Понякога възниква задачата - да се направи защитен чадър за ауспух или комин, изпускателен дефлектор за вентилация и др. Но преди да започнете производството, трябва да направите шаблон (или сканиране) за материала. В интернет има всякакви програми за изчисляване на такива размахове. Проблемът обаче е толкова лесен за решаване, че бързо ще го изчислите с калкулатор (на компютър), отколкото ще търсите, изтегляте и се занимавате с тези програми.

Нека започнем с прост вариант - развитието на обикновен конус. Най-лесният начин да обясните принципа на изчисляване на шаблона е с пример.

Да предположим, че трябва да направим конус с диаметър D cm и височина H сантиметра. Съвсем ясно е, че кръг с изрязан сегмент ще действа като заготовка. Известни са два параметъра - диаметър и височина. Използвайки теоремата на Питагор, изчисляваме диаметъра на кръга на детайла (не го бъркайте с радиуса завършенконуси). Половината диаметър (радиус) и височина образуват правоъгълен триъгълник. Така:

И така, сега знаем радиуса на детайла и можем да изрежем кръга.

Изчислете ъгъла на сектора, който ще бъде изрязан от кръга. Ние аргументираме следното: Диаметърът на детайла е 2R, което означава, че обиколката е Pi * 2 * R - т.е. 6,28*R. Означаваме го с L. Кръгът е пълен, т.е. 360 градуса. А обиколката на готовия конус е Pi * D. Означаваме го с Lm. Това, разбира се, е по-малко от обиколката на детайла. Трябва да изрежем сегмент с дължина на дъгата, равна на разликата между тези дължини. Приложете правилото за съотношение. Ако 360 градуса ни дава пълната обиколка на детайла, тогава желаният ъгъл трябва да даде обиколката на готовия конус.

От формулата на съотношението получаваме размера на ъгъла X. И изрязаният сектор се намира чрез изваждане на 360 - X.

От кръгла заготовка с радиус R трябва да се изреже сектор с ъгъл (360-X). Не забравяйте да оставите малка лента от припокриващ се материал (ако конусът ще се припокрива). След свързване на страните на изрязания сектор получаваме конус с определен размер.

Например: Нуждаем се от конус на аспиратора на комина с височина (H) 100 мм и диаметър (D) 250 мм. По формулата на Питагор получаваме радиуса на детайла - 160 мм. И обиколката на детайла, съответно, 160 x 6,28 = 1005 mm. В същото време обиколката на конуса, от която се нуждаем, е 250 x 3,14 = 785 mm.

Тогава получаваме, че съотношението на ъглите ще бъде: 785 / 1005 x 360 = 281 градуса. Съответно е необходимо да отрежете сектора 360 - 281 = 79 градуса.

Изчисляване на заготовката на шаблона за пресечен конус.

Такъв детайл понякога е необходим при производството на адаптери от един диаметър към друг или за дефлектори на Volpert-Grigorovich или Khanzhenkov. Използват се за подобряване на тягата в комин или вентилационна тръба.

Задачата леко се усложнява от факта, че не знаем височината на целия конус, а само на неговата пресечена част. Като цяло има три начални числа: височината на пресечения конус H, диаметърът на долния отвор (основата) D и диаметърът на горния отвор Dm (в напречното сечение на пълния конус). Но ние ще прибягваме до същите прости математически конструкции, базирани на питагоровата теорема и сходството.

Всъщност е очевидно, че стойността (D-Dm) / 2 (половината разлика в диаметрите) ще бъде свързана с височината на пресечения конус H по същия начин, както радиуса на основата до височината на целия конус, сякаш не е отрязано. От това съотношение намираме общата височина (P).

(D – Dm)/ 2H = D/2P

Следователно Р = D x H / (D-Dm).

Сега, знаейки общата височина на конуса, можем да сведем решението на задачата до предишното. Изчислете развитието на детайла като за пълен конус и след това „извадете“ от него развитието на горната му, ненужна част. И можем да изчислим директно радиусите на детайла.

Получаваме по теоремата на Питагор по-голям радиус на детайла - Rz. Това е корен квадратен от сбора от квадратите на височината P и D/2.

По-малкият радиус Rm е корен квадратен от сбора от квадрати (P-H) и Dm/2.

Обиколката на нашия детайл е 2 x Pi x Rz, или 6,28 x Rz. А обиколката на основата на конуса е Pi x D, или 3,14 x D. Съотношението на техните дължини ще даде съотношението на ъглите на секторите, ако приемем, че пълният ъгъл в детайла е 360 градуса.

Тези. X / 360 = 3,14 x D / 6,28 x Rz

Следователно X = 180 x D / Rz (Това е ъгълът, който трябва да се остави, за да се получи обиколката на основата). И трябва да изрежете съответно 360 - X.

Например: Трябва да направим пресечен конус с височина 250 мм, диаметър на основата 300 мм, диаметър на горния отвор 200 мм.

Намираме височината на пълния конус P: 300 x 250 / (300 - 200) = 600 mm

Според метода на Питагор намираме външния радиус на детайла Rz: корен квадратен от (300/2) ^ 2 + 6002 = 618,5 mm

По същата теорема намираме по-малкия радиус Rm: корен квадратен от (600 - 250)^2 + (200/2)^2 = 364 mm.

Определяме ъгъла на сектора на нашия детайл: 180 x 300 / 618,5 = 87,3 градуса.

Върху материала рисуваме дъга с радиус 618,5 мм, след това от същия център - дъга с радиус 364 мм. Ъгълът на дъгата може да има приблизително 90-100 градуса на отваряне. Начертаваме радиуси с ъгъл на отваряне от 87,3 градуса. Нашата подготовка е готова. Не забравяйте да предвидите ръбовете на шевовете, ако се припокриват.

В геометрията пресечен конус е тяло, което се образува от въртенето на правоъгълен трапец около тази страна от него, която е перпендикулярна на основата. Как изчисляват обем на пресечен конус, всеки знае от училищен курсгеометрия и на практика това знание често се използва от дизайнери на различни машини и механизми, разработчици на някои потребителски стоки, както и от архитекти.

Изчисляване на обема на пресечен конус

Формулата за изчисляване на обема на пресечен конус

Обемът на пресечен конус се изчислява по формулата:

V

πh (R 2 + R × r + r 2)

з- височина на конуса

r- радиус на горната основа

Р- радиус на дъното на основата

V- обем на пресечения конус

π - 3,14

С такива геометрични тела като пресечени конуси, v Ежедневиетовсеки се сблъсква доста често, ако не и постоянно. Тяхната форма има голямо разнообразие от контейнери, широко използвани в ежедневието: кофи, чаши, някои чаши. От само себе си се разбира, че дизайнерите, които са ги разработили, трябва да са използвали формула, която изчислява обем на пресечен конус, тъй като това количество има в случая много голямо значение, защото определя такава важна характеристика като капацитета на продукта.

Инженерни конструкции, които са пресечени конуси, често се среща на големи промишлени предприятия, както и термични и атомни електроцентрали. Именно тази форма имат охладителните кули - устройства, предназначени да охлаждат големи обеми вода чрез принудителен противоток атмосферен въздух. Най-често тези конструкции се използват в случаите, когато се изисква значително намаляване на температурата за кратко време. Голям бройтечности. Разработчиците на тези структури трябва да определят обем на пресечен конусформулата за изчисляване, която е доста проста и известна на всички, които някога са учили добре в гимназията.

Детайли с тази геометрична форма доста често се срещат в дизайна на различни технически устройства. Например, зъбните колела, използвани в системи, където се изисква промяна на посоката на кинетичното предаване, най-често се изпълняват с помощта на конусни зъбни колела. Тези части са неразделна част от голямо разнообразие от скоростни кутии, както и автоматични и ръчни скоростни кутии, използвани в съвременните автомобили.

Формата на пресечен конус има някои режещи инструменти, които се използват широко в производството, например фрези. С тяхна помощ можете да обработвате наклонени повърхности под определен ъгъл. За заточване на фрези на металообработващо и дървообработващо оборудване често се използват абразивни колела, които също са пресечени конуси. Освен това, обем на пресечен конуснеобходимо е да се определят конструкторите на стругови и фрезови машини, които включват закрепване на режещ инструмент, оборудван със заострени дръжки (свредла, райбери и др.).

Вместо думата „шаблон“, понякога се използва „изместване“, но този термин е двусмислен: например райберът е инструмент за увеличаване на диаметъра на отвор, а в електронната технология има концепцията за райбер. Ето защо, въпреки че съм длъжен да използвам думите „конус, за да могат търсачките да намерят тази статия, използвайки тях, ще използвам думата „шаблон”.

Изграждането на шаблон за конус е прост въпрос. Нека разгледаме два случая: за пълен конус и за пресечен конус. На снимката (щракнете за уголемяване)са показани скици на такива конуси и техните модели. (Веднага отбелязвам, че ще говорим само за прави конуси с кръгла основа. Конуси с овална основа и наклонени конуси ще бъдат разгледани в следващите статии).

1. Пълен конус

Обозначения:

Параметрите на шаблона се изчисляват по формулите:
;
;
където .

2. Пресечен конус

Обозначения:

Формули за изчисляване на параметрите на шаблона:
;
;
;
където .
Имайте предвид, че тези формули са подходящи и за пълния конус, ако заменим .

Понякога, когато се конструира конус, стойността на ъгъла при неговия връх (или във въображаемия връх, ако конусът е пресечен) е основна. Най-простият пример е, когато имате нужда един конус да приляга плътно към друг. Нека обозначим този ъгъл с буква (вижте снимката).
В този случай можем да го използваме вместо една от трите входни стойности: , или . Защо „заедно О", а не "заедно д"? Тъй като три параметъра са достатъчни за изграждане на конус, а стойността на четвъртия се изчислява чрез стойностите на останалите три. Защо точно три, а не две или четири, е въпрос, който е извън обхвата на тази статия. Мистериозен глас ми казва, че това по някакъв начин е свързано с триизмерността на обекта „конус“. (Сравнете с двата първоначални параметъра на двумерния кръгов сегментен обект, от който изчислихме всички негови други параметри в статията.)

По-долу са формулите, по които се определя четвъртият параметър на конуса, когато са дадени три.

4. Методи за конструиране на шаблон

• Изчислете стойностите на калкулатора и изградете шаблон на хартия (или веднага върху метал) с помощта на пергел, линийка и транспортир.
• Въведете формули и изходни данни в електронна таблица (например Microsoft Excel). Полученият резултат се използва за изграждане на шаблон с помощта на графичен редактор (например CorelDRAW).
• използвайте моята програма, която ще начертае на екрана и ще разпечата шаблон за конус с зададените параметри. Този шаблон може да бъде запазен като векторен файл и импортиран в CorelDRAW.

5. Не успоредни основи

Що се отнася до пресечени конуси, програмата Cones все още изгражда модели за конуси, които имат само успоредни основи.
За тези, които търсят начин да конструират модел на пресечен конус с непаралелни основи, ето връзка, предоставена от един от посетителите на сайта:
Пресечен конус с неуспоредни основи.

Развитието на повърхността на конуса е плоска фигура, получена чрез комбиниране на страничната повърхност и основата на конуса с определена равнина.

Варианти на конструкцията за почистване:

Развитие на десен кръгов конус

Развитието на страничната повърхност на десен кръгов конус е кръгов сектор, чийто радиус равна на дължинатаобразуваща на коничната повърхност l, а централният ъгъл φ се определя по формулата φ=360*R/l, където R е радиусът на обиколката на основата на конуса.

В редица задачи на описателната геометрия предпочитаното решение е апроксимацията (замяната) на конус с вписана в него пирамида и изграждането на приблизителен размах, върху който е удобно да се чертаят линии, лежащи върху конична повърхност.

Алгоритъм за изграждане

1. Вписваме многоъгълна пирамида в коничната повърхност. Колкото повече странични лица на вписаната пирамида, толкова по-точно е съответствието между действителното и приблизителното сканиране.
2. Изграждаме развитие на страничната повърхност на пирамидата по метода на триъгълника. Точките, принадлежащи към основата на конуса, са свързани с гладка крива.

Пример

На фигурата по-долу правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF е вписана в прав кръгъл конус, а приблизителното развитие на страничната й повърхност се състои от шест равнобедрени триъгълника - лицата на пирамидата.

Да разгледаме триъгълник S 0 A 0 B 0 . Дължините на неговите страни S 0 A 0 и S 0 B 0 са равни на образуващата l на коничната повърхност. Стойността A 0 B 0 съответства на дължината A'B'. За да построим триъгълник S 0 A 0 B 0 на произволно място на чертежа, отделяме отсечката S 0 A 0 =l, след което рисуваме кръгове с радиус S 0 B 0 =l и A 0 B 0 = A'B' от точки S 0 и A 0 съответно. Свързваме пресечната точка на окръжности B 0 с точки A 0 и S 0 .

Лицата S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 на пирамидата SABCDEF са построени подобно на триъгълника S 0 A 0 B 0 .

Точки A, B, C, D, E и F, лежащи в основата на конуса, са свързани с гладка крива - дъга на окръжност, чийто радиус е равен на l.

Развитие на наклонен конус

Помислете за процедурата за конструиране на размах на страничната повърхност на наклонен конус по метода на апроксимацията.

Алгоритъм

1. В окръжността на основата на конуса вписваме шестоъгълника 123456. Свързваме точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с връх S. Построената по този начин пирамида S123456 с известна степен на приближение, е заместител на коничната повърхност и се използва като такъв при по-нататъшни конструкции.
2. Определяме естествените стойности на ръбовете на пирамидата, като използваме метода на въртене около издаващата се линия: в примера се използва оста i, която е перпендикулярна на хоризонталната проекционна равнина и минава през върха S.
   И така, в резултат на завъртането на ръба S5, новата му хоризонтална проекция S'5' 1 заема позиция, в която е успоредна на челната равнина π 2 . Съответно, S''5'' 1 е естествената стойност на S5.
3. Изграждаме развитие на страничната повърхност на пирамидата S123456, състояща се от шест триъгълника: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Конструкцията на всеки триъгълник се извършва от три страни. Например, △S 0 1 0 6 0 има дължина S 0 1 0 =S''1'' 0, S 0 6 0 =S''6'' 1, 1 0 6 0 =1'6'.

Степента на съответствие на приблизителното размахване с действителното зависи от броя на лицата на вписаната пирамида. Броят на лицата се избира въз основа на лекотата на четене на чертежа, изискванията за неговата точност, наличието на характерни точки и линии, които трябва да бъдат прехвърлени на сканирането.

Прехвърляне на линия от повърхността на конус към развитие

Правата n, лежаща на повърхността на конуса, се образува в резултат на пресичането му с определена равнина (фигура по-долу). Помислете за алгоритъма за конструиране на линия n при развъртане.

Алгоритъм

1. Намерете проекциите на точки A, B и C, в които правата n пресича ръбовете на пирамидата, вписана в конуса S123456.
2. Определяме действителния размер на сегментите SA, SB, SC чрез завъртане около издаващата се линия. В този пример SA=S''A'', SB=S''B'' 1, SC=S''C'' 1.
3. Намираме положението на точките A 0 , B 0 , C 0 на съответните ръбове на пирамидата, като отделяме отсечки S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 C 0 =S''C'' 1.
4. Свързваме точки A 0 , B 0 , C 0 с плавна линия.

Развитие на пресечен конус

Методът за конструиране на размах на десен кръгъл пресечен конус, описан по-долу, се основава на принципа на подобието.

Сред разнообразието от геометрични тела едно от най-интересните е конусът. Образува се чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около един от неговите крака.

Как да намерите обема на конус - основни понятия

Преди да започнете да изчислявате обема на конус, трябва да се запознаете с основните понятия.

• Кръгов конус - основата на такъв конус е кръг. Ако основата е елипса, парабола или хипербола, тогава фигурите се наричат ​​елиптични, параболични или хиперболични конуси. Струва си да се помни, че последните два вида конуси имат безкраен обем.
• Пресечен конус е част от конус, разположен между основата и равнината, успоредна на тази основа, разположена между върха и основата.
• Височина - сегмент, перпендикулярен на основата, освободен от върха.
• Образуващата на конуса е сегмент, който свързва границата на основата и върха.

Обем на конуса

За изчисляване на обема на конус се използва формулата V=1/3*S*H, където S е основната площ, H е височината. Тъй като основата на конуса е кръг, неговата площ се намира по формулата S= nR^2, където n = 3,14, R е радиусът на окръжността.

Има ситуация, когато някои от параметрите са неизвестни: височина, радиус или генерираща. В този случай си струва да се прибегне до питагоровата теорема. Аксиалното сечение на конуса е равнобедрен триъгълник, състоящ се от два правоъгълни триъгълника, където l е хипотенузата, а H и R са катета. Тогава l=(H^2+R^2)^1/2.

Обем на пресечен конус

Пресечен конус е конус с отрязан връх.

За да намерите обема на такъв конус, имате нужда от формулата:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

където n=3,14, r е радиусът на кръга на сечението, R е радиусът на голямата основа, H е височината.

Аксиалното сечение на пресечения конус ще бъде равнобедрен трапец. Следователно, ако трябва да намерите дължината на образуващата на конус или радиуса на една от окръжностите, си струва да използвате формули за намиране на страните и основите на трапец.

Намерете обема на конуса, ако височината му е 8 cm, а радиусът на основата е 3 cm.

Дадено: H=8 cm, R=3 cm.

Първо, намерете площта на основата, като приложите формулата S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Сега, използвайки формулата V=1/3*S*H, намираме обема на конуса.

V=1/3*28,26*8=75,36 см^3

Конусовидни фигури се срещат навсякъде: конуси за паркиране, строителни кули, абажур. Ето защо, да знаете как да намерите обема на конус, понякога може да бъде полезен както в професионалния, така и в ежедневния живот.