Obrázky nižšie ukazujú, kde môže funkcia dosiahnuť svoju najmenšiu a najväčšiu hodnotu. Na ľavom obrázku sú najmenšie a najväčšie hodnoty fixované v bodoch lokálneho minima a maxima funkcie. Na pravom obrázku - na koncoch segmentu.

Ak je funkcia r = f(X) súvislé na segmente [ a, b], potom dosiahne tento segment najmenej a najvyššie hodnoty . To sa, ako už bolo spomenuté, môže stať buď v extrémne body alebo na koncoch segmentu. Preto nájsť najmenej a najväčšie hodnoty funkcie , súvislé na intervale [ a, b], musíte vypočítať všetky jeho hodnoty kritických bodov a na koncoch segmentu a potom vyberte najmenší a najväčší z nich.

Nech je napríklad potrebné určiť maximálnu hodnotu funkcie f(X) na segmente [ a, b] . Ak to chcete urobiť, nájdite všetky jeho kritické body ležiace na [ a, b] .

kritický bod sa nazýva bod, v ktorom funkcia definovaná, a jej derivát je buď nula, alebo neexistuje. Potom by ste mali vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch. A nakoniec je potrebné porovnať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu ( f(a) a f(b)). Najväčšie z týchto čísel bude najväčšia hodnota funkcie na intervale [a, b] .

Problém nájsť najmenšie hodnoty funkcie .

Spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Príklad 1. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 2] .

rozhodnutie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie. Prirovnajte deriváciu k nule () a získajte dva kritické body: a . Na nájdenie najmenšej a najväčšej hodnoty funkcie na danom segmente stačí vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v bode , keďže bod nepatrí do segmentu [-1, 2]. Tieto funkčné hodnoty sú nasledovné: , , . Z toho vyplýva najmenšia funkčná hodnota(označené červenou farbou na grafe nižšie), rovné -7, sa dosiahne na pravom konci segmentu - v bode , a najväčší(na grafe aj červená), sa rovná 9, - v kritickom bode .

Ak je funkcia spojitá v určitom intervale a tento interval nie je segmentom (ale je napr. intervalom; rozdiel medzi intervalom a segmentom: hraničné body intervalu nie sú zahrnuté v intervale, ale hraničné body segmentu sú zahrnuté v segmente), potom medzi hodnotami funkcie nemusia byť najmenšie a najväčšie. Takže napríklad funkcia zobrazená na obrázku nižšie je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá najväčšiu hodnotu.

Avšak pre akýkoľvek interval (uzavretý, otvorený alebo nekonečný) platí nasledujúca vlastnosť spojitých funkcií.

Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť online kalkulačka derivátov .

Príklad 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 3] .

rozhodnutie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako deriváciu kvocientu:

.

Deriváciu prirovnáme k nule, čo nám dáva jeden kritický bod: . Patrí do intervalu [-1, 3] . Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Porovnajme tieto hodnoty. Záver: rovný -5/13, v bode a najväčšiu hodnotu rovná 1 v bode .

Pokračujeme v spoločnom hľadaní najmenších a najväčších hodnôt funkcie

Sú učitelia, ktorí pri téme hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie nedávajú žiakom zložitejšie príklady ako tie, ktoré sú práve uvažované, teda také, v ktorých je funkciou polynóm alebo zlomok, čitateľ. a menovateľom ktorých sú polynómy. Nebudeme sa však obmedzovať na takéto príklady, pretože medzi učiteľmi sú milovníci toho, aby študenti premýšľali v plnom rozsahu (tabuľka derivátov). Preto sa použije logaritmus a goniometrické funkcie.

Príklad 8. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

rozhodnutie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako derivát produktu :

Deriváciu prirovnáme k nule, čo dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Výsledok všetkých akcií: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný 0, v bode a v bode a najväčšiu hodnotu rovná e² , v bode .

Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť online kalkulačka derivátov .

Príklad 9. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

rozhodnutie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie:

Prirovnajte deriváciu k nule:

Jediný kritický bod patrí segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

záver: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný , v bode a najväčšiu hodnotu, rovný , v bode .

V aplikovaných extrémnych problémoch sa hľadanie najmenších (najväčších) funkčných hodnôt spravidla redukuje na nájdenie minima (maxima). Väčší praktický význam však nemajú samotné minimá alebo maximá, ale hodnoty argumentu, pri ktorých sa dosahujú. Pri riešení aplikovaných problémov vzniká ďalší problém - zostavovanie funkcií, ktoré popisujú uvažovaný jav alebo proces.

Príklad 10 Nádrž s objemom 4, ktorá má tvar kvádra so štvorcovým dnom a je otvorená hore, musí byť pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, aby bola pokrytá čo najmenším množstvom materiálu?

rozhodnutie. Nechať byť X- základná strana h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, V- jeho objem. Plocha nádrže je vyjadrená vzorcom, t.j. je funkciou dvoch premenných. Vyjadriť S ako funkciu jednej premennej používame skutočnosť, že , odkiaľ . Nahradenie nájdeného výrazu h do vzorca pre S:

Preskúmajme túto funkciu pre extrém. Je definovaný a diferencovateľný všade v ]0, +∞[ , a

.

Deriváciu prirovnáme k nule () a nájdeme kritický bod. Okrem toho, keď derivát neexistuje, ale táto hodnota nie je zahrnutá v oblasti definície, a preto nemôže byť extrémnym bodom. Takže, - jediný kritický bod. Skontrolujme to na prítomnosť extrému pomocou druhého dostatočného kritéria. Poďme nájsť druhú deriváciu. Keď je druhá derivácia väčšia ako nula (). To znamená, že keď funkcia dosiahne minimum . Pretože toto minimum - jediný extrém tejto funkcie, je to jej najmenšia hodnota. Takže strana základne nádrže by sa mala rovnať 2 m a jej výška.

Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť

V júli 2020 NASA spúšťa expedíciu na Mars. Kozmická loď doručí na Mars elektronický nosič s menami všetkých registrovaných členov expedície.

Ak tento príspevok vyriešil váš problém alebo sa vám len páčil, zdieľajte odkaz naň so svojimi priateľmi na sociálnych sieťach.

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky a alebo hneď za značkou . Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítacieho kódu uvedeného vyššie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.

Ďalší Silvester... mrazivé počasie a snehové vločky na okennom skle... To všetko ma podnietilo opäť napísať o... fraktáloch a o tom, čo o tom Wolfram Alpha vie. Pri tejto príležitosti je zaujímavý článok, v ktorom sú príklady dvojrozmerných fraktálových štruktúr. Tu zvážime zložitejšie príklady trojrozmerných fraktálov.

Fraktál možno vizuálne znázorniť (opísať) ako geometrický útvar alebo teleso (čo znamená, že oba sú súborom, v tomto prípade súborom bodov), ktorých detaily majú rovnaký tvar ako samotný pôvodný útvar. To znamená, že ide o samopodobnú štruktúru, ktorej detaily po zväčšení uvidíme rovnaký tvar ako bez zväčšenia. Zatiaľ čo v prípade obyčajného geometrického útvaru (nie fraktálu) pri priblížení uvidíme detaily, ktoré majú jednoduchší tvar ako samotný pôvodný útvar. Napríklad pri dostatočne veľkom zväčšení vyzerá časť elipsy ako priamka. To sa pri fraktáloch nedeje: pri akomkoľvek ich náraste opäť uvidíme rovnaký zložitý tvar, ktorý sa pri každom zvýšení bude znova a znova opakovať.

Benoit Mandelbrot, zakladateľ vedy o fraktáloch, vo svojom článku Fractals and Art for Science napísal: "Fraktály sú geometrické tvary, ktoré sú rovnako zložité vo svojich detailoch ako vo svojej celkovej forme. To znamená, ak časť fraktálu bude zväčšiť na veľkosť celku, bude vyzerať ako celok, alebo presne, alebo možno s miernou deformáciou.

Z praktického hľadiska je najzaujímavejšie použitie derivácie na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života treba riešiť problém optimalizácie niektorých parametrov. A to je problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Treba si uvedomiť, že najväčšia a najmenšia hodnota funkcie sa zvyčajne hľadá na nejakom intervale X , čo je buď celý definičný obor funkcie alebo časť definičného oboru. Samotný interval X môže byť úsečka, otvorený interval , nekonečný interval .

V tomto článku budeme hovoriť o hľadaní najväčších a najmenších hodnôt explicitne danej funkcie jednej premennej y=f(x) .

Navigácia na stránke.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

Zastavme sa krátko pri hlavných definíciách.

Najväčšia hodnota funkcie , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) hodnota akceptovaná v uvažovanom intervale s osou x.

Stacionárne body sú hodnoty argumentu, pri ktorom derivácia funkcie zaniká.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju maximálnu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.

Funkcia môže tiež často nadobúdať najväčšie a najmenšie hodnoty v bodoch, kde prvá derivácia tejto funkcie neexistuje a je definovaná samotná funkcia.

Hneď si odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie, alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre prehľadnosť uvádzame grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky - a veľa bude jasné.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch vo vnútri segmentu [-6;6].

Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňte segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia - v bode s osou zodpovedajúcou pravej hranici intervalu.

Na obrázku č. 3 sú hraničné body úsečky [-3; 2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Vo voľnom výbehu

Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch v rámci otvoreného intervalu (-6;6).

Pri intervale nemožno vyvodiť závery o najväčšej hodnote.

V nekonečne

V príklade znázornenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y ) v stacionárnom bode s os x=1 a najmenšiu hodnotu (min y ) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.

Na intervale funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keďže x=2 smeruje doprava, funkčné hodnoty majú tendenciu k mínus nekonečnu (priama čiara x=2 je vertikálna asymptota) a keďže úsečka smeruje k plus nekonečnu, funkčné hodnoty sa asymptoticky približujú k y=3 . Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.

Napíšeme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.

1. Nájdeme doménu funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
2. Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (zvyčajne sa takéto body vyskytujú vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v mocninných funkciách s zlomkovo-racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
3. Určujeme všetky stacionárne body, ktoré spadajú do segmentu. Aby sme to dosiahli, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme príslušné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší krok.
4. Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), a tiež v x=a a x=b.
5. Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované maximálne a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus pri riešení príkladu, aby sme našli najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

• na segmente;
• na intervale [-4;-1] .

rozhodnutie.

Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel okrem nuly, teda . Oba segmenty spadajú do oblasti definície.

Nájdeme deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1] .

Stacionárne body sa určia z rovnice . Jediný skutočný koreň je x=2 . Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x=1 a najmenšia hodnota – pri x=2.

V druhom prípade vypočítame hodnoty funkcie iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje žiadne stacionárne body):

rozhodnutie.

Začnime rozsahom funkcie. Štvorcová trojčlenka v menovateli zlomku nesmie zaniknúť:

Je ľahké skontrolovať, či všetky intervaly z podmienky problému patria do domény funkcie.

Rozlišujme funkciu:

Je zrejmé, že derivácia existuje v celej doméne funkcie.

Nájdite stacionárne body. Derivát zmizne o . Tento stacionárny bod spadá do intervalov (-3;1] a (-3;2) .

A teraz môžete porovnať výsledky získané v každom bode s grafom funkcie. Modré bodkované čiary označujú asymptoty.

Môže to skončiť nájdením najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Algoritmy opísané v tomto článku vám umožňujú dosiahnuť výsledky s minimom akcií. Môže však byť užitočné najskôr určiť intervaly nárastu a poklesu funkcie a až potom vyvodiť závery o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie na ľubovoľnom intervale. To poskytuje jasnejší obraz a presné zdôvodnenie výsledkov.

S touto službou môžete nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie jedna premenná f(x) s návrhom riešenia vo Worde. Ak je teda daná funkcia f(x,y), je potrebné nájsť extrém funkcie dvoch premenných . Môžete tiež nájsť intervaly nárastu a poklesu funkcie.

Pravidlá zadávania funkcií:

Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Rovnica f "0 (x *) \u003d 0 je nevyhnutnou podmienkou pre extrém funkcie jednej premennej, t.j. v bode x * musí prvá derivácia funkcie zaniknúť. Vyberá stacionárne body x c, v ktorých funkcia nezvyšuje a neznižuje sa .

Postačujúca podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Nech f 0 (x) je dvakrát diferencovateľné vzhľadom na x patriace do množiny D . Ak je v bode x * splnená podmienka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potom bod x * je bodom lokálneho (globálneho) minima funkcie.

Ak je v bode x * splnená podmienka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ten bod x * je lokálne (globálne) maximum.

Príklad č. 1. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: na segmente .
rozhodnutie.

Kritický bod je jeden x 1 = 2 (f'(x)=0). Tento bod patrí do segmentu . (Bod x=0 nie je kritický, pretože 0∉).
Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v kritickom bode.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpoveď: f min = 5 / 2 pre x = 2; f max = 9 pri x = 1

Príklad č. 2. Pomocou derivácií vyššieho rádu nájdite extrém funkcie y=x-2sin(x) .
rozhodnutie.
Nájdite deriváciu funkcie: y’=1-2cos(x) . Nájdite kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nájdeme y''=2sin(x), vypočítame, takže x= π / 3 +2πk, k∈Z sú minimálne body funkcie; , takže x=- π / 3 +2πk, k∈Z sú maximálne body funkcie.

Príklad č. 3. Preskúmajte extrémnu funkciu v okolí bodu x=0.
rozhodnutie. Tu je potrebné nájsť extrémy funkcie. Ak extrém x=0 , zistite jeho typ (minimum alebo maximum). Ak medzi nájdenými bodmi nie je x = 0, vypočítajte hodnotu funkcie f(x=0).
Treba si uvedomiť, že keď derivácia na každej strane daného bodu nemení svoje znamienko, nie sú možné situácie vyčerpané ani pre diferencovateľné funkcie: môže sa stať, že pre ľubovoľne malé okolie na jednej strane bodu x 0 resp. na oboch stranách derivácia mení znamienko. V týchto bodoch je potrebné použiť iné metódy na štúdium funkcií do extrému.

Príklad č. 4. Rozdeľte číslo 49 na dva členy, ktorých súčin bude najväčší.
rozhodnutie. Nech x je prvý člen. Potom (49-x) je druhý člen.
Produkt bude maximálny: x (49-x) → max

V úlohe B14 zo skúšky z matematiky potrebujete nájsť najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu funkcie jednej premennej. Ide o pomerne triviálny problém z matematickej analýzy a práve z tohto dôvodu by sa každý absolvent strednej školy mohol a mal naučiť, ako ho normálne riešiť. Rozoberme si niekoľko príkladov, ktoré riešili školáci na diagnostickej práci z matematiky, ktorá sa konala v Moskve 7. decembra 2011.

V závislosti od intervalu, v ktorom chcete nájsť maximálnu alebo minimálnu hodnotu funkcie, sa na vyriešenie tohto problému použije jeden z nasledujúcich štandardných algoritmov.

I. Algoritmus na nájdenie najväčšej alebo najmenšej hodnoty funkcie na segmente:

• Nájdite deriváciu funkcie.
• Z bodov podozrivých z extrému vyberte tie, ktoré patria do daného segmentu a domény funkcie.
• Vypočítajte hodnoty funkcie(nie derivát!) v týchto bodoch.
• Medzi získanými hodnotami vyberte najväčšiu alebo najmenšiu, bude to požadovaná.

Príklad 1 Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie
r = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 v segmente .

rozhodnutie: konáme podľa algoritmu na nájdenie najmenšej hodnoty funkcie na segmente:

• Rozsah funkcie nie je obmedzený: D Y) = R.
• Derivácia funkcie je: y' = 3X 2 – 36X+ 81. Rozsah derivácie funkcie tiež nie je obmedzený: D Y') = R.
• Nuly derivátu: y' = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, teda X 2 – 12X+ 27 = 0, odkiaľ X= 3 a X= 9, náš interval zahŕňa iba X= 9 (jeden bod podozrivý pre extrém).
• Hodnotu funkcie nájdeme v bode podozrivom z extrému a na okrajoch intervalu. Pre pohodlie výpočtov uvádzame funkciu vo forme: r = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
  • r(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • r(9) = 9 (9-9)2 +23 = 23;
  • r(13) = 13 (13-9) 2 + 23 = 231.

Zo získaných hodnôt je teda najmenšia 23. odpoveď: 23.

II. Algoritmus na nájdenie najväčšej alebo najmenšej hodnoty funkcie:

• Nájdite rozsah funkcie.
• Nájdite deriváciu funkcie.
• Určte body, ktoré sú podozrivé z extrému (tie body, v ktorých derivácia funkcie zaniká a body, v ktorých neexistuje žiadna obojstranná konečná derivácia).
• Označte tieto body a definičný obor funkcie na číselnej osi a určte znamienka derivát(nie funkcie!) na výsledných intervaloch.
• Definujte hodnoty funkcie(nie derivácia!) v minimálnych bodoch (tie body, v ktorých sa znamienko derivácie mení z mínus na plus), najmenšia z týchto hodnôt bude najmenšou hodnotou funkcie. Ak neexistujú žiadne minimálne body, funkcia nemá minimálnu hodnotu.
• Definujte hodnoty funkcie(nie derivácia!) v maximálnych bodoch (tých bodoch, v ktorých sa znamienko derivácie mení z plus na mínus), najväčšia z týchto hodnôt bude najväčšia hodnota funkcie. Ak neexistujú žiadne maximálne body, funkcia nemá maximálnu hodnotu.

Príklad 2 Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie.