И също така помислете за важно практическо приложение на темата: изследване на система от линейни уравнения за съвместимост.
Какъв е рангът на матрицата?
Хумористичният епиграф на статията съдържа много истина. Самата дума "ранг" обикновено се свързва с някаква йерархия, най-често с кариерната стълбица. Колкото повече знания, опит, способности, връзки и т.н. има човек. - толкова по-висока е неговата позиция и диапазон от възможности. В младежки термини, рангът се отнася до общата степен на "твърдост".
И нашите математически братя живеят по същите принципи. Да вземем на разходка няколко произволни нулеви матрици:
Нека помислим дали в матрицата само нули, тогава за какъв ранг можем да говорим? Всеки е запознат с неформалния израз "обща нула". В матричното общество всичко е абсолютно същото:
Нулев матричен рангвсеки размер е нула.
Забележка : нулевата матрица се обозначава с гръцката буква "тета"
За да разбера по-добре ранга на матрицата, по-нататък ще използвам материалите аналитична геометрия. Помислете за нула векторна нашето триизмерно пространство, което не задава определена посока и е безполезно за изграждане афинна основа. От алгебрична гледна точка координатите на даден вектор се записват матрица"едно по три" и логично (в определения геометричен смисъл)приемем, че рангът на тази матрица е нула.
Сега нека разгледаме няколко различен от нула колонни вектории редови вектори:
Всеки екземпляр има поне един ненулев елемент и това е нещо!
Рангът на всеки ненулев вектор-ред (вектор колона) е равен на единица
И най-общо казано - ако е в матрица произволни размериима поне един ненулев елемент, след което неговият ранг не по-малкоединици.
Алгебричните вектори на редове и колони са абстрактни до известна степен, така че нека се обърнем отново към геометричната асоциация. различен от нула векторзадава добре дефинирана посока в пространството и е подходящ за конструиране основа, така че рангът на матрицата ще се приеме, че е равен на единица.
Теоретична подготовка : в линейната алгебра векторът е елемент от векторно пространство (дефинирано чрез 8 аксиоми), което по-специално може да бъде подреден ред (или колона) от реални числа с операциите събиране и умножение с дефинирано реално число за тях. За повече информация относно векторите вижте статията Линейни трансформации.
линейно зависими(изразени един през друг). От геометрична гледна точка, вторият ред съдържа координатите на колинеарния вектор 
, което не напредна въпроса в строителството триизмерна основа, което е излишно в този смисъл. По този начин рангът на тази матрица също е равен на единица.
Пренаписваме координатите на векторите в колони ( транспониране на матрицата):
Какво се промени по отношение на ранга? Нищо. Колоните са пропорционални, което означава, че рангът е равен на единица. Между другото, имайте предвид, че и трите реда също са пропорционални. Те могат да бъдат идентифицирани с координатите триколинеарни вектори на равнината, от които само единполезно за изграждане на "плоска" основа. И това е в пълно съответствие с нашето геометрично чувство за ранг.
Важно твърдение следва от горния пример:
Рангът на матрица по редове е равен на ранга на матрица по колони. Вече споменах това малко в урока за ефективност методи за изчисляване на детерминанта.
Забележка : линейната зависимост на редовете води до линейна зависимост на колоните (и обратно). Но за да спестя време и по навик почти винаги ще говоря за линейната зависимост на струните.
Нека продължим да обучаваме любимия си домашен любимец. Добавете координатите на друг колинеарен вектор към матрицата в третия ред 
:
Той помогна ли ни в изграждането на триизмерна основа? Разбира се, че не. И трите вектора се движат напред-назад по един и същи път, а рангът на матрицата е един. Можете да вземете колкото искате колинеарни вектори, да речем 100, да поставите техните координати в матрица 100 на 3 и рангът на такъв небостъргач все още ще остане един.
Нека се запознаем с матрицата, чиито редове линейно независими. Двойка неколинеарни вектори е подходяща за конструиране на триизмерна основа. Рангът на тази матрица е два.
Какъв е рангът на матрицата? Изглежда, че линиите не са пропорционални ... така че на теория три. Въпреки това, рангът на тази матрица също е равен на две. Добавих първите два реда и записах резултата отдолу, т.е. линейно изразентрети ред през първите две. Геометрично, редовете на матрицата съответстват на координатите на три компланарни вектори, а сред тази тройка има двойка другари не-колинеарни.
Както виждаш линейна зависимоств разглежданата матрица не е очевидно и днес просто ще научим как да го доведем „до чиста вода“.
Мисля, че много хора се досещат какъв е рангът на матрицата!
Да разгледаме матрица, чиито редове линейно независими. Формират се вектори афинна основа, а рангът на тази матрица е три.
Както знаете, всеки четвърти, пети, десети вектор на триизмерното пространство ще бъде линейно изразен чрез основни вектори. Следователно, ако към матрицата се добави някакъв брой редове, тогава нейният ранг пак ще са три.
Подобни разсъждения могат да бъдат извършени за матрици с по-големи размери (ясно, вече без геометричен смисъл).
Определение : рангът на матрицата е максималният брой линейно независими редове. Или: рангът на матрицата е максималният брой линейно независими колони. Да, винаги съвпадат.
Важна практическа насока следва от горното: рангът на матрицата не надвишава минималното й измерение. Например в матрицата 
четири реда и пет колони. Минималното измерение е четири, следователно рангът на тази матрица със сигурност няма да надвишава 4.
Нотация: в световната теория и практика няма общоприет стандарт за определяне на ранга на матрицата, може да се намери най-често срещаният: - както се казва, англичанин пише едно, германец друго. Ето защо, въз основа на добре познатия анекдот за американския и руския ад, нека обозначим ранга на матрицата с родна дума. Например: . И ако матрицата е "безименна", от които има много, тогава можете просто да напишете .
Как да намерим ранга на матрица, използвайки минорите?
Ако нашата баба имаше пета колона в матрицата, тогава трябваше да се изчисли още един минор от 4-ти ред („синьо“, „малина“ + 5-та колона).
Заключение: максималният ред на ненулев минор е три, така че .
Може би не всички са разбрали напълно тази фраза: минорът от 4-ти порядък е равен на нула, но сред минорите от 3-ти порядък имаше ненулев един - следователно, максималният ред различен от нуламинор и равен на три.
Възниква въпросът защо не се изчисли веднага детерминантата? Е, първо, в повечето задачи матрицата не е квадратна, и второ, дори ако получите ненулева стойност, тогава задачата ще бъде отхвърлена с голяма вероятност, тъй като обикновено предполага стандартно решение отдолу нагоре. И в разглеждания пример нулевият детерминант от 4-ти ред дори ни позволява да твърдим, че рангът на матрицата е само по-малък от четири.
Трябва да призная, че аз сам измислих анализирания проблем, за да обясня по-добре метода на граничене на непълнолетните. В реалната практика всичко е по-просто:
Пример 2
Намерете ранга на матрица по метода на индикация на минорите 
Решение и отговор в края на урока.
Кога алгоритъмът работи най-бързо? Нека се върнем към същата матрица четири по четири 
. Очевидно решението ще бъде най-краткото в случай на "добро" ъгъл непълнолетни:
И, ако , тогава , иначе - .
Мисленето изобщо не е хипотетично - има много примери, в които цялото нещо се ограничава само до ъглови малки.
В някои случаи обаче друг метод е по-ефективен и за предпочитане:
Как да намерим ранга на матрица по метода на Гаус?
Този раздел е предназначен за читатели, които вече са запознати Метод на Гауси малко по малко се хванаха за него.
От техническа гледна точка методът не е нов:
1) използвайки елементарни трансформации, привеждаме матрицата в стъпаловидна форма;
2) рангът на матрицата е равен на броя на редовете.
Това е съвсем ясно използването на метода на Гаус не променя ранга на матрицата, а същността тук е изключително проста: според алгоритъма в хода на елементарните трансформации се откриват и отстраняват всички ненужни пропорционални (линейно зависими) линии, в резултат на което остава „сух остатък“ - максималният брой линейно независими линии.
Нека трансформираме старата позната матрица с координатите на три колинеарни вектора: 
(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред.
(2) Нулевите линии се премахват.
Така че остава един ред, следователно . Излишно е да казвам, че това е много по-бързо, отколкото да се изчислят девет нулеви минор от 2-ри ред и едва след това да се направи заключение.
Напомням ви това само по себе си алгебрична матрицанищо не може да се промени, а трансформациите се извършват само с цел установяване на ранга! Между другото, нека се спрем отново на въпроса, защо не? Матрица на източника 
носи информация, която е фундаментално различна от информацията за матрица и ред. В някои математически модели (без преувеличение) разликата в едно число може да бъде въпрос на живот и смърт. ... Спомних си училищните учители по математика от началните и средните класове, които безмилостно отрязваха оценката с 1-2 точки за най-малката неточност или отклонение от алгоритъма. И беше страшно разочароващо, когато вместо привидно гарантираната „петица“ се оказа „добро“ или дори по-лошо. Разбирането дойде много по-късно - как иначе да се повери на човек сателити, ядрени бойни глави и електроцентрали? Но не се притеснявайте, аз не работя в тези области =)
Нека да преминем към по-смислени задачи, където между другото ще се запознаем и с важни изчислителни техники Метод на Гаус:
Пример 3
Намерете ранга на матрица с помощта на елементарни трансформации 
Решение: дадена матрица четири на пет, което означава, че нейният ранг със сигурност е не повече от 4.
В първата колона няма 1 или -1, следователно са необходими допълнителни стъпки за получаване на поне една единица. През цялото съществуване на сайта многократно ми е задаван въпросът: „Възможно ли е да се пренаредят колоните по време на елементарни трансформации?“. Ето - пренаредена първата или втората колона и всичко е наред! В повечето задачи къде Метод на Гаус, колоните наистина могат да бъдат пренаредени. НО НЕ. И въпросът дори не е възможно объркване с променливи, въпросът е, че в класическия курс на преподаване на висша математика това действие традиционно не се разглежда, следователно, такъв реверанс ще бъде гледан МНОГО криво (или дори принуден да преработи всичко) .
Втората точка се отнася до числата. В процеса на вземане на решение е полезно да се ръководите от следното правило: елементарните трансформации трябва, ако е възможно, да намалят числата на матрицата. В крайна сметка е много по-лесно да се работи с едно-две-три, отколкото например с 23, 45 и 97. И първото действие е насочено не само към получаване на единица в първата колона, но и към елиминиране на номера 7 и 11.
Първо пълното решение, след това коментарите: 
(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по -3. И към купчината: 1-вият ред, умножен по -1, беше добавен към 4-ия ред.
(2) Последните три реда са пропорционални. 3-ти и 4-ти ред бяха изтрити, вторият ред беше преместен на първо място.
(3) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -3.
Матрицата, намалена до стъпаловидна форма, има два реда.
Отговор:
Сега е ваш ред да измъчвате матрицата четири по четири:
Пример 4
Намерете ранга на матрица по метода на Гаус 
напомням ти това Метод на Гаусне предполага недвусмислена твърдост и вашето решение най-вероятно ще бъде различно от моето решение. Кратка извадка от задачата в края на урока.
Какъв метод да използвате за намиране на ранга на матрица?
На практика често изобщо не се казва кой метод трябва да се използва за намиране на ранга. В такава ситуация трябва да се анализира условието - за някои матрици е по-рационално решението да се извърши чрез минорни, докато за други е много по-изгодно да се прилагат елементарни трансформации:
Пример 5
Намерете ранга на матрица 
Решение: първият начин някак си веднага изчезва =)
Малко по-високо посъветвах да не докосвате колоните на матрицата, но когато има нулева колона или пропорционални / съвпадащи колони, тогава все пак си струва да ампутирате: 
(1) Петата колона е нула, премахваме я от матрицата. По този начин рангът на матрицата е най-много четири. Първият ред се умножава по -1. Това е друга характерна черта на метода на Гаус, която прави следното действие приятна разходка:
(2) Към всички редове, като се започне от втория, е добавен първият ред.
(3) Първият ред беше умножен по -1, третият ред беше разделен на 2, четвъртият ред беше разделен на 3. Вторият ред, умножен по -1, беше добавен към петия ред.
(4) Третият ред беше добавен към петия ред, умножен по -2.
(5) Последните два реда са пропорционални, изтриваме петия.
Резултатът е 4 реда.
Отговор:
Стандартна пететажна сграда за самостоятелно изследване:
Пример 6
Намерете ранга на матрица
Кратко решение и отговор в края на урока.
Трябва да се отбележи, че фразата "матричен ранг" не е толкова често срещана на практика и при повечето проблеми можете да се справите без нея. Но има една задача, при която разглежданата концепция е главният герой и в заключение на статията ще разгледаме това практическо приложение:
Как да изследваме системата от линейни уравнения за съвместимост?
Често в допълнение към решаването системи от линейни уравненияспоред условието първо се изисква да се провери за съвместимост, тоест да се докаже, че изобщо съществува някакво решение. Ключова роля в тази проверка играе Теорема на Кронекер-Капели, който ще формулирам в необходимия вид:
Ако ранг системни матрициравен на ранг разширена матрична система, тогава системата е последователна и ако даденото число съвпада с броя на неизвестните, тогава решението е уникално.
По този начин, за да се проучи системата за съвместимост, е необходимо да се провери равенството 
, където - системна матрица(запомнете терминологията от урока Метод на Гаус), а - разширена матрична система(т.е. матрица с коефициенти при променливи + колона със свободни термини).
За да работим с понятието ранг на матрица, се нуждаем от информация от темата "Алгебрични допълнения и минорни. Видове минорни и алгебрични допълнения" . На първо място, това се отнася до термина "матрична минор", тъй като ще определим ранга на матрица именно чрез минорите.
Матричен рангназовете максималния ред на неговите минорни, сред които има поне един, който не е равен на нула.
Еквивалентни матрициса матрици, чиито ранги са равни един на друг.
Нека обясним по-подробно. Да предположим, че има поне един сред минорите от втори ред, който е различен от нула. И всички непълнолетни, чийто ред е по-висок от две, са равни на нула. Заключение: рангът на матрицата е 2. Или, например, сред минорите от десети ред има поне един, който не е равен на нула. И всички непълнолетни, чийто порядък е по-висок от 10, са равни на нула. Заключение: рангът на матрицата е 10.
Рангът на матрицата $A$ се обозначава по следния начин: $\rang A$ или $r(A)$. Рангът на нулевата матрица $O$ е равен на нула, $\rang O=0$. Нека ви напомня, че за да се образува минор на матрица, е необходимо да се зачеркнат редове и колони, но е невъзможно да се зачертаят повече редове и колони, отколкото съдържа самата матрица. Например, ако матрицата $F$ има размер $5\ пъти 4$ (т.е. съдържа 5 реда и 4 колони), тогава максималният ред на нейните минорни е четири. Вече няма да е възможно да се формират второстепенни от пети ред, тъй като те ще изискват 5 колони (а ние имаме само 4). Това означава, че рангът на матрицата $F$ не може да бъде по-голям от четири, т.е. $\rang F≤4$.
В по-общ вид горното означава, че ако матрицата съдържа $m$ редове и $n$ колони, тогава нейният ранг не може да надвишава най-малкото от числата $m$ и $n$, т.е. $\rang A≤\min(m,n)$.
По принцип начинът за намирането му следва от самото определение на ранга. Процесът на намиране на ранга на матрица по дефиниция може да бъде схематично представен по следния начин:
Нека обясня тази диаграма по-подробно. Да започнем да разсъждаваме от самото начало, т.е. с минорите от първи ред на някаква матрица $A$.
- Ако всички минорни елементи от първи ред (т.е. елементи от матрицата $A$) са равни на нула, тогава $\rang A=0$. Ако сред минорите от първи ред има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 1$. Преминаваме към проверката на непълнолетни от втори ред.
- Ако всички минорни от втори ред са равни на нула, тогава $\rang A=1$. Ако сред минорите от втори ред има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 2$. Преминаваме към проверката на непълнолетни от трети ред.
- Ако всички минорни от трети ред са равни на нула, тогава $\rang A=2$. Ако сред минорите от трети порядък има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 3$. Да преминем към проверка на непълнолетните от четвърти ред.
- Ако всички минорни от четвърти ред са равни на нула, тогава $\rang A=3$. Ако има поне един ненулев минор от четвърти ред, тогава $\rang A≥ 4$. Преминаваме към проверката на непълнолетни от пети ред и т.н.
Какво ни очаква в края на тази процедура? Възможно е сред минорите от k-тия ред да има поне един, който е различен от нула, и всички минорни от (k + 1)-ти ред ще бъдат равни на нула. Това означава, че k е максималният ред на минорите, сред които има поне един, който не е равен на нула, т.е. рангът ще бъде равен на k. Може да има различна ситуация: сред минорите от k-ти ред ще има поне един, който не е равен на нула, а минорите от (k + 1)-ти ред не могат да се образуват. В този случай рангът на матрицата също е равен на k. Накратко казано, реда на последния съставен ненулев минор и ще бъде равен на ранга на матрицата.
Нека да преминем към примери, в които процесът на намиране на ранга на матрица по дефиниция ще бъде илюстриран ясно. Още веднъж подчертавам, че в примерите на тази тема ще намерим ранга на матриците, използвайки само дефиницията на ранга. Други методи (изчисляване на ранга на матрица по метода на граничните минорни, изчисляване на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации) са разгледани в следващите теми.
Между другото, изобщо не е необходимо да се започва процедурата за намиране на ранга от непълнолетни от най-малкия ред, както беше направено в примери № 1 и № 2. Можете веднага да отидете при непълнолетни от по-високи порядки (вижте пример № 3).
Пример №1
Намерете ранга на матрица $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array)\right)$.
Тази матрица има размер $3\ пъти 5$, т.е. съдържа три реда и пет колони. От числата 3 и 5 3 е минимумът, така че рангът на матрицата $A$ е най-много 3, т.е. $\ранг A≤ 3$. И това неравенство е очевидно, тъй като вече не можем да формираме минорите от четвърти ред - те се нуждаят от 4 реда, а ние имаме само 3. Нека да преминем директно към процеса на намиране на ранга на дадена матрица.
Сред минорите от първи ред (тоест сред елементите на матрицата $A$) има ненулеви. Например 5, -3, 2, 7. Като цяло не ни интересува общият брой ненулеви елементи. Има поне един ненулев елемент - и това е достатъчно. Тъй като сред минорите от първи ред има поне един ненулев, ние заключаваме, че $\rang A≥ 1$ и продължаваме да проверяваме минорите от втори ред.
Нека започнем да изследваме непълнолетните от втори ред. Например, в пресечната точка на редове #1, #2 и колони #1, #4 има елементи от следния минор: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (масив) \вдясно| $. За този детерминант всички елементи от втората колона са равни на нула, следователно самият детерминант е равен на нула, т.е. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (вижте свойство #3 в свойството на детерминантите). Или можете просто да изчислите този детерминант, като използвате формула № 1 от раздела за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Първият минор от втория ред, който проверихме, се оказа равен на нула. Какво пише? Относно необходимостта от допълнителна проверка на непълнолетни от втори ред. Или всички те се оказват нула (и тогава рангът ще бъде равен на 1), или сред тях има поне едно второстепенно, което е различно от нула. Нека се опитаме да направим по-добър избор, като напишем минор от втори ред, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове #1, #2 и колони #1 и #5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array)\right|$. Нека намерим стойността на този минор от втори ред:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Този минор не е равен на нула. Заключение: сред непълнолетните от втори ред има поне един различен от нула. Следователно $\rank A≥ 2$. Необходимо е да се пристъпи към изследване на непълнолетни от трети ред.
Ако за формирането на минорите от трети порядък изберем колона №2 или колона №4, тогава такива минорни ще бъдат равни на нула (защото ще съдържат нулева колона). Остава да се провери само едно второстепенно лице от трети ред, чиито елементи са разположени на пресечната точка на колони No 1, No 3, No 5 и редове No 1, No 2, No 3. Нека напишем този минор и да намерим неговата стойност:
$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
И така, всички минорни от трети ред са равни на нула. Последният ненулев минор, който компилирахме, беше от втори ред. Заключение: максималният ред на минорите, сред които има поне един различен от нула, е равен на 2. Следователно, $\rang A=2$.
Отговор: $\ранг A=2$.
Пример №2
Намерете ранга на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(масив) \вдясно)$.
Имаме квадратна матрица от четвърти ред. Веднага отбелязваме, че рангът на тази матрица не надвишава 4, т.е. $\ранг A≤ 4$. Нека започнем да намираме ранга на матрица.
Сред минорите от първи ред (тоест сред елементите на матрицата $A$) има поне един, който не е равен на нула, така че $\rang A≥ 1$. Преминаваме към проверката на непълнолетни от втори ред. Например при пресечната точка на редове № 2, № 3 и колони № 1 и № 2 получаваме следния минор от втори ред: $\left| \begin(масив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Нека го изчислим:
$$ \вляво| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$
Сред минорите от втори ред има поне един, който не е равен на нула, така че $\rang A≥ 2$.
Да преминем към непълнолетни от трети ред. Нека намерим например непълнолетен, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове No 1, No 3, No 4 и колони No 1, No 2, No 4:
$$ \вляво | \begin(масив) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$
Тъй като този минор от трети порядък се оказа равен на нула, е необходимо да се изследва друг минор от трети ред. Или всички те ще бъдат равни на нула (тогава рангът ще бъде равен на 2), или сред тях ще има поне един, който не е равен на нула (тогава ще започнем да изучаваме непълнолетни от четвърти ред). Помислете за минор от трети ред, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове № 2, № 3, № 4 и колони № 2, № 3, № 4:
$$ \вляво| \begin(масив) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$
Има поне един ненулев минор сред минорите от трети ред, така че $\rang A≥ 3$. Да преминем към проверка на непълнолетните от четвърти ред.
Всеки минор от четвърти ред се намира в пресечната точка на четири реда и четири колони на матрицата $A$. С други думи, минорът от четвърти ред е детерминантата на матрицата $A$, тъй като тази матрица съдържа само 4 реда и 4 колони. Детерминантата на тази матрица е изчислена в пример № 2 от темата "Намаляване на реда на детерминантата. Разлагане на детерминанта в ред (колона)" , така че нека просто вземем готовия резултат:
$$ \вляво| \begin(масив) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (масив)\вдясно|=86. $$
И така, минорът от четвърти ред не е равен на нула. Вече не можем да образуваме непълнолетни от пети ред. Заключение: най-високият ред на непълнолетните, сред които има поне един различен от нула, е 4. Резултат: $\rang A=4$.
Отговор: $\ранг A=4$.
Пример №3
Намерете ранга на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( масив)\вдясно)$.
Забележете веднага, че тази матрица съдържа 3 реда и 4 колони, така че $\rang A≤ 3$. В предишните примери започнахме процеса на намиране на ранга, като разгледахме непълнолетните от най-малкия (първи) ред. Тук ще се опитаме незабавно да проверим непълнолетните от най-високия възможен ред. За матрицата $A$ това са минорите от трети ред. Помислете за минор от трети ред, чиито елементи лежат в пресечната точка на редове № 1, № 2, № 3 и колони № 2, № 3, № 4:
$$ \вляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$
И така, най-високият ред на минорите, сред които има поне един, който не е равен на нула, е 3. Следователно рангът на матрицата е 3, т.е. $\ранг A=3$.
Отговор: $\ранг A=3$.
Като цяло, намирането на ранга на матрица по дефиниция е, в общия случай, доста отнемаща време задача. Например, сравнително малка матрица $5\x4$ има 60 второстепенни минорни числа. И дори ако 59 от тях са равни на нула, тогава 60-ият минор може да се окаже различен от нула. След това трябва да проучите второстепенните от трети порядък, от които тази матрица има 40 части. Обикновено човек се опитва да използва по-малко тромави методи, като метода на граничещи непълнолетни или метода на еквивалентни трансформации.
§3. Матричен ранг
Определяне на ранга на матрица
Линейно зависими редове
Елементарни матрични трансформации
Еквивалентни матрици
Алгоритъм за намиране на ранга на матрица с помощта на елементарни трансформации
§4. Детерминанти от първи, втори и трети ред
Детерминанта от първи ред
Детерминанта от втори ред
Детерминанта от трети порядък
Правило на Сарус
§5. Изчисляване на детерминанти на големи поръчки
Алгебрично събиране
Теорема на Лаплас
Триъгълна матрична детерминанта
Приложение. Концепцията за детерминанта Птая поръчка като цяло.
§ 3. Матричен ранг
Всяка матрица се характеризира с определено число, което е важно при решаването на системи от линейни уравнения. Този номер се нарича матричен ранг.
Матричен ранге равно на броя на неговите линейно независими редове (колони), през които линейно се изразяват всички други редове (колони) от него.
Извикват се редове (колони) на матрица линейно зависимиако съответните им елементи са пропорционални.
С други думи, елементите на единия от линейно зависимите редове са равни на елементите на другия, умножени по същото число. Например редове 1 и 2 от матрицата НОса линейно зависими, ако , където (λ е някакво число).
Пример. Намерете ранга на матрица
Решение.
Вторият ред се получава от първия, ако неговите елементи се умножат по -3, третият се получава от първия, ако неговите елементи се умножат по 0, а четвъртият ред не може да бъде изразен чрез първия. Оказва се, че матрицата има два линейно независими реда, т.к първият и четвъртият ред не са пропорционални, следователно рангът на матрицата е 2.
Матричен ранг НОобозначено ранг Аили r(А).
От дефиницията на ранга на матрица следва:
1. Рангът на матрица не надвишава най-малката от нейните измерения, т.е. за матрица А м × н .
2. Рангът на матрица е нула само ако е нулева матрица.
В общия случай определянето на ранга на матрица е доста трудоемко. За улесняване на тази задача се използват трансформации, които запазват ранга на матрицата, които се наричат елементарни трансформации:
1) отхвърляне на нулев ред (колона);
2) умножение на всички елементи от ред (колона) по число, различно от нула;
3) промяна на реда на редовете (колони);
4) добавяне към елементите на един ред (колона) на съответните елементи от друг ред (колона), умножено по произволно число;
5) матрична транспозиция.
Двете матрици се извикват еквивалентенако едното се получава от другото чрез краен брой елементарни трансформации.
Еквивалентността на матриците се обозначава със знака "~" (еквивалент).
С помощта на елементарни трансформации всяка матрица може да бъде намалена до триъгълна форма, тогава изчисляването на нейния ранг не е трудно.
Процесът на изчисляване на ранга на матрица с помощта на елементарни трансформациинека да разгледаме един пример.
Пример. Намерете ранга на матрица
А = 
Решение.
Нашата задача е да приведем матрицата до триъгълна форма, т.е. използвайки елементарни трансформации, уверете се, че само нулите са под главния диагонал в матрицата.
1. Помислете за първия ред. Ако елемент а 11 = 0, тогава при пермутиране на редове или колони постигаме това а 11 ¹ 0. В нашия пример нека разменим, например, първия и втория ред на матрицата:
А = 
Сега елемент а 11 ¹ 0. Умножавайки първия ред по подходящи числа и добавяйки с други редове, ще гарантираме, че всички елементи от първата колона (освен а 11) бяха равни на нула.
2. Помислете сега за втория ред. Ако елемент а 22 = 0, тогава при пермутиране на редове или колони постигаме това а 22 ¹ 0. Ако елементът а 22 № 0 (и имаме а 22 = –1 ¹ 0), тогава като умножим втория ред по подходящи числа и добавим към други редове, ще гарантираме, че всички елементи от втората колона (с изключение на а 22) бяха равни на нула.
3. Ако в процеса на трансформациите се получат редове (колони), които се състоят изцяло от нули, тогава ги изхвърляме. В нашия пример ще изхвърлим редове 3 и 4:
Последната матрица има стъпаловидна форма и съдържа два реда. Те са линейно независими, следователно рангът на матрицата е 2.
§ 4. Детерминанти от първи, втори и трети ред
Сред разнообразието от матрици квадратните матрици се отделят отделно. Този тип матрица е добър, защото:
1. Идентификационните матрици са квадратни.
2. Можете да умножите и добавите всякакви квадратни матрици от същия ред и ще получите матрица от същия ред.
3. Квадратните матрици могат да бъдат повдигнати на степен.
Също така само квадратните матрици могат да имат детерминанта.
Матричен детерминанте специално число, изчислено според някакво правило. Матричен детерминант НОобозначено:
Или с прави скоби: ,
Или главна гръцка буква "делта": Δ( А),
Или символът "детерминант": det ( А).
Детерминанта на матрица от първи ред НО= (а 11) или детерминанта от първи ред, е число, равно на матричния елемент:
∆1 = 
=а 11
Матричен детерминант от втори ред 
или детерминанта от втори ред
Пример:
Детерминантата на матрица от трети ред 
или детерминанта от трети порядък, е число, което се изчислява по формулата:
Детерминантата от трети порядък може да се изчисли с помощта на Правило на Сарус .
Правило на Сарус. Първите две колони са подписани на детерминанта от трети порядък вдясно и със знак плюс (+) вземат сумата от произведенията на трите елемента, разположени на главния диагонал на детерминанта и на успоредните на „правите линии“ към главния диагонал, със знак минус (-) те вземат сбора от произведенията на елементите, разположени на втория диагонал и на успоредните на него "прави линии".
Пример:
Лесно е да се види, че броят на членовете в детерминантата нараства с нейния ред. Като цяло, в детерминанта Ппорядък, броят на членовете е 1 2 3 . . . П = П!.
Нека проверим: за Δ 1 броят на членовете е равен на 1! = 1,
за Δ 2 броят на членовете е 2! = 1 2 = 2,
за Δ 3 броят на членовете е 3! = 1 2 3 = 6.
От това следва, че за детерминанта от 4-ти порядък броят на членовете е 4! = 1 2 3 4 = 24, което означава, че изчисляването на такъв детерминант е доста трудоемко, да не говорим за детерминанти от по-висок порядък. Имайки предвид това, те се опитват да сведат изчисляването на детерминантите на големи порядки до изчисляването на детерминантите от втория или третия порядък.
§ 5. Изчисляване на детерминанти на големи поръчки
Нека представим редица понятия.
Нека е дадена квадратна матрица A n-та поръчка:
| A= |  |
Незначителен М ij елемент а ij се нарича детерминанта ( П– 1)-ти ред, получен от матрицата НОзачеркване и-ти ред и j-та колона.
Например, минорният елемент а 12 матрици от трети порядък ще бъдат:
Алгебрично събиране НО ij елемент а ij е неговия минор, взет със знака (−1) и + j:
НО ij = (−1) и + jM ij
С други думи, НО ij = М ij ако и+jчетен брой,
НО ij = − М ij ако и+jнечетно число.
Пример. Намерете алгебрични допълнения на елементи от втория ред на матрица
Решение.
С помощта на алгебрични допълнения могат да се изчислят детерминанти на големи порядки, въз основа на теоремата на Лаплас.
Теорема на Лаплас. Детерминантата на квадратна матрица е равна на сумата от произведенията на елементите на всеки от нейните редове (колони) и техните алгебрични допълнения:
– разлагане на i-ти ред;
( е разширението в j-та колона).
Пример. Изчислете детерминанта на матрицата 
разлагане на първия ред.
Решение.
Така детерминанта от произволен ред може да се сведе до изчисляването на няколко детерминанта от по-малък ред. Очевидно е, че за разширението е удобно да изберете ред или колона, съдържащи възможно най-много нули.
Нека разгледаме още един пример.
Пример. Изчислете детерминантата на триъгълна матрица 
Решение.
Разбрах това детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на елементите на главния й диагонал .
Това важно заключение улеснява изчисляването на детерминанта на всяка триъгълна матрица. Това е още по-полезно, защото, ако е необходимо, всяка детерминанта може да бъде сведена до триъгълна форма. В този случай се използват някои свойства на детерминантите.
Приложение
Концепцията за детерминанта Птая поръчка като цяло.
Като цяло може да се даде строга дефиниция за детерминанта на матрицата Ппорядък, но за това е необходимо да се въведат редица понятия.
пермутациячисла 1, 2, ..., нвсяко подреждане на тези числа в определен ред се нарича. В елементарната алгебра е доказано, че броят на всички пермутации, които могат да бъдат образувани от нчисла е 12...n = н!. Например три числа 1, 2, 3 могат да образуват 3! = 6 пермутации: 123, 132, 312, 321, 231, 213.
Казват, че при дадена пермутация на числото ии jпредставляват инверсия(разстройство), ако и> j, но истои в тази пермутация преди j, тоест ако по-голямото число е вляво от по-малкото.
Пермутацията се нарича дори(или странно) ако общият брой инверсии е четен (нечетен), съответно.
Операция, чрез която се преминава от една пермутация към друга, съставена от същата нномера се наричат заместване нта степен.
Заместване, което преобразува една пермутация в друга, се записва на два реда в общи скоби, а числата, които заемат едни и същи места в разглежданите пермутации, се наричат съответни и се записват едно под друго. Например символът
обозначава пермутация, при която 3 отива към 4, 1 към 2, 2 към 1, 4 към 3. Пермутация се нарича четна (или нечетна), ако общият брой инверсии в двата реда на заместването е четен (нечетен). Всякаква замяна нта степен може да се запише като
тези. с естественото подреждане на числата в горния ред.
Нека ни бъде дадена квадратна матрица на реда н
Обмислете всички възможни продукти нелементи на тази матрица, взети по един и само по един от всеки ред и всяка колона, т.е. произведения във формата:
,
където индекси q 1 , q 2 ,..., q nсъставят някаква пермутация на числата
1, 2,..., н. Броят на такива продукти е равен на броя на различните пермутации от нзнаци, т.е. се равнява н!. Работен знак , равно (–1) q, където qе броят на инверсията при пермутацията на вторите индекси на елементите.
детерминант н-та поръчкасе нарича алгебричен сбор от всички възможни произведения над нматрични елементи, взети по един и само по един от всеки ред и всяка колона, т.е. произведения във формата: . В същото време знакът на работата равно (–1) q, където qе броят на инверсията при пермутацията на вторите индекси на елементите.
Линейна алгебра
Помислете за правоъгълна матрица. Ако в тази матрица избираме произволно клинии и кколони, тогава елементите в пресечната точка на избраните редове и колони образуват квадратна матрица от k-ти ред. Детерминантата на тази матрица се нарича k-ти ред второстепененматрица A. Очевидно матрицата A има минори от произволен порядък от 1 до най-малкото от числата m и n. Сред всички ненулеви минорни числа на матрицата A има поне един минор, чийто ред е най-голям. Най-големият от ненулевите порядки на минорите на дадена матрица се нарича рангматрици. Ако рангът на матрица A е r, то това означава, че матрицата A има ненулев минор на ред r, но всеки минор от порядък по-голям от r, равно на нула. Рангът на матрица A се означава с r(A). Очевидно е, че връзката
Изчисляване на ранга на матрица с помощта на минор
Рангът на матрицата се намира или по границата на минорите, или по метода на елементарни трансформации. При изчисляване на ранга на матрица по първия начин трябва да се премине от минорите от по-нисък порядък към минорите от по-висок порядък. Ако вече е намерен ненулев минор D от k-тия ред на матрицата A, тогава трябва да се изчислят само минорите (k + 1)-ти ред, граничещи с минор D, т.е. съдържащ го като непълнолетен. Ако всички те са нула, тогава рангът на матрицата е к.
Пример 1Намерете ранга на матрица по метода на граничещи малки
.
Решение.Започваме с непълнолетни от 1-ви ред, т.е. от елементите на матрицата A. Нека изберем например минорния (елемент) М 1 = 1, разположен в първия ред и първата колона. Граничайки с помощта на втория ред и третата колона, получаваме минорното M 2 = , което е различно от нула. Сега се обръщаме към непълнолетните от 3-ти порядък, граничещи с M 2 . Има само две от тях (можете да добавите втора колона или четвърта). Ние ги изчисляваме: 
=
0. Така всички граничещи минорни от трети ред се оказаха равни на нула. Рангът на матрицата А е два.
Изчисляване на ранга на матрица с помощта на елементарни трансформации
ЕлементарноСледните матрични трансформации се наричат:
1) пермутация на всеки два реда (или колони),
2) умножаване на ред (или колона) по число, различно от нула,
3) добавяне към един ред (или колона) на друг ред (или колона), умножено по някакво число.
Двете матрици се извикват еквивалентен, ако едно от тях се получава от другото с помощта на краен набор от елементарни трансформации.
Най-общо казано, еквивалентните матрици не са равни, но техните рангове са равни. Ако матриците A и B са еквивалентни, това се записва по следния начин: A~б.
Канониченматрица е матрица, която има няколко 1 в ред в началото на главния диагонал (чият брой може да бъде нула), а всички други елементи са равни на нула, например,
.
С помощта на елементарни трансформации на редове и колони всяка матрица може да бъде сведена до канонична. Рангът на каноничната матрица е равен на броя на единиците на главния й диагонал.
Пример 2Намерете ранга на матрица
и го приведе до канонична форма.
Решение.Извадете първия ред от втория ред и пренаредете тези редове:
.
Сега, от втория и третия ред, извадете първия, умножен съответно по 2 и 5:
;
извадете първия от третия ред; получаваме матрицата
което е еквивалентно на матрицата A, тъй като се получава от нея с помощта на краен набор от елементарни трансформации. Очевидно рангът на матрица B е 2 и следователно r(A)=2. Матрицата B може лесно да бъде сведена до каноничната. Изваждайки първата колона, умножена по подходящи числа, от всички следващи, ние обръщаме на нула всички елементи от първия ред, с изключение на първия, а елементите на останалите редове не се променят. След това, изваждайки втората колона, умножена по съответните числа, от всички следващи, обръщаме на нула всички елементи от втория ред, с изключение на втория, и получаваме каноничната матрица:
.
Редове (колони). Няколко реда (колони) се наричат линейно независими, ако нито един от тях не може да бъде изразен линейно по отношение на други. Рангът на системата от редове винаги е равен на ранга на системата от колони и това число се нарича ранг на матрицата.
Рангът на матрица е най-високият от порядките на всички възможни ненулеви минорни числа на тази матрица. Рангът на нулева матрица от произволен размер е нула. Ако всички минорни от втори ред са равни на нула, тогава рангът е равен на единица и т.н.
Матричен ранг - измерение на изображението dim (im (A)) (\displaystyle \dim(\operatorname (im) (A)))линеен оператор , на който съответства матрицата.
Обикновено рангът на матрицата A (\displaystyle A)обозначено ранг A (\displaystyle \operatorname (rang) A), r A (\displaystyle \operatorname (r) A), rg A (\displaystyle \operatorname (rg) A)или ранг A (\displaystyle \operatorname (ранг) A). Последният вариант е типичен за английския, докато първите два са за немски, френски и редица други езици.
Енциклопедичен YouTube
-
1 / 5
Нека е правоъгълна матрица.
Тогава, по дефиниция, рангът на матрицата A (\displaystyle A)е:
Теорема (за правилността на дефиницията на ранговете).Нека всички матрични минорни A m × n (\displaystyle A_(m\times n))поръчка k (\displaystyle k)са равни на нула ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Тогава ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0)ако съществуват.
Свързани дефиниции
Имоти
- Теорема (на база минор):Нека бъде r = звънене A , M r (\displaystyle r=\име на оператор (ранг) A,M_(r))- базисен минор на матрицата A (\displaystyle A), тогава:
- Последствия:
- Теорема (за инвариантността на ранга при елементарни трансформации):Нека въведем нотация за матрици, получени една от друга чрез елементарни трансформации. Тогава твърдението е вярно: Ако A ∼ B (\displaystyle A\sim B), то техните редици са равни.
- Теорема Кронекер - Капели:Система от линейни алгебрични уравнения е последователна, ако и само ако рангът на нейната главна матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица. По-специално:
- Броят на основните променливи на системата е равен на ранга на системата.
- Ще бъде дефинирана последователна система (нейното решение е уникално), ако рангът на системата е равен на броя на всички нейни променливи.
- Неравенство Силвестър:Ако Аи Бматрици с размери m x nи n x k, тогава
Това е специален случай на следното неравенство.
- Неравенство Фробениус:Ако AB, BC, ABC са добре дефинирани, тогава
Линейна трансформация и ранг на матрицата
Нека бъде A (\displaystyle A)- матрица на размерите m × n (\displaystyle m\times n)над полето C (\displaystyle C)(или R (\displaystyle R)). Нека бъде T (\displaystyle T)е линейна трансформация, съответстваща на A (\displaystyle A)в стандартната база; означава, че T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Матричен ранг A (\displaystyle A) е измерението на диапазона на трансформиране T (\displaystyle T).
Методи
Има няколко метода за намиране на ранга на матрица:
- Метод на елементарни трансформации
- Малък метод на ресни