RACIONÁLIS MUTATÓVAL VONATKOZÓ FOKOZAT,

TELJESÍTMÉNY FUNKCIÓ IV

71. § Fok nulla és negatív kitevővel

A 69. §-ban bebizonyítottuk (lásd 2. tétel), hogy azért t > n

(a =/= 0)

Teljesen természetes, hogy ezt a képletet ki akarjuk terjeszteni arra az esetre, amikor t < P . De akkor a szám t - p negatív vagy nulla lesz. V. Eddig csak természetes mutatókkal rendelkező fokokról beszéltünk. Így szembe kell néznünk azzal, hogy figyelembe kell venni a nulla és negatív kitevővel rendelkező valós számok hatványait.

1. definíció. Bármilyen szám a , nem egyenlő nullával, a nulla hatványa egyenlő eggyel, vagyis mikor a =/= 0

a 0 = 1. (1)

Például (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2) 0 = 1. A 0 számnak nincs nulla foka, vagyis a 0 0 kifejezés nincs definiálva.

2. definíció. Ha egy a=/= 0 és P - természetes szám, azután

a - n = 1 /a n (2)

azaz bármely olyan szám fokszáma, amely nem egyenlő nullával, negatív egész kitevővel egyenlő egy törttel, amelynek a számlálója egy, a nevezője pedig ugyanannak a számnak a hatványa, de ennek kitevőjével ellentétes kitevővel kitevő.

Például,

Ezeket a meghatározásokat szem előtt tartva kimutatható, hogy a =/= 0, képlet

minden természetes számra igaz t és n , és nem csak azért t > n . Ennek bizonyításához elegendő csak két esetet figyelembe venni: t = n és t< .п , mivel az eset m > n 69. §-ában már foglalkozott.

Legyen t = n ; azután . Ezért a (3) egyenlőség bal oldala egyenlő 1-gyel. A jobb oldala at t = n válik

a m-n = a n - n = a 0 .

De definíció szerint a 0 = 1. Így a (3) egyenlőség jobb oldala is egyenlő 1-gyel. t = n a (3) képlet helyes.

Most tegyük fel t< п . Tört számlálójának és nevezőjének elosztása ezzel a m , kapunk:

Mint n > t , azután . Így . A negatív kitevővel rendelkező fok definíciójával írhatunk .

Szóval, at , amit bizonyítani kellett. A (3) képlet most bármely természetes számra bebizonyosodott t és P .

Megjegyzés. A negatív kitevők lehetővé teszik, hogy nevezők nélkül írjunk törteket. Például,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - egy ; általában, a / b = a b - 1

Nem szabad azonban azt gondolni, hogy egy ilyen jelöléssel a törtek egész számokká alakulnak. Például 3 - 1 ugyanaz, mint 1/3, 2 5 - Az 1 ugyanaz, mint a 2/5 stb.

Feladatok

529. Számítsa ki:

530. Írja be a tört nevezői nélkül:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Írja be ezeket a tizedes törteket egész kifejezésként negatív mutatók használatával:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

Válaszok:

Névtelen

ha figyelembe vesszük, hogy a^x=e^x*ln(a), akkor kiderül, hogy 0^0=1 (limit, x->0 esetén)
bár a "bizonytalanság" válasz is elfogadható

A nulla a matematikában nem üresség, ez a szám nagyon közel áll a "semmihez", ahogy a végtelen csak fordítva

Írd le:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0/0
Ebben az esetben kiderül, hogy nullával osztunk, és ez a művelet a valós számok terén nincs definiálva.

6 évvel ezelőtt

Az RPI.su a legnagyobb orosz nyelvű kérdések és válaszok adatbázisa. Projektünk az otvety.google.ru népszerű szolgáltatás folytatásaként valósult meg, amely 2015. április 30-án bezárt és eltávolított. Úgy döntöttünk, hogy újraélesztjük a hasznos Google Answers szolgáltatást, hogy bárki nyilvánosan megtudja a választ kérdésére az internetes közösségből.

A Google Answers webhelyre felvett összes kérdést átmásoltuk és elmentettük ide. A régi felhasználók nevei is abban a formában jelennek meg, ahogy korábban léteztek. Csak újra kell regisztrálnia, hogy kérdéseket tegyen fel, vagy válaszoljon másoknak.

Ha az OLDALRA VONATKOZÓ kérdése van (reklám, együttműködés, visszajelzés a szolgáltatással kapcsolatban), írjon az e-mail címre. [e-mail védett] Csak az összes általános kérdést tegye fel az oldalon, levélben nem válaszolunk rájuk.

Mivel egyenlő a nulla, ha nulla hatványára emeljük?

Miért egyenlő a 0 hatványára eső szám 1-gyel? Van egy szabály, amely szerint a nullától eltérő bármely szám, amelyet nulla hatványára emelünk, egyenlő lesz eggyel: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 De miért van ez így? Ha egy számot természetes kitevővel rendelkező hatványra emelünk, az azt jelenti, hogy annyiszor szorozzuk meg önmagával, mint a kitevővel: 43 = 4 × 4 × 4; 26 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Ha a kitevő 1, akkor a konstrukció során csak egy tényező van (ha egyáltalán beszélhetünk itt faktorokról), és ezért a konstrukció eredménye egyenlő fok alapjához: 181 = 18; (–3,4)1 = –3,4 De mi a helyzet ebben az esetben a nulla kitevővel? Mit szorozunk mivel? Próbáljunk meg a másik irányba menni. Ismeretes, hogy ha két foknak ugyanaz az alapja, de eltérő a mutatója, akkor az alap ugyanaz marad, és a mutatókat vagy összeadhatjuk (ha a fokokat szorozzuk), vagy kivonhatjuk az osztómutatót a osztalékmutató (ha a fokok oszthatók): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Most nézzük meg ezt a példát: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Mi van, ha nem használjuk az azonos bázisú fokok tulajdonságát, és ezek sorrendjében végezzük a számításokat: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Így megkaptuk az áhított mértékegységet. Így a nulla kitevő mintegy azt jelzi, hogy a számot nem szorozzuk meg önmagával, hanem osztjuk önmagával. És innentől világossá válik, hogy a 00 kifejezésnek miért nincs értelme. Hiszen nem lehet 0-val osztani. Lehet másképp vitatkozni. Ha van például hatványok szorzása 52 × 50 = 52 + 0 = 52, akkor ebből az következik, hogy 52-t megszoroztunk 1-gyel. Ezért 50 = 1.

A fokok tulajdonságaiból: a^n / a^m = a^(n-m) ha n=m, akkor az eredmény egy lesz, kivéve természetesen a=0, ebben az esetben (mivel nulla bármely fokig nulla lesz) nullával való osztás megtörténik, tehát 0^0 nem létezik

Számla különböző nyelveken

A számok nevei 0-tól 9-ig a világ népszerű nyelvein.

Nyelv	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
angol	nulla	egy	kettő	három	négy	öt	hat	hét	nyolc	kilenc
bolgár	nulla	egy	kettő	három	négy	házi kedvenc	pólus	sedem	osem	devet
Magyar	nulla	egy	ketto	harom	negy	ot	kalap	het	nyolc	kilenc
holland	nulla	een	csipesz	megszáradni	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
dán	nulla	hu	nak nek	tre	Tűz	fem	nemek	syv	otte	ni
spanyol	cero	uno	dos	tres	cuatro	cinco	seis	siete	ocho	új
olasz	nulla	uno	esedékes	tre	quattro	cinque	sei	sette	ottó	új
litván	nullis	vienas	du	trys	keturi	penki	reyi	septini	aðtuoni	devyni
Deutsch	nulla	ein	zwei	drei	vier	funf	sechs	sieben	acht	neun
orosz	nulla	egy	kettő	három	négy	öt	hat	hét	nyolc	kilenc
fényesít	nulla	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
portugál	hm	dois	számokat	quadro	cinco	seis	sete	oito	új
Francia	nulla	ENSZ	deux	trois	négyzet	cinq	hat	szeptember	huit	neuf
cseh	nula	jedna	dva	toi	ityoi	gödör	¹est	sedm	osm	devit
svéd	noll	ett	tva	tre	fyra	fem	szex	sju	atta	nio
észt	nulla	uks	kaks	Kolm	neli	viis	kuus	hét	nyolc	uheksa

Egy szám negatív és nulla hatványa

Nulla, negatív és tört hatványok

Nulla jelző

Egy adott számot egy bizonyos hatványra emelni annyit jelent, hogy annyiszor ismételjük meg egy tényezővel, ahány egység van a kitevőben.

E meghatározás szerint a kifejezés: a 0 értelmetlen. De annak érdekében, hogy az azonos szám hatványainak felosztásának szabálya akkor is értelmes legyen, ha az osztóindex egyenlő az osztalékindexszel, bevezetjük a definíciót:

Bármely szám nulla hatványa egyenlő lesz eggyel.

Negatív mutató

Kifejezés a-m, önmagában értelmetlen. De annak érdekében, hogy az azonos szám hatványainak felosztásának szabálya akkor is értelmes legyen, ha az osztóindex nagyobb, mint az osztalékindex, bevezetjük a definíciót:

1. példa Ha egy adott szám 5 százból, 7 tízesből, 2 egységből és 9 századból áll, akkor a következőképpen ábrázolható:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

2. példa Ha egy adott szám a tízesből, b egységből, c tizedből és d ezredből áll, akkor a következőképpen ábrázolható:

a× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 -1 + d× 10 -3

Műveletek negatív kitevővel rendelkező hatványokon

Azonos szám hatványainak szorzásakor a kitevők összeadódnak.

Ugyanazon szám hatványainak osztásakor az osztómutatót levonjuk az osztalék mutatójából.

Egy szorzat hatványra emeléséhez elegendő minden tényezőt külön-külön erre a hatványra emelni:

Egy tört hatványra emeléséhez elegendő a tört mindkét tagját külön-külön erre a hatványra emelni:

Ha egy hatványt egy másik hatványra emelünk, a kitevők megszorozódnak.

Törtkitevő

Ha egy k nem többszörös n, akkor a kifejezés: nincs értelme. De annak érdekében, hogy a kitevő bármely értékére érvényesüljön a gyökérnek a fokból való kiemelésének szabálya, bevezetjük a definíciót:

Egy új szimbólum bevezetésének köszönhetően a gyökér kivonása mindig helyettesíthető hatványozással.

Műveletek tört kitevővel rendelkező hatványokon

A tört kitevővel végzett fokokra vonatkozó műveletek ugyanazok a szabályok szerint kerülnek végrehajtásra, mint az egész kitevőkre.

Ennek az álláspontnak a bizonyításakor először feltételezzük, hogy a kitevőként szolgáló: és törtek tagjai pozitívak.

Egy adott esetben n vagy q egyenlő lehet eggyel.

Ha ugyanannak a számnak a hatványait megszorozzuk, a törtmutatók összeadódnak:

Ha azonos szám hatványait tört kitevőkkel osztjuk, az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből:

Törtkitevők esetén egy hatvány másik hatványra emeléséhez elegendő a kitevőket megszorozni:

A tört kitevő gyökének kinyeréséhez elegendő a kitevőt elosztani a gyökér kitevőjével:

A cselekvési szabályok nemcsak arra vonatkoznak pozitív tört alakok, hanem ahhoz is negatív.

Van egy szabály, amely szerint a nullától eltérő bármely szám, amelyet nulla hatványára emelünk, egyenlő lesz eggyel:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Azonban miért van ez így?
Ha egy számot természetes kitevővel rendelkező hatványra emelünk, az azt jelenti, hogy annyiszor szorozzuk meg önmagával, mint a kitevővel:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Ha a kitevő 1, akkor a konstrukció során csak egy tényező van (ha egyáltalán beszélhetünk faktorokról), ezért a konstrukció eredménye megegyezik a fokszám alapjával:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
De mi a helyzet a nullával ebben az esetben? Mit szorozunk mivel?
Próbáljunk meg a másik irányba menni.

Miért egyenlő a 0 hatványára eső szám 1-gyel?

Ismeretes, hogy ha két foknak ugyanaz az alapja, de eltérő a mutatója, akkor az alap ugyanaz marad, és a mutatókat vagy összeadhatjuk (ha a fokokat szorozzuk), vagy kivonhatjuk az osztómutatót a osztalékmutató (ha a fokok oszthatók):
3 2 × 3 1 = 3^ (2+1) = 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5-3) = 4 2 = 4×4 = 16
Most nézzük ezt a példát:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2-2) = 8 0 = ?
Mi van, ha nem használjuk az azonos bázisú hatványok tulajdonságát, és a számításokat a sorrendjük szerint végezzük:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Megkaptuk tehát az áhított egységet. Így a nulla kitevő mintegy azt jelzi, hogy a számot nem szorozzuk meg önmagával, hanem osztjuk önmagával.
És innentől világossá válik, hogy a 0 0 kifejezésnek miért nincs értelme. Végül is nem lehet osztani 0-val.

Van egy szabály, amely szerint a nullától eltérő bármely szám, amelyet nulla hatványára emelünk, egyenlő lesz eggyel:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Azonban miért van ez így?

Ha egy számot természetes kitevővel rendelkező hatványra emelünk, az azt jelenti, hogy annyiszor szorozzuk meg önmagával, mint a kitevővel:
43 = 4...

0 0

Az algebrában gyakori a nulla hatványra való emelés. Mi az a 0 fokozat? Mely számok emelhetők nulla hatványra, és melyek nem?

Meghatározás.

Bármely szám, amely a nulla hatványa, a nulla kivételével egyenlő eggyel:

Így nem számít, hogy melyik számot emeljük 0 hatványára, az eredmény mindig ugyanaz – egy.

És 1 a 0 hatványára, és 2 a 0 hatványára, és bármely más szám - egész, tört, pozitív, negatív, racionális, irracionális - nulla hatványra emelve egyet ad.

Az egyetlen kivétel a null.

A nullától a nulláig terjedő hatvány nincs meghatározva, az ilyen kifejezésnek nincs értelme.

Vagyis a nullán kívül tetszőleges szám emelhető nulla hatványra.

Ha egy kifejezés hatványokkal történő egyszerűsítésekor egy számot nulla hatványára kapunk, akkor az helyettesíthető egységgel:

Én Kövér...

0 0

Részeként iskolai tananyag a $%0^0$% kifejezés értéke definiálatlannak tekinthető.

A modern matematika szempontjából célszerű azt feltételezni, hogy $%0^0=1$%. Az ötlet itt a következő. Legyen $%n$% számok szorzata $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Minden $%n\ge2$% esetén teljesül a $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% egyenlőség. Ezt az egyenlőséget célszerű értelmesnek tekinteni még $%n=1$%, $%p_0=1$% beállítás esetén is. A logika itt a következő: a termékek kiszámításakor először 1-et veszünk, majd egymás után megszorozzuk a következővel: $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Ezt az algoritmust használják a programok írásakor munkák keresésekor. Ha valamilyen okból a szorzás nem történt meg, akkor a szorzat egyenlő marad eggyel.

Más szóval, célszerű egy ilyen fogalmat „0 tényező szorzataként” jelentéssel bírónak tekinteni, definíció szerint 1-gyel egyenlőnek tekintve. Ebben az esetben beszélhetünk „üres szorzatról” is. Ha egy számot megszorozunk ezzel...

0 0

Nulla - ez nulla. Nagyjából egy szám bármely hatványa egynek és a kitevőnek a szám szorzata. Kettő a harmadikban, mondjuk ez 1*2*2*2, kettő mínusz az első 1/2. És akkor szükséges, hogy ne legyen lyuk a pozitív és a negatív erők közötti átmenetben, és fordítva.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

ez az egész lényeg.

egyszerű és világos, köszönöm

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

egyszerűen szükség van például arra, hogy bizonyos képletek, amelyek pozitív mutatókra érvényesek - például x ^ n * x ^ m = x ^ (m + n) - továbbra is érvényesek legyenek.
Ugyanez vonatkozik a definícióra is negatív fokozat valamint racionális (azaz például 5 a 3/4 hatványához)

> és egyáltalán miért van rá szükség?
Például a statisztikákban és az elméletben az ember gyakran nulla hatványokkal játszik.

Zavarnak a negatív fokok?
...

0 0

Továbbra is figyelembe vesszük a fokok tulajdonságait, vegyük például a 16:8=2-t. Mivel 16=24 és 8=23, ezért az osztás exponenciális formában 24:23=2-ként írható fel, de ha kivonjuk a kitevőket, akkor 24:23=21. Tehát el kell ismernünk, hogy 2 és 21 ugyanaz, tehát 21=2.

Ugyanez a szabály vonatkozik bármely más exponenciális számra is, így a szabályt meg lehet fogalmazni Általános nézet:

az első hatványra emelt szám változatlan marad

Ez a következtetés meglephette Önt. Valahogy még érthető a 21=2 kifejezés jelentése, bár az "egy szám kettő szorozva önmagával" elég furcsán hangzik. De a 20-as kifejezés azt jelenti, hogy "nem egy kettes szám, ...

0 0

A végzettség meghatározása:

1. nulla fok

Bármely nullától eltérő szám, amelyet nulla hatványára emelünk, egyenlő eggyel. A nulla a nulla hatványa között nincs meghatározva

2. nullától eltérő természetes fok

Bármely x szám n természetes hatványra emelve, amely nem nulla, egyenlő n szám x egymás közötti szorzásával

3,1 nullától eltérő páros természetes fok gyöke

A nullától eltérő, páros természetes n hatvány gyöke bármely pozitív x számból olyan pozitív y szám, amelyet n hatványra emelve az eredeti x számot kapjuk.

3,2 páratlan természetes gyökér

Bármely x szám páratlan természetes gyöke n olyan y szám, amelyet n hatványára emelve az eredeti x számot kapja

3.3 bármely természetes erő gyökere töredékes erőként

A nullától eltérő n természetes hatvány gyökének kivonása bármely x számból ugyanaz, mintha ezt az x számot az 1/n törthatványra emelnénk.

0 0

Szia kedves RUSSEL!

A fokozat fogalmának bevezetésénél van egy ilyen jelölés: » Az a^0 =1 kifejezés értéke » ! Ez a fokozat és semmi más logikai fogalma alapján megy!
Dicséretes, ha egy fiatalember megpróbálja a végére járni! De vannak dolgok, amiket természetesnek kell venni!
Csak akkor konstruálhat új matematikát, ha azt tanulmányozza, amit már évszázadokkal ezelőtt felfedeztek!
Persze, ha kizárjuk, hogy "nem e világból való" vagy, és sokkal többet kaptál, mint nekünk, bűnösöknek!

Megjegyzés: Anna Misheva kísérletet tett a bizonyíthatatlan bizonyítására! Szintén dicséretes!
De van egy nagy "DE" - a legfontosabb elem hiányzik a bizonyítékból: A NULLÁVAL osztás esete!

Nézd meg magad, mi történhet: 0^1 / 0^1 = 0 / 0 !!!

De nullával osztani nem lehet!

Kérem, legyen óvatosabb!

Sok boldogságot és sok boldogságot a magánéletében...

0 0

Első szint

Fokozat és tulajdonságai. Átfogó útmutató (2019)

Miért van szükség diplomára? Hol van szükséged rájuk? Miért kell időt tölteni a tanulmányozásukkal?

Mindent megtudhat a diplomákról, mire valók, hogyan használhatja fel tudását Mindennapi élet olvassa el ezt a cikket.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz az OGE vagy az egységes államvizsga sikeres letételéhez és álmai egyetemére való belépéshez.

Gyerünk... (Menjünk!)

Fontos jegyzet! Ha képletek helyett halandzsát lát, törölje a gyorsítótárat. Ehhez nyomja le a CTRL+F5 (Windows rendszeren) vagy a Cmd+R (Mac rendszeren) billentyűkombinációt.

ELSŐ SZINT

A hatványozás ugyanaz a matematikai művelet, mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent emberi nyelven fogok elmagyarázni, nagyon egyszerű példákon keresztül. Figyelj. A példák alapvetőek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindegyikben van két üveg kóla. Mennyi kóla? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanez a példa a kólával másképp is felírható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják a módját, hogyan tudják gyorsabban „megszámolni”. A mi esetünkben azt vették észre, hogy a nyolc embernek ugyanannyi üveg kólája van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Persze lehet mindent lassabban, keményebben és hibákkal is! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És egy másik, szebb:

És milyen trükkös számolási trükköket találtak még ki a lusta matematikusok? Helyesen - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek rá, hogy az ötödik hatvány kettő. És gondolatban oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Ehhez csak az kell ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványait tartalmazó táblázatban. Hidd el, sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják a másodfokút négyzet számok, és a harmadik kocka? Mit jelent? Magasan jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük egy négyzettel vagy egy szám második hatványával.

Képzeljen el egy négyzet alakú medencét, amelynek mérete méter méter. A medence a hátsó udvarban van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De ... egy medence fenék nélkül! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence aljának területét.

Egyszerűen az ujjával bökve megszámolhatja, hogy a medence alja méterről méterre kockákból áll. Ha a csempe méterről méterre, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen csempét? A csempe inkább cm-ről cm-re lesz, és akkor az „ujjal számolva” fog gyötörni. Akkor szorozni kell. Tehát a medencefenék egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét fogunk felhelyezni. Ha megszorozzuk, akkor csempéket kapunk ().

Észrevette, hogy ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával, hogy meghatározzuk a medence aljának területét? Mit jelent? Mivel ugyanazt a számot megszorozzuk, használhatjuk a hatványozási technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb és a számítások során is kevesebb a hiba. A vizsga szempontjából ez nagyon fontos).
Tehát harminc a második fokig lesz (). Vagy mondhatod, hogy harminc négyzet lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. példa az életből

Íme egy feladat, számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másik oldalán is. A számuk megszámlálásához meg kell szorozni a nyolcat nyolccal, vagy ... ha észreveszi, hogy a sakktábla egy olyan négyzet, amelynek oldala van, akkor nyolcat is írhat. Szerezzen sejteket. () Így?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként köbméterben mérik. Nem várt, ugye?) Rajzolj egy medencét: egy méter nagyságú és egy méter mély fenéket, és próbáld meg kiszámolni, hány méterről-méterre kerül a medencédbe.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy… huszonkettő, huszonhárom… Mennyi lett? Nem tévedt el? Nehéz az ujjával számolni? Szóval ez! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal ... Könnyebb, igaz?

Képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt túlságosan megkönnyítik. Mindent egyetlen műveletre redukált. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanazt a számot megszorozzák magával... És ez mit jelent? Ez azt jelenti, hogy használhatja a diplomát. Tehát, amit egykor ujjal megszámoltál, azt egy művelettel megcsinálják: egy kockában három egyenlő. Így van írva:

Csak marad jegyezze meg a foktáblázatot. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, folyamatosan számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzhessünk arról, hogy a diplomákat naplopók és ravasz emberek találták ki életproblémáik megoldására, nem pedig azért, hogy problémákat okozzanak neked, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden év elején minden milliója megduplázódik. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és "ujjal számolsz", akkor nagyon szorgalmas ember vagy és .. hülye. De valószínűleg pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kétszer kettő... a második évben - mi történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám egyszer megszorozódik önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy van versenyed, és aki gyorsabban számol, az megkapja ezeket a milliókat... Érdemes emlékezni a számok fokára, mit gondolsz?

Valós példa #5

Van egy milliód. Minden év elején minden millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű ugye? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy év alatt? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, aztán az eredmény egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatvány egy millió. Csak emlékezni kell arra, hogy a háromtól a negyedik hatványig vagy.

Most már tudod, hogy ha egy számot hatványra emelsz, sokkal könnyebb lesz az életed. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne tévedjünk össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Mit gondolsz, mi a kitevő? Nagyon egyszerű – ez az a szám, amely a szám hatványának „tetején” van. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen alapfokú végzettség? Még egyszerűbb az a szám, amely alul, az alján van.

Itt van egy kép, hogy biztosra menjen.

Nos, általánosságban, az általánosítás és a jobb emlékezés érdekében... A "" alappal és a "" jelzővel rendelkező diplomát a "fokozatban" olvassuk, és a következőképpen írjuk:

Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen, de mi van természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok, amelyeket a számolás során használnak az elemek felsorolásakor: egy, kettő, három ... Amikor tételeket számolunk, nem mondjuk azt, hogy „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad” vagy „nulla pont öt tized”. Ezek nem természetes számok. Szerinted mik ezek a számok?

Az olyan számok, mint a "mínusz öt", "mínusz hat", "mínusz hét" utalnak egész számok.Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes számokat (vagyis mínusz előjellel felvetve) és egy számot. A nullát könnyű megérteni – ilyenkor nincs semmi. És mit jelentenek a negatív ("mínusz") számok? De elsősorban az adósságok jelzésére találták ki: ha rubelben van egyenlege a telefonján, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális számok. Hogyan jöttek létre, mit gondolsz? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nincs elegendő természetes számuk a hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok… Érdekes, nem?

Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden, végtelen decimális. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Összegzés:

Határozzuk meg a fok fogalmát, melynek kitevője egy természetes szám (azaz egész és pozitív).

Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
Egy szám négyzetre emelése annyit tesz, mint önmagával szorozni:
Ha egy számot kockára szeretnénk vágni, akkor azt háromszor meg kell szorozni önmagával:

Meghatározás. Ha egy számot természetes hatványra emelünk, akkor a számot önmagával megszorozzuk:
.

Fokozat tulajdonságai

Honnan származtak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk, mi az és ?

A-prioritás:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: faktorokat adtunk a tényezőkhöz, és az eredmény faktorok.

De definíció szerint ez egy kitevős szám foka, vagyis: , amelyet bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Döntés:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Döntés: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban szükségszerűen ugyanaz az oka!
Ezért a fokokat kombináljuk az alappal, de különálló tényező marad:

csak erőtermékekre!

Semmi esetre sem szabad ilyet írni.

2. vagyis -egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat meghatározására:

Kiderül, hogy a kifejezést egyszer megszorozzuk önmagával, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Valójában ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelbe állításának". De ezt soha nem teheti meg összesen:

Idézzük fel a rövidített szorzás képleteit: hányszor akartuk leírni?

De ez tényleg nem igaz.

Fokozat negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

fokban természetes mutató az alap lehet bármilyen szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk végig, milyen jeleknek (" " vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív lesz? DE? ? Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorzunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Végül is emlékszünk egy egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz szor a mínusz pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor kiderül.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Az 5. példában minden nem olyan félelmetes, mint amilyennek látszik: nem számít, hogy mivel egyenlő az alap - a fok páros, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem ugyanaz, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

Ha nem figyelünk a nyolcadik fokra, mit látunk itt? Nézzük a 7. osztály programját. Szóval emlékszel? Ez a rövidített szorzási képlet, mégpedig a négyzetek különbsége! Kapunk:

Gondosan megnézzük a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések hibás sorrendje. Ha felcserélték őket, akkor a szabály érvényes lehet.

De hogyan kell ezt csinálni? Kiderül, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít nekünk.

A kifejezések varázslatosan helyet változtattak. Ez a "jelenség" minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket szabadon változtathatjuk.

De fontos emlékezni: minden jel egyszerre változik!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

egész megnevezzük a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a "" jellel felvetve) és a számot.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Most pedig nézzünk új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, most is feltesszük magunknak a kérdést: miért van ez így?

Vegye figyelembe az alap teljesítményét. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot, és ugyanazt kaptuk, mint volt -. Milyen számmal kell megszorozni, hogy semmi ne változzon? Így van, rá. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint minden nulla fokos számnak, egyenlőnek kell lennie. Tehát mi az igazság ebben? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most már nem csak oszthatjuk nullával, hanem emelhetjük is a nulla hatványra.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Hogy megértsük, mi a negatív fok, tegyük ugyanazt, mint legutóbb: valamilyen normál számot megszorozunk ugyanannak a negatív fokozatban:

Innen már könnyű kifejezni a kívántat:

Most kiterjesztjük a kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzuk meg a szabályt:

Egy szám negatív hatványhoz azonos szám pozitív hatványának fordítottja. De ugyanakkor az alap nem lehet null:(mert nem lehet osztani).

Összefoglaljuk:

I. A kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

II. A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel: .

III. Az a szám, amely nem egyenlő nullával egy negatív hatványhoz, azonos szám pozitív hatványának inverze: .

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák egy független megoldásra:

Feladatok elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de a vizsgán mindenre készen kell állni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásukat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan kezelheti ezeket könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most fontolja meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: mindaz, ami törtként ábrázolható, ahol és az egész számok, ráadásul.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok" Tekintsünk egy töredéket:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzen a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th fok gyöke a hatványozás fordított művelete: .

Kiderült, hogy. Nyilvánvalóan ez a speciális eset kiterjeszthető: .

Most add hozzá a számlálót: mi az? A választ könnyen megtalálhatja a teljesítmény-hatalom szabályával:

De lehet az alap bármilyen szám? Végül is a gyökér nem kinyerhető minden számból.

Egyik sem!

Ne feledje a szabályt: minden páros hatványra emelt szám pozitív szám. Vagyis a negatív számokból nem lehet páros fokú gyököket kivonni!

Ez pedig azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet páros nevezővel tört hatványra emelni, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

A szám más, redukált törtként is ábrázolható, például, ill.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, és ez csak két, azonos számú rekord.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor le tudod írni. De amint máshogy írjuk a mutatót, ismét bajba kerülünk: (vagyis teljesen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében fontolja meg csak pozitív alapkitevő töredékes kitevővel.

Tehát, ha:

- természetes szám;
egy egész szám;

Példák:

A racionális kitevővel rendelkező hatványok nagyon hasznosak a gyökökkel rendelkező kifejezések átalakításához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most - a legnehezebb. Most elemezzük fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoknál, kivéve

Valójában definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor természetes, egész és racionális mutatókkal tanulmányoztuk a fokozatokat, minden alkalommal kitaláltunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy ismertebb kifejezésekkel.

Például a természetes kitevő egy önmagával többszörös szorzat;

...nulla teljesítmény- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „előkészítés egy szám”, nevezetesen egy szám;

...negatív egész kitevő- mintha egy bizonyos „fordított folyamat” ment volna végbe, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

A tudomány egyébként sokszor összetett kitevős fokot használ, vagyis a kitevő nem is valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetősége megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY MENNI fog! (ha megtanulod az ilyen példák megoldását :))

Például:

Döntsd el magad:

A megoldások elemzése:

1. Kezdjük a fokozatba emelés már megszokott szabályával:

Most nézd meg a pontszámot. Emlékeztet valamire? Emlékezzünk a négyzetek különbségének rövidített szorzásának képletére:

Ebben az esetben,

Kiderült, hogy:

Válasz: .

2. A törteket k kitevőjében adjuk meg ugyanaz a fajta: Vagy mindkét tizedesjegy, vagy mindkettő normál. Kapunk például:

Válasz: 16

3. Semmi különös, a fokozatok szokásos tulajdonságait alkalmazzuk:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

— végzettség alapja;
- kitevő.

Fok természetes kitevővel (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Hatvány egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

erekció nulla teljesítményre:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokig ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az egész szám negatív szám:

(mert nem lehet osztani).

Még egyszer a nullokról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

Példák:

Fokozat racionális kitevővel

- természetes szám;
egy egész szám;

Példák:

Fokozat tulajdonságai

A problémamegoldás megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

A-prioritás:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Döntés : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Döntés : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban szükségszerűen ugyanazon az alapon kell lennie. Ezért a fokokat kombináljuk az alappal, de különálló tényező marad:

Még egy fontos jegyzet: ez a szabály - csak az erők termékeinél!

Semmi esetre sem szabad ilyet írnom.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat meghatározására:

Rendezzük át így:

Kiderül, hogy a kifejezést egyszer megszorozzuk önmagával, vagyis a definíció szerint ez a szám -edik hatványa:

Valójában ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelbe állításának". De ezt soha nem teheti meg összesen:!

Idézzük fel a rövidített szorzás képleteit: hányszor akartuk leírni? De ez tényleg nem igaz.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen indikátor fokozat. De mi legyen az alap? fokban természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk végig, milyen jeleknek (" " vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív lesz? DE? ?

Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorzunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Végül is emlékszünk egy egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz szor a mínusz pluszt ad." Vagyis, ill. De ha (-vel) megszorozzuk, - kapjuk.

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. Lehet ilyeneket megfogalmazni egyszerű szabályok:

még fokozat, - szám pozitív.
A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
Egy pozitív szám bármely hatványhoz pozitív szám.
Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5. példában minden nem olyan félelmetes, mint amilyennek látszik: nem számít, hogy mivel egyenlő az alap - a fok páros, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem ugyanaz, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszel, világossá válik, ami azt jelenti, hogy az alap kisebb, mint nulla. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és felosztjuk őket egymásra, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt az utolsó szabályt elemeznénk, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezések értékét:

Megoldások :

Ha nem figyelünk a nyolcadik fokra, mit látunk itt? Nézzük a 7. osztály programját. Szóval emlékszel? Ez a rövidített szorzási képlet, mégpedig a négyzetek különbsége!

Kapunk:

Gondosan megnézzük a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések hibás sorrendje. Ha megfordítanák, a 3. szabályt lehetne alkalmazni. De hogyan kell ezt megtenni? Kiderül, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít nekünk.

Ha megszorozod, semmi sem változik, igaz? De most így néz ki:

A kifejezések varázslatosan helyet változtattak. Ez a "jelenség" minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket szabadon változtathatjuk. De fontos emlékezni: minden jel egyszerre változik! Nem helyettesíthető azzal, hogy csak egy számunkra kifogásolható mínuszt változtatunk meg!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki a diploma fogalmát és egyszerűsítsük:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány levél lesz? alkalommal szorzókkal – hogyan néz ki? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: összesen kiderült, hogy szorzók vannak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokozataira vonatkozó információk mellett a fokozatot egy irracionális mutatóval elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor természetes, egész és racionális mutatókkal tanulmányoztuk a fokozatokat, minden alkalommal kitaláltunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy ismertebb kifejezésekkel. Például a természetes kitevő egy önmagával többszörös szorzat; egy nullafokú szám mintegy önmagával egyszer szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „szám előkészítése”, nevezetesen egy szám; egy fok egész szám negatív jelzővel - olyan, mintha egy bizonyos „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Inkább egy tisztán matematikai objektumról van szó, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjesszék.

A tudomány egyébként sokszor összetett kitevős fokot használ, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetősége megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk mindent megtenni, hogy megszabaduljunk tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

Válaszok:

Emlékezzen a négyzetek különbségére. Válasz: .
A törteket ugyanabba a formába hozzuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségest. Kapjuk például: .
Semmi különös, a fokozatok szokásos tulajdonságait alkalmazzuk:

SZAKASZ ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLET

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Fokozat racionális kitevővel

fok, melynek mutatója a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

kitevő, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

Fokozat tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
Egy pozitív szám bármely hatványhoz pozitív szám.
A nulla bármely hatványnak felel meg.
A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST VAN EGY SZAVAD...

Hogy tetszik a cikk? Az alábbi megjegyzésekben tudassa velem, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk az erőtulajdonságokkal kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!