Цели на урока:

• Представете концепцията за успоредни равнини.
• Разгледайте и докажете теореми, изразяващи знака за успоредност на равнините и свойствата на успоредните равнини.
• Следвайте прилагането на тези теореми при решаването на задачи.

План на урока (запишете на дъската):

I. Подготвителна устна работа.

II. Изучаване на нов материал:

1. Взаимно подреждане на две равнини в пространството.
2. Дефиниция на успоредни равнини.
3. Знак на успоредни равнини.
4. Свойство на успоредните равнини.

III. Резюме на урока.

IV. Домашна работа.

ПО ВРЕМЕ НА УРОКИТЕ

I. Устна работа

Бих искал да започна урока с цитат от философското писмо на Чаадаев:

„Откъде идва тази чудотворна сила на анализа в математиката? Факт е, че умът тук действа в пълно подчинение на това правило.

Ще разгледаме това подчинение на правилото в следващата задача. За да усвоите нов материал, е необходимо да повторите някои въпроси. За да направите това, трябва да установите твърдение, което следва от тези твърдения, и да обосновете отговора си:

II. Изучаване на нов материал

1. Как могат да бъдат разположени два самолета в пространството? Какъв е наборът от точки, принадлежащи на двете равнини?

Отговор:

а) съвпадат (тогава ще се занимаваме с една равнина, неудовлетворени);
б) се пресичат, ;
в) не се пресичат (въобще няма общи точки).

2. определение: Ако две равнини не се пресичат, тогава те се наричат ​​успоредни.

3. Обозначаване:

4. Дайте примери за успоредни равнини от околната среда

5. Как да разберем дали две равнини в пространството са успоредни?

Отговор:

Можете да използвате определението, но това не е практично, т.к не винаги е възможно да се установи пресечната точка на равнините. Следователно е необходимо да се вземе предвид условие, достатъчно, за да се потвърди успоредността на равнините.

6. Помислете за ситуации:

б) ако ?

в) ако ?

Защо в а) и б) отговорът е: "не винаги", но в) "да"? (Пресичащите се линии дефинират равнина по уникален начин, което означава, че са еднозначно дефинирани!)

Ситуация 3 е признак на паралелизъм на две равнини.

7. теорема: Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две прави от друга равнина, тогава тези равнини са успоредни.

дадено:

Докажи:

доказателство:

(Нотациите върху чертежа се прилагат от учениците).

1. Забележка: . По същия начин:
2. Нека: .
3. Имаме: По същия начин:
4. Получаваме: противоречие с аксиомата на планиметрията минава през М.
5. Значи: грешно, после ч. и т.н.

8. Решете № 51 (Учениците прилагат обозначения към чертежа).

дадено:

Докажи:

доказателство:

1 начин

1. Да строим

2 начин

Въведете чрез .

9. Помислете за две свойства на успоредните равнини:

теорема: Ако две успоредни равнини се пресичат с трета, тогава линиите на тяхното пресичане са успоредни.

(Учениците сами попълват и отбелязват рисунката).

дадено:

Две равнини в пространството могат да бъдат успоредни или да се пресичат, както е показано в следващата таблица.

Две пресичащи се равнини

определение: Двете равнини се наричат пресичащи се, ако те не съвпадат, и те имат има общи точки. Когато две равнини се пресичат, пресичанетези самолети е права линия.

Две успоредни равнини

определение: Две равнини се наричат ​​успоредни, ако са нямат общи точки.

Признаци на успоредност на две равнини

Първият признак на успоредност на две равнини. Ако две пресичащи се линиипресичащи се линии, лежащи в една и съща равнина, респ са успоредниса успореднидве прави, лежащи в друга равнина, тогава тези равнини са успоредни.

Доказателство . Помислете за фигура 1, която показва равнините α и β

Правите a и b лежат в равнината α и се пресичат в точка K . Правите c и d лежат в равнината β и са успоредни съответно на правите a и b.

Ще докажем първия признак на успоредност на две равнини по метода на "противоречието". За да направим това, приемаме, че равнините α и β не са успоредни. Следователно равнините α и β трябва да се пресичат и да се пресичат по някаква права линия. Правата линия, по която се пресичат равнините α и β, означаваме с буквата l (фиг. 2) и използваме знака за успоредност на правата и равнината.

Равнината α минава през правата a, успоредна на правата c и пресича равнината β по правата l. Следователно, поради , Ние заключаваме, че линиите a и l са успоредни. В същото време равнината α минава през правата b, успоредна на правата d и пресича равнината β по правата l. Оттук, по силата на атрибута на успоредност на правата и равнината, заключаваме, че правите b и l са успоредни. Така получихме, че две прави минават през точка K на равнината α, а именно правите a и b , които са успоредни на правата l. Полученото противоречие с аксиома на успоредните правидава възможност да се твърди, че предположението, че равнините α и β се пресичат, е неправилно. Доказателството на първия критерий за успоредност на две равнини е завършено.

Вторият признак на успоредност на две равнини. Ако две пресичащи се прави, лежащи в една равнина, са успоредни на друга равнина, тогава тези равнини са успоредни.

Доказателство . Помислете за фигура 3, която показва равнините α и β.

На тази фигура са показани и правите a и b, които лежат в равнината α и се пресичат в точка K. По предположение всяка от правите a и b е успоредна на равнината β. Необходимо е да се докаже, че равнините α и β са успоредни.

Доказателството на това твърдение е аналогично на доказателството на първия критерий за успоредност на две равнини и го оставяме на читателя като полезно упражнение.

На нашия сайт можете да се запознаете и с образователните материали, разработени от преподавателите на учебен център Резолвента за подготовка за изпита по математика.

индивидуални уроци с преподаватели по математика и руски език

Паралелизмът на равнините е концепция, която се появява за първи път в евклидовата геометрия преди повече от две хиляди години.

Основни характеристики на класическата геометрия

Раждането на тази научна дисциплина се свързва с прочутата работа на древногръцкия мислител Евклид, който написва брошурата „Начата“ през ІІІ век пр.н.е. Разделени на тринадесет книги, Елементите бяха най-високо постижениев цялата древна математика и излага фундаментални постулати, свързани със свойствата на плоските фигури.

Класическото условие за паралелизъм за равнините е формулирано по следния начин: две равнини могат да се нарекат успоредни, ако нямат общи точки една с друга. Това беше петият постулат на евклидовия труд.

Свойства на успоредните равнини

В евклидовата геометрия има, като правило, пет от тях:

• Имот едно(описва паралелизма на равнините и тяхната уникалност). През една точка, която лежи извън определена дадена равнина, можем да начертаем една и само една равнина, успоредна на нея

• Имот три(с други думи, това се нарича свойство на права линия, пресичаща успоредността на равнините). Ако една права линия пресича една от тези успоредни равнини, тогава тя ще пресича и другата.

• Имот четири(свойство на прави линии, изрязани на равнини, успоредни една на друга). Когато две успоредни равнини се пресичат с трета (под произволен ъгъл), линиите на тяхното пресичане също са успоредни

• Имот пето(свойство, което описва сегменти от различни успоредни прави, които са затворени между равнини, успоредни една на друга). Сегментите на тези успоредни прави, които са затворени между две успоредни равнини, задължително са равни.

Паралелизъм на равнини в неевклидови геометрии

Такива подходи са по-специално геометрията на Лобачевски и Риман. Ако геометрията на Евклид е реализирана върху плоски пространства, то геометрията на Лобачевски е реализирана в отрицателно извити пространства (просто извити), а в тази на Риман намира своята реализация в положително извити пространства (с други думи, сфери). Има много разпространено стереотипно мнение, че при Лобачевски успоредните равнини (и правите също) се пресичат.

Това обаче не е вярно. Всъщност раждането на хиперболичната геометрия беше свързано с доказателството на петия постулат на Евклид и промяната във възгледите за него, но самото определение на успоредните равнини и прави предполага, че те не могат да се пресичат нито в Лобачевски, нито в Риман, независимо в какви пространства те се реализират. И промяната във възгледите и формулировките беше следната. Постулатът, че само една успоредна равнина може да бъде проведена през точка, която не лежи в дадена равнина, е заменен с друга формулировка: през точка, която не лежи в дадена конкретна равнина, две, най-малко, прави, които лежат в същата равнина като дадената и не я пресичат.

Видео курсът "Вземете A" включва всички теми, необходими за успешно полагане на изпита по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 профилен изпитматематика. Подходяща и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). А това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито един стоточков ученик, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, капани и ИЗПОЛЗВАЙТЕ тайните. Анализирани са всички релевантни задачи от част 1 от задачите на Bank of FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми, всяка по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови проблеми и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни мами, развитие на пространствено въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на сложни задачи от 2-ра част на изпита.