Niekedy vzniká úloha - vyrobiť ochranný dáždnik na výfuk alebo komín, výfukový deflektor na vetranie atď. Ale predtým, ako začnete vyrábať, musíte urobiť vzor (alebo skenovať) pre materiál. Na internete existujú najrôznejšie programy na výpočet takýchto pohybov. Problém je však tak ľahko riešiteľný, že si ho rýchlo vypočítate pomocou kalkulačky (na počítači), ako budete tieto programy hľadať, sťahovať a zaoberať sa nimi.
Začnime jednoduchou možnosťou - vývojom jednoduchého kužeľa. Najjednoduchší spôsob, ako vysvetliť princíp výpočtu vzoru, je na príklade.
Predpokladajme, že potrebujeme vyrobiť kužeľ s priemerom D cm a výškou H centimetrov. Je úplne jasné, že kruh s vyrezaným segmentom bude pôsobiť ako polotovar. Známe sú dva parametre – priemer a výška. Pomocou Pytagorovej vety vypočítame priemer kruhu obrobku (nezamieňajte ho s polomerom hotovýšišky). Polovica priemeru (polomer) a výška tvoria pravouhlý trojuholník. Takže:
Takže teraz poznáme polomer obrobku a môžeme vystrihnúť kruh.
Vypočítajte uhol sektora, ktorý sa má vyrezať z kruhu. Argumentujeme takto: Priemer obrobku je 2R, čo znamená, že obvod je Pi * 2 * R - t.j. 6,28*R. Označujeme ho L. Kruh je úplný, t.j. 360 stupňov. A obvod hotového kužeľa je Pi * D. Označujeme ho Lm. Je to samozrejme menej ako obvod obrobku. Musíme vyrezať segment s dĺžkou oblúka rovnajúcou sa rozdielu medzi týmito dĺžkami. Použite pravidlo pomeru. Ak nám 360 stupňov dáva celý obvod obrobku, potom požadovaný uhol by mal udávať obvod hotového kužeľa.
Z pomerového vzorca získame veľkosť uhla X. A rezaný sektor nájdeme odčítaním 360 - X.
Z okrúhleho polotovaru s polomerom R je potrebné vyrezať sektor s uhlom (360-X). Nezabudnite ponechať malý pásik prekrývajúceho sa materiálu (ak sa bude držiak kužeľa prekrývať). Po spojení strán vyrezaného sektora dostaneme kužeľ danej veľkosti.
Napríklad: Potrebujeme kužeľ komínového odsávača pár s výškou (H) 100 mm a priemerom (D) 250 mm. Podľa Pytagorovho vzorca získame polomer obrobku - 160 mm. A obvod obrobku, respektíve 160 x 6,28 = 1005 mm. Zároveň obvod kužeľa, ktorý potrebujeme, je 250 x 3,14 = 785 mm.
Potom dostaneme, že pomer uhlov bude: 785 / 1005 x 360 = 281 stupňov. V súlade s tým je potrebné orezať sektor 360 - 281 = 79 stupňov.
Výpočet polotovaru vzoru pre zrezaný kužeľ.
Takýto detail je niekedy potrebný pri výrobe adaptérov z jedného priemeru na druhý alebo pre deflektory Volpert-Grigorovič alebo Khanzhenkov. Používajú sa na zlepšenie ťahu v komíne alebo vetracom potrubí.
Úlohu mierne komplikuje skutočnosť, že nepoznáme výšku celého kužeľa, ale iba jeho zrezanú časť. Vo všeobecnosti existujú tri počiatočné čísla: výška zrezaného kužeľa H, priemer spodného otvoru (základne) D a priemer horného otvoru Dm (v priereze plného kužeľa). Ale uchýlime sa k rovnakým jednoduchým matematickým konštrukciám založeným na Pytagorovej vete a podobnosti.
Je totiž zrejmé, že hodnota (D-Dm) / 2 (polovica rozdielu priemerov) bude súvisieť s výškou zrezaného kužeľa H rovnako ako polomer základne s výškou celého kužeľa, ako keby nebolo skrátené. Z tohto pomeru zistíme celkovú výšku (P).
(D - Dm)/2H = D/2P
Preto Р = D x H / (D-Dm).
Teraz, keď poznáme celkovú výšku kužeľa, môžeme znížiť riešenie problému na predchádzajúci. Vypočítajte vývoj obrobku ako pre úplný kužeľ a potom od neho „odčítajte“ vývoj jeho hornej, nepotrebnej časti. A môžeme vypočítať priamo polomery obrobku.
Pytagorovou vetou získame väčší polomer obrobku - Rz. Toto je druhá odmocnina súčtu druhých mocnín výšky P a D/2.
Menší polomer Rm je druhá odmocnina súčtu druhých mocnín (P-H) a Dm/2.
Obvod nášho obrobku je 2 x Pi x Rz alebo 6,28 x Rz. A obvod základne kužeľa je Pi x D alebo 3,14 x D. Pomer ich dĺžok dá pomer uhlov sektorov, ak predpokladáme, že plný uhol v obrobku je 360 stupňov.
Tie. X/360 = 3,14 x D / 6,28 x Rz
Preto X \u003d 180 x D / Rz (Toto je uhol, ktorý musíte nechať, aby ste získali obvod základne). A musíte zodpovedajúcim spôsobom orezať 360 - X.
Napríklad: Potrebujeme vyrobiť zrezaný kužeľ vysoký 250 mm, priemer základne 300 mm, priemer horného otvoru 200 mm.
Zistíme výšku plného kužeľa P: 300 x 250 / (300 - 200) = 600 mm
Podľa Pytagorovej metódy zistíme vonkajší polomer obrobku Rz: Druhá odmocnina z (300/2) ^ 2 + 6002 = 618,5 mm
Podľa rovnakej vety nájdeme menší polomer Rm: Druhá odmocnina z (600 - 250)^2 + (200/2)^2 = 364 mm.
Určujeme uhol sektora nášho obrobku: 180 x 300 / 618,5 = 87,3 stupňov.
Na materiál nakreslíme oblúk s polomerom 618,5 mm, potom z toho istého stredu - oblúk s polomerom 364 mm. Uhol oblúka môže mať približne 90-100 stupňov otvorenia. Polomery kreslíme s uhlom otvorenia 87,3 stupňov. Naša príprava je pripravená. Nezabudnite počítať s okrajmi švíkov, ak sa prekrývajú.
V geometrii je zrezaný kužeľ teleso, ktoré je tvorené rotáciou pravouhlého lichobežníka okolo tej jeho strany, ktorá je kolmá na základňu. Ako počítajú objem zrezaného kužeľa, každý pozná z školský kurz geometrie a v praxi tieto poznatky často využívajú konštruktéri rôznych strojov a mechanizmov, vývojári niektorých spotrebných tovarov, ale aj architekti.
Výpočet objemu zrezaného kužeľa
Vzorec na výpočet objemu zrezaného kužeľa
Objem zrezaného kužeľa sa vypočíta podľa vzorca:
| V | πh (R 2 + R × r + r 2) |
h- výška kužeľa
r- polomer hornej základne
R- spodný polomer základne
V- objem zrezaného kužeľa
π - 3,14
S takými geometrickými telesami ako zrezané kužele, v Každodenný život každý sa dosť často zráža, ak nie neustále. Ich tvar má širokú škálu nádob široko používaných v každodennom živote: vedrá, poháre, niektoré šálky. Je samozrejmé, že dizajnéri, ktorí ich vyvinuli, museli použiť vzorec, ktorý počíta objem zrezaného kužeľa, keďže toto množstvo má v tomto prípade veľmi veľký význam, pretože určuje takú dôležitú charakteristiku, akou je kapacita produktu.
Inžinierske stavby, ktoré sú zrezané kužele, často vidieť na veľkom priemyselné podniky, ako aj tepelné a jadrové elektrárne. Práve túto formu majú chladiace veže – zariadenia určené na chladenie veľkých objemov vody vynútením protiprúdu atmosférický vzduch. Najčastejšie sa tieto konštrukcie používajú v prípadoch, keď je potrebné výrazne znížiť teplotu v krátkom čase. Vysoké číslo kvapaliny. Vývojári týchto štruktúr musia určiť objem zrezaného kužeľa vzorec na výpočet, ktorý je celkom jednoduchý a známy všetkým, ktorí sa kedysi dobre učili na strednej škole.
Detaily s týmto geometrickým tvarom sa pomerne často nachádzajú v dizajne rôznych technických zariadení. Napríklad ozubené kolesá používané v systémoch, kde je potrebné zmeniť smer kinetického prevodu, sa najčastejšie realizujú pomocou kužeľových ozubených kolies. Tieto diely sú neoddeliteľnou súčasťou širokej škály prevodoviek, ako aj automatických a manuálnych prevodoviek používaných v moderných automobiloch.
Tvar zrezaného kužeľa má niektoré rezné nástroje, ktoré sa široko používajú vo výrobe, napríklad frézy. S ich pomocou môžete spracovať naklonené povrchy pod určitým uhlom. Na ostrenie fréz kovoobrábacích a drevoobrábacích zariadení sa často používajú brúsne kotúče, ktoré sú tiež zrezanými kužeľmi. navyše objem zrezaného kužeľa je potrebné určiť konštruktérov sústružníckych a frézovacích strojov, pri ktorých ide o upevnenie rezného nástroja vybaveného kužeľovými stopkami (vrtáky, výstružníky atď.).
Namiesto slova „vzor“ sa niekedy používa „sweep“, ale tento výraz je nejednoznačný: napríklad výstružník je nástroj na zväčšenie priemeru otvoru a v elektronickej technike existuje pojem výstružník. Preto, hoci som povinný použiť slová „cone sweep“, aby vyhľadávače pomocou nich našli tento článok, použijem slovo „vzor“.
Vytvorenie vzoru pre kužeľ je jednoduchá záležitosť. Uvažujme dva prípady: pre plný kužeľ a pre skrátený kužeľ. Na obrázku (klikni na zväčšenie) sú znázornené náčrty takýchto kužeľov a ich vzory. (Hneď podotýkam, že sa budeme baviť len o rovných kužeľoch s okrúhlou základňou. Kužeľom s oválnou základňou a šikmým kužeľom sa budeme venovať v nasledujúcich článkoch).
1. Úplné zúženie
Označenia:
Parametre vzoru sa vypočítavajú podľa vzorcov:
;
;
kde 
.
2. Zrezaný kužeľ
Označenia:
Vzorce na výpočet parametrov vzoru: 
;
;
;
kde 
.
Všimnite si, že tieto vzorce sú vhodné aj pre úplný kužeľ, ak dosadíme .
Niekedy je pri konštrukcii kužeľa základná hodnota uhla v jeho vrchole (alebo v imaginárnom vrchole, ak je kužeľ zrezaný). Najjednoduchší príklad je, keď potrebujete, aby jeden kužeľ tesne zapadol do druhého. Označme tento uhol písmenom (pozri obrázok).
V tomto prípade ho môžeme použiť namiesto jednej z troch vstupných hodnôt: , alebo . Prečo „spolu O“, nie „spolu e"? Pretože na zostavenie kužeľa stačia tri parametre a hodnota štvrtého sa vypočíta z hodnôt ostatných troch. Prečo práve tri, a nie dva či štyri, je otázka, ktorá presahuje rámec tohto článku. Tajomný hlas mi hovorí, že to nejako súvisí s trojrozmernosťou objektu „kužeľa“. (Porovnajte s dvoma počiatočnými parametrami objektu dvojrozmerného segmentu kruhu, z ktorého sme v článku vypočítali všetky jeho ostatné parametre.)
Nižšie sú uvedené vzorce, podľa ktorých sa určuje štvrtý parameter kužeľa, keď sú uvedené tri.
4. Metódy konštrukcie vzoru
- Vypočítajte hodnoty na kalkulačke a vytvorte vzor na papieri (alebo ihneď na kove) pomocou kompasu, pravítka a uhlomeru.
- Zadajte vzorce a zdrojové údaje do tabuľky (napríklad Microsoft Excel). Získaný výsledok sa použije na vytvorenie vzoru pomocou grafického editora (napríklad CorelDRAW).
- použite môj program, ktorý nakreslí na obrazovku a vytlačí vzor pre kužeľ s danými parametrami. Tento vzor je možné uložiť ako vektorový súbor a importovať do CorelDRAW.
5. Nie paralelné základne
Pokiaľ ide o zrezané kužele, program Cones stále vytvára vzory pre kužele, ktoré majú iba paralelné základne.
Pre tých, ktorí hľadajú spôsob, ako vytvoriť vzor zrezaného kužeľa s nerovnobežnými základňami, tu je odkaz, ktorý poskytol jeden z návštevníkov stránky:
Zrezaný kužeľ s nerovnobežnými základňami.
Rozvinutie povrchu kužeľa je plochý útvar získaný spojením bočného povrchu a základne kužeľa s určitou rovinou.
Možnosti sweep konštrukcie:
Vývoj pravého kruhového kužeľa
Vývoj bočného povrchu pravého kruhového kužeľa je kruhový sektor, ktorého polomer rovná dĺžke tvoriaca čiara kužeľovej plochy l a stredový uhol φ je určený vzorcom φ=360*R/l, kde R je polomer obvodu základne kužeľa.
V rade úloh deskriptívnej geometrie je preferovaným riešením aproximácia (náhrada) kužeľa pyramídou do neho vpísanou a zostrojenie približného nábehu, na ktorý je vhodné kresliť čiary ležiace na kužeľovej ploche.
Konštrukčný algoritmus
- Do kužeľovej plochy vpíšeme polygonálny ihlan. Čím viac bočných plôch vpísanej pyramídy, tým presnejšia je zhoda medzi skutočným a približným skenovaním.
- Vybudujeme rozvinutie bočnej plochy pyramídy metódou trojuholníka. Body patriace k základni kužeľa sú spojené hladkou krivkou.
Príklad
Na obrázku nižšie je pravidelný šesťuholníkový ihlan SABCDEF vpísaný do pravého kruhového kužeľa a približný vývoj jeho bočnej plochy pozostáva zo šiestich rovnoramenných trojuholníkov - plôch pyramídy.
Uvažujme trojuholník S 0 A 0 B 0 . Dĺžky jej strán S 0 A 0 a S 0 B 0 sa rovnajú tvoriacej priamke l kužeľovej plochy. Hodnota A 0 B 0 zodpovedá dĺžke A'B'. Na zostavenie trojuholníka S 0 A 0 B 0 na ľubovoľnom mieste výkresu vyčleníme úsečku S 0 A 0 =l, za ktorou nakreslíme kružnice s polomerom S 0 B 0 =l a A 0 B 0 = A'B' z bodov S 0 a A 0 v tomto poradí. Priesečník kružníc B 0 spojíme s bodmi A 0 a S 0 .
Steny S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 pyramídy SABCDEF sú postavené podobne ako trojuholník S 0 A 0 B0.
Body A, B, C, D, E a F, ležiace na základni kužeľa, sú spojené hladkou krivkou - oblúkom kruhu, ktorého polomer je rovný l.
Vývoj šikmého kužeľa
Zvážte postup pri konštrukcii zametania bočného povrchu nakloneného kužeľa aproximáciou.
Algoritmus
- Do kružnice podstavy kužeľa vpíšeme šesťuholník 123456. Body 1, 2, 3, 4, 5 a 6 spojíme s vrcholom S. Takto skonštruovaná pyramída S123456 s určitým stupňom priblíženia je náhrada za kužeľovú plochu a ako taká sa používa v ďalších konštrukciách.
- Prirodzené hodnoty hrán pyramídy určujeme metódou rotácie okolo premietacej čiary: v príklade je použitá os i, ktorá je kolmá na horizontálnu projekčnú rovinu a prechádza cez vrchol S.
Takže v dôsledku rotácie hrany S5 jej nový horizontálny priemet S'5'1 zaujme polohu, v ktorej je rovnobežná s čelnou rovinou π2. V súlade s tým je S''5''1 prirodzená hodnota S5. - Zostrojíme rozvinutie bočnej plochy pyramídy S123456, pozostávajúcej zo šiestich trojuholníkov: 0 1 0 . Konštrukcia každého trojuholníka sa vykonáva na troch stranách. Napríklad △S 0 1 0 6 0 má dĺžku S 0 1 0 =S''1'' 0, S 0 6 0 = S''6'' 1, 1 0 6 0 = 1'6'.
Stupeň zhody približného pohybu so skutočným závisí od počtu plôch vpísanej pyramídy. Počet tvárí sa volí na základe jednoduchosti čítania výkresu, požiadaviek na jeho presnosť, prítomnosti charakteristických bodov a čiar, ktoré je potrebné preniesť na skenovanie.
Prenesenie čiary z povrchu kužeľa na rozvinutie
Čiara n ležiaca na povrchu kužeľa je vytvorená ako výsledok jej priesečníka s určitou rovinou (obrázok nižšie). Zvážte algoritmus na zostavenie čiary n na ťahu.
Algoritmus
- Nájdite priemety bodov A, B a C, v ktorých priamka n pretína hrany ihlana vpísaného do kužeľa S123456.
- Skutočnú veľkosť segmentov SA, SB, SC určíme otáčaním okolo vyčnievajúcej čiary. V tomto príklade SA=S''A'', SB=S''B''1, SC=S''C''1.
- Nájdeme polohu bodov A 0 , B 0 , C 0 na zodpovedajúcich hranách pyramídy, pričom segmenty S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S°C°=S''C''1.
- Body A 0, B 0, C 0 spájame hladkou čiarou.
Vývoj zrezaného kužeľa
Nižšie opísaná metóda na konštrukciu krivky pravého kruhového zrezaného kužeľa je založená na princípe podobnosti.
Spomedzi rôznych geometrických telies je jedným z najzaujímavejších kužeľ. Vzniká otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jednej z jeho nôh.
Ako zistiť objem kužeľa - základné pojmy
Než začnete počítať objem kužeľa, mali by ste sa oboznámiť so základnými pojmami.
- Kruhový kužeľ - základom takéhoto kužeľa je kruh. Ak je základňou elipsa, parabola alebo hyperbola, potom sa obrazce nazývajú eliptické, parabolické alebo hyperbolické kužele. Stojí za to pamätať, že posledné dva typy kužeľov majú nekonečný objem.
- Zrezaný kužeľ je časť kužeľa umiestnená medzi základňou a rovinou rovnobežnou s touto základňou, ktorá sa nachádza medzi vrcholom a základňou.
- Výška - segment kolmý na základňu, uvoľnený zhora.
- Tvoriaca čiara kužeľa je segment, ktorý spája hranicu základne a vrchu.
Objem kužeľa
Na výpočet objemu kužeľa sa používa vzorec V=1/3*S*H, kde S je základná plocha, H je výška. Keďže základňa kužeľa je kruh, jeho obsah sa zistí podľa vzorca S= nR^2, kde n = 3,14, R je polomer kruhu.
Nastane situácia, keď niektoré parametre nie sú známe: výška, polomer alebo tvoriaca čiara. V tomto prípade stojí za to uchýliť sa k Pytagorovej vete. Osový rez kužeľa je rovnoramenný trojuholník pozostávajúci z dvoch pravouhlých trojuholníkov, kde l je prepona a H a R sú nohy. Potom l=(H^2+R^2)^1/2.
Objem skráteného kužeľa
Zrezaný kužeľ je kužeľ s odrezaným vrchom.
Na zistenie objemu takéhoto kužeľa potrebujete vzorec:
V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),
kde n=3,14, r je polomer kružnice rezu, R je polomer veľkej základne, H je výška.
Axiálnym rezom zrezaného kužeľa bude rovnoramenný lichobežník. Preto, ak potrebujete nájsť dĺžku tvoriacej čiary kužeľa alebo polomer jedného z kruhov, oplatí sa použiť vzorce na nájdenie strán a základov lichobežníka.
Nájdite objem kužeľa, ak je jeho výška 8 cm a polomer základne 3 cm.
Dané: V=8 cm, R=3 cm.
Najprv nájdite plochu základne použitím vzorca S=nR^2.
S=3,14*3^2=28,26 cm^2
Teraz pomocou vzorca V=1/3*S*H nájdeme objem kužeľa.
V=1/3*28,26*8=75,36 cm^3
Postavy v tvare kužeľa sa nachádzajú všade: parkovacie kužele, veže budov, tienidlo na lampu. Vedieť nájsť objem kužeľa sa preto môže niekedy hodiť v profesionálnom aj bežnom živote.