Ako viete, v elektroenergetike sa ako štandardná forma pre prúdy a napätia používa sínusový tvar. V reálnych podmienkach sa však tvary kriviek prúdov a napätí môžu do určitej miery líšiť od sínusových. Skreslenie tvarov kriviek týchto funkcií v prijímačoch vedie k dodatočným stratám energie a zníženiu ich účinnosti. Sínusový tvar krivky napätia generátora je jedným z ukazovateľov kvality elektrickej energie ako komodity.

Možné sú nasledujúce dôvody skreslenia tvaru kriviek prúdov a napätí v zložitom obvode:

1) prítomnosť nelineárnych prvkov v elektrickom obvode, ktorých parametre závisia od okamžitých hodnôt prúdu a napätia (napríklad usmerňovače, elektrické zváracie jednotky atď.);

2) prítomnosť parametrických prvkov v elektrickom obvode, ktorých parametre sa časom menia;

3) zdroj elektrickej energie (trojfázový generátor) vzhľadom na konštrukčné prvky nemôže poskytnúť ideálny sínusový tvar výstupného napätia;

4) vplyv v komplexe faktorov uvedených vyššie.

Nelineárnym a parametrickým obvodom sa venujeme v samostatných kapitolách kurzu TOE. Táto kapitola skúma správanie lineárnych elektrických obvodov pri vystavení zdrojom energie s nesínusovým priebehom.

Z priebehu matematiky je známe, že každá periodická funkcia času f(t), ktorá spĺňa Dirichletove podmienky, môže byť reprezentovaná harmonickým Fourierovým radom:

Tu je А0 konštantná zložka, Ak*sin(kωt+ αk) je k-tá harmonická zložka alebo v skratke k-tá harmonická. 1. harmonická sa nazýva základná a všetky nasledujúce harmonické sa nazývajú najvyššie.

Amplitúdy jednotlivých harmonických Ak nezávisia od spôsobu expanzie funkcie f(t) vo Fourierovom rade, zároveň počiatočné fázy jednotlivých harmonických αk závisia od voľby časovej referencie (pôvodu).

Jednotlivé harmonické z Fourierovho radu možno znázorniť ako súčet sínusových a kosínusových zložiek:

Potom bude mať celá Fourierova séria podobu:

Pomery medzi koeficientmi dvoch foriem Fourierovho radu sú:

Ak sú k-tá harmonická a jej sínusové a kosínusové zložky nahradené komplexnými číslami, potom vzťah medzi koeficientmi Fourierovho radu možno znázorniť v komplexnej forme:

Ak je periodická nesínusová funkcia času daná (alebo môže byť vyjadrená) analyticky vo forme matematickej rovnice, potom sú koeficienty Fourierovho radu určené vzorcami známymi z kurzu matematiky:

V praxi sa študovaná nesínusová funkcia f (t) zvyčajne nastavuje vo forme grafického diagramu (graficky) (obr. 46.1) alebo vo forme tabuľky súradníc bodov (tabuľky) v intervale jednej obdobie (tabuľka 1). Na vykonanie harmonickej analýzy takejto funkcie podľa vyššie uvedených rovníc je potrebné ju najskôr nahradiť matematickým výrazom. Nahradenie funkcie danej graficky alebo tabuľkovo matematickou rovnicou sa nazýva aproximácia funkcie.

V súčasnosti sa harmonická analýza nesínusových funkcií času f(t) vykonáva spravidla na počítači. V najjednoduchšom prípade sa na matematickú reprezentáciu funkcie používa po častiach lineárna aproximácia. K tomu sa celá funkcia v intervale jednej celej periódy rozdelí na M = 20-30 úsekov tak, aby sa jednotlivé úseky čo najviac približovali priamkam (obr. 1). V samostatných úsekoch je funkcia aproximovaná priamočiarou rovnicou fm(t)=am+bm*t, kde sú pre každý úsek určené aproximačné koeficienty (am, bm) cez súradnice jeho koncových bodov, napr. 1. časť dostaneme:

Perióda funkcie T je rozdelená na veľký počet integračných krokov N, integračný krok Δt=h=T/N, aktuálny čas ti=hi, kde i je poradové číslo integračného kroku. Určité integrály vo vzorcoch harmonickej analýzy sú nahradené zodpovedajúcimi súčtami, vypočítavajú sa na počítači pomocou metódy lichobežníka alebo obdĺžnika, napríklad:

Na určenie amplitúd vyšších harmonických s dostatočnou presnosťou (δ≤1%) musí byť počet integračných krokov aspoň 100k, kde k je číslo harmonickej.

V technike sa na izoláciu jednotlivých harmonických od nesínusových napätí a prúdov používajú špeciálne zariadenia nazývané harmonické analyzátory.

Domov > Právo

NESINUSOIDNÉ OBVODY PRÚDU

Doteraz sme študovali sínusové prúdové obvody, avšak zákon zmeny prúdu s časom sa môže líšiť od sínusového. V tomto prípade prebiehajú obvody nesínusového prúdu. Všetky nesínusové prúdy sú rozdelené do troch skupín: periodické, t.j. mať obdobie T(obr. 6.1, a), neperiodické (obr. 6.1, b) a takmer periodické, s periodicky sa meniacou obálkou ( T o) a periódu opakovania pulzu ( T i) (obr. 6.1, c). Existujú tri spôsoby, ako získať nesínusové prúdy: a) nesínusové EMF pôsobí v obvode; b) v obvode pracuje sínusový EMF, ale jeden alebo viac prvkov obvodu je nelineárnych; c) v obvode funguje sínusový EMF, ale parametre jedného alebo viacerých prvkov obvodu sa periodicky menia v čase. V praxi sa najčastejšie používa metóda b). Nesínusové prúdy sú najrozšírenejšie v rádiotechnike, automatizácii, telemechanike a zariadeniach výpočtovej techniky, kde sa často nachádzajú impulzy rôznych tvarov. V elektroenergetike existujú nesínusové prúdy. Budeme uvažovať len periodické nesínusové napätia a prúdy, ktoré je možné rozložiť na harmonické zložky.

Rozklad periodických nesínusových kriviek v trigonometrickom Fourierovom rade

Javy vyskytujúce sa v lineárnych obvodoch pri periodických nesínusových napätiach a prúdoch je najjednoduchšie vypočítať a študovať, ak sa nesínusové krivky rozšíria do trigonometrického Fourierovho radu. Z matematiky je známe, že periodická funkcia f(ωt), ktorý spĺňa Dirichletove podmienky, t.j. ktorý má v akomkoľvek konečnom časovom intervale konečný počet diskontinuít iba prvého druhu a konečný počet maxím a miním, možno rozšíriť na trigonometrický Fourierov rad

f(ωt)=A o +
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···+
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

A o +
.

Tu: A o– konštantná zložka alebo nulová harmonická;
- amplitúda sínusovej zložky k-tá harmonická;
- kosínusová amplitúda k harmonická. Určujú sa podľa nasledujúcich vzorcov

Odkiaľ, ako vyplýva z vektorového diagramu (obr. 6.2), dostaneme

.

Pojmy zahrnuté v tomto výraze sa nazývajú harmonické. Existujú dokonca ( k– párne) a nepárne harmonické. Prvá harmonická sa nazýva základná a zvyšok - najvyššia. Posledná forma Fourierovho radu je užitočná, keď potrebujete poznať percento každej harmonickej. Rovnaká forma Fourierovho radu sa používa pri výpočte nesínusových prúdových obvodov. Hoci Fourierov rad teoreticky obsahuje nekonečné množstvo členov, má tendenciu rýchlo konvergovať. a konvergentný rad môže vyjadriť danú funkciu s ľubovoľným stupňom presnosti. V praxi stačí zobrať malý počet harmonických (3-5), aby sa dosiahla presnosť výpočtu niekoľkých percent.

Zvláštnosti rozšírenia Fourierovho radu kriviek so symetriou

1. Krivky, ktorých priemerná hodnota sa za periódu rovná nule, neobsahujú konštantnú zložku (nulovú harmonickú). 2
f(ωt)=-f(ωt+π), potom sa nazýva symetrický vzhľadom na os x. Tento typ symetrie sa dá ľahko určiť podľa typu krivky: ak ju posuniete o pol periódy pozdĺž osi x, zrkadlíte a zároveň splynie s pôvodnou krivkou (obr. 6.3), vznikne symetria. . Keď sa takáto krivka rozšíri do Fourierovho radu, ten neobsahuje konštantnú zložku a všetky párne harmonické, pretože nespĺňajú podmienku f(ωt)=-f(ωt+π).

f(ωt)=sin(ωt+ψ 1 )+sin(3ωt+ψ 3 )+
sin(5ωt +ψ 5 )+···.

3
. Ak funkcia spĺňa podmienku f(ωt)=f(-ωt), potom sa nazýva symetrický vzhľadom na os y (párne). Tento typ symetrie sa dá ľahko určiť podľa typu krivky: ak krivka ležiaca naľavo od osi y je zrkadlová a splýva s pôvodnou krivkou, potom existuje symetria (obr. 6.4). Keď sa takáto krivka rozšíri do Fourierovho radu, tento nebude mať žiadne sínusové zložky všetkých harmonických ( = f(cot)=f(-cot). Preto pre takéto krivky

f(ωt)=А o +
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···.

4
. Ak funkcia spĺňa podmienku f(ωt)=-f(-ωt), potom sa nazýva symetrický vzhľadom na pôvod (nepárny). Prítomnosť tohto typu symetrie sa dá ľahko určiť podľa typu krivky: ak je krivka ležiaca naľavo od osi y rozšírená vzhľadom na bodov pôvod súradníc a splýva s pôvodnou krivkou, potom je symetria (obr. 6.5). Keď sa takáto krivka rozšíri do Fourierovho radu, tento nebude mať žiadne kosínusové zložky všetkých harmonických (
= 0), pretože nespĺňajú podmienku f(cot)=-f(-cot). Preto pre takéto krivky

f(ωt)=
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···.

Ak existuje nejaká symetria vo vzorcoch pre a integrál môžete brať pol periódy, ale dvojnásobný výsledok, t.j. používať výrazy

V krivkách existuje niekoľko typov symetrie súčasne. Na uľahčenie otázky harmonických zložiek v tomto prípade vypĺňame tabuľku

Akási symetria	Analytický výraz
1. Os X	f(ωt)=-f(ωt+π)		Len nepárne
2. Os Y	f(ωt)=f(-ωt)
3. Pôvod	f(ωt)=-f(-ωt)
4. Osi úsečky a osi súradníc	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			zvláštny
5. Osi úsečiek a počiatky	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		zvláštny

Pri rozširovaní krivky do Fourierovho radu treba najskôr zistiť, či má nejaký druh symetrie, ktorej prítomnosť umožňuje vopred predpovedať, ktoré harmonické budú vo Fourierovom rade a nerobiť zbytočnú prácu.

Grafovo-analytické rozšírenie kriviek vo Fourierovom rade

Keď je nesínusová krivka daná grafom alebo tabuľkou a nemá analytické vyjadrenie, na určenie jej harmonických sa používa graficko-analytický rozklad. Je založená na nahradení určitého integrálu súčtom konečného počtu členov. Za týmto účelom obdobie funkcie f(ωt) vlámať sa n rovnaké časti Δ ωt= 2π/ n(obr.6.6). Potom pre nulovú harmonickú

kde: R– aktuálny index (číslo sekcie), ktorý nadobúda hodnoty od 1 do n; f R (ωt) - funkčná hodnota f(ωt) pri ωt=pΔ ωt(pozri obr.6.6) . Pre amplitúdu sínusovej zložky k harmonická

Pre amplitúdu kosínusovej zložky k harmonická

Tu hriech p kωt a cos p kωt- hodnoty sinkωt a coskωt pri ωt=p. Pri praktických výpočtoch človek zvyčajne berie n= 18 (A ωt= 20˚) alebo n= 24 (A ωt= pätnásť). Pri graficko-analytickom rozširovaní kriviek vo Fourierovom rade je ešte dôležitejšie ako pri analytickom zistiť, či má nejakú symetriu, ktorej prítomnosť výrazne znižuje množstvo výpočtovej práce. Takže vzorce pre a v prítomnosti symetrie mať formu

Pri konštrukcii harmonických na všeobecnom grafe je potrebné vziať do úvahy, že mierka pozdĺž osi x pre k harmonický v k krát viac ako prvý.

Maximálne, priemerné a efektívne hodnoty nesínusových veličín

Periodické nesínusové veličiny sa okrem harmonických zložiek vyznačujú maximálnymi, priemernými a efektívnymi hodnotami. Maximálna hodnota ALE m je najväčšia hodnota modulu funkcie počas periódy (obr. 6.7). Priemerná hodnota modulo je definovaná nasledovne

.

Ak je krivka symetrická okolo osi x a nikdy sa nezmení znamienko počas polovice cyklu, potom sa priemerná hodnota modulo rovná priemernej hodnote za polovicu periódy

,

av tomto prípade časový údaj musí byť zvolený tak, aby f( 0)= 0. Ak funkcia nikdy nezmení znamienko počas celého obdobia, potom sa jej modulo priemerná hodnota rovná konštantnej zložke. V nesínusových prúdových obvodoch sa hodnoty EMF, napätia alebo prúdy chápu ako ich efektívne hodnoty určené vzorcom

.

Ak je krivka rozšírená do Fourierovho radu, potom jej efektívnu hodnotu možno určiť nasledovne

Dovoľte nám vysvetliť výsledok. Súčin sínusoidov rôznych frekvencií ( kω a iω) je harmonická funkcia a integrál za periódu ktorejkoľvek harmonickej funkcie sa rovná nule. Integrál pod znamienkom prvého súčtu bol určený v obvodoch sínusového prúdu a tam bola uvedená jeho hodnota. v dôsledku toho

.

Z tohto výrazu vyplýva, že efektívna hodnota periodických nesínusových veličín závisí len od efektívnych hodnôt ich harmonických a nezávisí od ich počiatočných fáz. ψ k. Vezmime si príklad. Nechaj u=120
hriech (314 t+45˚)-50sin(3 314 t-75˚) B. Jeho efektívna hodnota

Existujú prípady, keď je možné vypočítať modulo stredné a efektívne hodnoty nesínusových veličín na základe integrácie analytického vyjadrenia funkcie a potom nie je potrebné rozširovať krivku do Fourierovho radu. V elektroenergetike, kde sú krivky prevažne symetrické okolo osi x, sa na charakterizáciu ich tvaru používa množstvo koeficientov. Tri z nich získali najväčšie využitie: faktor hrebeňa k a, tvarový faktor k f a faktor skreslenia k a Sú definované takto: k a = A m / A; /A cf; k a = A 1 /A. Pre sínusoidu majú tieto významy: k a =; k f = π A m / 2A m ≈ 1,11; 1. D Pre pravouhlú krivku (obr. 6.8, a) sú koeficienty nasledovné: k a = 1; k f = 1; k a =1,26/. Pre krivku špicatého (vrcholového) tvaru (obr. 6.8, b) sú hodnoty koeficientov nasledovné: k a > a čím vyššie, tým je jeho tvar vrcholovitejší; kφ >1,11 a čím vyššie, tým je krivka ostrejšia; k a<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. УUkážme si jednu z praktických aplikácií faktora skreslenia. Krivky napätia priemyselných sietí sa zvyčajne odchyľujú od ideálnej sínusoidy. V elektroenergetike sa zavádza koncept takmer sínusovej krivky. Napätie priemyselných sietí sa podľa GOST považuje za prakticky sínusové, ak najväčší rozdiel medzi príslušnými ordinátami skutočnej krivky a jej prvou harmonickou nepresahuje 5 % amplitúdy základnej harmonickej (obr. 6.9). Meranie nesínusových veličín prístrojmi rôznych systémov dáva rôzne výsledky. Amplitúdové elektronické voltmetre merajú maximálne hodnoty. Magnetoelektrické zariadenia reagujú len na konštantnú zložku nameraných hodnôt. Magnetoelektrické zariadenia s usmerňovačom merajú priemernú hodnotu modulo. Prístroje všetkých ostatných systémov merajú efektívne hodnoty.

Výpočet nesínusových prúdových obvodov

Ak má obvod jeden alebo viac zdrojov s nesínusovým EMF, potom je jeho výpočet rozdelený do troch etáp. 1. Rozklad zdrojov EMF na harmonické zložky. Ako to urobiť, je uvedené vyššie. 2. Aplikácia princípu superpozície a výpočet prúdov a napätí v obvode z pôsobenia každej zložky EMF samostatne. 3. Spoločná úvaha (súhrn) riešení získaných v časti 2. Sumarizácia zložiek vo všeobecnej forme je najčastejšie obtiažna a nie vždy potrebná, pretože na základe harmonických zložiek možno posúdiť tak tvar krivky, ako aj hlavné veličiny, ktoré ju charakterizujú. O
hlavná fáza je druhá. Ak je nesínusové EMF reprezentované Fourierovým radom, potom takýto zdroj možno považovať za sériové spojenie zdroja konštantného EMF a zdrojov sínusového EMF s rôznymi frekvenciami (obr. 6.10). Použitím princípu superpozície a zvážením pôsobenia každého EMF samostatne je možné určiť zložky prúdov vo všetkých vetvách obvodu. Nechaj E o vytvára ja o , e 1 - i 1 , e 2 - i 2 atď. Potom skutočný prúd i=ja o + i 1 +i 2 +··· . Preto sa výpočet obvodu nesínusového prúdu redukuje na riešenie jedného problému s konštantným EMF a množstva problémov so sínusovým EMF. Pri riešení každého z týchto problémov je potrebné vziať do úvahy, že indukčné a kapacitné odpory nie sú rovnaké pre rôzne frekvencie. Indukčná reaktancia je priamo úmerná frekvencii, takže je pre k harmonická X Lk = kωL=kx L1, t.j. pre k harmonickej, v ktorej sa nachádza k krát viac ako prvý. Kapacitná reaktancia je nepriamo úmerná frekvencii, takže je pre k harmonická XСk = 1/ kωС=X C1 / k, t.j. pre k harmonickej, v ktorej sa nachádza k krát menej ako prvý. Aktívny odpor v zásade závisí aj od frekvencie v dôsledku povrchového efektu, avšak pre malé prierezy vodičov a pri nízkych frekvenciách povrchový efekt prakticky chýba a je prípustné predpokladať, že aktívny odpor je rovnaké pre všetky harmonické. Ak sa nesínusové napätie aplikuje priamo na kapacitu, potom pre k harmonický prúd

H Čím vyššie je harmonické číslo, tým nižší je jeho kapacitný odpor. Preto, aj keď je amplitúda napätia harmonickej vyššieho rádu malým zlomkom amplitúdy prvej harmonickej, stále môže indukovať prúd zodpovedajúci alebo väčší ako základný prúd. V tomto ohľade, dokonca aj pri napätí blízkom sínusoide, sa prúd v kapacite môže ukázať ako výrazne nesínusový (obr. 6.11). Pri tejto príležitosti sa hovorí, že kapacita zdôrazňuje vysoké harmonické prúdy. Ak sa priamo na indukčnosť aplikuje nesínusové napätie, potom pre k harmonický prúd

.

OD
zvýšenie rádu harmonickej zvyšuje indukčnú reaktanciu. Preto sú v prúde cez indukčnosť vyššie harmonické zastúpené v menšej miere ako v napätí na jej svorkách. Aj pri ostro nesínusovom napätí sa prúdová krivka v indukčnosti často blíži k sínusoide (obr. 6.12). Preto sa hovorí, že indukčnosť približuje krivku prúdu bližšie k sínusoide. Pri výpočte každej harmonickej zložky prúdu môžete použiť komplexnú metódu a zostaviť vektorové diagramy, ale je neprijateľné vykonávať geometrický súčet vektorov a pridávať komplexy napätí alebo prúdov rôznych harmonických. V skutočnosti sa vektory zobrazujúce povedzme prúdy prvej a tretej harmonickej otáčajú rôznymi rýchlosťami (obr. 6.13). Preto geometrický súčet týchto vektorov dáva okamžitú hodnotu ich súčtu len vtedy, keď ω t=0 a vo všeobecnom prípade nedáva zmysel.

Nesínusový prúdový výkon

Rovnako ako v obvodoch sínusového prúdu budeme hovoriť o výkone spotrebovanom pasívnou dvojkoncovou sieťou. Aktívnym výkonom sa rozumie aj priemerná hodnota okamžitého výkonu za dané obdobie

Napätie a prúd na vstupe dvojpólovej siete nech sú reprezentované Fourierovým radom

Nahraďte hodnoty u a i do vzorca R

Výsledok bol získaný s prihliadnutím na skutočnosť, že integrál za obdobie od súčinu sínusoidov rôznych frekvencií sa rovná nule a integrál za obdobie od súčinu sínusoidov rovnakej frekvencie bol určený v úseku sínusoidy. prúdové obvody. Aktívny výkon nesínusového prúdu sa teda rovná súčtu aktívnych výkonov všetkých harmonických. To je jasné R k môžu byť určené akýmkoľvek známym vzorcom. Analogicky so sínusovým prúdom sa pre nesínusový prúd zavádza pojem celkový výkon ako súčin efektívnych hodnôt napätia a prúdu, t.j. S=UI. Postoj R do S sa nazýva účinník a rovná sa kosínusu nejakého podmieneného uhla θ , t.j. cos θ =P/S. V praxi sa veľmi často nesínusové napätia a prúdy nahrádzajú ekvivalentnými sínusoidmi. V tomto prípade musia byť splnené dve podmienky: 1) efektívna hodnota ekvivalentnej sínusoidy sa musí rovnať efektívnej hodnote nahradenej veličiny; 2) uhol medzi ekvivalentnými sínusoidmi napätia a prúdu θ by malo byť také, že UI cos θ by sa rovnala činnému výkonu R. v dôsledku toho θ je uhol medzi ekvivalentnými sínusoidmi napätia a prúdu. Typicky je efektívna hodnota ekvivalentných sínusoidov blízka efektívnym hodnotám základných harmonických. Analogicky so sínusovým prúdom sa pre nesínusový prúd zavádza pojem jalového výkonu, ktorý je definovaný ako súčet jalových výkonov všetkých harmonických.

Pre nesínusový prúd na rozdiel od sínusového S 2 ≠P 2 +Q 2. Preto tu uvádzame koncept skreslenia T charakterizujúce rozdiel medzi tvarmi kriviek napätia a prúdu a definované nasledovne

Vyššie harmonické v trojfázových systémoch

V trojfázových systémoch krivky napätia vo fázach B a C zvyčajne presne reprodukujú krivku fázy A s posunom o tretinu periódy. Ak teda u A= f(ωt), potom u B = f(ωt- 2π/ 3), a u C = f(ωt+ 2π/ 3). Nech sú fázové napätia nesínusové a rozšírené do Fourierovho radu. Potom zvážte k–tá harmonická vo všetkých troch fázach. Nechaj u Ak = U kmsin( kωt+ψ k), potom dostaneme uВk = U kmsin( kωt+ψ k -k 2π/ 3) a u ck = U kmsin( kωt+ψ k +k 2π/ 3). Porovnanie týchto výrazov pre rôzne hodnoty k všimneme si, že pre harmonické, ktoré sú násobkami troch ( k=3n, n- prirodzený rad čísel, začínajúci od 0) vo všetkých fázach napätia majú v ľubovoľnom čase rovnakú hodnotu a smer, t.j. tvoria systém nulovej postupnosti. o k=3n+ 1 harmonické tvoria sústavu napätí, ktorých sled sa zhoduje so sledom skutočných napätí, t.j. tvoria priamy sekvenčný systém. o k=3n- 1 harmonické tvoria sústavu napätí, ktorých poradie je opačné ako poradie skutočných napätí, t.j. tvoria systém spätnej sekvencie. V praxi najčastejšie chýba konštantná zložka aj všetky párne harmonické, preto sa v budúcnosti obmedzíme na uvažovanie len o nepárnych harmonických. Potom najbližšia harmonická tvoriaca zápornú postupnosť je piata. V elektromotoroch spôsobuje najväčšie škody, a tak sa s ňou neľútostne bijú. Zvážte vlastnosti činnosti trojfázových systémov spôsobené prítomnosťou harmonických, ktoré sú násobkom troch. jeden . Pri pripájaní vinutí generátora alebo transformátora do trojuholníka (obr. 6.14) pretekajú jeho vetvami harmonické prúdy, ktoré sú násobkom troch, a to aj pri absencii externého zaťaženia. Skutočne, algebraický súčet EMF harmonických, ktoré sú násobkami troch ( E 3 , E 6 atď.), v trojuholníku má trojnásobnú hodnotu, na rozdiel od ostatných harmonických, pre ktoré je tento súčet rovný nule. Ak je fázový odpor vinutia pre tretiu harmonickú Z 3, potom bude tretí harmonický prúd v trojuholníkovom obvode ja 3 =E 3 /Z 3. Podobne aj prúd šiestej harmonickej ja 6 =E 6 /Z 6 atď. Efektívna hodnota prúdu pretekajúceho vinutiami bude
. Pretože odpor vinutia generátora je malý, prúd môže dosiahnuť veľké hodnoty. Preto, ak sú vo fáze EMF harmonické, ktoré sú násobkom troch, vinutia generátora alebo transformátora nie sú spojené do trojuholníka. 2 . Ak pripojíte vinutia generátora alebo transformátora do otvoreného trojuholníka (obr. 6.155), potom na jeho svorkách bude pôsobiť napätie rovnajúce sa súčtu EMF harmonických, násobku troch, t.j. u BX=3 E 3 m hriechu (3 ωt+ψ 3)+3E 6m hriechu (6 ωt+ψ 6)+3E 9 m hriechu (9 ωt+ψ 9)+···. Jeho efektívna hodnota

.

Pred pripojením vinutí generátora do pravidelného trojuholníka sa zvyčajne používa otvorený trojuholník, aby sa skontrolovala možnosť bezproblémovej implementácie druhého. 3. Lineárne napätia, bez ohľadu na schému zapojenia vinutí generátora alebo transformátora, neobsahujú harmonické, ktoré sú násobkom troch. Pri zapojení do trojuholníka sú fázové EMF obsahujúce harmonické, ktoré sú násobkom troch, kompenzované poklesom napätia na vnútornom odpore fázy generátora. Skutočne, podľa druhého Kirchhoffovho zákona, pre tretiu, napríklad harmonickú pre obvod na obr. 6.14, môžeme napísať U AB3+ ja 3 Z 3 =E 3, odkiaľ sa dostaneme U AB3=0. Podobne pre ktorúkoľvek z harmonických, ktoré sú násobkom troch. Pri pripojení k hviezde sa lineárne napätia rovnajú rozdielu medzi zodpovedajúcimi fázovými emfs. Pri harmonických, ktoré sú násobkami troch, sa pri kompilácii týchto rozdielov zničia fázové emf, pretože tvoria systém s nulovou sekvenciou. Vo fázových napätiach tak môžu byť prítomné zložky všetkých harmonických a ich efektívna hodnota. V lineárnych napätiach neexistujú harmonické, ktoré sú násobkom troch, takže ich efektívna hodnota je . V tomto ohľade, v prítomnosti harmonických, ktoré sú násobkami troch, U l / U f<
. 4. V obvodoch bez neutrálneho vodiča harmonické prúdy, ktoré sú násobkom troch, nemôžu byť uzavreté, pretože tvoria systém nulovej sekvencie a môžu byť uzavreté iba vtedy, ak je prítomný. V tomto prípade medzi nulovými bodmi prijímača a zdroja, dokonca aj v prípade symetrického zaťaženia, sa napätie rovná súčtu EMF harmonických, ktoré sú násobkom troch, čo sa dá ľahko overiť rovnicou druhého Kirchhoffovho zákona, berúc do úvahy, že chýbajú prúdy týchto harmonických. Okamžitá hodnota tohto napätia u 0 1 0 =E 3 m hriechu (3 ωt+ψ 3)+E 6m hriechu (6 ωt+ψ 6)+E 9 m hriechu (9 ωt+ψ 9)+···. Jeho efektívna hodnota
. 5. V obvode hviezda-hviezda s nulovým vodičom (obr. 6.16) budú harmonické prúdy, ktoré sú násobkom troch, uzavreté pozdĺž neho, a to aj v prípade symetrického zaťaženia, ak fázové EMF obsahujú uvedené harmonické. Vzhľadom na to, že harmonické, ktoré sú násobkami troch tvoria systém nulovej postupnosti, môžeme písať

Všeobecné popisy

Francúzsky matematik Fourier (J. B. J. Fourier 1768-1830) hlásal na svoju dobu dosť odvážnu hypotézu. Podľa tejto hypotézy neexistuje žiadna funkcia, ktorá by sa nedala rozšíriť do trigonometrického radu. Žiaľ, v tom čase sa takáto myšlienka nebrala vážne. A je to prirodzené. Samotný Fourier nebol schopný poskytnúť presvedčivé dôkazy a je veľmi ťažké intuitívne uveriť Fourierovej hypotéze. Je obzvlášť ťažké si predstaviť skutočnosť, že pri pridávaní jednoduchých funkcií, ako sú goniometrické funkcie, sa reprodukujú funkcie, ktoré sú od nich úplne odlišné. Ak však predpokladáme, že Fourierova hypotéza je správna, potom je možné periodický signál ľubovoľného tvaru rozložiť na sínusoidy rôznych frekvencií, alebo naopak, pomocou vhodného sčítania sínusoidov s rôznymi frekvenciami je možné syntetizovať signál akéhokoľvek tvaru. Preto, ak je táto teória správna, jej úloha pri spracovaní signálu môže byť veľmi veľká. V tejto kapitole sa najskôr pokúsime ilustrovať správnosť Fourierovej domnienky.

Zvážte funkciu

f(t)= 2sin t- hriech 2t

Jednoduchý trigonometrický rad

Funkcia je súčtom goniometrických funkcií, inými slovami, je prezentovaná ako goniometrický rad dvoch členov. Pridajte jeden výraz a vytvorte nový rad troch výrazov

Pridaním niekoľkých výrazov opäť dostaneme nový trigonometrický rad desiatich výrazov:

Koeficienty tohto trigonometrického radu označujeme ako b k , kde k - celé čísla. Ak sa pozriete pozorne na posledný pomer, môžete vidieť, že koeficienty možno opísať nasledujúcim výrazom:

Potom môže byť funkcia f(t) reprezentovaná takto:

Šance b k - toto sú amplitúdy sínusoidov s uhlovou frekvenciou do. Inými slovami, nastavujú veľkosť frekvenčných zložiek.

Vzhľadom na prípad, keď horný index do rovná sa 10, t.j. M= 10. Zvýšenie hodnoty M do 100 dostaneme funkciu f(t).

Táto funkcia, ktorá je trigonometrickým radom, sa svojím tvarom približuje k pílovitému signálu. A zdá sa, že Fourierova hypotéza je absolútne správna vo vzťahu k fyzikálnym signálom, s ktorými máme do činenia. V tomto príklade tiež priebeh nie je hladký, ale obsahuje body zlomu. A skutočnosť, že funkcia je reprodukovaná aj v bodoch prerušenia, vyzerá sľubne.

Vo fyzickom svete je skutočne veľa javov, ktoré možno znázorniť ako súčet vibrácií rôznych frekvencií. Typickým príkladom týchto javov je svetlo. Je to súčet elektromagnetických vĺn s vlnovou dĺžkou 8000 až 4000 angstromov (od červenej po fialovú). Samozrejme viete, že ak cez hranol prechádza biele svetlo, objaví sa spektrum siedmich čistých farieb. Index lomu skla, z ktorého je hranol vyrobený, sa totiž mení s vlnovou dĺžkou elektromagnetickej vlny. To je presne dôkaz, že biele svetlo je súčtom svetelných vĺn rôznych dĺžok. Takže prechodom svetla cez hranol a získaním jeho spektra môžeme analyzovať vlastnosti svetla skúmaním farebných kombinácií. Podobne rozkladom prijímaného signálu na jeho rôzne frekvenčné zložky môžeme zistiť, ako pôvodný signál vznikol, akou cestou sa uberal, prípadne akým vonkajším vplyvom bol vystavený. Jedným slovom môžeme získať informácie na zistenie pôvodu signálu.

Táto metóda analýzy sa nazýva spektrálna analýza alebo Fourierova analýza.

Zvážte nasledujúci systém ortonormálnych funkcií:

Funkcia f(t) možno rozšíriť v tomto systéme funkcií na intervale [-π, π] takto:

Koeficienty α k ,βk, ako je uvedené vyššie, možno vyjadriť v podmienkach skalárnych produktov:

Vo všeobecnosti funkcia f(t) možno reprezentovať takto:

Koeficienty α 0 , α k ,β k sa nazýva Fourierove koeficienty, a takáto reprezentácia funkcie sa nazýva expanzia vo Fourierovom rade. Niekedy sa tento pohľad nazýva platné expanzia vo Fourierovom rade a koeficienty sú skutočné Fourierove koeficienty. Pojem „skutočný“ sa zavádza preto, aby sa prezentovaná expanzia odlíšila od expanzie Fourierovej série v komplexnej forme.

Ako už bolo spomenuté, ľubovoľná funkcia môže byť rozšírená pomocou systému ortogonálnych funkcií, aj keď funkcie z tohto systému nie sú reprezentované ako trigonometrické rady. Zvyčajne expanzia vo Fourierovom rade znamená expanziu v trigonometrickom rade. Ak sú Fourierove koeficienty vyjadrené v α 0 , α k ,β k dostaneme:

Keďže pre k = 0 kostým= 1, potom konštanta a 0/2 vyjadruje všeobecný tvar koeficientu a k pri k= 0.

Vo vzťahu (5.1) oscilácia najväčšej periódy reprezentovaná súčtom cos t a hriech t sa nazýva kmitanie základnej frekvencie resp prvá harmonická. Oscilácia s periódou rovnajúcou sa polovici hlavnej periódy sa nazýva druhá harmonika. Volá sa oscilácia s periódou rovnajúcou sa 1/3 hlavnej periódy tretia harmonická atď. Ako je možné vidieť zo vzťahu (5.1) a 0 je konštantná hodnota vyjadrujúca strednú hodnotu funkcie f(t). Ak je funkcia f(t) je elektrický signál 0 predstavuje jeho konštantnú zložku. Preto všetky ostatné Fourierove koeficienty vyjadrujú jeho variabilné zložky.

Na obr. 5.2 ukazuje signál a jeho expanziu vo Fourierovom rade: do konštantnej zložky a harmonických rôznych frekvencií. V časovej oblasti, kde premennou je čas, je signál vyjadrený funkciou f(t), a vo frekvenčnej doméne, kde premennou je frekvencia, je signál reprezentovaný Fourierovými koeficientmi (a k, b k).

Prvá harmonická je periodická funkcia s periódou 2 π Ostatné harmonické majú tiež periódu, ktorá je násobkom 2 π . Na základe toho pri vytváraní signálu zo zložiek Fourierovho radu prirodzene získame periodickú funkciu s periódou 2 π. A ak je to tak, potom expanzia vo Fourierovom rade je v skutočnosti spôsob reprezentácie periodických funkcií.

Rozšírme signál často sa vyskytujúceho typu do Fourierovho radu. Uvažujme napríklad o krivke pílových zubov spomenutú vyššie (obrázok 5.3). Signál tohto tvaru na segmente - π < t < π i je vyjadrené funkciou f( t)= t, takže Fourierove koeficienty možno vyjadriť takto:

Príklad 1

Fourierovo sériové rozšírenie pílovitého signálu

f(t) = t,

V mnohých prípadoch je úloha získania (výpočtu) spektra signálu nasledovná. Existuje ADC, ktorý so vzorkovacou frekvenciou Fd konvertuje spojitý signál prichádzajúci na jeho vstup v čase T na digitálne hodnoty - N kusov. Ďalej sa pole hodnôt privádza do určitého programu, ktorý poskytuje N / 2 niektorých číselných hodnôt (programátor, ktorý stiahnuté z internetu napísal program, tvrdí, že vykonáva Fourierovu transformáciu).

Aby sme skontrolovali, či program funguje správne, vytvoríme pole hodnôt ako súčet dvoch sínusoidov sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) a vložíme ho do program. Program nakreslil nasledovné:

obr.1 Graf časovej funkcie signálu

obr.2 Graf spektra signálu

Na grafe spektra sú dve paličky (harmonické) 5 Hz s amplitúdou 0,5 V a 10 Hz - s amplitúdou 1 V, všetko ako vo vzorci pôvodného signálu. Všetko je v poriadku, dobrý programátor! Program funguje správne.

To znamená, že ak na vstup ADC privedieme reálny signál zo zmesi dvoch sínusoidov, potom dostaneme podobné spektrum pozostávajúce z dvoch harmonických.

Celkom, náš reálny meraný signál, trvanie 5 sek, digitalizované ADC, teda zastúpené diskrétne počíta, má diskrétne neperiodické spektrum.

Z matematického hľadiska, koľko chýb je v tomto slovnom spojení?

Teraz úrady rozhodli, že sme sa rozhodli, že 5 sekúnd je príliš dlho, zmerajte signál za 0,5 sekundy.



obr.3 Graf funkcie sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) pre dobu merania 0,5 sek.

obr.4 Funkčné spektrum

Niečo nie je v poriadku! 10 Hz harmonická sa kreslí normálne, no namiesto 5 Hz paličky sa objavilo niekoľko nepochopiteľných harmonických. Pozeráme na internete, čo a ako ...

Hovorí sa, že na koniec vzorky treba pridať nuly a spektrum sa vykreslí normálne.

obr.5 Hotové nuly do 5 sekúnd

obr.6 Získali sme spektrum

Stále to nie je to, čo bolo za 5 sekúnd. Musíte sa vyrovnať s teóriou. Poďme do Wikipedia- zdroj poznania.

2. Spojitá funkcia a jej znázornenie Fourierovým radom

Matematicky je náš signál s trvaním T sekúnd určitou funkciou f(x) danou na intervale (0, T) (X je v tomto prípade čas). Takáto funkcia môže byť vždy reprezentovaná ako súčet harmonických funkcií (sínus alebo kosínus) tvaru:

K - číslo goniometrickej funkcie (počet harmonickej zložky, harmonické číslo)
T - segment, kde je funkcia definovaná (trvanie signálu)
Ak - amplitúda k-tej harmonickej zložky,
?k - počiatočná fáza k-tej harmonickej zložky

Čo znamená „reprezentovať funkciu ako súčet radu“? To znamená, že sčítaním hodnôt harmonických zložiek Fourierovho radu v každom bode dostaneme hodnotu našej funkcie v tomto bode.

(Prísnejšie, štandardná odchýlka radu od funkcie f(x) bude mať tendenciu k nule, ale napriek konvergencii odmocnina, Fourierov rad funkcie vo všeobecnosti nemusí konvergovať bodovo k nej. . Pozri https://ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

Táto séria môže byť tiež napísaná ako:

(2),
kde , k-tá komplexná amplitúda.

Vzťah medzi koeficientmi (1) a (3) je vyjadrený nasledujúcimi vzorcami:

Všimnite si, že všetky tieto tri reprezentácie Fourierovho radu sú úplne ekvivalentné. Niekedy je pri práci s Fourierovými radmi vhodnejšie použiť exponenty imaginárneho argumentu namiesto sínusov a kosínusov, teda použiť Fourierovu transformáciu v komplexnej forme. Pre nás je však vhodné použiť vzorec (1), kde Fourierov rad je reprezentovaný ako súčet kosínusových vĺn s príslušnými amplitúdami a fázami. V každom prípade je nesprávne tvrdiť, že výsledkom Fourierovej transformácie reálneho signálu budú komplexné amplitúdy harmonických. Ako správne uvádza wiki, "Fourierova transformácia (?) je operácia, ktorá mapuje jednu funkciu reálnej premennej na inú funkciu, tiež reálnej premennej."

Celkom:
Matematickým základom spektrálnej analýzy signálov je Fourierova transformácia.

Fourierova transformácia nám umožňuje reprezentovať spojitú funkciu f(x) (signál) definovanú na segmente (0, T) ako súčet nekonečného počtu (nekonečného radu) goniometrických funkcií (sínus a/alebo kosínus) s určitými amplitúdami. a fázy, uvažované aj na segmente (0, T). Takáto séria sa nazýva Fourierova séria.

Zaznamenali sme niekoľko ďalších bodov, ktorých pochopenie je potrebné pre správnu aplikáciu Fourierovej transformácie na analýzu signálu. Ak vezmeme do úvahy Fourierov rad (súčet sínusoidov) na celej osi X, potom môžeme vidieť, že mimo segmentu (0, T) bude funkcia reprezentovaná Fourierovým radom periodicky opakovať našu funkciu.

Napríklad v grafe na obr. 7 je pôvodná funkcia definovaná na segmente (-T \ 2, + T \ 2) a Fourierov rad predstavuje periodickú funkciu definovanú na celej osi x.

Je to preto, že samotné sínusoidy sú periodické funkcie a ich súčet bude periodickou funkciou.

obr.7 Znázornenie neperiodickej pôvodnej funkcie Fourierovým radom

Touto cestou:

Naša pôvodná funkcia je spojitá, neperiodická, definovaná na nejakom intervale dĺžky T.
Spektrum tejto funkcie je diskrétne, to znamená, že je prezentované ako nekonečný rad harmonických zložiek - Fourierov rad.
V skutočnosti je určitá periodická funkcia definovaná Fourierovým radom, ktorý sa zhoduje s našou na segmente (0, T), ale táto periodicita nie je pre nás podstatná.

Periódy harmonických zložiek sú násobky segmentu (0, T), na ktorom je definovaná pôvodná funkcia f(x). Inými slovami, harmonické periódy sú násobky trvania merania signálu. Napríklad perióda prvej harmonickej Fourierovho radu sa rovná intervalu T, na ktorom je definovaná funkcia f(x). Perióda druhej harmonickej Fourierovho radu sa rovná intervalu T/2. A tak ďalej (pozri obr. 8).

obr.8 Periódy (frekvencie) harmonických zložiek Fourierovho radu (tu T = 2?)

V súlade s tým sú frekvencie harmonických zložiek násobky 1/T. To znamená, že frekvencie harmonických zložiek Fk sa rovnajú Fk= k\T, kde k je v rozsahu od 0 do?, napríklad k=0 F0=0; k = 1 F1 = 1\T; k = 2 F2 = 2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (pri nulovej frekvencii - konštantná zložka).

Nech je našou pôvodnou funkciou signál zaznamenaný pre T=1 sek. Potom sa perióda prvej harmonickej bude rovnať trvaniu nášho signálu T1=T=1 sec a frekvencia harmonickej je 1 Hz. Perióda druhej harmonickej sa bude rovnať trvaniu signálu vydelenému 2 (T2=T/2=0,5 s) a frekvencia je 2 Hz. Pre tretiu harmonickú T3=T/3s a frekvencia je 3Hz. A tak ďalej.

Krok medzi harmonickými je v tomto prípade 1 Hz.

Signál s trvaním 1 sek je teda možné rozložiť na harmonické zložky (získať spektrum) s frekvenčným rozlíšením 1 Hz.
Na zvýšenie rozlíšenia 2-krát na 0,5 Hz je potrebné predĺžiť trvanie merania 2-krát - až 2 sekundy. Signál s trvaním 10 sekúnd je možné rozložiť na harmonické zložky (získať spektrum) s frekvenčným rozlíšením 0,1 Hz. Neexistujú žiadne iné spôsoby, ako zvýšiť frekvenčné rozlíšenie.

Existuje spôsob, ako umelo predĺžiť trvanie signálu pridaním núl do poľa vzoriek. Ale nezvyšuje skutočné frekvenčné rozlíšenie.

3. Diskrétne signály a diskrétna Fourierova transformácia

S rozvojom digitálnej techniky sa zmenili aj spôsoby ukladania nameraných dát (signálov). Ak predtým bolo možné signál zaznamenať na magnetofón a uložiť na pásku v analógovej forme, teraz sú signály digitalizované a uložené v súboroch v pamäti počítača ako súbor čísel (počet).

Obvyklá schéma merania a digitalizácie signálu je nasledovná.

obr.9 Schéma meracieho kanála

Signál z meracieho prevodníka prichádza do ADC počas časového úseku T. Vzorky signálu (vzorky) získané počas času T sú prenesené do počítača a uložené v pamäti.

obr.10 Digitalizovaný signál - N odčítaní prijatých v čase T

Aké sú požiadavky na parametre digitalizácie signálu? Zariadenie, ktoré konvertuje vstupný analógový signál na diskrétny kód (digitálny signál), sa nazýva analógovo-digitálny prevodník (ADC, anglicky Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Jedným z hlavných parametrov ADC je maximálna vzorkovacia frekvencia (alebo vzorkovacia frekvencia, anglicky sample rate) – frekvencia odoberania vzoriek signálu súvisle v čase pri jeho vzorkovaní. Merané v hertzoch. ((Wiki))

Podľa Kotelnikovovej vety, ak má spojitý signál spektrum obmedzené frekvenciou Fmax, potom ho možno úplne a jednoznačne obnoviť z jeho diskrétnych vzoriek odoberaných v časových intervaloch, t.j. s frekvenciou Fd ? 2*Fmax, kde Fd - vzorkovacia frekvencia; Fmax - maximálna frekvencia spektra signálu. Inými slovami, vzorkovacia frekvencia signálu (vzorkovacia frekvencia ADC) musí byť aspoň 2-násobkom maximálnej frekvencie signálu, ktorý chceme merať.

A čo sa stane, ak budeme čítať s nižšou frekvenciou, ako vyžaduje Kotelnikovova veta?

V tomto prípade nastáva efekt „aliasingu“ (alias stroboskopický efekt, moaré efekt), pri ktorom sa vysokofrekvenčný signál po digitalizácii zmení na nízkofrekvenčný signál, ktorý v skutočnosti neexistuje. Na obr. 5 vysokofrekvenčná červená sínusová vlna je skutočný signál. Modrá sínusová vlna s nižšou frekvenciou je fiktívny signál vyplývajúci zo skutočnosti, že počas vzorkovacieho času má čas uplynúť viac ako polovica periódy vysokofrekvenčného signálu.

Ryža. 11. Výskyt falošného nízkofrekvenčného signálu, keď vzorkovacia frekvencia nie je dostatočne vysoká

Aby sa predišlo efektu aliasingu, je pred ADC - LPF (dolnopriepustný filter) umiestnený špeciálny antialiasingový filter, ktorý prepúšťa frekvencie pod polovicou vzorkovacej frekvencie ADC a odrezáva vyššie frekvencie.

Na výpočet spektra signálu z jeho diskrétnych vzoriek sa používa diskrétna Fourierova transformácia (DFT). Ešte raz poznamenávame, že spektrum diskrétneho signálu je "podľa definície" obmedzené frekvenciou Fmax, ktorá je menšia ako polovica vzorkovacej frekvencie Fd. Preto môže byť spektrum diskrétneho signálu reprezentované súčtom konečného počtu harmonických, na rozdiel od nekonečného súčtu pre Fourierov rad spojitého signálu, ktorého spektrum môže byť neobmedzené. Podľa Kotelnikovovej vety musí byť maximálna harmonická frekvencia taká, aby predstavovala aspoň dve vzorky, takže počet harmonických sa rovná polovici počtu vzoriek diskrétneho signálu. To znamená, že ak je vo vzorke N vzoriek, potom sa počet harmonických v spektre bude rovnať N/2.

Uvažujme teraz o diskrétnej Fourierovej transformácii (DFT).

Porovnanie s Fourierovým radom

Vidíme, že sa zhodujú, až na to, že čas v DFT je diskrétny a počet harmonických je obmedzený na N/2 – polovicu počtu vzoriek.

Vzorce DFT sú zapísané v bezrozmerných celočíselných premenných k, s, kde k sú počty vzoriek signálu, s sú počty spektrálnych zložiek.
Hodnota s udáva počet úplných kmitov harmonickej v perióde T (doba trvania merania signálu). Diskrétna Fourierova transformácia sa používa na zistenie amplitúd a fáz harmonických číselne, t.j. "na počítači"

Vráťme sa k výsledkom získaným na začiatku. Ako už bolo spomenuté vyššie, pri rozšírení neperiodickej funkcie (náš signál) do Fourierovho radu, výsledný Fourierov rad vlastne zodpovedá periodickej funkcii s periódou T. (obr. 12).

obr.12 Periodická funkcia f(x) s periódou Т0, s periódou merania Т>T0

Ako vidno na obr. 12, funkcia f(x) je periodická s periódou Т0. Avšak vzhľadom na skutočnosť, že trvanie meranej vzorky T sa nezhoduje s periódou funkcie T0, funkcia získaná ako Fourierov rad má v bode T diskontinuitu. V dôsledku toho bude spektrum tejto funkcie obsahujú veľké množstvo vysokofrekvenčných harmonických. Ak by sa trvanie meranej vzorky T zhodovalo s periódou funkcie T0, potom by v spektre získanom po Fourierovej transformácii bola prítomná iba prvá harmonická (sínusoida s periódou rovnou dĺžke trvania vzorky), pretože funkcia f (x) je sínusoida.

Inými slovami, program DFT "nevie", že náš signál je "kúsok sínusoidy", ale snaží sa reprezentovať periodickú funkciu ako sériu, ktorá má medzeru v dôsledku nekonzistentnosti jednotlivých častí sínusoida.

V dôsledku toho sa v spektre objavujú harmonické, ktoré by celkovo mali predstavovať formu funkcie vrátane tejto diskontinuity.

Aby sa teda získalo „správne“ spektrum signálu, ktoré je súčtom niekoľkých sínusoidov s rôznymi periódami, je potrebné, aby sa na periódu merania signálu zmestilo celé číslo periód každej sínusoidy. V praxi je možné túto podmienku splniť počas dostatočne dlhého trvania merania signálu.

Obr.13 Príklad funkcie a spektra signálu kinematickej chyby prevodovky

Pri kratšom trvaní bude obrázok vyzerať „horšie“:

Obr.14 Príklad funkcie a spektra signálu vibrácií rotora

V praxi môže byť ťažké pochopiť, kde sú „skutočné komponenty“ a kde sú „artefakty“ spôsobené nenásobnosťou periód komponentov a trvaním vzorky signálu alebo „skokmi a prerušeniami“ priebeh. Samozrejme, slová „skutočné komponenty“ a „artefakty“ nie sú v úvodzovkách nadarmo. Prítomnosť mnohých harmonických na grafe spektra neznamená, že náš signál z nich skutočne „pozostáva“. Je to ako myslieť si, že číslo 7 "pozostáva" z čísel 3 a 4. Číslo 7 možno znázorniť ako súčet čísel 3 a 4 - to je správne.

Taký je aj náš signál... alebo skôr ani nie „náš signál“, ale periodická funkcia zostavená opakovaním nášho signálu (vzorkovanie) môže byť reprezentovaná ako súčet harmonických (sínusoidy) s určitými amplitúdami a fázami. Ale v mnohých prípadoch dôležitých pre prax (pozri obrázky vyššie), je skutočne možné dať do súvislosti získané harmonické v spektre so skutočnými procesmi, ktoré sú svojou povahou cyklické a významne prispievajú k tvaru signálu.

Niektoré výsledky

1. Skutočný meraný signál, trvanie T sec, digitalizovaný ADC, tj reprezentovaný súborom diskrétnych vzoriek (N kusov), má diskrétne neperiodické spektrum, reprezentované súborom harmonických (N/2 kusov ).

2. Signál je reprezentovaný množinou reálnych hodnôt a jeho spektrum je reprezentované množinou reálnych hodnôt. Harmonické frekvencie sú kladné. To, že pre matematikov je pohodlnejšie reprezentovať spektrum v komplexnej forme pomocou záporných frekvencií, neznamená, že „je to správne“ a „takto by sa to malo robiť vždy“.

3. Signál meraný v časovom intervale T je určený iba v časovom intervale T. Čo sa stalo predtým, ako sme začali merať signál, a čo sa stane potom, veda nepozná. A v našom prípade - to nie je zaujímavé. DFT časovo obmedzeného signálu dáva svoje "skutočné" spektrum v tom zmysle, že za určitých podmienok umožňuje vypočítať amplitúdu a frekvenciu jeho zložiek.

Použité materiály a iné užitočné materiály.

Fourier a Hartley transformujú transformačné funkcie času na funkcie frekvencie obsahujúce informácie o amplitúde a fáze. Nižšie sú uvedené grafy spojitej funkcie g(t) a diskrétne g(τ), kde t a τ sú časové okamihy.

Obe funkcie začínajú na nule, skočia na kladnú hodnotu a exponenciálne klesajú. Podľa definície je Fourierova transformácia pre spojitú funkciu integrálom na celej reálnej osi, F(f) a pre diskrétnu funkciu súčet cez konečnú množinu vzoriek, F(ν):

kde f, ν sú hodnoty frekvencie, n je počet vzorových hodnôt funkcie a i=√ –1 je imaginárna jednotka. Pre teoretické štúdium je vhodnejšie integrálne zobrazenie a pre počítačové výpočty je vhodnejšie zobrazenie vo forme konečného súčtu. Integrálne a diskrétne Hartleyho transformácie sú definované podobným spôsobom:

Hoci jediným rozdielom v zápise medzi Fourierovou a Hartleyho definíciou je prítomnosť faktora pred sínusom, skutočnosť, že Fourierova transformácia má skutočnú aj imaginárnu časť, robí reprezentácie týchto dvoch transformácií celkom odlišnými. Diskrétne Fourierove a Hartleyho transformácie majú v podstate rovnakú formu ako ich spojité náprotivky.

Hoci grafy vyzerajú odlišne, rovnaké informácie o amplitúde a fáze možno odvodiť z Fourierovej a Hartleyovej transformácie, ako je uvedené nižšie.

Fourierova amplitúda je určená druhou odmocninou súčtu druhých mocnín reálnej a imaginárnej časti. Hartleyova amplitúda je daná druhou odmocninou súčtu štvorcov H(–v) a H(ν). Fourierova fáza je určená arkus tangens imaginárnej časti delený reálnou časťou a Hartleyova fáza je určená súčtom 45° a arkus tangens H(–ν) delené H(ν).