/

Анализ на времеви редове и прогнозиране в Excel с помощта на пример. Методи за анализ на времеви редове Методи за анализ на времеви редове

16.02.15 Виктор Гаврилов

44859 0

Времевият ред е поредица от стойности, които се променят във времето. Ще се опитам да говоря за някои прости, но ефективни подходи за работа с такива последователности в тази статия. Има много примери за такива данни - валутни котировки, обеми на продажби, клиентски заявки, данни в различни приложни науки (социология, метеорология, геология, наблюдения във физиката) и много други.

Сериите са често срещана и важна форма за описание на данни, тъй като ни позволяват да наблюдаваме цялата история на промените в стойността, която ни интересува. Това ни дава възможност да преценим "типичното" поведение на дадено количество и отклоненията от това поведение.

Бях изправен пред задачата да избера набор от данни, върху който да е възможно ясно да демонстрирам характеристиките на времевите редове. Реших да използвам статистика за международния пътнически трафик на авиокомпаниите, защото този набор от данни е много ясен и се превърна в нещо като стандарт (http://robjhyndman.com/tsdldata/data/airpass.dat, източник Time Series Data Library, R. J. Hyndman). Поредицата описва броя на международните пътници на месец (в хиляди) за периода 1949-1960 г.

Тъй като винаги имам под ръка, който има интересен инструмент "" за работа с редове, ще го използвам. Преди да импортирате данни във файл, трябва да добавите колона с дата, така че стойностите да са обвързани с времето, и колона с името на серията за всяко наблюдение. По-долу можете да видите как изглежда моят изходен файл, който импортирах в Prognoz Platform с помощта на съветника за импортиране директно от инструмента за анализ на времеви редове.

Първото нещо, което обикновено правим с времеви редове, е да ги начертаем на графика. Prognoz Platform ви позволява да изградите диаграма, като просто плъзнете серия в работната книга.

Времеви редове на графика

Символът „М“ в края на името на серията означава, че серията има месечна динамика (интервалът между наблюденията е един месец).

Вече от графиката виждаме, че серията демонстрира две характеристики:

  • тенденция– на нашата диаграма това е дългосрочно увеличение на наблюдаваните стойности. Вижда се, че трендът е почти линеен.
  • сезонност– на графиката това са периодични колебания в стойността. В следващата статия по темата за времевите редове ще научим как можем да изчислим периода.

Нашата серия е доста „чиста“, но често има серии, които в допълнение към двете характеристики, описани по-горе, демонстрират още една - наличието на „шум“, т.е. случайни вариации в една или друга форма. Пример за такава серия може да се види в графиката по-долу. Това е синусоида, смесена със случайна променлива.

Когато анализираме серии, ние се интересуваме от идентифициране на тяхната структура и оценка на всички основни компоненти - тренд, сезонност, шум и други характеристики, както и възможността да правим прогнози за промени в стойността в бъдещи периоди.

При работа със сериали наличието на шум често затруднява анализирането на структурата на сериала. За да премахнете влиянието му и да видите по-добре структурата на серията, можете да използвате методите за изглаждане на серията.

Най-простият метод за изглаждане на серии е пълзяща средна. Идеята е, че за произволен нечетен брой точки в серийната последователност, заменете централната точка със средното аритметично на останалите точки:

Където x i– начален ред, s i– изгладени серии.

По-долу можете да видите резултата от прилагането на този алгоритъм към нашите две серии. По подразбиране Prognoz Platform предлага използването на антиалиасинг с размер на прозореца от 5 точки ( кв нашата формула по-горе ще бъде равно на 2). Моля, обърнете внимание, че изгладеният сигнал вече не е толкова засегнат от шума, но заедно с шума, естествено, изчезва и полезна информация за динамиката на сериала. Също така е ясно, че в изгладената серия липсва първият (а също и последният) кточки. Това се дължи на факта, че изглаждането се извършва в централната точка на прозореца (в нашия случай третата точка), след което прозорецът се измества с една точка и изчисленията се повтарят. За втората произволна серия използвах изглаждане с прозорец от 30, за да идентифицирам по-добре структурата на серията, тъй като серията е „високочестотна“ с много точки.

Методът на пълзящата средна има определени недостатъци:

  • Пълзящата средна е неефективна за изчисляване. За всяка точка средната стойност трябва да се преизчисли наново. Не можем да използваме повторно резултата, изчислен за предишна точка.
  • Пълзящата средна не може да бъде разширена до първата и последната точка от серията. Това може да създаде проблем, ако това са точките, които ни интересуват.
  • Пълзящата средна не е дефинирана извън серията и в резултат на това не може да се използва за прогнозиране.

Експоненциално изглаждане

По-усъвършенстван метод на изглаждане, който също може да се използва за прогнозиране, е експоненциалното изглаждане, понякога наричан метод на Холт-Уинтърс на името на неговите създатели.

Има няколко разновидности на този метод:

  • единично изглаждане за серии, които нямат тенденция или сезонност;
  • двойно изглаждане за серии, които имат тенденция, но нямат сезонност;
  • тройно изглаждане за серии, които имат както тенденция, така и сезонност.

Методът на експоненциално изглаждане изчислява стойностите на изгладена серия чрез актуализиране на стойностите, изчислени в предишната стъпка, като използва информация от текущата стъпка. Информацията от предишните и текущите стъпки се взема с различни тегла, които могат да се контролират.

В най-простата версия на единично изглаждане съотношението е:

Параметър α дефинира връзката между неизгладената стойност на текущата стъпка и изгладената стойност от предишната стъпка. При α =1 ще вземем само точките от оригиналната серия, т.е. няма да има изглаждане. При α =0 ред ще вземем само изгладени стойности от предишните стъпки, т.е. сериалът ще стане константа.

За да разберем защо изглаждането се нарича експоненциално, трябва да разширим връзката рекурсивно:

От връзката е ясно, че всички предишни стойности на серията допринасят за текущата изгладена стойност, но техният принос избледнява експоненциално поради увеличаване на степента на параметъра α .

Въпреки това, ако има тенденция в данните, простото изглаждане ще „изостане“ зад нея (или ще трябва да вземете стойностите α близо до 1, но тогава изглаждането ще бъде недостатъчно). Трябва да използвате двойно експоненциално изглаждане.

Двойното изглаждане вече използва две уравнения - едното уравнение оценява тенденцията като разлика между текущите и предишните изгладени стойности, след което изглажда тенденцията с просто изглаждане. Второто уравнение извършва изглаждане както в простия случай, но вторият член използва сумата от предишната изгладена стойност и тенденцията.

Тройното изглаждане включва още един компонент – сезонността, и използва друго уравнение. В този случай има два варианта на сезонния компонент - адитивен и мултипликативен. В първия случай амплитудата на сезонния компонент е постоянна и не зависи във времето от базовата амплитуда на серията. Във втория случай амплитудата се променя заедно с промяната на основната амплитуда на серията. Това е точно нашият случай, както се вижда от графиката. С нарастването на серията амплитудата на сезонните колебания се увеличава.

Тъй като нашият първи ред има както тенденция, така и сезонност, реших да избера тройни параметри за изглаждане за него. В Prognoz Platform това е доста лесно да се направи, защото когато стойността на параметъра се актуализира, платформата незабавно преначертава графиката на изгладената серия и визуално веднага можете да видите колко добре описва нашата оригинална серия. Спрях се на следните стойности:

Ще разгледаме как изчислих периода в следващата статия за времеви редове.

Обикновено стойности между 0,2 и 0,4 могат да се считат за първи приближения. Prognoz Platform също използва модел с допълнителен параметър ɸ , което намалява тенденцията, така че да се доближи до константа в бъдеще. За ɸ Взех стойност 1, която отговаря на нормалния модел.

Също така направих прогноза за серийните стойности, използвайки този метод за последните 2 години. На фигурата по-долу маркирах началната точка на прогнозата, като начертах линия през нея. Както можете да видите, оригиналната серия и изгладената серия съвпадат доста добре, включително през периода на прогнозиране - не е лошо за такъв прост метод!

Prognoz Platform също ви позволява автоматично да избирате оптимални стойности на параметрите, като използвате систематично търсене в пространството на стойностите на параметрите и минимизиране на сумата от квадратните отклонения на изгладената серия от оригиналната.

Описаните методи са много прости, лесни за прилагане и осигуряват добра отправна точка за анализ на структурата и прогнозиране на времеви редове.

Прочетете повече за времевите редове в следващата статия.

В статистиката, обработката на сигнали и много други области под времеви редовесе отнася до данни, измерени последователно на определени (често равни) интервали от време. Анализ на времеви редовекомбинира методи за изучаване на времеви редове, като едновременно се опитва да разбере естеството на точките от данни (откъде са дошли? Какво ги е генерирало?) и се опитва да изгради прогноза. Прогнозиране на времеви редовее да се изгради модел за прогнозиране на бъдещи събития въз основа на известни минали събития, прогнозиране на бъдещи данни, преди да бъдат измерени. Типичен пример е прогнозирането на цената на отваряне на борса въз основа на нейната предишна дейност.

Концепция анализ на времеви редовесе използва за разграничаване на тази задача от, първо, по-прости проблеми на анализ на данни (където няма естествен ред на пристигане на наблюдения) и, второ, от анализ на пространствени данни, при който наблюденията често се свързват с географско местоположение. Моделът на времевите редове като цяло отразява идеята, че наблюдения, които са близки във времето, ще бъдат по-тясно свързани от тези, които са отдалечени. В допълнение, моделите на времевите серии често използват еднопосочен времеви ред в смисъл, че стойностите в серията са изразени по някакъв начин по отношение на минали стойности, а не последващи (вижте обратимостта на времето).

Методите за анализ на времеви редове често се разделят на два класа: анализ на честотна област и анализ на времева област. Първият се основава на спектрален анализ и, по-скоро, вълнов анализ и може да се счита за методи за анализ без модели, които са много подходящи за проучвания на етапа на проучване. Методите за анализ на времевата област също имат подмножество без модели, състоящо се от кръстосано-корелационен анализ и автокорелационен анализ, но тук влизат в действие частично и напълно определени модели на времеви редове.

Анализ на времеви редове

Има няколко техники за анализ на данни, приложими за времеви редове.

Общи изследвания

  • Визуално изследване на графични представяния на времеви редове
  • Автокорелационен анализ за изследване на зависимости
  • Спектрален анализ за изследване на несезонно циклично поведение

Описание

  • Разделяне на компонентите: тенденция, сезонност, бавно и бързо променящи се компоненти, циклични нередности
  • Най-простите свойства на частните дистрибуции

Прогнозиране и прогнозиране

  • Пълни статистически модели в стохастичното моделиране за създаване на алтернативни версии на времеви редове, показващи какво може да се случи на произволни интервали от време в бъдеще (прогноза)
  • Опростени или пълноценни статистически модели за описание на вероятните стойности на времеви редове в близко бъдеще, като се имат предвид последните известни стойности (прогноза)

Модели на времеви редове

Както е показано от Бокс и Дженкинс, моделите на времеви редове могат да приемат различни форми и да представят различни стохастични процеси. При промени в нивото на моделиране на процеса могат да се разграничат три широки класа от практическа стойност: авторегресивни модели, интегрални моделии модели пълзяща средна. Тези три класа зависят линейно от предишните данни. Въз основа на тях бяха построени модели на авторегресивна подвижна средна (ARMA) и авторегресивна интегрирана подвижна средна (ARIMA). Тези модели, от своя страна, се обобщават от авторегресивния модел на частично интегрирана подвижна средна (ARFIMA). Разширенията на моделите за случаите, когато данните са представени не скаларно, а векторно, се наричат ​​многовариантни модели на времеви редове. За такива модели буквата „v“ от думата „вектор“ се появява в съкратените имена. Съществуват разширения на модели за случая, когато изследваният времеви ред е подчинен на някаква „форсираща” серия (която обаче може да не е причината за възникването на изследваната серия). Разликата от многовариантната серия е, че принудителната серия може да бъде детерминистична или контролирана от изследователя, провеждащ експеримента. За такива модели буквата "x" се появява в съкращението за "exogenous" (екзогенен, причинен от външни причини).

Интересна е нелинейната зависимост на нивото на серията от предходните точки, отчасти поради възможността за генериране на хаотични времеви редове. Но основното е, че експерименталните изследвания показват превъзходството на прогнозите, получени от нелинейни модели, над прогнозите на линейните модели.

Сред другите типове модели на нелинейни времеви редове могат да се разграничат модели, които описват промени в дисперсията на серията във времето (хетероскедатичност). Такива модели се наричат ​​модели на авторегресивна условна хетероскедастичност (ARCH). Те включват голям брой модели: GARCH, TARCH, EGARCH, FIGARCH, CGARCH и др. В тези модели промените в дисперсията са свързани с най-близките предишни данни. Противовес на този подход е представянето на локално варираща дисперсия, при която дисперсията може да се моделира като зависима от единичен променлив във времето процес, както при бистохастичните модели.

Наскоро изследванията в областта на безмоделния анализ и методите, базирани на вълнови трансформации (например локално стационарни вълнови вълни), по-специално, получиха значително внимание. Методите за многомащабен анализ разлагат даден времеви ред на неговите съставни части, за да покажат времевата зависимост в различни мащаби.

Наименования

Има голям брой опции за отбелязване на времеви редове. Един от типичните е , означаващ редица с естествени индекси. Друго стандартно представяне:

Предположения

Има две групи предположения, при които са изградени повечето теории:

  • Стационарност на процеса
  • Ергодичност

Идеята за стационарност се тълкува в широк смисъл, обхващащ две основни идеи: строга стационарност и стационарност от втори ред (стационарност в широк смисъл). Въз основа на тези предложения могат да бъдат изградени както модели, така и приложения, въпреки че по-късно моделите могат да се считат за частично уточнени.

Анализ на времевите редове може да се извърши, когато редовете са сезонно стационарни или нестационарни.

Модели

,

къде е източникът на произволност, бял шум. Белият шум има следните свойства.

Целта на анализа на времевите редове обикновено е да се изгради математически модел на реда, с помощта на който да се обясни поведението му и да се направи прогноза за определен период от време. Анализът на времевите редове включва следните основни стъпки.

Анализът на динамичен ред обикновено започва с изграждането и изследването на неговата графика.

Ако нестационарният характер на времевата поредица е очевиден, тогава първата стъпка е да се изолира и премахне нестационарният компонент на поредицата. Процесът на премахване на тенденция и други компоненти на серия, които водят до нарушаване на стационарността, може да се извърши на няколко етапа. Всеки от тях изследва серия от остатъци, получени чрез изваждане на избран тренд модел от оригиналната серия, или резултат от разликата и други трансформации на серията. В допълнение към графики, признаците на нестационарност на времеви редове могат да бъдат посочени чрез автокорелационна функция, която не клони към нула (с изключение на много големи стойности на закъснение).

Избор на модел за динамичен ред.След като първоначалният процес е възможно най-близо до стационарен, можете да започнете да избирате различни модели на получения процес. Целта на този етап е да се опише и вземе предвид при по-нататъшен анализ корелационната структура на разглеждания процес. В практиката най-често се използват параметрични авторегресивни модели на подвижна средна (ARIMA модели).

Един модел може да се счита за монтиран, ако остатъчният компонент на серията е процес от типа "бял шум", когато остатъците са разпределени по нормален закон със средна стойност на извадката, равна на 0. След монтиране на модел обикновено се извършва следното :

    оценка на дисперсията на остатъците, която по-късно може да се използва за конструиране на доверителни интервали за прогнозата;

    анализ на остатъците за проверка на адекватността на модела.

Прогнозиране и интерполация. Последният етап от анализа на времевия ред може да бъде прогнозиране на неговото бъдеще (екстраполация) или възстановяване на липсващи (интерполация) стойности и посочване на точността на тази прогноза въз основа на избрания модел. Не винаги е възможно да се избере добър математически модел за времева серия. Неяснота при избора на модел може да се наблюдава както на етапа на изолиране на детерминистичния компонент на серия, така и при избора на структурата на серия от остатъци. Ето защо изследователите доста често прибягват до метода на няколко прогнози, направени с помощта на различни модели.

Методи за анализ.Следните методи обикновено се използват при анализ на времеви редове:

    графични методи за представяне на времеви редове и придружаващите ги числени характеристики;

    методи за свеждане до стационарни процеси: премахване на тренда, модели на подвижна средна и авторегресия;

    методи за изследване на вътрешните връзки между елементите на динамичните редове.

3.5. Графични методи за анализ на времеви редове

Защо са необходими графични методи?При извадкови изследвания най-простите числени характеристики на описателната статистика (средна стойност, медиана, дисперсия, стандартно отклонение) обикновено предоставят доста информативна картина на извадката. Графичните методи за представяне и анализ на проби играят само спомагателна роля, позволявайки по-добро разбиране на локализацията и концентрацията на данни, закона за тяхното разпределение.

Ролята на графичните методи при анализа на времеви редове е съвсем различна. Факт е, че табличното представяне на времевия ред и описателната статистика най-често не позволяват да се разбере естеството на процеса, докато от графиката на времевия ред могат да се направят доста изводи. В бъдеще те могат да бъдат проверени и прецизирани с помощта на изчисления.

Когато анализирате графиките, можете доста уверено да определите:

    наличие на тенденция и нейния характер;

    наличието на сезонни и циклични компоненти;

    степента на гладкост или прекъсване на промените в последователните стойности на серия след елиминиране на тенденцията. По този показател може да се съди за характера и големината на корелацията между съседни елементи на серията.

Построяване и изследване на графика.Изчертаването на графика на времеви редове изобщо не е толкова проста задача, колкото изглежда на пръв поглед. Съвременното ниво на анализ на времеви редове включва използването на една или друга компютърна програма за изграждане на техните графики и всички последващи анализи. Повечето статистически пакети и електронни таблици са оборудвани с някакъв метод за настройка на оптималното представяне на времеви редове, но дори когато се използват, могат да възникнат различни проблеми, например:

    поради ограничената разделителна способност на компютърните екрани, размерът на показаните графики също може да бъде ограничен;

    при големи обеми от анализирани серии точките на екрана, представляващи наблюдения на времевите серии, може да се превърнат в плътна черна ивица.

Използват се различни методи за борба с тези трудности. Наличието на режим „лупа“ или „увеличение“ в графичната процедура ви позволява да изобразите по-голяма избрана част от серията, но в този случай става трудно да се прецени естеството на поведението на серията в целия анализиран интервал. Трябва да разпечатате графики за отделни части от серията и да ги обедините, за да видите картината на поведението на серията като цяло. Понякога се използва за подобряване на възпроизвеждането на дълги редове изтъняване,тоест избиране и показване на всеки втори, пети, десети и т.н. на графиката. точки от времеви редове. Тази процедура поддържа холистичен поглед върху серията и е полезна за откриване на тенденции. На практика е полезна комбинация от двете процедури: разделяне на серията на части и изтъняване, тъй като те позволяват да се определят характеристиките на поведението на времевата серия.

Друг проблем при възпроизвеждане на графики е създаден от емисии– наблюдения, които са няколко пъти по-големи по величина от повечето други стойности в серията. Тяхното присъствие също води до неразличимост на колебанията във времевите редове, тъй като програмата автоматично избира мащаба на изображението, така че всички наблюдения да пасват на екрана. Избирането на различен мащаб на оста y елиминира този проблем, но рязко различни наблюдения остават извън екрана.

Спомагателна графика.Когато се анализират динамичните редове, често се използват помощни графики за числените характеристики на редовете:

    графика на примерна автокорелационна функция (корелограма) с доверителна зона (тръба) за нулева автокорелационна функция;

    диаграма на примерната частична автокорелационна функция с доверителна зона за нулева частична автокорелационна функция;

    периодограма графика.

Първите две от тези графики позволяват да се прецени връзката (зависимостта) на съседните стойности на времето rad; те се използват при избора на параметрични модели на авторегресия и подвижна средна. Графиката на периодограмата позволява да се прецени наличието на хармонични компоненти във времевата серия.

Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу

Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.

Публикувано на http://www.allbest.ru/

Федерална агенция за образование

Волгоградски държавен технически университет

КОНТРОЛРАБОТА

по дисциплина: ММодели и методи в икономиката

по темата „Анализ на времеви редове“

Изпълнено от: студент от група EZB 291c Селиванова O.V.

Волгоград 2010г

Въведение

Класификация на времеви редове

Методи за анализ на времеви редове

Заключение

Литература

Въведение

Изследването на динамиката на социално-икономическите явления, идентифицирането и характеризирането на основните тенденции на развитие и моделите на взаимовръзки осигуряват основата за прогнозиране, тоест определяне на бъдещите измерения на икономическия феномен.

Въпросите на прогнозирането стават особено актуални в контекста на прехода към международни системи и методи за отчитане и анализ на социално-икономическите явления.

Статистическите методи заемат важно място в счетоводната система. Прилагането и използването на прогнозирането предполага, че моделът на развитие, който действа в миналото, остава същият в прогнозираното бъдеще.

По този начин изучаването на методите за анализ на качеството на прогнозите е много актуално днес. Именно тази тема е избрана за обект на изследване в тази работа.

Времевата серия е подредена във времето поредица от стойности на произволна променлива. Всяка отделна стойност на тази променлива се нарича брой на времевия ред. По този начин времевият ред се различава значително от обикновената извадка от данни.

Класификация на времеви редове

Времевите редове се класифицират според следните критерии.

1. Според формата на представяне на нивата:

Ш серия от абсолютни показатели;

Ш относителни показатели;

S средни размери.

2. По естеството на времевия параметър:

Ш моментално. В моментните времеви редове нивата характеризират стойностите на индикатора към определени точки във времето. В интервалните серии нивата характеризират стойността на индикатора за определени периоди от време.

Ш интервален времеви ред. Важна характеристика на интервалните времеви редове от абсолютни стойности е възможността за сумиране на техните нива.

3. По разстояние между дати и времеви интервали:

Ш пълен (на равни интервали) - когато датите на регистрация или край на периоди следват една след друга на равни интервали.

Ш непълни (неравноотдалечени) - когато не е спазен принципът на равни интервали.

4. В зависимост от наличието на основната тенденция:

Ш стационарна серия - в която средната стойност и дисперсията са постоянни.

Ш нестационарни - съдържащи основната тенденция на развитие.

Методи за анализ на времеви редове

Времевите редове се изучават за различни цели. В една поредица от случаи може да е достатъчно да се получи описание на характерните характеристики на поредицата, докато в друга поредица от случаи е необходимо не само да се предвидят бъдещите стойности на времевата поредица, но и да се контролира нейната поведение. Методът за анализ на времеви редове се определя, от една страна, от целите на анализа, а от друга страна, от вероятностния характер на формирането на неговите стойности.

Методи за анализ на времеви редове.

1. Спектрален анализ. Позволява ви да намерите периодични компоненти на времева серия.

2. Корелационен анализ. Позволява ви да намерите значителни периодични зависимости и съответните закъснения (лагове) както в рамките на една серия (автокорелация), така и между няколко серии. (кръстосана корелация)

3. Сезонен модел на Box-Jenkins. Използва се, когато динамичният ред съдържа ясно изразен линеен тренд и сезонни компоненти. Позволява ви да предвидите бъдещи стойности на серия. Моделът е предложен във връзка с анализа на въздушния транспорт.

4. Прогноза с помощта на експоненциално претеглена пълзяща средна. Най-простият модел за прогнозиране на времеви редове. Приложимо в много случаи. Това включва модел на ценообразуване, базиран на случайни разходки.

Мишена спектрален анализ- разлагат сериите на функции на синуси и косинуси с различни честоти, за да определят тези, чиято поява е особено значима и значима. Един възможен начин да направите това е да решите проблем с линейна множествена регресия, където зависимата променлива е наблюдаваната времева серия, а независимите променливи или регресори са функции на синусите на всички възможни (дискретни) честоти. Такъв линеен модел на множествена регресия може да бъде написан като:

x t = a 0 + (за k = 1 до q)

Следващата обща концепция на класическия хармоничен анализ в това уравнение е (ламбда) - това е кръговата честота, изразена в радиани за единица време, т.е. = 2** k, където е константата pi = 3,1416 и k = k/q. Тук е важно да се разбере, че изчислителният проблем за напасване на синусови и косинусови функции с различни дължини към данни може да бъде решен с помощта на множествена линейна регресия. Обърнете внимание, че коефициентите a k за косинуси и коефициентите b k за синуси са регресионни коефициенти, които показват степента, в която съответните функции са корелирани с данните. Има q различни синуси и косинуси; Интуитивно е ясно, че броят на функциите на синусите и косинусите не може да бъде по-голям от броя на данните в серията. Без да навлизаме в подробности, отбелязваме, че ако n е количеството данни, тогава ще има n/2+1 косинусови функции и n/2-1 синусови функции. С други думи, ще има толкова различни синусоиди, колкото са данните, и вие ще можете напълно да възпроизведете серията според основните функции.

В резултат на това спектралният анализ определя корелацията на функциите синус и косинус на различни честоти с наблюдаваните данни. Ако намерената корелация (коефициентът при определен синус или косинус) е голяма, тогава можем да заключим, че има силна периодичност при съответната честота в данните.

Анализ разпределени лаговее специален метод за оценка на лаговата връзка между сериите. Да предположим например, че произвеждате компютърни програми и искате да установите връзка между броя на заявките, получени от клиенти, и броя на действителните поръчки. Можете да записвате тези данни всеки месец за една година и след това да разгледате връзката между две променливи: броят на заявките и броят на поръчките зависи от заявките, но зависи от забавяне. Ясно е обаче, че заявките предшестват поръчките, така че можем да очакваме този брой поръчки. С други думи, има изместване във времето (лаг) във връзката между броя на заявките и броя на продажбите (вижте също автокорелации и кръстосани корелации).

Зависимости от този вид с лагове възникват особено често в иконометрията. Например приходите от инвестиции в ново оборудване няма да се появят ясно веднага, а само след определено време. По-високите доходи променят жилищния избор на хората; но тази зависимост очевидно също се проявява със закъснение.

Във всички тези случаи има независима или обяснителна променлива, която влияе на зависимите променливи с известно закъснение (лаг). Методът на разпределеното забавяне позволява да се изследва този вид зависимост.

Общ модел

Нека y е зависимата променлива и нека x е независимата или обяснителната променлива. Тези променливи се измерват няколко пъти за определен период от време. В някои учебници по иконометрия зависимата променлива се нарича още ендогенна променлива, а зависимата или обяснена променлива е екзогенна променлива. Най-простият начин за описване на връзката между тези две променливи е даден от следното линейно уравнение:

В това уравнение стойността на зависимата променлива в момент t е линейна функция на променливата x, измерена в моменти t, t-1, t-2 и т.н. Така зависимата променлива е линейна функция на x и x, изместени с 1, 2 и т.н. периоди от време. Бета коефициентите (i) могат да се разглеждат като параметри на наклона в това уравнение. Ще разглеждаме това уравнение като специален случай на уравнение на линейна регресия. Ако коефициентът на променлива с известно закъснение е значителен, тогава можем да заключим, че променливата y е прогнозирана (или обяснена) с закъснение.

Процедурите за оценка на параметрите и прогнозиране, описани в този раздел, предполагат, че математическият модел на процеса е известен. В реалните данни често няма ясно дефинирани регулярни компоненти. Индивидуалните наблюдения съдържат значителна грешка, докато вие искате не само да изолирате редовните компоненти, но и да направите прогноза. Методологията ARIMA, разработена от Box и Jenkins (1976), позволява това да се направи. Този метод е изключително популярен в много приложения и практиката е доказала своята сила и гъвкавост (Hoff, 1983; Pankratz, 1983; Vandaele, 1983). Въпреки това, поради своята мощност и гъвкавост, ARIMA е сложен метод. Не е лесен за използване и изисква много практика, за да го овладеете. Въпреки че често води до задоволителни резултати, те зависят от уменията на потребителя (Bails and Peppers, 1982). Следващите раздели ще ви запознаят с основните му идеи. За тези, които се интересуват от кратко, ориентирано към приложението (нематематично) въведение в ARIMA, препоръчваме McCleary, Meidinger и Hay (1980).

Модел ARIMA

Общият модел, предложен от Бокс и Дженкинс (1976), включва параметри както на авторегресия, така и на подвижна средна. А именно, има три вида параметри на модела: параметри на автоматична регресия (p), ред на разликите (d), параметри на подвижната средна (q). В нотацията на Box и Jenkins моделът е написан като ARI (p, d, q). Например, моделът (0, 1, 2) съдържа 0 (нула) параметри на автоматична регресия (p) и 2 параметъра на пълзяща средна (q), които се изчисляват за серията след вземане на разликата с лаг 1.

Както беше отбелязано по-рано, моделът ARIMA изисква серията да бъде стационарна, което означава, че нейната средна стойност е постоянна и дисперсията на извадката и автокорелацията не се променят с времето. Поради това обикновено е необходимо да се вземат разликите на серията, докато тя стане стационарна (често се използва и логаритмична трансформация за стабилизиране на дисперсията). Броят на разликите, взети за постигане на стационарност, се определя от параметъра d (вижте предишния раздел). За да определите необходимия ред на разликата, трябва да разгледате серийната графика и автокорелограмата. Големите промени в нивото (големи скокове нагоре или надолу) обикновено изискват вземане на несезонна разлика от първи ред (лаг=1). Големите промени в наклона изискват вземане на разлика от втори ред. Сезонният компонент изисква вземане на подходящата сезонна разлика (вижте по-долу). Ако има бавно намаляване на автокорелационните коефициенти на извадката в зависимост от забавянето, обикновено се взема разликата от първи ред. Все пак трябва да се помни, че за някои времеви редове е необходимо да се вземат разлики от малък порядък или изобщо да не се вземат. Имайте предвид, че прекомерният брой взети разлики води до по-малко стабилни оценки на коефициента.

На този етап (който обикновено се нарича идентифициране на реда на модела, вижте по-долу) трябва също така да решите колко параметри за автоматична регресия (p) и подвижна средна (q) трябва да присъстват в ефективен и пестелив модел на процес. (Пестимостта на модел означава, че той има най-малък брой параметри и най-много степени на свобода от всеки модел, който е подходящ за данните.) На практика е много рядко броят на параметрите p или q да е по-голям от 2 (вижте по-долу за по-пълна дискусия).

Следващата стъпка след идентифицирането (Оценка) се състои от оценка на параметрите на модела (за които се използват процедури за минимизиране на функцията на загубите, вижте по-долу; по-подробна информация за процедурите за минимизиране е дадена в раздела Нелинейна оценка). Получените оценки на параметрите се използват на последния етап (Прогноза), за да се изчислят нови стойности на серията и да се изгради доверителен интервал за прогнозата. Процесът на оценка се извършва върху трансформираните данни (подложени на прилагането на оператора за разлика). Преди да изградите прогноза, трябва да извършите обратната операция (интегриране на данните). По този начин прогнозата на методологията ще бъде съпоставена със съответните входни данни. Интегрирането на данни се обозначава с буквата P в общото име на модела (ARMA = Auto Regression Integrated Moving Average).

Освен това моделите ARIMA могат да съдържат константа, чието тълкуване зависи от модела, който се монтира. А именно, ако (1) в модела няма параметри на автоматична регресия, тогава константата е средната стойност на серията, ако (2) има параметри на автоматична регресия, тогава константата е свободен член. Ако е взета разликата на серията, тогава константата представлява средната стойност или свободния член на трансформираната серия. Например, ако е взета първата разлика (разлика от първи ред) и в модела няма параметри за автоматична регресия, тогава константата представлява средната стойност на трансформираната серия и, следователно, коефициента на наклона на линейния тренд на оригинален.

Експоненциално изглажданее много популярен метод за прогнозиране на много времеви редове. В исторически план методът е открит независимо от Браун и Холт.

Просто експоненциално изглаждане

Прост и прагматично ясен модел на времеви редове изглежда така:

където b е константа и (епсилон) е случайна грешка. Константата b е относително стабилна във всеки интервал от време, но може също така да се променя бавно с течение на времето. Един интуитивен начин за извличане на b е да се използва изглаждане на пълзяща средна, при което на най-новите наблюдения се дават по-големи тегла от предпоследните, а на предпоследните се дават по-големи тегла от предпоследните такива и така нататък. Точно така работи простата експоненция. Тук експоненциално намаляващи тегла се присвояват на по-стари наблюдения и, за разлика от пълзящата средна, се вземат предвид всички предишни наблюдения от серията, а не тези, които попадат в определен прозорец. Точната формула за просто експоненциално изглаждане е следната:

S t = *X t + (1-)*S t-1

Когато тази формула се прилага рекурсивно, всяка нова изгладена стойност (която също е прогноза) се изчислява като среднопретеглената стойност на текущото наблюдение и изгладената серия. Очевидно резултатът от изглаждането зависи от параметъра (алфа). Ако е равно на 1, тогава предишните наблюдения се игнорират напълно. Ако е равно на 0, текущите наблюдения се игнорират. Стойности между 0, 1 дават междинни резултати.

Емпиричните изследвания на Макридакис и др. (1982; Макридакис, 1983) показват, че доста често простото експоненциално изглаждане дава доста точна прогноза.

Избор на най-добрата стойност на параметъра (алфа)

Гарднър (1985) обсъжда различни теоретични и емпирични аргументи за избора на конкретен изглаждащ параметър. Очевидно от формулата по-горе следва, че трябва да пада между 0 (нула) и 1 (въпреки че Brenner et al., 1968, за по-нататъшно прилагане на анализа ARIMA считат, че 0<<2). Gardner (1985) сообщает, что на практике обычно рекомендуется брать меньше.30. Однако в исследовании Makridakis et al., (1982), большее.30, часто дает лучший прогноз. После обзора литературы, Gardner (1985) приходит к выводу, что лучше оценивать оптимально по данным (см. ниже), чем просто "гадать" или использовать искусственные рекомендации.

Оценяване на най-добрата стойност с помощта на данни. На практика параметърът за изглаждане често се намира чрез търсене в мрежа. Възможните стойности на параметрите са разделени в мрежа с определена стъпка. Например, помислете за мрежа от стойности от = 0,1 до = 0,9, със стъпка от 0,1. След това се избира, за която сумата от квадрати (или средни квадрати) на остатъците (наблюдавани стойности минус прогнози за стъпка напред) е минимална.

Индекси за добро съответствие

Най-прекият начин за оценка на прогноза въз основа на конкретна стойност е да се начертаят наблюдаваните стойности и прогнозите с една стъпка напред. Тази диаграма включва също остатъци (нанесени на дясната Y-ос). Графиката ясно показва в кои области прогнозата е по-добра или по-лоша.

Тази визуална проверка на точността на прогнозата често дава най-добри резултати. Има и други мерки за грешка, които могат да се използват за определяне на оптималния параметър (виж Makridakis, Wheelwright и McGee, 1983):

Средна грешка. Средната грешка (SE) се изчислява чрез просто осредняване на грешките на всяка стъпка. Очевидният недостатък на тази мярка е, че положителните и отрицателните грешки взаимно се компенсират, така че не е добър индикатор за качеството на прогнозата.

Средна абсолютна грешка. Средната абсолютна грешка (MAE) се изчислява като средната стойност на абсолютните грешки. Ако е равно на 0 (нула), тогава имаме перфектно напасване (предсказание). В сравнение със средната квадратна грешка, тази мярка „не придава твърде голяма тежест“ на отклоненията.

Сума от квадратни грешки (SSE), средна квадратична грешка. Тези стойности се изчисляват като сбор (или средна стойност) на квадратните грешки. Това са най-често използваните индекси за добро съответствие.

Относителна грешка (RO). Всички предишни мерки са използвали действителни стойности на грешки. Изглежда естествено да се изразят индексите на съответствие по отношение на относителните грешки. Например, когато прогнозирате месечните продажби, които могат да варират значително (например сезонно) от месец на месец, можете да бъдете доста доволни от прогнозата, ако тя има точност от?10%. С други думи, при прогнозиране абсолютната грешка може да не е толкова интересна, колкото относителната. За да се отчете относителната грешка, са предложени няколко различни индекса (виж Makridakis, Wheelwright и McGee, 1983). В първия относителната грешка се изчислява като:

OO t = 100*(X t - F t)/X t

където X t е наблюдаваната стойност в момент t, а F t е прогнозата (изгладена стойност).

Средна относителна грешка (RME). Тази стойност се изчислява като средна стойност на относителните грешки.

Средна абсолютна относителна грешка (MAER). Както при нормалната средна грешка, отрицателните и положителните относителни грешки ще се компенсират взаимно. Следователно, за да се оцени качеството на прилягането като цяло (за цялата серия), е по-добре да се използва средната абсолютна относителна грешка. Често тази мярка е по-изразителна от средната квадратична грешка. Например, знанието, че точността на прогнозата е ±5%, е полезно само по себе си, докато стойността от 30,8 за средната квадратична грешка не може да бъде толкова лесно интерпретирана.

Автоматично търсене на най-добрия параметър. За минимизиране на средната квадратична грешка, средната абсолютна грешка или средната абсолютна относителна грешка се използва квазинютонова процедура (същата като ARIMA). В повечето случаи тази процедура е по-ефективна от обикновеното търсене на мрежи (особено ако има няколко параметъра за изглаждане) и оптималната стойност може бързо да бъде намерена.

Първата изгладена стойност S 0 . Ако погледнете отново формулата за просто експоненциално изглаждане, ще видите, че трябва да имате стойност S 0, за да изчислите първата изгладена стойност (предсказание). В зависимост от избора на параметър (особено ако е близо до 0), първоначалната стойност на изгладеният процес може да окаже значително влияние върху прогнозата за много последващи наблюдения. Както при други препоръки за използване на експоненциално изглаждане, препоръчва се да се вземе началната стойност, която дава най-добрата прогноза. От друга страна, влиянието на избора намалява с дължината на серията и става некритично при голям брой наблюдения.

икономически статистически времеви редове

Заключение

Анализът на времевите редове е набор от математически и статистически методи за анализ, предназначени да идентифицират структурата на динамичните редове и за тяхната прогноза. Това включва по-специално методите за регресионен анализ. Идентифицирането на структурата на динамичния ред е необходимо, за да се изгради математически модел на явлението, което е източникът на анализирания времеви ред. Прогнозирането на бъдещи стойности на времеви редове се използва за ефективно вземане на решения.

Времевите редове се изучават за различни цели. Методът за анализ на времеви редове се определя, от една страна, от целите на анализа, а от друга страна, от вероятностния характер на формирането на неговите стойности.

Основните методи за изследване на динамичните редове са:

Ш Спектрален анализ.

Ш Корелационен анализ

Ш Сезонен модел на Box-Jenkins.

Ш Прогноза чрез експоненциално претеглена пълзяща средна.

Литература

1. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математическо моделиране и хаотични времеви редове. -- Саратов: Държавен научен център "Колеж", 2005 г. -- ISBN 5-94409-045-6

2. Блехман И. И., Мишкис А. Д., Пановко Н. Г., Приложна математика: Предмет, логика, характеристики на подходите. С примери от механиката: Учебник. -- 3-то издание, рев. и допълнителни - М.: URSS, 2006. - 376 с. ISBN 5-484-00163-3

3. Въведение в математическото моделиране. Урок. Изд. П. В. Трусова. - М.: Логос, 2004. - ISBN 5-94010-272-7

4. Gorban A.N., Khlebopros RG, Демонът на Дарвин: Идеята за оптималност и естествен подбор. -- М: Наука. Главен изд. физика и математика лит., 1988. -- 208 с. (Проблеми на науката и техническия прогрес) ISBN 5-02-013901-7 (Глава „Изработване на модели”).

5. Journal of Mathematical Modeling (основан през 1989 г.)

6. Малков С. Ю., 2004. Математическо моделиране на историческата динамика: подходи и модели // Моделиране на социално-политическата и икономическата динамика / Изд. М. Г. Дмитриев. - М.: РГСУ. -- С. 76-188.

7. Myshkis A.D., Елементи на теорията на математическите модели. -- 3-то издание, рев. -- М.: КомКнига, 2007. -- 192 с ISBN 978-5-484-00953-4

8. Самарски А. А., Михайлов А. П. Математическо моделиране. Идеи. Методи. Примери.. - 2-ро издание, преработено.. - М.: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X

9. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: Учебник. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. -- 343 с. ISBN 5-06-003860-2

Публикувано на Allbest.ru

Подобни документи

    Понятие и основни етапи на развитие на прогнозата. Проблеми на анализа на времеви редове. Оценка на състоянието и тенденциите в развитието на прогнозирането въз основа на анализа на времеви редове SU-167 на АО "Мозирпромстрой", практически препоръки за неговото подобряване.

    курсова работа, добавена на 01.07.2013 г

    Методология за анализиране на динамични редове от социално-икономически явления. Компоненти, които формират нива при анализа на динамични редове. Процедура за съставяне на модел на износа и вноса на Холандия. Нива на автокорелация. Корелация на времеви редове.

    курсова работа, добавена на 13.05.2010 г

    Методи за анализ на структурата на времеви редове, съдържащи сезонни колебания. Разглеждане на подхода на метода на пълзящата средна и изграждане на адитивен (или мултипликативен) модел на времеви редове. Изчисляване на оценките на сезонните компоненти в мултипликативен модел.

    тест, добавен на 12.02.2015 г

    Анализ на система от показатели, характеризиращи както адекватността на модела, така и неговата точност; определяне на абсолютни и средни прогнозни грешки. Основни показатели за динамиката на икономическите явления, използването на средни стойности за изглаждане на времеви редове.

    тест, добавен на 13.08.2010 г

    Същността и отличителните черти на статистическите методи за анализ: статистическо наблюдение, групиране, анализ на динамични редове, индекс, извадка. Процедурата за анализ на динамични редове, анализ на основната тенденция на развитие на динамичните редове.

    курсова работа, добавена на 03/09/2010

    Провеждане на експериментално статистическо изследване на социално-икономическите явления и процеси в Смоленска област въз основа на определени показатели. Построяване на статистически графики, редове на разпределение, вариационни редове, тяхното обобщаване и оценка.

    курсова работа, добавена на 15.03.2011 г

    Видове времеви редове. Изисквания за изходна информация. Описателна характеристика на динамиката на социално-икономическите явления. Прогнозиране чрез метода на експоненциалната средна стойност. Основни показатели за динамиката на икономическите показатели.

    тест, добавен на 03/02/2012

    Понятието и значението на динамичния ред в статистиката, неговата структура и основни елементи, значение. Класификация и видове динамични редове, характеристики на обхвата на тяхното приложение, отличителни характеристики и процедура за определяне на динамиката, етапите, сериите в тях.

    тест, добавен на 13.03.2010 г

    Дефиниране на понятието цени за продукти и услуги; принципите на тяхната регистрация. Изчисляване на индивидуални и общи показатели на себестойността на стоките. Същност на основните методи на социално-икономическите изследвания - структурни средни, редове на разпределение и редове на динамика.

    курсова работа, добавена на 05/12/2011

    Машинно обучение и статистически методи за анализ на данни. Оценка на точността на прогнозата. Предварителна обработка на данни. Методи за класификация, регресия и анализ на времеви редове. Най-близки съседи, поддържащи векторни машини, коригиращи космически методи.

АНАЛИЗ НА ВРЕМЕВИ РЕДОВЕ


ВЪВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ НА ВРЕМЕВИ РЕДОВЕ

1.1 ВРЕМЕВИ РЕД И НЕГОВИТЕ ОСНОВНИ ЕЛЕМЕНТИ

1.2 АВТОКОРЕЛАЦИЯ НА НИВАТА НА ВРЕМЕВИ РЕД И ИДЕНТИФИКАЦИЯ НА НЕЙНАТА СТРУКТУРА

1.3 МОДЕЛИРАНЕ НА ТЕНДЕНЦИИ ВРЕМЕВИ РЕДОВЕ

1.4 МЕТОД НА НАЙ-МАЛКИЯ КВАДРАТ

1.5 НАМАЛЯВАНЕ НА УРАВНЕНИЕТО НА ТЕНДЕНЦИЯТА ДО ЛИНЕЙНА ФОРМА

1.6 ОЦЕНКА НА ПАРАМЕТРИ НА РЕГРЕСИОННОТО УРАВНЕНИЕ

1.7 МОДЕЛИ НА ДОБАВЯНЕ И МНОЖЕНИЕ НА ВРЕМЕВИ РЕДОВЕ

1.8 СТАЦИОНАРНИ ВРЕМЕВИ РЕДОВЕ

1.9 ПРИЛАГАНЕ НА БЪРЗОТО ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ФУРИЕ КЪМ СТАЦИОНАРЕН ВРЕМЕВ РЕД

1.10 АВТОКОРЕЛАЦИЯ НА ОСТАТЪЦИ. КРИТЕРИЙ НА ДЪРБИН-УОТСЪН

Въведение

В почти всяка област има явления, които са интересни и важни за изучаване в тяхното развитие и промяна във времето. В ежедневието могат да представляват интерес например метеорологичните условия, цените на даден продукт, някои характеристики на здравословното състояние на индивида и т. н. Всички те се променят с времето. С течение на времето се променя бизнес дейността, режимът на конкретен производствен процес, дълбочината на съня на човека и възприемането на телевизионна програма. Съвкупността от измервания на всяка една характеристика от този вид за определен период от време представлява времеви редове.

Наборът от съществуващи методи за анализ на такива серии от наблюдения се нарича анализ на времеви редове.

Основната характеристика, която отличава анализа на времевите редове от другите видове статистически анализи, е важността на реда, в който се правят наблюденията. Ако в много проблеми наблюденията са статистически независими, то във времевите редове те по правило са зависими и характерът на тази зависимост може да се определи от позицията на наблюденията в последователността. Характерът на серията и структурата на процеса, генериращ серията, могат да предопределят реда, в който се формира последователността.

МишенаРаботата се състои в получаване на модел за дискретни времеви редове във времевата област, който има максимална простота и минимален брой параметри и в същото време адекватно описва наблюденията.

Получаването на такъв модел е важно поради следните причини:

1) може да помогне да се разбере естеството на системата, генерираща времеви редове;

2) контролира процеса, който генерира серията;

3) може да се използва за оптимално прогнозиране на бъдещи стойности на времеви редове;

Времевите редове са най-добре описани нестационарни модели,в които тенденциите и други псевдо-стабилни характеристики, вероятно променящи се с времето, се считат за статистически, а не за детерминистични явления. В допълнение, времевите редове, свързани с икономиката, често са забележими сезоненили периодични компоненти; тези компоненти могат да варират във времето и трябва да бъдат описани с циклични статистически (евентуално нестационарни) модели.

Нека наблюдаваният времеви ред е y 1 , y 2 , . . ., y n . Ще разберем този запис по следния начин. Има T числа, представляващи наблюдението на някаква променлива в T равноотдалечени моменти във времето. За удобство тези моменти са номерирани с цели числа 1, 2, . . .,T. Доста общ математически (статистически или вероятностен) модел е модел от формата:

y t = f(t) + u t , t = 1, 2, . . ., T.

В този модел наблюдаваната серия се разглежда като сума от някаква напълно детерминистична последователност (f(t)), която може да се нарече математически компонент, и случайна последователност (u t), която се подчинява на някакъв вероятностен закон. (И понякога термините сигнал и шум се използват съответно за тези два компонента). Тези компоненти на наблюдаваните серии са ненаблюдаеми; те са теоретични величини. Точното значение на това разлагане зависи не само от самите данни, но отчасти и от това какво се разбира под повторение на експеримента, от който тези данни са резултат. Тук се използва т. нар. „честотна“ интерпретация. Смята се, че поне по принцип е възможно да се повтори цялата ситуация, като се получат нови набори от наблюдения. Случайните компоненти, наред с други неща, могат да включват грешки при наблюдение.

Тази статия разглежда модел на времеви редове, в който случаен компонент се наслагва върху тенденцията, образувайки случаен стационарен процес. В такъв модел се приема, че изтичането на времето не влияе по никакъв начин на случайния компонент. По-точно, предполага се, че математическото очакване (т.е. средната стойност) на случайния компонент е идентично равно на нула, дисперсията е равна на някаква константа и че стойностите на u t в различни моменти са некорелирани. Така всяка зависимост от времето се включва в систематичния компонент f(t). Последователността f(t) може да зависи от някои неизвестни коефициенти и от известни величини, които се променят с времето. В този случай тя се нарича „регресионна функция“. Методите за статистически изводи за коефициенти на регресионна функция се оказват полезни в много области на статистиката. Уникалността на методите, свързани конкретно с времевите редове, е, че те изучават тези модели, в които гореспоменатите величини, които се променят във времето, са известни функции на t.


Глава 1. Анализ на времеви редове

1.1 Динамичен ред и неговите основни елементи

Времевият ред е колекция от стойности на всеки индикатор за няколко последователни момента или периода от време. Всяко ниво на динамичен ред се формира под въздействието на голям брой фактори, които могат да бъдат разделени на три групи:

· фактори, формиращи тенденцията на серията;

· фактори, които формират циклични колебания в реда;

· случайни фактори.

При различни комбинации от тези фактори в процеса или явлението, което се изследва, зависимостта на нивата на серията от времето може да приеме различни форми. Първо, повечето времеви редове от икономически индикатори имат тенденция, която характеризира дългосрочното кумулативно въздействие на много фактори върху динамиката на изследвания показател. Очевидно е, че тези фактори, взети поотделно, могат да имат многопосочно въздействие върху изследвания показател. Въпреки това, заедно те образуват нарастваща или намаляваща тенденция.

второ,изследваният индикатор може да бъде обект на циклични колебания. Тези колебания могат да бъдат сезонни, тъй като дейностите на редица икономически и селскостопански сектори зависят от времето на годината. Ако са налични големи количества данни за дълги периоди от време, е възможно да се идентифицират циклични колебания, свързани с цялостната динамика на времевия ред.

Някои времеви редове не съдържат тенденция или цикличен компонент и всяко следващо ниво се формира като сума от средното ниво на реда и някакъв (положителен или отрицателен) случаен компонент.

В повечето случаи действителното ниво на времевия ред може да бъде представено като сума или продукт на тренд, циклични и произволни компоненти. Нарича се модел, в който динамичен ред е представен като сума от изброените компоненти адитивен моделвремеви редове. Нарича се модел, в който динамичен ред се представя като произведение на изброените компоненти мултипликативен моделвремеви редове. Основната задача на статистическото изследване на индивидуална времева серия е да се идентифицира и количествено определи всеки от компонентите, изброени по-горе, за да се използва получената информация за прогнозиране на бъдещи стойности на серията.

1.2 Автокорелация на нивата на динамичния ред и идентифициране на нейната структура

Ако има тенденция и циклични колебания във времевата серия, стойностите на всяко следващо ниво на серията зависят от предходните. Корелационната зависимост между последователните нива на времевия ред се нарича автокорелация на серийни нива.

Тя може да бъде измерена количествено с помощта на линеен коефициент на корелация между нивата на оригиналния времеви ред и нивата на този ред, изместени с няколко стъпки във времето.

Една от работещите формули за изчисляване на коефициента на автокорелация е:

(1.2.1)

Като променлива x ще разгледаме серията y 2, y 3, ..., y n; като променлива y – серията y 1, y 2, . . . ,y n – 1 . Тогава горната формула ще приеме формата:

(1.2.2)

По подобен начин могат да се определят коефициенти на автокорелация от втори и по-висок ред. По този начин коефициентът на автокорелация от втори ред характеризира близостта на връзката между нивата y t и y t – 1 и се определя по формулата

(1.2.3)

Извиква се броят на периодите, за които се изчислява автокорелационният коефициент лагом. С увеличаването на забавянето броят на двойките стойности, от които се изчислява коефициентът на автокорелация, намалява. Някои автори смятат, че е препоръчително да се използва правилото за осигуряване на статистическа надеждност на коефициентите на автокорелация - максималният лаг трябва да бъде не повече от (n/4).

Дял