1. Ако две прави са успоредни на третия ред, тогава те са успоредни:

Ако а||° Си б||° С, тогава а||б.

2. Ако две прави са перпендикулярни на третата линия, тогава те са успоредни:

Ако а⊥° Си б⊥° С, тогава а||б.

Останалите признаци на успоредност на правите се основават на ъглите, образувани при пресичането на две прави с една трета.

3. Ако сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180°, тогава правите са успоредни:

Ако ∠1 + ∠2 = 180°, тогава а||б.

4. Ако съответните ъгли са равни, тогава линиите са успоредни:

Ако ∠2 = ∠4, тогава а||б.

5. Ако вътрешните напречно разположени ъгли са равни, тогава линиите са успоредни:

Ако ∠1 = ∠3, тогава а||б.

Свойства на успоредни прави

Твърденията, които са обратни на знаците за успоредност на правите, са техни свойства. Те се основават на свойствата на ъглите, образувани от пресичането на две успоредни прави с трета права.

1. Когато две успоредни прави се пресичат с трета права, сумата от вътрешните едностранни ъгли, образувани от тях, е 180 °:

Ако а||б, тогава ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Когато две успоредни прави се пресичат с трета права, съответните ъгли, образувани от тях, са равни:

Ако а||б, тогава ∠2 = ∠4.

3. При пресичането на две успоредни прави с третата права ъглите на лежаща, образувани от тях напречно, са равни:

Ако а||б, тогава ∠1 = ∠3.

Следното свойство е специален случай на всяко предишно:

4. Ако правата в равнина е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, то тя е перпендикулярна и на другата:

Ако а||би ° С⊥а, тогава ° С⊥б.

Петото свойство е аксиомата на успоредните прави:

5. През точка, която не лежи на дадена права, може да се проведе само една права, успоредна на дадената права.

Те не се пресичат, независимо колко дълго продължават. Паралелизмът на редовете в писмен вид се обозначава, както следва: АБ|| СЕ

Възможността за съществуване на такива линии се доказва с теорема.

Теорема.

През всяка точка, взета извън дадена права, може да се направи успоредник на тази права..

Позволявам АБтази линия и Снякаква точка, взета извън нея. Това се изисква да се докаже Сможете да начертаете права линия успоредноАБ. Да се ​​спуснем АБот точка С перпендикулярноСди тогава ще го направим СЕ^ Сд, какво е възможно. Направо CEуспоредно АБ.

За доказателство приемаме обратното, т.е CEпресича АБв някакъв момент М. След това от точката Мдо права линия Сдще имаме два различни перпендикуляра Мди ГОСПОЖИЦА, което е невъзможно. означава, CEне може да се пресича с АБ, т.е. СЕуспоредно АБ.

Последица.

Два перпендикуляра (CЕиД.Б.) до една права линия (Сд) са успоредни.

Аксиома на успоредните прави.

През една и съща точка е невъзможно да се начертаят две различни прави, успоредни на една и съща права.

Така че, ако е права линия Сд, начертан през точката Суспоредно на права линия АБ, след това всеки друг ред СЕпрез същата точка С, не могат да бъдат успоредни АБ, т.е. тя продължава пресичат сеС АБ.

Доказателството на тази не съвсем очевидна истина се оказва невъзможно. Приема се без доказателство като необходимо предположение (постулат).

Последствия.

1. Ако прав(СЕ) се пресича с един от успоредно(ЮЗ), след което се пресича с другия ( АБ), защото иначе през същата точка Сдве различни прави, успоредни АБ, което е невъзможно.

2. Ако всеки от двете директен (АиБ) са успоредни на една и съща трета права ( С) , тогава те са успореднимежду тях.

Наистина, ако приемем, че Аи Бсе пресичат в някакъв момент М, тогава две различни прави линии, успоредни една на друга, ще минават през тази точка. С, което е невъзможно.

Теорема.

Ако правата линия е перпендикулярнакъм една от успоредните прави, тогава тя е перпендикулярна на другата успоредно.

Позволявам АБ || Сди EF ^ АБ.Това се изисква да се докаже EF ^ Сд.

ПерпендикулярноЕФ, пресичаща се с АБ, със сигурност ще се пресичат и Сд. Нека пресечната точка е Х.

Да предположим сега това Сдне перпендикулярно на EH. След това някой друг ред, например HK, ще бъде перпендикулярна на EHи следователно през същата точка Хдве прав паралел АБ: едно Сд, по условие и другото HKкакто е доказано преди. Тъй като това е невъзможно, не може да се приеме, че ЮЗне беше перпендикулярна на EH.

Признаци на успоредност на две прави

Теорема 1. Ако в пресечната точка на две прави от секуща:

диагонално разположените ъгли са равни, или

съответните ъгли са равни, или

тогава сумата от едностранните ъгли е 180°

линиите са успоредни(Фиг. 1).

Доказателство. Ние се ограничаваме до доказателството на случай 1.

Да предположим, че в пресечната точка на прави a и b със секуща AB през лежащите ъгли са равни. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Нека докажем, че a || б.

Да приемем, че правите a и b не са успоредни. Тогава те се пресичат в някаква точка M и следователно един от ъглите 4 или 6 ще бъде външният ъгъл на триъгълника ABM. Нека за определеност ∠ 4 е външният ъгъл на триъгълника ABM, а ∠ 6 е вътрешният. От теоремата за външния ъгъл на триъгълника следва, че ∠ 4 е по-голямо от ∠ 6 и това противоречи на условието, което означава, че правите a и 6 не могат да се пресичат, следователно са успоредни.

Следствие 1. Две различни прави в равнина, перпендикулярна на една и съща права, са успоредни(фиг. 2).

Коментирайте. Начинът, по който току-що доказахме случай 1 от теорема 1, се нарича метод на доказване чрез противоречие или свеждане до абсурд. Този метод получи първото си име, защото в началото на разсъжденията се прави предположение, което е противоположно (противоположно) на това, което се изисква да се докаже. Нарича се редукция до абсурд поради факта, че аргументирайки въз основа на направеното предположение, стигаме до абсурдно заключение (абсурд). Получаването на такова заключение ни принуждава да отхвърлим направеното в началото предположение и да приемем това, което се изискваше да бъде доказано.

Задача 1.Построете права, минаваща през дадена точка M и успоредна на дадена права a, която не минава през точка M.

Решение. Провеждаме права p през точка M, перпендикулярна на правата a (фиг. 3).

След това прокарваме права b през точката M, перпендикулярна на правата p. Правата b е успоредна на правата a според следствието от теорема 1.

От разглеждания проблем следва важен извод:
През точка, която не е на дадена права, винаги може да се начертае права, успоредна на дадената права..

Основното свойство на успоредните прави е както следва.

Аксиома на успоредните прави. През дадена точка, която не е на дадена права, има само една права, успоредна на дадената права.

Помислете за някои свойства на успоредните прави, които следват от тази аксиома.

1) Ако правата пресича едната от двете успоредни прави, то тя пресича и другата (фиг. 4).

2) Ако две различни прави са успоредни на третата права, значи те са успоредни (фиг. 5).

Следната теорема също е вярна.

Теорема 2. Ако две успоредни прави се пресичат от секуща, тогава:

ъглите на лежане са равни;

съответните ъгли са равни;

сумата от едностранните ъгли е 180°.

Последствие 2. Ако една права е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.(виж Фиг.2).

Коментирайте. Теорема 2 се нарича обратна на теорема 1. Заключението на теорема 1 е условието на теорема 2. А условието на теорема 1 е заключение на теорема 2. Не всяка теорема има обратна, т.е. ако дадена теорема е вярна, тогава обратната теорема може да е невярна.

Нека обясним това с примера на теоремата за вертикалните ъгли. Тази теорема може да бъде формулирана по следния начин: ако два ъгъла са вертикални, тогава те са равни. Обратната теорема би била следната: ако два ъгъла са равни, тогава те са вертикални. И това, разбира се, не е вярно. две равни ъглине трябва да е вертикално.

Пример 1Две успоредни прави се пресичат от трета. Известно е, че разликата между два вътрешни едностранни ъгъла е 30°. Намерете тези ъгли.

Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието.

Тази статия е за успоредните прави и за успоредните прави. Първо се дава определението за успоредни прави в равнината и в пространството, въвежда се означение, дават се примери и графични илюстрации на успоредни прави. По-нататък се анализират признаците и условията на успоредност на правите. В заключение са показани решения на типични задачи за доказване на паралелност на правите, които се дават от някои уравнения на права линия в правоъгълна координатна система на равнина и в тримерно пространство.

Навигация в страницата.

Успоредни линии - основна информация.

Определение.

Две прави в равнина се наричат успоредноако нямат общи точки.

Определение.

Две линии в три измерения се наричат успоредноако лежат в една и съща равнина и нямат общи точки.

Имайте предвид, че клаузата „ако лежат в една и съща равнина“ в дефиницията на успоредните прави в пространството е много важна. Нека изясним тази точка: две прави линии в триизмерно пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни, а са изкривени.

Ето няколко примера за успоредни прави. Противоположните ръбове на листа от тетрадката лежат на успоредни линии. Правите линии, по които равнината на стената на къщата пресича равнините на тавана и пода, са успоредни. Железопътните релси на равен терен също могат да се разглеждат като успоредни линии.

Символът "" се използва за обозначаване на успоредни линии. Тоест, ако линиите a и b са успоредни, тогава можете накратко да напишете a b.

Обърнете внимание, че ако линиите a и b са успоредни, тогава можем да кажем, че правата a е успоредна на права b, както и че правата b е успоредна на права a.

Нека изразим едно твърдение, което играе важна роля при изследването на успоредните прави в равнината: през точка, която не лежи на дадена права, минава единствената права, успоредна на дадената. Това твърдение се приема като факт (не може да се докаже въз основа на известните аксиоми на планиметрията) и се нарича аксиома на успоредните прави.

За случая в пространството теоремата е вярна: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема може лесно да бъде доказана с помощта на горната аксиома за успоредни прави (можете да намерите нейното доказателство в учебника по геометрия 10-11 клас, който е посочен в края на статията в библиографията).

За случая в пространството теоремата е вярна: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема се доказва лесно с помощта на аксиомата за успоредни прави, дадена по-горе.

Успоредност на правите - признаци и условия на успоредност.

Знак за успоредни правие достатъчно условие за успоредни прави, тоест такова условие, чието изпълнение гарантира успоредни прави. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да се констатира факта, че правите са успоредни.

Съществуват също така необходими и достатъчни условия за успоредни прави в равнината и в триизмерното пространство.

Нека обясним значението на израза "необходимо и достатъчно условие за успоредни прави".

Вече се занимавахме с достатъчното условие за успоредни прави. И какво е " необходимо условиепаралелни линии? От името "необходимо" става ясно, че изпълнението на това условие е необходимо, за да бъдат правите успоредни. С други думи, ако необходимото условие за успоредни прави не е изпълнено, тогава правите не са успоредни. По този начин, необходимо и достатъчно условие правите да са успоредние условие, чието изпълнение е както необходимо, така и достатъчно за успоредни прави. Тоест, от една страна, това е знак за успоредни прави, а от друга страна, това е свойство, което имат успоредните прави.

Преди да посочим необходимото и достатъчно условие за успоредност на линиите, е полезно да си припомним няколко спомагателни дефиниции.

секуща линияе права, която пресича всяка от двете дадени несъвпадащи прави.

При пресичането на две линии от секуща се образуват осем неразгърнати. Така нареченият лежащ на кръст, съотви едностранни ъгли. Нека ги покажем на чертежа.

Теорема.

Ако две прави в равнина се пресичат от секуща, тогава за техния паралелизъм е необходимо и достатъчно напречно разположените ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сумата от едностранните ъгли да е равна на 180 градуса.

Нека покажем графична илюстрация на това необходимо и достатъчно условие за успоредни прави в равнината.

Можете да намерите доказателства за тези условия за успоредни прави в учебниците по геометрия за 7-9 клас.

Обърнете внимание, че тези условия могат да се използват и в триизмерно пространство - основното е, че двете линии и секущата лежат в една и съща равнина.

Ето още няколко теореми, които често се използват при доказване на паралелизъм на правите.

Теорема.

Ако две прави в равнина са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството за тази характеристика следва от аксиомата за успоредните прави.

Подобно условие има и за успоредни линии в триизмерно пространство.

Теорема.

Ако две прави в пространството са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството за тази характеристика се разглежда в уроците по геометрия в 10 клас.

Нека илюстрираме изразените теореми.

Нека дадем още една теорема, която ни позволява да докажем паралелизма на правите в равнината.

Теорема.

Ако две прави в равнина са перпендикулярни на трета права, тогава те са успоредни.

Има подобна теорема за правите в пространството.

Теорема.

Ако две прави в триизмерното пространство са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.

Нека нарисуваме картини, съответстващи на тези теореми.

Всички формулирани по-горе теореми, знаци и необходими и достатъчни условия са напълно подходящи за доказване на успоредност на правите чрез геометрични методи. Тоест, за да се докаже успоредността на две дадени прави, е необходимо да се покаже, че те са успоредни на третата права, или да се покаже равенството на кръстосано разположените ъгли и т.н. Много от тези задачи се решават в уроците по геометрия в гимназията. Трябва обаче да се отбележи, че в много случаи е удобно да се използва методът на координатите, за да се докаже успоредността на правите в равнина или в триизмерно пространство. Нека формулираме необходимите и достатъчни условия за паралелност на правите, които са дадени в правоъгълна координатна система.

Паралелизъм на правите в правоъгълна координатна система.

В този раздел на статията ще формулираме необходими и достатъчни условия за успоредни правив правоъгълна координатна система, в зависимост от вида на уравненията, които определят тези прави, а също така ще дадем подробни решения на типични задачи.

Нека започнем с условието за паралелизъм на две прави в равнината в правоъгълната координатна система Oxy . Неговото доказателство се основава на дефиницията на насочващия вектор на правата и дефиницията на нормалния вектор на правата върху равнината.

Теорема.

За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в равнина, е необходимо и достатъчно векторите на посоката на тези линии да са колинеарни, или векторите на нормата на тези линии да са колинеарни, или векторът на посоката на една права да е перпендикулярен на нормалата вектор на втория ред.

Очевидно условието за успоредност на две прави в равнината се свежда до (вектори на посоката на правите или нормални вектори на правите) или до (вектор на посоката на една права и нормален вектор на втората линия). По този начин, ако и са векторите на посоката на линиите a и b, и и са нормалните вектори на линии a и b, съответно, тогава необходимото и достатъчно условие за успоредни прави a и b може да се запише като , или , или , където t е някакво реално число. От своя страна координатите на насочващите и (или) нормалните вектори на правите a и b се намират от известните уравнения на правите.

По-специално, ако правата a в правоъгълната координатна система Oxy на равнината дефинира общото уравнение на правата на формата , и правата b - , тогава нормалните вектори на тези прави имат координати и съответно, а условието за паралелност на правите a и b ще се запише като .

Ако правата линия a съответства на уравнението на правата линия с коефициента на наклон на формата . Следователно, ако правите линии в равнина в правоъгълна координатна система са успоредни и могат да бъдат дадени чрез уравнения на прави линии с коефициенти на наклон, тогава коефициентите на наклон на правите ще бъдат равни. И обратното: ако несъвпадащи прави линии на равнина в правоъгълна координатна система могат да бъдат дадени от уравненията на права линия с равни коефициенти на наклон, тогава такива прави линии са успоредни.

Ако правата a и правата b в правоъгълна координатна система определят каноничните уравнения на правата в равнината на формата и , или параметрични уравнения на права линия върху равнина на формата и съответно, тогава векторите на посоката на тези линии имат координати и , а условието за паралелизъм за линии a и b се записва като .

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример.

Успоредни ли са линиите? и ?

Решение.

Нека пренапишем уравнението на права линия на отсечки във формата общо уравнениенаправо: . Сега можем да видим, че това е нормален вектор на правата линия , и е нормален вектор на правата линия. Тези вектори не са колинеарни, тъй като няма реално число t, за което равенството ( ). Следователно необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнината не е изпълнено, следователно дадените прави не са успоредни.

Отговор:

Не, линиите не са успоредни.

Пример.

Прави и паралели ли са?

Решение.

Привеждаме каноничното уравнение на права линия към уравнението на права линия с наклон: . Очевидно уравненията на правите и не са еднакви (в този случай дадените линии биха били еднакви) и наклоните на правите са равни, следователно оригиналните прави са успоредни.

Към въпрос 1. Дайте определение на успоредни прави. Кои две отсечки се наричат ​​успоредни? дадено от автора Саша Нижевясовнай-добрият отговор е които в равнината никога няма да се пресекат

Отговор от адаптивност[гуру]
Успоредните прави са прави, които лежат в една и съща равнина и или съвпадат, или не се пресичат.

Отговор от Науменко[гуру]
сегменти. принадлежащи на успоредни прави. са успоредни.
прави линии на равнината, наречена. успоредно. ако не се пресичат или съвпадат.

Отговор от невролог[новак]
Две прави, които лежат в една и съща равнина и нямат обща точка, се наричат ​​успоредни.

Отговор от Хвърли[майстор]

Отговор от Варвара Ламекина[новак]
две прави в равнина се казва, че са успоредни, ако не се пресичат)

Отговор от Максим Иванов[новак]
Които не се пресичат на равнината.

Отговор от Sem2805[активен]
две прави в равнина се наричат ​​успоредни, ако не се пресичат (7 клас)

Отговор от Саша Ключников[новак]
Успоредни прави в евклидовата геометрия, прави, които лежат в една и съща равнина и не се пресичат. В абсолютната геометрия през точка, която не лежи на дадена права, минава поне една права, която не пресича дадената права. В евклидовата геометрия има само една такава линия. Този факт е еквивалентен на петия постулат на Евклид (относно паралел). В геометрията на Лобачевски (виж геометрията на Лобачевски) в равнината през точката C (виж фигурата) извън дадената права AB има безкраен набор от прави, които не се пресичат AB. От тях само две се наричат ​​успоредни на AB. Права CE се нарича успоредна на права AB в посока от A към B, ако: 1) точки B и E лежат от една и съща страна на права AC; 2) права CE не пресича права AB; всеки лъч, преминаващ вътре в ъгъл ACE, пресича лъч AB Правата CF, успоредна на AB в посока от B към A, се дефинира по подобен начин.

Отговор от Анатолий Мишин[новак]
Две прави в пространството се наричат ​​успоредни, ако лежат в една и съща равнина и не се пресичат.

Отговор от Ўлия[активен]
Успоредните прави са прави, които не се пресичат

Отговор от каза Чараков[новак]
Успоредни са две прави, които лежат в една и съща равнина и нямат общи точки.
През точка може да се проведе само една права, успоредна на дадена равнина.

Отговор от Олга Немтирева[новак]
Успоредните прави са прави, които лежат в една и съща равнина и или съвпадат, или не се пресичат. ..геометрия на Лобачевски) в равнината през точката C (виж фиг.) извън дадената права AB преминава безкраен набор от прави, които не се пресичат AB. От тях само две се наричат ​​успоредни на AB.

Отговор от Оксана Тишченко[новак]
Успоредните прави са две прави в равнина, които не се пресичат. Две отсечки се наричат ​​успоредни, ако лежат върху успоредни прави.