Нека си припомним определението за плътност на вероятността.

Нека сега въведем концепцията за равномерно разпределение на вероятностите:

Определение 2

Разпределението се нарича равномерно, ако в интервала, съдържащ всички възможни стойности на случайната променлива, плътността на разпределението е постоянна, т.е.

Снимка 1.

Нека намерим стойността на константата $\C$, използвайки следното свойство на плътността на разпределение: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)= 1$

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Така функцията на равномерното разпределение на плътността има формата:

Фигура 2.

Графикът има следващ изглед(Фиг. 1):

Фигура 3. Равномерна плътност на разпределение на вероятностите

Функция за равномерно разпределение на вероятностите

Нека сега намерим функцията на разпределение за равномерно разпределение.

За да направим това, ще използваме следната формула: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. За $x ≤ a$, съгласно формулата, получаваме:

1. В $a

1. За $x> 2$, съгласно формулата, получаваме:

Така функцията на разпределение изглежда така:

Фигура 4.

Графиката изглежда така (фиг. 2):

Фигура 5. Функция за равномерно разпределение на вероятностите.

Вероятност случайна променлива да попадне в интервала $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ с равномерно разпределение на вероятностите

За да намерим вероятността случайна променлива да попадне в интервала $(\alpha,\beta)$ с равномерно разпределение на вероятностите, ще използваме следната формула:

Очаквана стойност:

Стандартно отклонение:

Примери за решаване на проблема с равномерно разпределение на вероятностите

Пример 1

Интервалът между тролейбусите е 9 минути.

Съставете функцията на разпределение и плътността на разпределението на случайната променлива $X$ на чакащите пътници в тролейбуса.

Намерете вероятността пътник да чака тролейбус за по-малко от три минути.

Намерете вероятността пътник да чака тролейбус след поне 4 минути.

Намерете очакваната стойност, дисперсия и стандартно отклонение

1. Тъй като непрекъснатата случайна променлива на чакането на тролейбус $X$ е равномерно разпределена, тогава $a=0,\ b=9$.

По този начин плътността на разпределението, съгласно формулата на функцията за плътност на равномерното разпределение на вероятността, има формата:

Фигура 6.

Съгласно формулата на функцията за равномерно разпределение на вероятностите, в нашия случай функцията на разпределение има формата:

Фигура 7.

1. Този въпрос може да бъде преформулиран по следния начин: намерете вероятността случайна променлива с равномерно разпределение да попадне в интервала $\left(6,9\right).$

Получаваме:

\}