Снимките по-долу показват къде функцията може да достигне своята най-малка и най-голяма стойност. В лявата фигура най-малките и най-големите стойности са фиксирани в точките на локалния минимум и максимум на функцията. В дясната фигура - в краищата на линейния сегмент.

Ако функцията г = е(х) е непрекъснат на отсечката [ а, б], след което достига до този сегмент най-малкият и най-високи стойности ... Това, както вече споменахме, може да се случи или в екстремни точки, или в краищата на сегмента. Следователно, за да намерите най-малкият и максимални стойности на функцията непрекъснато на сегмента [ а, б], трябва да изчислите всички стойности критични точкии в краищата на сегмента и след това изберете най-малкия и най-големия от тях.

Нека например се изисква да се определи най-голямата стойност на функцията е(х) на сегмента [ а, б]. За да направите това, намерете всичките му критични точки, разположени на [ а, б] .

Критична точка се нарича точката, в която дефинирана функция, и тя производное или нула, или не съществува. След това трябва да изчислите стойностите на функцията в критичните точки. И накрая, трябва да се сравнят стойностите на функцията в критичните точки и в краищата на сегмента ( е(а) и е(б)). Най-голямото от тези числа ще бъде най-голямата стойност на функцията в сегмента [а, б] .

Проблемите с намирането най-малките стойности на функцията .

Търсете заедно най-малките и най-големите стойности на функцията

Пример 1. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента [-1, 2] .

Решение. Намерете производната на тази функция. Нека приравним производната на нула () и да получим две критични точки: и. За да намерите най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, достатъчно е да изчислите нейните стойности в краищата на сегмента и в точка, тъй като точката не принадлежи на сегмента [-1, 2]. Стойностите на тези функции са както следва:,,. Следва, че най-малката стойност на функцията(в графиката по-долу е отбелязано в червено), равно на -7, се достига в десния край на сегмента - в точката, и най-великия(също червено на графиката), равно на 9, - в критичната точка.

Ако функцията е непрекъсната в някакъв интервал и този интервал не е сегмент (но е например интервал; разликата между интервал и сегмент: граничните точки на интервала не са включени в интервала, а границата точки от сегмента са включени в сегмента), тогава сред стойностите на функцията може да не е най-малката и най-голямата. Така, например, функцията, показана на фигурата по-долу, е непрекъсната при] -∞, + ∞ [и няма най-голяма стойност.

Въпреки това, за всеки интервал (затворен, отворен или безкраен) е вярно следното свойство на непрекъснатите функции.

За самопроверка по време на изчисления можете да използвате онлайн калкулатор на производни .

Пример 4. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента [-1, 3] .

Решение. Намираме производната на тази функция като производна на частното:

.

Приравняваме производната на нула, което ни дава една критична точка:. Принадлежи към сегмента [-1, 3]. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция в даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Ние сравняваме тези стойности. Заключение: равно на -5/13, в точка и най-голямата стойностравно на 1 в точката.

Продължаваме да търсим заедно най-малките и най-големите стойности на функцията

Има учители, които по темата за намиране на най-малките и най-големите стойности на функция не дават на учениците да решават по-сложни примери от току-що разгледаните, тоест тези, в които функцията е полином или дроб, числителят и знаменателят на които са полиноми. Но няма да се ограничаваме с такива примери, тъй като сред учителите има такива, които обичат да карат учениците да мислят пълноценно (таблица на производните). Следователно ще се използват логаритъмът и тригонометричната функция.

Пример 8. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намерете производната на тази функция като производна работа :

Приравняваме производната на нула, което дава една критична точка:. Принадлежи към сегмента. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция в даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Резултатът от всички действия: функцията достига най-малката си стойностравно на 0 в точката и в точката и най-голямата стойностравна на д², в точката.

За самопроверка по време на изчисления можете да използвате онлайн калкулатор на производни .

Пример 9. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намерете производната на тази функция:

Приравняване на производната към нула:

Единствената критична точка принадлежи на отсечката. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция в даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

заключение: функцията достига най-малката си стойностравно на в точката и най-голямата стойност, равен, в точката.

При приложени екстремни задачи намирането на най-малките (най-големи) стойности на функция, като правило, се свежда до намиране на минимум (максимум). Но от по-голям практически интерес не са самите минимуми или максимуми, а онези стойности на аргумента, при които се достигат. При решаване на приложни задачи възниква допълнителна трудност - компилирането на функции, описващи разглежданото явление или процес.

Пример 10.Резервоар с вместимост 4, който има формата на паралелепипед с квадратна основа и е отворен в горната част, трябва да се извади с калай. Колко голям трябва да бъде резервоарът, за да покрие най-малкото количество материал?

Решение. Позволявам х-страни на основата, з- височина на резервоара, С- неговата повърхност без покритие, V- неговият обем. Повърхността на резервоара се изразява по формулата, т.е. е функция на две променливи. Да изразя Скато функция на една променлива, ще използваме какво, откъде. Заместване на намерения израз звъв формулата за С:

Нека разгледаме тази функция за екстремум. То е дефинирано и диференцируемо навсякъде в] 0, + ∞ [, и

.

Приравнете производната към нула () и намерете критичната точка. В допълнение, за производната не съществува, но тази стойност не е включена в областта на дефиницията и следователно не може да бъде точка на екстремум. Така че това е единствената критична точка. Нека го проверим за наличието на екстремум, като използваме втория достатъчен критерий. Нека намерим втората производна. Когато втората производна е по-голяма от нула (). Следователно, при, функцията достига минимум ... След това минимумът е единственият екстремум на тази функция, той е и най-малката й стойност... Така че страната на основата на резервоара трябва да бъде равна на 2 m и неговата височина.

За самопроверка по време на изчисления можете да използвате

НАСА ще стартира експедиция до Марс през юли 2020 г. Космическият кораб ще достави на Марс електронен носител с имената на всички регистрирани членове на експедицията.

Ако тази публикация е решила проблема ви или просто ви е харесала, споделете връзката към нея с приятелите си в социалните мрежи.

Един от тези варианти на код трябва да бъде копиран и поставен в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете иили веднага след етикета ... Според първия вариант MathJax се зарежда по-бързо и по-малко забавя страницата. Но втората опция автоматично проследява и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва периодично да се актуализира. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо да наблюдавате постоянно актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин да свържете MathJax е в Blogger или WordPress: в таблото за управление на вашия сайт добавете джаджа, предназначена да вмъкне JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за зареждане, представен по-горе, в него и поставете джаджата по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, защото скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса на MathML, LaTeX и ASCIIMathML за маркиране и сте готови да вградите математически формули в уеб страниците на вашия уебсайт.

Още една новогодишна нощ... мразовито време и снежинки по стъклото на прозореца... Всичко това ме подтикна да пиша отново за... фрактали и какво знае Волфрам Алфа за тях. Има интересна статия за това, която съдържа примери за двумерни фрактални структури. Тук ще разгледаме по-сложни примери за 3D фрактали.

Фракталът може да бъде визуализиран (описан) като геометрична фигура или тяло (което означава, че и двете са набор, в този случай набор от точки), чиито детайли имат същата форма като самата оригинална фигура. Тоест, това е самоподобна структура, като се имат предвид детайлите на която с увеличение ще видим същата форма като без увеличение. Докато в случай на правилна геометрична форма (не фрактал), когато увеличим, ще видим детайли, които имат по-проста форма от самата оригинална форма. Например, при достатъчно голямо увеличение част от елипсата изглежда като сегмент от линия. Това не се случва с фракталите: при всяко увеличение ще видим отново същата сложна форма, която ще се повтаря отново и отново с всяко увеличение.

Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, пише в статията си „Фрактали и изкуство за науката“: „Фракталите са геометрични фигури, които са толкова сложни в детайлите, колкото и в общата си форма. Част от фрактала ще бъде увеличена до размера на цялото, ще изглежда като цяло, или точно, или може би с лека деформация."

От практическа гледна точка най-интересното е използването на производната за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция. Каква е причината за това? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването... С други думи, в много сфери на живота трябва да се реши проблемът с оптимизиране на всякакви параметри. И това са задачите за намиране на най-голямата и най-малката стойност на функция.

Трябва да се отбележи, че най-големите и най-малките стойности на функция обикновено се търсят в някакъв интервал X, който е или целият домейн на функцията, или част от домейна. Самият интервал X може да бъде отсечка, отворен интервал , безкраен интервал.

В тази статия ще говорим за намиране на най-големите и най-малките стойности на изрично дадена функция на една променлива y = f (x).

Навигация в страницата.

Най-високата и най-ниската стойност на функцията - дефиниции, илюстрации.

Нека се спрем накратко върху основните определения.

Най-голямата стойност на функцията че за всеки неравенството е вярно.

Най-малката стойност на функцията y = f (x) на интервала X се нарича такава стойност че за всеки неравенството е вярно.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) приета стойност в разглеждания интервал по абсцисата.

Стационарни точкиСтойностите на аргумента са, при които производната на функцията изчезва.

Защо се нуждаем от стационарни точки, когато намираме най-големите и най-малките стойности? Отговорът на този въпрос дава теоремата на Ферма. От тази теорема следва, че ако една диференцируема функция има екстремум (локален минимум или локален максимум) в дадена точка, тогава тази точка е стационарна. По този начин функцията често взема най-голямата (най-малката) стойност на интервала X в една от неподвижните точки от този интервал.

Също така, функцията често може да вземе най-голямата и най-малката стойност в точки, в които първата производна на тази функция не съществува, а самата функция е дефинирана.

Нека веднага отговорим на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: „Винаги ли е възможно да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция“? Не, не винаги. Понякога границите на интервала X съвпадат с границите на областта на дефиниране на функцията или интервалът X е безкраен. И някои функции в безкрайност и на границите на областта на дефиницията могат да приемат както безкрайно големи, така и безкрайно малки стойности. В тези случаи не може да се каже нищо за най-високата и най-ниската стойност на функцията.

За по-голяма яснота ще дадем графична илюстрация. Вижте снимките и много ще стане ясно.

На сегмента

На първата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в неподвижни точки, разположени вътре в сегмента [-6; 6].

Помислете за случая, показан на втората фигура. Променете сегмента на. В този пример най-малката стойност на функцията се постига в неподвижна точка, а най-голямата - в точка с абциса, съответстваща на дясната граница на интервала.

На фигура 3 граничните точки на сегмента [-3; 2] са абсцисите на точките, съответстващи на най-голямата и най-малката стойности на функцията.

На отворен интервал

На четвъртата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в неподвижни точки, разположени в рамките на отворения интервал (-6; 6).

На интервала не могат да се направят заключения за най-голямата стойност.

В безкрайност

В примера, показан на седмата фигура, функцията приема най-голямата стойност (max y) в неподвижна точка с абсцисата x = 1, а най-малката стойност (min y) се достига в дясната граница на интервала. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично се приближават до y = 3.

На интервала функцията не достига нито най-малката, нито най-голямата стойност. Когато се стремят към x = 2 вдясно, стойностите на функцията клонят към минус безкрайност (правата линия x = 2 е вертикалната асимптота), а когато абсцисата клони към плюс безкрайност, стойностите на функцията асимптотично подход y = 3. Графична илюстрация на този пример е показана на Фигура 8.

Алгоритъм за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент.

Нека напишем алгоритъм, който ни позволява да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция на сегмент.

1. Намерете домейна на функцията и проверете дали съдържа целия сегмент.
2. Намираме всички точки, в които първата производна не съществува и които се съдържат в отсечката (обикновено такива точки се намират във функции с аргумент под знака на модула и в степенни функции с дробен рационален показател). Ако няма такива точки, преминете към следващия елемент.
3. Определете всички неподвижни точки, които попадат в сегмента. За да направите това, ние го приравняваме на нула, решаваме полученото уравнение и избираме подходящите корени. Ако няма стационарни точки или нито една от тях не попада в сегмента, преминете към следващия елемент.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в избраните неподвижни точки (ако има такива), в точките, където първата производна не съществува (ако има такава), както и за x = a и x = b.
5. От получените стойности на функцията избираме най-голямата и най-малката - те ще бъдат съответно желаните най-голяма и най-малка стойност на функцията.

Нека анализираме алгоритъма, когато решаваме пример за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция на сегмент.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

• на сегмента;
• на сегмента [-4; -1].

Решение.

Областта на дадена функция е целият набор от реални числа, с изключение на нулата, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намерете производната на функцията по отношение на:

Очевидно производната на функцията съществува във всички точки на отсечките и [-4; -1].

Стационарните точки се определят от уравнението. Единственият валиден корен е x = 2. Тази неподвижна точка попада в първия сегмент.

За първия случай изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в неподвижна точка, тоест за x = 1, x = 2 и x = 4:

Следователно, най-голямата стойност на функцията се постига при x = 1 и най-малката стойност - за х = 2.

За втория случай изчисляваме стойностите на функцията само в краищата на сегмента [-4; -1] (тъй като не съдържа нито една неподвижна точка):

Решение.

Нека започнем с обхвата на функцията. Квадратният трином в знаменателя на дроб не трябва да изчезва:

Лесно е да се провери дали всички интервали от формулировката на проблема принадлежат на домейна на функцията.

Нека разграничим функцията:

Очевидно производната съществува в цялата област на функцията.

Да намерим стационарни точки. Производната изчезва при. Тази неподвижна точка попада в интервалите (-3; 1] и (-3; 2).

И сега можете да сравните резултатите, получени във всяка точка с функционалната графика. Асимптотите са маркирани със сини пунктирани линии.

Тук можете да намерите най-големите и най-малките стойности на функцията. Алгоритмите, разгледани в тази статия, ви позволяват да получите резултати с минимум действия. Понякога обаче е полезно първо да се определят интервалите на нарастване и намаляване на функцията и едва след това да се правят заключения за най-голямата и най-малката стойност на функцията на всеки интервал. Това дава по-ясна картина и силна обосновка за резултатите.

С тази услуга можете намерете най-голямата и най-малката стойност на функциятаедна променлива f (x) с дизайна на решението в Word. Ако е дадена функцията f (x, y), следователно е необходимо да се намери екстремумът на функцията на две променливи. Можете също да намерите интервалите на увеличаване и намаляване на функцията.

Правила за въвеждане на функции:

Необходимо условие за екстремум на функция на една променлива

Уравнението f "0 (x *) = 0 е необходимо условие за екстремума на функция на една променлива, тоест в точката x * първата производна на функцията трябва да изчезне. То избира стационарни точки xc, в които функцията не се увеличава или намалява...

Достатъчно условие за екстремума на функция на една променлива

Нека f 0 (x) е два пъти диференцируемо по отношение на x, принадлежащо на множеството D. Ако в точка x * е изпълнено следното условие:

F "0 (x *) = 0
f "" 0 (x *)> 0

Тогава точката x * е точката на локалния (глобален) минимум на функцията.

Ако в точка x * е изпълнено следното условие:

F "0 (x *) = 0
f "" 0 (x *)< 0

Точката x * е локалният (глобален) максимум.

Пример №1. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията: на сегмента.
Решение.

Една критична точка x 1 = 2 (f '(x) = 0). Тази точка принадлежи на отсечката. (Точката x = 0 не е критична, тъй като 0∉).
Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в критичната точка.
f (1) = 9, f (2) = 5/2, f (3) = 3 8/81
Отговор: f min = 5/2 при x = 2; f max = 9 при x = 1

Пример №2. Използвайки производните от по-високи порядки, намерете екстремума на функцията y = x-2sin (x).
Решение.
Намерете производната на функцията: y ’= 1-2cos (x). Намерете критичните точки: 1-cos (x) = 2, cos (x) = ½, x = ± π / 3 + 2πk, k∈Z. Откриваме y’’ = 2sin (x), изчисляваме, така че x = π / 3 + 2πk, k∈Z са минималните точки на функцията; , така че x = - π / 3 + 2πk, k∈Z са максималните точки на функцията.

Пример №3. Изследвайте екстремума на функцията в околността на точката x = 0.
Решение. Тук е необходимо да се намерят екстремумите на функцията. Ако екстремумът е x = 0, тогава разберете неговия тип (минимален или максимум). Ако сред намерените точки няма x = 0, тогава изчислете стойността на функцията f (x = 0).
Трябва да се отбележи, че когато производната от всяка страна на дадена точка не променя знака си, възможните ситуации не се изчерпват дори за диференцируеми функции: може да се случи, че за произволно малка окръжност от едната страна на точката x 0 или от двете страни производната променя знака. В тези точки трябва да се прилагат други методи за изследване на функциите за екстремум.

Пример №4. Разделете числото 49 на два члена, чието произведение ще бъде най-голямо.
Решение. Нека означим x като първи член. Тогава (49-x) е вторият член.
Продуктът ще бъде максимално: x (49-x) → макс

В задача B14 от изпита по математика се изисква да се намери най-малката или най-голямата стойност на функция на една променлива. Това е доста тривиален проблем от математическия анализ и поради тази причина всеки завършил гимназия може и трябва да се научи да го решава нормално. Нека анализираме няколко примера, които учениците решиха по време на диагностичната работа по математика, която се проведе в Москва на 7 декември 2011 г.

В зависимост от интервала, през който искате да намерите максималната или минималната стойност на функцията, за решаване на този проблем се използва един от следните стандартни алгоритми.

I. Алгоритъм за намиране на най-голямата или най-малката стойност на функция на сегмент:

• Намерете производната на функцията.
• Изберете от точките, подозрителни за екстремум, тези, които принадлежат на дадения сегмент и домейна на функцията.
• Изчислете стойностите функции(не производно!) в тези точки.
• Сред получените стойности изберете най-голямата или най-малката, тя ще бъде желаната.

Пример 1.Намерете най-малката стойност на функцията
г = х 3 – 18х 2 + 81х+ 23 на сегмента.

Решение:действаме според алгоритъма за намиране на най-малката стойност на функция на сегмент:

• Обхватът на функцията не е ограничен: D (y) = Р.
• Производната на функцията е: y ' = 3х 2 – 36х+ 81. Областта на дефиниране на производната на функция също не е ограничена: D (y ') = Р.
• Производни нули: y ' = 3х 2 – 36х+ 81 = 0, значи х 2 – 12х+ 27 = 0, откъдето х= 3 и х= 9, нашият интервал включва само х= 9 (една точка подозрителна за екстремум).
• Намерете стойността на функцията в точка, подозрителна за екстремум и в краищата на интервала. За удобство на изчисленията, ние представяме функцията във формата: г = х 3 – 18х 2 + 81х + 23 = х(х-9) 2 +23:
  • г(8) = 8 (8-9) 2 +23 = 31;
  • г(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • г(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

И така, от получените стойности, най-малката е 23. Отговор: 23.

II. Алгоритъм за намиране на най-голямата или най-малката стойност на функцията:

• Намерете домейна на функцията.
• Намерете производната на функцията.
• Определете точки, подозрителни за екстремум (тези точки, в които производната на функцията изчезва, и точки, в които няма двустранна крайна производна).
• Маркирайте тези точки и областта на функцията върху числовата права и определете знаците производно(не функции!) на получените интервали.
• Определете стойности функции(не производната!) в минималните точки (тези точки, в които знакът на производната се променя от минус на плюс), най-малката от тези стойности ще бъде най-малката стойност на функцията. Ако няма минимални точки, тогава функцията няма най-малката стойност.
• Определете стойности функции(не производната!) в максималните точки (тези точки, в които знакът на производната се променя от плюс на минус), най-голямата от тези стойности ще бъде най-голямата стойност на функцията. Ако няма максимални точки, тогава функцията няма максимална стойност.

Пример 2.Намерете най-голямата стойност на функцията.