Všimnite si, že v nasledujúcom budeme bez straty všeobecnosti uvažovať o prípade vektorov v trojrozmernom priestore. V rovine sa zvažovanie vektorov vykonáva podobným spôsobom. Ako bolo uvedené vyššie, všetky výsledky známe z kurzu lineárnej algebry pre algebraické vektory možno preniesť do špeciálneho prípadu geometrických vektorov. Tak poďme na to.

Nech sú vektory fixné.

Definícia. Súčet, kde sú nejaké čísla, sa nazýva lineárna kombinácia vektorov. V tomto prípade sa tieto čísla budú nazývať koeficienty lineárnej kombinácie.

Nás bude zaujímať otázka možnosti rovnosti lineárnej kombinácie k nulovému vektoru. V súlade s vlastnosťami a axiómami vektorových priestorov je zrejmé, že pre každý systém vektorov existuje triviálna (nulová) množina koeficientov, pre ktoré platí táto rovnosť:

Vzniká otázka, či pre danú sústavu vektorov existuje netriviálna množina koeficientov (medzi ktorými je aspoň jeden nenulový koeficient), pre ktoré platí spomínaná rovnosť. V súlade s tým budeme rozlišovať lineárne závislé a nezávislé systémy.

Definícia. Systém vektorov sa nazýva lineárne nezávislý, ak existuje taká množina čísel, medzi ktorými je aspoň jedno nenulové, takže zodpovedajúca lineárna kombinácia sa rovná nulovému vektoru:

Systém vektorov sa nazýva lineárne nezávislý, ak je rovnosť

je možné len v prípade triviálnej sady koeficientov:

Uveďme hlavné vlastnosti lineárne závislých a nezávislých systémov preukázaných v kurze lineárnej algebry.

1. Každý systém vektorov obsahujúci nulový vektor je lineárne závislý.

2. Nech je v sústave vektorov lineárne závislý podsystém. Potom je celý systém tiež lineárne závislý.

3. Ak je systém vektorov lineárne nezávislý, potom je lineárne nezávislý aj ktorýkoľvek z jeho podsystémov.

4. Ak sú v sústave vektorov dva vektory, z ktorých jeden získame od druhého vynásobením určitým číslom, potom je celý systém lineárne závislý.

Veta (kritérium lineárnej závislosti). Systém vektorov je lineárne závislý práve vtedy, ak jeden z vektorov tohto systému môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia ostatných vektorov systému.

Berúc do úvahy kritérium kolinearity dvoch vektorov, možno tvrdiť, že kritériom ich lineárnej závislosti je ich kolinearita. Pre tri vektory v priestore platí nasledujúce tvrdenie.

Veta (kritérium pre lineárnu závislosť troch geometrických vektorov). Tri vektory a sú lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak sú koplanárne.

Dôkaz.

Potreba. Nech vektory , a sú lineárne závislé. Dokážme ich komparatívnosť. Potom podľa všeobecného kritéria lineárnej závislosti algebraických vektorov tvrdíme, že jeden z týchto vektorov môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia iných vektorov. Nech napr.

Ak sú všetky tri vektory a aplikované na spoločný počiatok, potom sa vektor zhoduje s uhlopriečkou rovnobežníka postaveného na vektoroch a . Ale to znamená, že vektory , a ležia v rovnakej rovine, t.j. koplanárny.

Primeranosť. Nech sú vektory , a sú koplanárne. Ukážme, že sú lineárne závislé. Najprv zvážte prípad, keď je ktorýkoľvek pár z uvedených vektorov kolineárny. V tomto prípade podľa predchádzajúcej vety sústava vektorov , obsahuje lineárne závislý podsystém, a preto je sama lineárne závislá podľa vlastnosti 2 lineárne závislých a nezávislých sústav vektorov. Nech nie je teraz žiadny pár uvažovaných vektorov kolineárny. Všetky tri vektory prenesieme do jednej roviny a privedieme do spoločného počiatku. Nakreslite koniec vektorových čiar rovnobežných s vektormi a . Písmeno nech označuje priesečník priamky rovnobežnej s vektorom s priamkou, na ktorej vektor leží, a písmenom priesečník priamky rovnobežnej s vektorom s priamkou, na ktorej vektor leží. Definíciou súčtu vektorov dostaneme:

.

Keďže vektor je kolineárny k nenulovému vektoru , existuje také reálne číslo, že

Podobné úvahy implikujú existenciu reálneho čísla takého, že

V dôsledku toho budeme mať:

Potom zo všeobecného kritéria pre lineárnu závislosť algebraických vektorov dostaneme, že vektory , , sú lineárne závislé. ■

Veta (lineárna závislosť štyroch vektorov). Akékoľvek štyri vektory sú lineárne závislé.

Dôkaz. Najprv zvážte prípad, keď je ľubovoľná trojica z uvedených štyroch vektorov koplanárna. V tomto prípade je táto trojica lineárne závislá v súlade s predchádzajúcou vetou. Preto je v súlade s vlastnosťou 2 lineárne závislých a nezávislých systémov vektorov a celá štvorica je lineárne závislá.

Nech medzi uvažovanými vektormi žiadna trojica vektorov nie je koplanárna. Privedieme všetky štyri vektory , , , na spoločný začiatok a nakreslíme roviny cez koniec vektora rovnobežné s rovinami definovanými pármi vektorov , ; , ; , . Priesečníky označených rovín s čiarami, na ktorých ležia vektory , a , sú označené písmenami , resp. Z definície súčtu vektorov vyplýva, že

ktorý, berúc do úvahy všeobecné kritérium lineárnej závislosti algebraických vektorov, hovorí, že všetky štyri vektory sú lineárne závislé. ■

Nami predstavené lineárne operácie s vektormi umožňujú vytvárať rôzne výrazy pre vektorové veličiny a transformovať ich pomocou vlastností nastavených pre tieto operácie.

Na základe danej množiny vektorov a 1 , ... a n môžete zostaviť výraz v tvare

kde a 1 , ... a n sú ľubovoľné reálne čísla. Tento výraz sa nazýva lineárna kombinácia vektorov a 1 , ..., a n . Čísla α i , i = 1, n , sú lineárne kombinačné koeficienty. Súbor vektorov je tiež tzv vektorový systém.

V súvislosti so zavedeným pojmom lineárna kombinácia vektorov vzniká problém opísať množinu vektorov, ktoré možno zapísať ako lineárnu kombináciu daného systému vektorov a 1 , ..., a n . Okrem toho sú prirodzené otázky o podmienkach, za ktorých existuje zobrazenie vektora vo forme lineárnej kombinácie, a o jedinečnosti takéhoto zobrazenia.

Definícia 2.1. Volajú sa vektory a 1 , ... a n lineárne závislé, ak existuje taká množina koeficientov α 1 , ... , α n že

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

a aspoň jeden z týchto koeficientov je nenulový. Ak zadaná množina koeficientov neexistuje, zavolajú sa vektory lineárne nezávislé.

Ak α 1 = ... = α n = 0, potom, samozrejme, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. S ohľadom na túto skutočnosť môžeme povedať toto: vektory a 1 , ... a n sú lineárne nezávislé, ak z rovnosti (2.2) vyplýva, že všetky koeficienty α 1 , ... , α n sú rovné nule.

Nasledujúca veta vysvetľuje, prečo sa nový koncept nazýva „závislosť“ (alebo „nezávislosť“), a poskytuje jednoduché kritérium pre lineárnu závislosť.

Veta 2.1. Aby vektory a 1 , ..., an , n > 1 boli lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby jeden z nich bol lineárnou kombináciou ostatných.

◄ Nevyhnutnosť. Predpokladajme, že vektory a 1 , ... a n sú lineárne závislé. Podľa definície 2.1 lineárnej závislosti je v rovnosti (2.2) vľavo aspoň jeden nenulový koeficient, napríklad α 1 . Prvý člen necháme na ľavej strane rovnosti, zvyšok presunieme na pravú stranu, pričom ich znamienka zmeníme ako obvykle. Vydelením výslednej rovnosti α 1 dostaneme

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

tie. reprezentácia vektora a 1 ako lineárna kombinácia zostávajúcich vektorov a 2, ..., an.

Primeranosť. Nech je napríklad prvý vektor a 1 reprezentovaný ako lineárna kombinácia zostávajúcich vektorov: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Prenesením všetkých členov z pravej strany na ľavú dostaneme a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, t.j. lineárna kombinácia vektorov a 1, ..., a n s koeficientmi α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, rovnými nulový vektor. V tejto lineárnej kombinácii nie sú všetky koeficienty rovné nule. Podľa definície 2.1 sú vektory a 1 , ... a n lineárne závislé.

Definícia a kritérium lineárnej závislosti sú formulované tak, že implikujú prítomnosť dvoch alebo viacerých vektorov. Dá sa však hovoriť aj o lineárnej závislosti jedného vektora. Aby sme si túto možnosť uvedomili, namiesto „vektory sú lineárne závislé“ musíme povedať „systém vektorov je lineárne závislý“. Je ľahké vidieť, že výraz „systém jedného vektora je lineárne závislý“ znamená, že tento jediný vektor je nulový (v lineárnej kombinácii je len jeden koeficient a nesmie sa rovnať nule).

Koncept lineárnej závislosti má jednoduchú geometrickú interpretáciu. Túto interpretáciu objasňujú nasledujúce tri tvrdenia.

Veta 2.2. Dva vektory sú lineárne závislé práve vtedy, ak áno kolineárne.

◄ Ak sú vektory a a b lineárne závislé, potom jeden z nich, napríklad a, je vyjadrený cez druhý, t.j. a = λb pre nejaké reálne číslo λ. Podľa definície 1.7 Tvorba vektory číslom, vektory a a b sú kolineárne.

Teraz nech sú vektory a a b kolineárne. Ak sú obe nulové, potom je zrejmé, že sú lineárne závislé, pretože každá ich lineárna kombinácia sa rovná nulovému vektoru. Nech sa jeden z týchto vektorov nerovná 0, napríklad vektor b. Označme λ pomer dĺžok vektorov: λ = |а|/|b|. Kolineárne vektory môžu byť jednosmerný alebo opačných smeroch. V druhom prípade zmeníme znamienko λ. Potom pri kontrole Definície 1.7 vidíme, že a = λb. Podľa vety 2.1 sú vektory a a b lineárne závislé.

Poznámka 2.1. V prípade dvoch vektorov, berúc do úvahy kritérium lineárnej závislosti, možno dokázanú vetu preformulovať takto: dva vektory sú kolineárne vtedy a len vtedy, ak je jeden z nich reprezentovaný ako súčin druhého číslom. Toto je vhodné kritérium pre kolinearitu dvoch vektorov.

Veta 2.3. Tri vektory sú lineárne závislé práve vtedy, ak áno koplanárny.

◄ Ak sú tri vektory a, b, c lineárne závislé, potom podľa vety 2.1 jeden z nich, napríklad a, je lineárnou kombináciou ostatných: a = βb + γc. Spojme počiatky vektorov b a c v bode A. Potom budú mať vektory βb, γc spoločný počiatok v bode A a paralelogramové pravidlo ich súčet, tie. vektor a, bude vektor so začiatkom A a koniec, čo je vrchol rovnobežníka postaveného na sčítacích vektoroch. Všetky vektory teda ležia v rovnakej rovine, to znamená, že sú koplanárne.

Nech vektory a, b, c sú koplanárne. Ak je jeden z týchto vektorov nulový, potom je zrejmé, že pôjde o lineárnu kombináciu ostatných. Stačí, ak sa všetky koeficienty lineárnej kombinácie rovnajú nule. Preto môžeme predpokladať, že všetky tri vektory nie sú nulové. Kompatibilné začať tieto vektory v spoločnom bode O. Nech sú ich koncami body A, B, C (obr. 2.1). Nakreslite čiary cez bod C rovnobežné s čiarami prechádzajúcimi cez dvojice bodov O, A a O, B. Priesečníky označíme ako A" a B", dostaneme rovnobežník OA"CB", teda OC" = OA" + OB ". Vektor OA" a nenulový vektor a= OA sú kolineárne, a preto prvý z nich možno získať vynásobením druhého reálnym číslom α:OA" = αOA. Podobne OB" = βOB , β ∈ R. Výsledkom je, že OC" = α OA + βOB , teda vektor c je lineárnou kombináciou vektorov a a b. Podľa vety 2.1 sú vektory a, b, c lineárne závislé.

Veta 2.4. Akékoľvek štyri vektory sú lineárne závislé.

◄ Dôkaz sa riadi rovnakou schémou ako vo vete 2.3. Uvažujme ľubovoľné štyri vektory a, b, c a d. Ak je jeden zo štyroch vektorov nula, alebo sú medzi nimi dva kolineárne vektory, alebo tri zo štyroch vektorov sú koplanárne, potom sú tieto štyri vektory lineárne závislé. Napríklad, ak sú vektory a a b kolineárne, potom môžeme zostaviť ich lineárnu kombináciu αa + βb = 0 s nenulovými koeficientmi a potom pridať zvyšné dva vektory k tejto kombinácii, pričom ako koeficienty vezmeme nuly. Dostaneme lineárnu kombináciu štyroch vektorov rovných 0, v ktorej sú nenulové koeficienty.

Môžeme teda predpokladať, že medzi vybranými štyrmi vektormi nie sú žiadne nulové vektory, žiadne dva nie sú kolineárne a žiadne tri nie sú koplanárne. Za ich spoločný začiatok zvolíme bod O. Potom koncami vektorov a, b, c, d budú nejaké body A, B, C, D (obr. 2.2). Cez bod D nakreslíme tri roviny rovnobežné s rovinami ОВС, OCA, OAB, pričom A", B", С" sú priesečníky týchto rovín s priamkami OA, OB, OS. Dostaneme rovnobežnosten OA"C"B"C" B"DA", a vektory a, b, c ležia na jeho okrajoch vychádzajúcich z vrcholu O. Keďže štvoruholník OC"DC" je rovnobežník, potom OD = OC" + OC Segment OS" je zase diagonálny rovnobežník OA"C"B", takže OC" = OA" + OB" a OD = OA" + OB" + OC" .

Zostáva poznamenať, že dvojice vektorov OA ≠ 0 a OA", OB ≠ 0 a OB", OC ≠ 0 a OC" sú kolineárne, a preto môžeme zvoliť koeficienty α, β, γ tak, aby OA" = aOA, OB" = pOB a OC" = yOC. Nakoniec dostaneme OD = αOA + βOB + γOC . V dôsledku toho je vektor OD vyjadrený v podmienkach zostávajúcich troch vektorov a všetky štyri vektory sú podľa vety 2.1 lineárne závislé.

Nevyhnutná podmienka pre lineárnu závislosť n funkcií.

Nech funkcie , majú derivácie limity (n-1).

Zvážte determinant: (1)

W(x) sa zvyčajne nazýva Wronského determinant pre funkcie.

Veta 1. Ak sú funkcie v intervale (a,b) lineárne závislé, tak ich Wronskian W(x) je v tomto intervale zhodne rovný nule.

Dôkaz. Podmienkou vety, vzťahu

, (2) kde nie všetky sa rovnajú nule. Nechaj . Potom

(3). Diferencujte túto identitu n-1 krát a

nahradenie ich získaných hodnôt do Vronského determinantu,

dostaneme:

Vo Vronského determinante je posledný stĺpec lineárnou kombináciou predchádzajúcich n-1 stĺpcov, a preto sa rovná nule vo všetkých bodoch intervalu (a, b).

Veta 2. Ak funkcie y 1 ,..., y n sú lineárne nezávislé riešenia rovnice L[y] = 0, ktorých všetky koeficienty sú spojité v intervale (a,b), potom je Wronskian týchto riešení odlišný od nuly. v každom bodovom intervale (a,b).

Dôkaz. Predpokladajme opak. Existuje X 0 , kde W(X 0)=0. Zostavíme sústavu n rovníc

Je zrejmé, že systém (5) má nenulové riešenie. Nechajte (6).

Zostavme lineárnu kombináciu riešení y 1 ,..., y n .

Y(x) je riešením rovnice L[y] = 0. Okrem toho . Na základe vety o jedinečnosti musí byť riešenie rovnice L[y] = 0 s nulovými počiatočnými podmienkami iba nulové, ᴛ.ᴇ. .

Dostaneme identitu, kde nie je všetko rovné nule, čo znamená, že y 1 ,..., y n sú lineárne závislé, čo je v rozpore s podmienkou vety. Preto neexistuje bod, kde by W(X 0)=0.

Na základe vety 1 a vety 2 môžeme sformulovať nasledujúce tvrdenie. Aby bolo n riešení rovnice L[y] = 0 lineárne nezávislých v intervale (a,b), je mimoriadne dôležité a postačujúce, aby ich wronskián v žiadnom bode tohto intervalu nezanikol.

Z dokázaných teorémov vyplývajú aj nasledujúce zrejmé vlastnosti wronského.

1. Ak sa Wronskián n riešení rovnice L[y] = 0 rovná nule v jednom bode x = x 0 z intervalu (a, b), v ktorom sú všetky koeficienty p i (x) spojité, potom je rovná nule vo všetkých ex bodoch tohto intervalu.
2. Ak je Wronskián n riešení rovnice L[y] = 0 nenulový v jednom bode x = x 0 z intervalu (a, b), potom je nenulový vo všetkých bodoch tohto intervalu.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, pre linearitu n nezávislých riešení rovnice L[y] = 0 v intervale (a,b), v ktorom sú koeficienty rovnice p i (x) spojité, je mimoriadne dôležité a postačujúce, aby ich Wronskian sa líši od nuly aj v jednom bode tohto intervalu.

Nevyhnutná podmienka pre lineárnu závislosť n funkcií. - pojem a druhy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Nevyhnutná podmienka pre lineárnu závislosť n funkcií." 2017, 2018.

-

Zariadenia na manipuláciu s loďou (palubné vybavenie na manipuláciu s nákladom) Prednáška č. 6 Téma: Vybavenie na prepravu nákladu (zariadenie na prepravu nákladu) 6.1. Zariadenia na manipuláciu s loďou (palubné vybavenie na manipuláciu s nákladom). 6.2. Nákladné žeriavy. 6.3. Rampa. Preťaženie je pohyb tovaru do alebo z vozidla. Veľa... .

- Nákladné žeriavy

Certifikáty Rozdelenie úloh Inšpekcie, certifikácie a zodpovednosti sú rozdelené nasledovne: &... .

- Poznáš ho? Lo conoces?

Tam - allá Tu - aqui V kaviarni - en el cafe V práci - en el trabajo Na mori - en el mar 1. Viete, kde je kaviareň? 2. Vieš kde je Sasha? 3. Viete, kde je knižnica? 4. Vieš, kde je teraz Olya? 5. Vieš, kde je teraz Nataša? Dobrý deň! Ja... .

- Stanovenie Zmin a Xmin z podmienky bez podrezania

Obr.5.9. O prerezávaní zubov kolies. Uvažujme, ako súvisí šmykový koeficient x ozubenej tyče s počtom zubov, ktoré je možné prerezať ozubenou tyčou na kolese. Nechajte koľajnicu namontovanú v polohe 1 (obr. 5.9.). V tomto prípade rovná hlava hrebeňa prekročí líniu záberu N-N, vrátane ...

Def. Sústava prvkov x 1 ,…,x m lín. produkcia V sa nazýva lineárne závislá, ak ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) tak, že λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ .

Def. Systém prvkov x 1 ,…,x m ∈ V sa nazýva lineárne nezávislý, ak z rovnosti λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.

Def. Prvok x ∈ V sa nazýva lineárna kombinácia prvkov x 1 ,…,x m ∈ V, ak ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ tak, že x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

Veta (kritérium lineárnej závislosti): Systém vektorov x 1 ,…,x m ∈ V je lineárne závislý práve vtedy, ak aspoň jeden vektor systému je lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných.

Docentom sa stal doc. Potrebujete: Nech x 1 ,…,x m je lineárne závislé ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) tak, že λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. Predpokladajme teda, že λ m ≠ 0

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Primeranosť: Nech je aspoň jeden z vektorov lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných vektorov: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - sú lineárne nezávislé.

Ven. podmienka lineárnej závislosti:

Ak systém obsahuje nulový prvok alebo lineárne závislý podsystém, potom je lineárne závislý.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – lineárne závislý systém

1) Nech x 1 = θ, potom táto rovnosť platí pre λ 1 =1 a λ 1 =…= λ m =0.

2) Nech λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 je lineárne závislý podsystém ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . Potom pre λ 1 =0 dostaneme aj |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 je lineárne závislý systém.

Základ lineárneho priestoru. Vektorové súradnice v danom základe. Súradnice súčtu vektorov a súčin vektora číslom. Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre lineárnu závislosť sústavy vektorov.

Definícia: Usporiadaná sústava prvkov e 1, ..., e n lineárneho priestoru V sa nazýva báza tohto priestoru, ak:

A) e 1 ... e n sú lineárne nezávislé

B) ∀ x ∈ α 1 … α n také, že x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – rozšírenie prvku x v základe e 1, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ sú súradnice prvku x v základe e 1, …, e n

Veta: Ak je základ e 1, …, e n daný v lineárnom priestore V, potom ∀ x ∈ V stĺpec súradníc x v základe e 1, …, e n je jednoznačne určený (súradnice sú jednoznačne určené)

dôkaz: Nech x=α 1 e 1 +…+ α n e n a x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, t.j. e 1, …, e n sú lineárne nezávislé, potom - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Veta: nech e 1, …, e n je základom lineárneho priestoru V; x, y sú ľubovoľné prvky priestoru V, λ ∈ ℝ je ľubovoľné číslo. Keď sa sčítajú x a y, spočítajú sa ich súradnice, keď sa x vynásobí λ, súradnice x sa vynásobia aj λ.

dôkaz: x= (e 1, …, e n) a y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ) = (e 1, …, e n)

Lema1: (nevyhnutná a postačujúca podmienka pre lineárnu závislosť sústavy vektorov)

Nech e 1 …e n je základom priestoru V. Sústava prvkov f 1 , …, f k ∈ V je lineárne závislá práve vtedy, ak súradnicové stĺpce týchto prvkov v základe e 1, …, e n sú lineárne závislé

dôkaz: expand f 1 , …, f k v základe e 1, …, e n

f m = (e 1, …, e n) m = 1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] t.j. λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = podľa potreby.

13. Rozmer lineárneho priestoru. Veta o vzťahu medzi dimenziou a bázou.
Definícia: Lineárny priestor V sa nazýva n-rozmerný priestor, ak je vo V n lineárne nezávislých prvkov a systém ľubovoľných n + 1 prvkov priestoru V je lineárne závislý. V tomto prípade sa n nazýva rozmer lineárneho priestoru V a označuje sa dimV=n.

Lineárny priestor sa nazýva nekonečno-rozmerný, ak ∀N ∈ ℕ v priestore V existuje lineárne nezávislý systém obsahujúci N prvkov.

Veta: 1) Ak je V n-rozmerný lineárny priestor, potom základ tvorí akýkoľvek usporiadaný systém n lineárne nezávislých prvkov tohto priestoru. 2) Ak v lineárnom priestore V existuje báza pozostávajúca z n prvkov, potom sa rozmer V rovná n (dimV=n).

dôkaz: 1) Nech dimV=n ⇒ vo V ∃ n lineárne nezávislých prvkoch e 1, …,e n . Dokážeme, že tieto prvky tvoria základ, to znamená, že dokážeme, že ∀ x ∈ V možno rozšíriť v zmysle e 1, …,e n . Pripočítajme k nim x: e 1, …,e n , x – tento systém obsahuje n+1 vektorov, čiže je lineárne závislý. Pretože e 1, …,e n je lineárne nezávislé, potom podľa vety 2 X lineárne vyjadrené cez e 1, …,e n t.j. ∃ ,... tak, že x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Takže e 1, …,e n je základom priestoru V. 2) Nech e ​​1, …,e n je základom V, takže vo V ∃ n je n lineárne nezávislých prvkov. Vezmite ľubovoľné f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 prvkov. Ukážme si ich lineárnu závislosť. Poďme si ich rozobrať z hľadiska:

f m =(e 1, …,e n) = kde m = 1,…,n Vytvorme maticu súradnicových stĺpcov: A= Matica obsahuje n riadkov ⇒ RgA≤n. Počet stĺpcov n+1 > n ≥ RgA ⇒ Stĺpce matice A (tj stĺpce súradníc f 1 ,…,f n ,f n +1) sú lineárne závislé. Z Lemy 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 sú lineárne závislé ⇒ dimV=n.

Dôsledok: Ak nejaký základ obsahuje n prvkov, potom každý iný základ tohto priestoru obsahuje n prvkov.

Veta 2: Ak je sústava vektorov x 1 ,… ,x m -1 , x m lineárne závislá a jej podsystém x 1 ,… ,x m -1 je lineárne nezávislý, potom x m - je lineárne vyjadrené cez x 1 ,… ,x m -1

dôkaz: Pretože x 1 ,… ,x m -1 , x m je lineárne závislé, potom ∃ , …, , ,

, …, | , | také že . Ak , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 sú lineárne nezávislé, čo nemôže byť. Takže m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

V tomto článku sa budeme venovať:

• čo sú kolineárne vektory;
• aké sú podmienky pre kolineárne vektory;
• aké sú vlastnosti kolineárnych vektorov;
• aká je lineárna závislosť kolineárnych vektorov.

Definícia 1

Kolineárne vektory sú vektory, ktoré sú rovnobežné s rovnakou čiarou alebo ležia na tej istej čiare.

Príklad 1

Podmienky pre kolineárne vektory

Dva vektory sú kolineárne, ak je splnená niektorá z nasledujúcich podmienok:

• podmienka 1 . Vektory a a b sú kolineárne, ak existuje číslo λ také, že a = λ b ;
• stav 2 . Vektory a a b sú kolineárne s rovnakým pomerom súradníc:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• stav 3 . Vektory a a b sú kolineárne za predpokladu, že vektorový súčin a nulový vektor sú rovnaké:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Poznámka 1

Podmienka 2 nepoužiteľné, ak je jedna z vektorových súradníc nula.

Poznámka 2

Podmienka 3 použiteľné len pre tie vektory, ktoré sú dané v priestore.

Príklady úloh na štúdium kolinearity vektorov

Príklad 1

Skúmame kolinearitu vektorov a \u003d (1; 3) a b \u003d (2; 1).

ako sa rozhodnúť?

V tomto prípade je potrebné použiť 2. podmienku kolinearity. Pre dané vektory to vyzerá takto:

Rovnosť je nesprávna. Z toho môžeme usúdiť, že vektory a a b sú nekolineárne.

Odpoveď : a | | b

Príklad 2

Aká hodnota m vektora a = (1 ; 2) a b = (- 1 ; m) je potrebná, aby vektory boli kolineárne?

ako sa rozhodnúť?

Pomocou druhej kolineárnej podmienky budú vektory kolineárne, ak sú ich súradnice proporcionálne:

To ukazuje, že m = -2.

odpoveď: m = -2.

Kritériá lineárnej závislosti a lineárnej nezávislosti sústav vektorov

Veta

Systém vektorov vo vektorovom priestore je lineárne závislý iba vtedy, ak jeden z vektorov systému možno vyjadriť v podmienkach zvyšku vektorov systému.

Dôkaz

Nech je sústava e 1 , e 2 , . . . , e n je lineárne závislá. Zapíšme si lineárnu kombináciu tohto systému rovnajúcu sa nulovému vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

v ktorých sa aspoň jeden z koeficientov kombinácie nerovná nule.

Nech a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Obidve strany rovnosti delíme nenulovým koeficientom:

a k - 1 (ak - 1 a 1) e1 + (ak - 1 a k) ek +. . . + (ak - 1 a n) e n = 0

Označiť:

Ak - 1 a m , kde m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

V tomto prípade:

p1e1+. . . + βk - 1 ek - 1 + β k + 1 ek + 1 +. . . + n e n = 0

alebo ek = (-p1)e1+. . . + (- p k - 1) ek - 1 + (- p k + 1) ek + 1 +. . . + (- β n) a n

Z toho vyplýva, že jeden z vektorov systému je vyjadrený v podmienkach všetkých ostatných vektorov systému. Čo bolo potrebné preukázať (p.t.d.).

Primeranosť

Nech je jeden z vektorov lineárne vyjadrený v podmienkach všetkých ostatných vektorov systému:

e k = y1e1+. . . + γ k - 1 ek - 1 + y k + 1 ek + 1 + . . . + γ n e n

Vektor e k prenesieme na pravú stranu tejto rovnosti:

0 = y1e1+. . . + γ k - 1 ek - 1 - ek + y k + 1 ek + 1 + . . . + γ n e n

Keďže koeficient vektora e k je rovný - 1 ≠ 0, dostaneme netriviálne zobrazenie nuly sústavou vektorov e 1 , e 2 , . . . , e n , a to zase znamená, že daný systém vektorov je lineárne závislý. Čo bolo potrebné preukázať (p.t.d.).

Dôsledok:

• Systém vektorov je lineárne nezávislý, keď žiadny z jeho vektorov nemôže byť vyjadrený v podmienkach všetkých ostatných vektorov systému.
• Vektorový systém, ktorý obsahuje nulový vektor alebo dva rovnaké vektory, je lineárne závislý.

Vlastnosti lineárne závislých vektorov

1. Pre 2- a 3-rozmerné vektory je podmienka splnená: dva lineárne závislé vektory sú kolineárne. Dva kolineárne vektory sú lineárne závislé.
2. Pre 3-rozmerné vektory je podmienka splnená: tri lineárne závislé vektory sú koplanárne. (3 koplanárne vektory - lineárne závislé).
3. Pre n-rozmerné vektory je splnená podmienka: n + 1 vektorov je vždy lineárne závislých.

Príklady riešenia úloh pre lineárnu závislosť alebo lineárnu nezávislosť vektorov

Príklad 3

Skontrolujme vektory a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 pre lineárnu nezávislosť.

Riešenie. Vektory sú lineárne závislé, pretože rozmer vektorov je menší ako počet vektorov.

Príklad 4

Skontrolujme vektory a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 pre lineárnu nezávislosť.

Riešenie. Nájdeme hodnoty koeficientov, pri ktorých sa lineárna kombinácia bude rovnať nulovému vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorovú rovnicu napíšeme vo forme lineárnej:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Tento systém riešime Gaussovou metódou:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. riadku odčítame 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Odčítajte 2. od 1. riadku, pripočítajte 2. k 3.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Z riešenia vyplýva, že systém má veľa riešení. To znamená, že existuje nenulová kombinácia hodnôt takých čísel x 1 , x 2 , x 3, pre ktoré sa lineárna kombinácia a , b , c rovná nulovému vektoru. Preto vektory a , b , c sú lineárne závislé. ​​​​​​​

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter