промежутке выполняется тождество
? Видимо, функция не должна ни возрастать, ни убывать. Что же это за функция? Ответ очевиден - это по­стоянная функция
(букваС - первая буква словаconstanta , что означает «постоянная»). Справедлива следующая теорема, формальное доказательство которой мы не приводим, ограничи­ваясь приведенными выше правдоподобными рассуждениями.

Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется равенство
, то функция
постоянна на промежутке X.

В повседневной жизни часто приходится наблюдать множество процессов и явлений, при изучении которых нужно рассматривать самые разнообразные величины. Эти величины могут по-разному зависеть друг от друга. Закон, по которому одна величина зависит от другой, мы назвали функцией. Это одно из основных математических и общенаучных понятий, имеющее практическое применение во многих областях знаний и человеческой деятельности. Поэтому так важно уметь исследовать функции.

В данном видео уроке познакомимся с правилами исследования известных нам функций на монотонность.

Разглядывая графики, мы уже многое можем сказать об их функциях. Например, указать возрастает функция или убывает, как об этом говориться в видео уроке. Однако понятия возрастания и убывания функций в математике имеют свои точные определения, которые и приведены в предложенном нашему вниманию видеоматериале.

Так, чтобы судить о возрастании или убывании функции, зададим некоторый промежуток, на котором будем исследовать функцию. В видео уроке это промежуток Х. Выберем любые два числа, принадлежащие промежутку Х. Пусть это будут числа х 1 и х 2 . Эти два числа являются двумя значениями аргумента, которым соответствуют два значения какой-либо функции f(x 1) и f(x 2). Если получается, что при х 1 > х 2 выполняется неравенство f(x 1) > f(x 2), то наша функция возрастает на промежутке Х.

Другими словами, можно сказать, что функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Аналогично в видео уроке рассматривается понятие убывающей функции.

Далее в видеоматериале подробно проводится исследование линейной функции y = kx + m. Как известно, эта функция определена на всем множестве действительных чисел, то есть на всей числовой прямой. Даже если не проводить математических доказательств, а просто судить по графику этой функции, видно, что она ведет себя одинаково на всей области определения. Функция либо возрастает (график все время идет вверх), либо убывает (график все время идет вниз). В таких случаях можно не указывать промежуток, а просто сказать, что функция возрастающая или убывающая.

Возрастает или убывает функция y = kx + m, зависит от коэффициента k. Если коэффициент k положительный, то функция y = kx + m возрастает на всей области определения, то есть является возрастающей. Если коэффициент k отрицательный, то функция убывает. Доказательство возрастания или убывания функции y = kx + m основано на свойствах числовых неравенств и рассматривается в видео уроке.

Обычно, если функция только возрастает или только убывает на данном числовом промежутке, то ее называют монотонной на этом промежутке. Функция y = kx + m монотонна на всей своей области определения.

Следующая функция, которая рассматривается в видео уроке квадратичная y = kx 2 . Как и в первом случае, областью ее определения являются все действительные числа x. По графику мы видим, что функция ведет себя неодинаково. К тому же коэффициент k может быть, как положительным, так и отрицательным. Пусть коэффициент k больше нуля. Тогда если аргумент принадлежит промежутку (-∞; 0], то функция убывает. А вот на числовом промежутке }