Както знаете, в електроенергийната индустрия синусоидалната форма е приета като стандартна форма за токове и напрежения. Въпреки това, в реални условия, формите на кривите на токове и напрежения могат да се различават до известна степен от синусоидалните. Изкривяванията във формите на кривите на тези функции в приемниците водят до допълнителни загуби на енергия и намаляване на тяхната ефективност. Синусоидалната форма на кривата на напрежението на генератора е един от показателите за качеството на електрическата енергия като стока.

Възможни са следните причини за изкривяване на формата на кривите на токове и напрежения в сложна верига:

1) наличието в електрическата верига на нелинейни елементи, чиито параметри зависят от моментните стойности на тока и напрежението, (например токоизправители, електрически заваръчни устройства и др.);

2) наличието в електрическата верига на параметрични елементи, чиито параметри се променят с течение на времето;

3) източникът на електрическа енергия (трифазен генератор) поради конструктивни характеристики не може да осигури идеална синусоидална форма на изходното напрежение;

4) влияние в комплекса от изброените по-горе фактори.

Нелинейните и параметричните схеми се обсъждат в отделни глави на курса на TOE. Тази глава изследва поведението на линейните електрически вериги, когато са изложени на енергийни източници с несинусоидална форма на вълната.

От курса на математиката е известно, че всяка периодична функция на времето f(t), която удовлетворява условията на Дирихле, може да бъде представена чрез хармоничен ред на Фурие:

Тук А0 е постоянна компонента, Ak*sin(kωt+ αk) е k-тият хармоничен компонент или накратко k-тият хармоник. Първият хармоник се нарича основен, а всички следващи хармоници се наричат ​​най-висок.

Амплитудите на отделните хармоници Ak не зависят от метода на разширяване на функцията f(t) в ред на Фурие, в същото време началните фази на отделните хармоници αk зависят от избора на времевата референтна стойност (произход).

Отделните хармоници от серията на Фурие могат да бъдат представени като сума от синусоидите и косинусите:

Тогава цялата серия на Фурие ще приеме формата:

Съотношенията между коефициентите на двете форми на реда на Фурие са:

Ако k-тият хармоник и неговите синусови и косинусови компоненти се заменят с комплексни числа, тогава връзката между коефициентите на реда на Фурие може да бъде представена в комплексна форма:

Ако периодична несинусоидална функция на времето е дадена (или може да бъде изразена) аналитично под формата на математическо уравнение, тогава коефициентите на реда на Фурие се определят по формулите, известни от курса по математика:

На практика изследваната несинусоидална функция f (t) обикновено се задава под формата на графична диаграма (графично) (фиг. 46.1) или под формата на таблица с координати на точки (таблична) в интервала от един период (Таблица 1). За да се извърши хармоничен анализ на такава функция според горните уравнения, тя първо трябва да бъде заменена с математически израз. Замяната на функция, дадена графично или таблично с математическо уравнение, се нарича апроксимация на функцията.

Понастоящем хармоничният анализ на несинусоидалните функции на времето f(t) се извършва по правило на компютър. В най-простия случай за математическото представяне на функция се използва линейна аппроксимация. За да направите това, цялата функция в интервала от един пълен период се разделя на M = 20-30 секции, така че отделните участъци да са възможно най-близки до прави линии (фиг. 1). В отделни секции функцията се апроксимира с уравнението на права линия fm(t)=am+bm*t, където коефициентите на апроксимация (am, bm) се определят за всеки участък чрез координатите на неговите крайни точки, например за 1-ви раздел получаваме:

Периодът на функцията T е разделен на голям брой стъпки на интегриране N, стъпката на интегриране Δt=h=T/N, текущото време ti=hi, където i е поредният номер на стъпката на интегриране. Някои интеграли във формулите на хармоничния анализ се заменят със съответните суми, те се изчисляват на компютър по метода на трапец или правоъгълник, например:

За да се определят амплитудите на по-високите хармоници с достатъчна точност (δ≤1%), броят на стъпките на интегриране трябва да бъде най-малко 100k, където k е числото на хармоника.

В технологията се използват специални устройства, наречени хармонични анализатори, за изолиране на отделни хармоници от несинусоидални напрежения и токове.

Начало > Право

НЕСИНУСОИДНИ ТОКОВИ ВЕРИГИ

Досега изучавахме синусоидални токови вериги, но законът за промяна на тока с времето може да се различава от синусоидалния. В този случай се осъществяват несинусоидални токови вериги. Всички несинусоидални токове са разделени на три групи: периодични, т.е. с менструация т(фиг. 6.1, а), непериодични (фиг. 6.1, б) и почти периодични, имащи периодично променяща се обвивка ( т o) и периодът на повторение на пулса ( т i) (фиг. 6.1, в). Има три начина за получаване на несинусоидални токове: а) несинусоидална ЕМП действа във веригата; б) във веригата работи синусоидална ЕМП, но един или повече елементи на веригата са нелинейни; в) във веригата работи синусоидална ЕМП, но параметрите на един или повече елементи на веригата периодично се променят във времето. На практика най-често се използва метод б). Несинусоидалните токове се използват най-широко в устройствата на радиотехниката, автоматизацията, телемеханиката и компютърната техника, където често се срещат импулси с различна форма. В електроенергийната индустрия има несинусоидални токове. Ще разгледаме само периодични несинусоидални напрежения и токове, които могат да бъдат разложени на хармонични компоненти.

Разлагане на периодични несинусоидални криви в тригонометричен ред на Фурие

Явленията, възникващи в линейни вериги при периодични несинусоидални напрежения и токове, са най-лесни за изчисляване и изследване, ако несинусоидалните криви се разширят в тригонометричен ред на Фурие. От математиката е известно, че периодичната функция f(ωt), което удовлетворява условията на Дирихле, т.е. който на всеки краен интервал от време има краен брой прекъсвания само от първия вид и краен брой максимуми и минимуми, може да бъде разширен в тригонометричен ред на Фурие

f(ωt)=A о +
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···+
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

А о +
.

Тук: А о– постоянен компонент или нулев хармоник;
- амплитуда на синусовата компонента к-ти хармоник;
- косинус амплитуда к th хармоник. Те се определят по следните формули

Откъдето, както следва от векторната диаграма (фиг. 6.2), получаваме

.

Термините, включени в този израз, се наричат ​​хармоници. Има дори ( к– четни) и нечетни хармоници. Първият хармоник се нарича основен, а останалите - най-висок. Последната форма на серията на Фурие е полезна, когато трябва да знаете процента на всеки хармоник. Същата форма на серията на Фурие се използва при изчисляването на несинусоидални токови вериги. Въпреки че редът на Фурие теоретично съдържа безкраен брой термини, той има тенденция да се сближава бързо. и конвергентен ред може да изрази дадена функция с произволна степен на точност. На практика е достатъчно да се вземе малък брой хармоници (3-5), за да се получи точност на изчисление от няколко процента.

Особености на разширението в редовете на Фурие на криви, притежаващи симетрия

1. Кривите, чиято средна стойност е равна на нула за периода, не съдържат постоянен компонент (нулев хармоник). 2
f(ωt)=-f(ωt+π), то се нарича симетричен спрямо оста x. Този тип симетрия е лесно да се определи от вида на кривата: ако я изместите с половин период по оста на абсцисата, огледате я и в същото време се слее с оригиналната крива (фиг. 6.3), тогава има симетрия . Когато такава крива се разшири в ред на Фурие, последният не съдържа постоянен компонент и всички дори хармоници, тъй като те не отговарят на условието f(ωt)=-f(ωt+π).

f(ωt)=sin(ωt+ψ 1 )+sin(3ωt+ψ 3 )+
sin(5ωt +ψ 5 )+···.

3
. Ако функцията удовлетворява условието f(ωt)=f(-ωt), тогава се нарича симетричен по отношение на оста y (четно). Този тип симетрия е лесно да се определи от типа на кривата: ако кривата, лежаща вляво от оста y, е огледална и тя се слива с оригиналната крива, тогава има симетрия (фиг. 6.4). Когато такава крива се разшири в ред на Фурие, последният няма да има синусоиди на всички хармоници ( = f(ωt)=f(-ωt).Следователно за такива криви

f(ωt)=А относно +
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···.

4
. Ако функцията удовлетворява условието f(ωt)=-f(-ωt), то се нарича симетричен спрямо началото (нечетен). Наличието на този тип симетрия е лесно да се определи от типа на кривата: ако кривата, лежаща вляво от оста y, се разшири спрямо точкиначалото на координатите и тя се слива с оригиналната крива, тогава има симетрия (фиг. 6.5). Когато такава крива се разшири в ред на Фурие, последният няма да има косинусови компоненти на всички хармоници (
= 0), защото не отговарят на условието f(ωt)=-f(-ωt).Следователно за такива криви

f(ωt)=
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···.

Ако има някаква симетрия във формулите за и можете да вземете интеграла за половин период, но удвоете резултата, т.е. използвайте изрази

Има няколко вида симетрия в кривите едновременно. За да улесним въпроса за хармоничните компоненти в този случай, попълваме таблицата

Един вид симетрия	Аналитичен израз
1. Ос X	f(ωt)=-f(ωt+π)		Само странно
2. Y-ос	f(ωt)=f(-ωt)
3. Произход	f(ωt)=-f(-ωt)
4. Оси на абциса и оси на ординати	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			странно
5. Оси на абсциса и начало	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		странно

Когато се разширява кривата в ред на Фурие, първо трябва да се установи дали тя има някакъв вид симетрия, чието присъствие позволява да се предвиди предварително кои хармоници ще бъдат в редицата на Фурие и да не се извършва ненужна работа.

Графо-аналитично разширяване на кривите в ред на Фурие

Когато несинусоидална крива е дадена от графика или таблица и няма аналитичен израз, графично-аналитично разлагане се използва за определяне на нейните хармоници. Тя се основава на замяната на определен интеграл със сумата от краен брой членове. За тази цел периодът на функцията f(ωt)разпада се на нравни части Δ ωt= 2π/ н(фиг.6.6). След това за нулевия хармоник

където: Р– текущ индекс (номер на раздел), който приема стойности от 1 до н; е Р (ωt) -стойност на функцията f(ωt)в ωt=pΔ ωt(виж фиг.6.6) . За амплитудата на синусоида к th хармоник

За амплитудата на косинусовата компонента к th хармоник

Тук грях стр kωtи cos стр kωt- стойности мивкаωtи coskωtв ωt=p. При практическите изчисления обикновено се взема н=18 (Δ ωt= 20˚) или н=24 (Δ ωt=петнадесет). При графично-аналитичното разширяване на кривите в ред на Фурие е дори по-важно, отколкото в аналитичното, да се установи дали има някакъв вид симетрия, чието присъствие значително намалява обема на изчислителната работа. Така че формулите за и при наличие на симетрия приемат формата

При конструиране на хармоници върху обща графика трябва да се има предвид, че скалата по оста x за кта хармоника в кпъти повече от първия.

Максимални, средни и ефективни стойности на несинусоидални величини

Периодичните несинусоидални величини, в допълнение към техните хармонични компоненти, се характеризират с максимални, средни и ефективни стойности. Максимална стойност НО m е най-голямата стойност на модула на функцията през периода (фиг. 6.7). Средната стойност по модул се определя, както следва

.

Ако кривата е симетрична спрямо оста x и никога не променя знака по време на полупериод, тогава средната стойност по модул е ​​равна на средната стойност за половин период

,

и в този случай референтното време трябва да бъде избрано така, че f( 0)= 0. Ако функцията никога не променя знака си през целия период, тогава средната й стойност по модул е ​​равна на постоянната компонента. В несинусоидални токови вериги стойностите на EMF, напреженията или токове се разбират като техните ефективни стойности, определени по формулата

.

Ако кривата се разшири в ред на Фурие, тогава нейната ефективна стойност може да се определи по следния начин

Нека обясним резултата. Продуктът на синусоидите с различни честоти ( kωи iω) е хармонична функция и интегралът за периода на всяка хармонична функция е равен на нула. Интегралът под знака на първата сума се определя в синусоидални токови вериги и там се показва неговата стойност. следователно,

.

От този израз следва, че ефективната стойност на периодичните несинусоидални величини зависи само от ефективните стойности на неговите хармоници и не зависи от техните начални фази ψ к. Да вземем пример. Нека бъде u=120
грях (314 т+45˚)-50sin(3 314 т-75˚) Б. Неговата ефективна стойност

Има случаи, когато средните по модул и ефективни стойности на несинусоидални величини могат да бъдат изчислени въз основа на интегрирането на аналитичния израз на функцията и тогава няма нужда да се разширява кривата в ред на Фурие. В електроенергийната индустрия, където кривите са предимно симетрични спрямо оста x, се използват редица коефициенти за характеризиране на тяхната форма. Три от тях са получили най-голямо приложение: гребен фактор ка, форм-фактор к f и коефициент на изкривяване ки. Те се дефинират така: ка = Ам / А; /А cf; ки = А 1 /А.За синусоида те имат следните значения: ка =; к f = π Ам / 2А m ≈1,11; 1. Д За правоъгълна крива (фиг. 6.8, а) коефициентите са както следва: ка =1; к f =1; ки =1,26/. За крива с заострена (пикова) форма (фиг. 6.8, b) стойностите на коефициентите са както следва: к a > и колкото по-високо, толкова по-връхна е неговата форма; кφ >1,11 и колкото по-високо, толкова по-остра е кривата; ки<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. УНека покажем едно от практическите приложения на коефициента на изкривяване. Кривите на напрежението на индустриалните мрежи обикновено се отклоняват от идеалната синусоида. В електроенергетиката се въвежда концепцията за почти синусоидална крива. Според GOST напрежението на индустриалните мрежи се счита за практически синусоидално, ако най-голямата разлика между съответните ординати на истинската крива и нейния първи хармоник не надвишава 5% от основната амплитуда на хармоника (фиг. 6.9). Измерването на несинусоидални величини от устройства от различни системи дава различни резултати. Амплитудните електронни волтметри измерват максималните стойности. Магнитоелектричните устройства реагират само на постоянната съставка на измерените стойности. Магнитоелектричните устройства с токоизправител измерват средната стойност по модул. Инструментите на всички други системи измерват ефективни стойности.

Изчисляване на несинусоидални токови вериги

Ако веригата има един или повече източници с несинусоидална ЕМП, тогава нейното изчисление е разделено на три етапа. 1. Разлагане на източниците на ЕМП на хармонични компоненти. Как да направите това е обсъдено по-горе. 2. Прилагане на принципа на наслагване и изчисляване на токове и напрежения във веригата от действието на всеки компонент на ЕМП поотделно. 3. Съвместно разглеждане (сумиране) на решенията, получени в Раздел 2. Сумирането на компонентите в общ вид най-често е трудно и не винаги е необходимо, тъй като въз основа на хармоничните компоненти може да се прецени както формата на кривата, така и основните величини, които я характеризират. О
основният етап е вторият. Ако несинусоидална ЕМП е представена от ред на Фурие, то такъв източник може да се разглежда като последователна връзка на източник на постоянна ЕМП и източници на синусоидален ЕМП с различни честоти (фиг. 6.10). Прилагайки принципа на суперпозицията и разглеждайки действието на всяка ЕМП поотделно, е възможно да се определят компонентите на токовете във всички клонове на веригата. Нека бъде Е o създава азо , д 1 - и 1 , д 2 - и 2 и т.н. След това действителният ток и=аз o + и 1 +и 2 +··· . Следователно изчисляването на несинусоидална токова верига се свежда до решаване на една задача с постоянна ЕДС и редица проблеми със синусоидална ЕМП. При решаването на всеки един от тези проблеми трябва да се има предвид, че индуктивното и капацитивното съпротивление не са еднакви за различните честоти. Индуктивното реактивно съпротивление е право пропорционално на честотата, така че е за к th хармоник х Lk = kωL=kx L1, т.е. за кв хармоника, в който се намира кпъти повече от първия. Капацитивното реактивно съпротивление е обратно пропорционално на честотата, така че е за к th хармоник хСk =1/ kωС=х C1 / к, т.е. за кв хармоника, в който се намира кпъти по-малко от първия. Активното съпротивление по принцип зависи и от честотата, дължаща се на повърхностния ефект, но при малки напречни сечения на проводници и при ниски честоти повърхностният ефект практически отсъства и е допустимо да се приеме, че активното съпротивление е същото за всички хармоници. Ако несинусоидално напрежение се приложи директно към капацитета, тогава за к th хармоничен ток

Х Колкото по-високо е хармоничното число, толкова по-ниско е съпротивлението на капацитета за него. Следователно, дори ако амплитудата на напрежението на хармоника от висок ред е малка част от амплитудата на първия хармоник, той все още може да индуцира ток, съизмерим или по-голям от основния ток. В тази връзка, дори при напрежение, близко до синусоидално, токът в капацитета може да се окаже рязко несинусоидален (фиг. 6.11). По този повод се казва, че капацитетът подчертава високите хармонични токове. Ако несинусоидално напрежение се приложи директно към индуктивността, тогава за к th хармоничен ток

.

С
увеличаването на реда на хармоника увеличава индуктивното реактивно съпротивление. Следователно в тока през индуктивността по-високите хармоници са представени в по-малка степен, отколкото в напрежението на неговите изводи. Дори и при рязко несинусоидално напрежение, кривата на тока в индуктивността често се доближава до синусоида (фиг. 6.12). Следователно се казва, че индуктивността приближава текущата крива до синусоида. Когато изчислявате всеки хармоничен компонент на тока, можете да използвате сложния метод и да изграждате векторни диаграми, но е неприемливо да се извършва геометрично сумиране на вектори и добавяне на комплекси от напрежения или токове от различни хармоници. Действително, векторите, изобразяващи, да речем, токовете на първия и третия хармоник, се въртят с различни скорости (фиг. 6.13). Следователно геометричната сума на тези вектори дава моментната стойност на тяхната сума само когато ω т=0 и в общия случай няма смисъл.

Несинусоидална токова мощност

Както и в синусоидалните токови вериги, ще говорим за мощността, консумирана от пасивна двутерминална мрежа. Активната мощност се разбира и като средната стойност на моментната мощност за периода

Нека напрежението и токът на входа на двутерминалната мрежа са представени от ред на Фурие

Заменете стойностите uи ивъв формулата Р

Резултатът е получен, като се вземе предвид факта, че интегралът за периода от произведението на синусоиди с различни честоти е равен на нула, а интегралът за периода от произведението на синусоиди със същата честота е определен в секцията на синусоида токови вериги. По този начин активната мощност на несинусоидален ток е равна на сумата от активните мощности на всички хармоници. Това е ясно Р кможе да се определи по всякакви известни формули. По аналогия със синусоидален ток, за несинусоидален ток се въвежда понятието обща мощност, като продукт на ефективните стойности на напрежението и тока, т.е. S=UI. Поведение Рда се Ссе нарича фактор на мощността и се приравнява на косинус на някакъв условен ъгъл θ , т.е. cos θ =P/S. На практика много често несинусоидалните напрежения и токове се заменят с еквивалентни синусоиди. В този случай трябва да са изпълнени две условия: 1) ефективната стойност на еквивалентната синусоида трябва да е равна на ефективната стойност на заместеното количество; 2) ъгълът между еквивалентните синусоиди на напрежението и тока θ трябва да бъде такава, че потребителски интерфейс cos θ ще бъде равна на активната мощност Р. следователно, θ е ъгълът между еквивалентните синусоиди на напрежението и тока. Обикновено ефективната стойност на еквивалентните синусоиди е близка до ефективните стойности на основните хармоници. По аналогия със синусоидален ток, за несинусоидален ток се въвежда понятието реактивна мощност, дефинирана като сума от реактивните мощности на всички хармоници

За несинусоидален ток за разлика от синусоидален С 2 ≠П 2 +В 2. Ето защо тук въвеждаме концепцията за мощност на изкривяване тхарактеризиращ разликата между формите на кривите на напрежението и тока и се дефинира, както следва

Висши хармоници в трифазни системи

В трифазните системи кривите на напрежението във фази B и C обикновено възпроизвеждат точно кривата на фаза A с изместване от една трета от периода. Така че, ако u A= f(ωt), тогава u B = f(ωt- 2π/ 3), а u C = f(ωt+ 2π/ 3). Нека фазовите напрежения са несинусоидални и разширени в серия на Фурие. Тогава помислете к–тия хармоник и в трите фази. Нека бъде u Ak = У kmsin( kωt+ψ к), тогава получаваме uВk = У kmsin( kωt+ψ к -к 2π/ 3) и u ck = У kmsin( kωt+ψ к +k 2π/ 3). Сравняване на тези изрази за различни стойности к, забелязваме, че за хармоници, които са кратни на три ( к=3н, н- естествена поредица от числа, започваща от 0) във всички фази на напрежението по всяко време имат една и съща стойност и посока, т.е. образуват система с нулева последователност. В к=3n+ 1 хармоници образуват система от напрежения, чиято последователност съвпада с последователността на действителните напрежения, т.е. те образуват система с директна последователност. В к=3н- 1 хармоници образуват система от напрежения, чиято последователност е противоположна на последователността на действителните напрежения, т.е. те образуват система с обратна последователност. На практика както постоянният компонент, така и всички четни хармоници най-често отсъстват, следователно в бъдеще ще се ограничим до разглеждане само на нечетни хармоници. Тогава най-близкият хармоник, образуващ отрицателната последователност, е петият. При електрическите двигатели това причинява най-голяма вреда, така че с нея те се бият безмилостно. Помислете за характеристиките на работата на трифазни системи, причинени от наличието на хармоници, кратни на три. един . При свързване на намотките на генератор или трансформатор в триъгълник (фиг. 6.14), през клоните на последния протичат хармонични токове, кратни на три, дори при липса на външно натоварване. Всъщност алгебричната сума на ЕМП на хармоници, които са кратни на три ( Е 3 , Е 6 и др.), в триъгълник има тройна стойност, за разлика от другите хармоници, за които тази сума е равна на нула. Ако фазовото съпротивление на намотката за третия хармоник З 3, тогава третият хармоничен ток в триъгълната верига ще бъде аз 3 =Е 3 /З 3 . По същия начин, шестият хармоничен ток аз 6 =Е 6 /З 6 и т.н. Ефективната стойност на тока, протичащ през намотките, ще бъде
. Тъй като съпротивлението на намотките на генератора е малко, токът може да достигне големи стойности. Следователно, ако има хармоници във фазовия EMF, които са кратни на три, намотките на генератора или трансформатора не са свързани в триъгълник. 2 . Ако свържете намотките на генератор или трансформатор в отворен триъгълник (фиг. 6.155), тогава напрежение, равно на сумата от EMF на хармониците, кратно на три, ще действа върху неговите клеми, т.е. u BX=3 Е 3м грях (3 ωt+ψ 3)+3Е 6м грях (6 ωt+ψ 6)+3Е 9м грях (9 ωt+ψ 9)+···. Неговата ефективна стойност

.

Обикновено се използва отворен триъгълник преди свързването на намотките на генератора в обикновен триъгълник, за да се провери възможността за безпроблемно изпълнение на последния. 3. Линейните напрежения, независимо от схемата на свързване на намотките на генератора или трансформатора, не съдържат хармоници, кратни на три. Когато са свързани в триъгълник, фазовите ЕМП, съдържащи хармоници, които са кратни на три, се компенсират от спада на напрежението във вътрешното съпротивление на фазата на генератора. Всъщност, според втория закон на Кирхоф, за третия, например, хармоник за веригата на фиг. 6.14, можем да запишем У AB3+ аз 3 З 3 =Е 3 , откъдето получаваме У AB3=0. По същия начин за всеки от хармониците, които са кратни на три. Когато са свързани към звезда, линейните напрежения са равни на разликата между съответните фазови emfs. За хармоници, които са кратни на три, при компилирането на тези разлики фазовите ЕДС се разрушават, тъй като образуват система с нулева последователност. По този начин компонентите на всички хармоници и тяхната ефективна стойност могат да присъстват във фазовите напрежения. В линейните напрежения няма хармоници, кратни на три, така че тяхната ефективна стойност е . В тази връзка, при наличието на хармоници, кратни на три, Ул / Уе<
. 4. Във вериги без неутрален проводник, хармоничните токове, които са кратни на три, не могат да бъдат затворени, тъй като образуват система с нулева последователност и могат да бъдат затворени само ако последната присъства. В този случай между нулевите точки на приемника и източника, дори в случай на симетричен товар, напрежението изглежда равно на сумата от ЕМП на хармониците, които са кратни на три, което е лесно да се провери чрез уравнението на втория закон на Кирхоф, като се има предвид, че токовете на тези хармоници отсъстват. Моментната стойност на това напрежение u 0 1 0 =Е 3м грях (3 ωt+ψ 3)+Е 6м грях (6 ωt+ψ 6)+Е 9м грях (9 ωt+ψ 9)+···. Неговата ефективна стойност
. 5. В веригата звезда-звезда с неутрален проводник (фиг. 6.16) хармоничните токове, кратни на три, ще бъдат затворени покрай последния, дори в случай на симетричен товар, ако фазовите ЕДС съдържат посочените хармоници. Като се има предвид, че хармониците, кратни на три, образуват система с нулева последователност, можем да пишем

Общи описания

Френският математик Фурие (J. B. J. Fourier 1768-1830) прокламира доста смела хипотеза за времето си. Според тази хипотеза няма функция, която да не може да бъде разширена в тригонометричен ред. Но, за съжаление, по това време подобна идея не беше взета сериозно. И е естествено. Самият Фурие не успя да предостави убедителни доказателства и е много трудно интуитивно да се повярва в хипотезата на Фурие. Особено трудно е да си представим факта, че при добавяне на прости функции като тригонометрични функции се възпроизвеждат функции, които са напълно различни от тях. Но ако приемем, че хипотезата на Фурие е вярна, тогава периодичен сигнал с всякаква форма може да бъде разложен на синусоиди с различни честоти или обратно, чрез подходящо добавяне на синусоиди с различни честоти, е възможно да се синтезира сигнал от всякаква форма. Следователно, ако тази теория е вярна, тогава нейната роля в обработката на сигнали може да бъде много голяма. В тази глава първо ще се опитаме да илюстрираме правилността на предположението на Фурие.

Помислете за функцията

f(t)= 2sin т-грях 2т

Прост тригонометричен ред

Функцията е сумата от тригонометрични функции, с други думи, тя е представена като тригонометричен ред от два члена. Добавете един термин и създайте нова серия от три термина

Като добавим отново няколко термина, получаваме нова тригонометрична серия от десет термина:

Означаваме коефициентите на този тригонометричен ред като бк , където k - цели числа. Ако погледнете внимателно последното съотношение, можете да видите, че коефициентите могат да бъдат описани със следния израз:

Тогава функцията f(t) може да бъде представена по следния начин:

Коефициенти бк - това са амплитудите на синусоидите с ъглова честота да се.С други думи, те задават величината на честотните компоненти.

Като се има предвид случая, когато горният индекс да серавно на 10, т.е. M= 10. Увеличаване на стойността Мдо 100, получаваме функцията f(t).

Тази функция, тъй като е тригонометрична серия, се доближава по форма до назъбен сигнал. И изглежда, че хипотезата на Фурие е абсолютно вярна по отношение на физическите сигнали, с които имаме работа. Също така, в този пример, формата на вълната не е гладка, но включва точки на прекъсване. А фактът, че функцията се възпроизвежда дори в точки на прекъсване, изглежда обещаващо.

Във физическия свят наистина има много явления, които могат да бъдат представени като сбор от вибрации с различни честоти. Типичен пример за тези явления е светлината. Това е сумата от електромагнитни вълни с дължина на вълната от 8000 до 4000 ангстрьома (от червено до лилаво). Разбира се, знаете, че ако бялата светлина се пропусне през призма, тогава ще се появи спектър от седем чисти цвята. Това е така, защото показателят на пречупване на стъклото, от което е направена призмата, варира в зависимост от дължината на вълната на електромагнитната вълна. Точно това е доказателството, че бялата светлина е сбор от светлинни вълни с различна дължина. И така, като прекараме светлината през призма и получим нейния спектър, можем да анализираме свойствата на светлината, като изследваме цветовите комбинации. По същия начин, като разложим получения сигнал на различните му честотни компоненти, можем да разберем как е възникнал първоначалният сигнал, какъв път е следвал или накрая на какво външно влияние е бил подложен. С една дума, можем да получим информация, за да разберем произхода на сигнала.

Този метод на анализ се нарича спектрален анализили Анализ на Фурие.

Помислете за следната система от ортонормални функции:

Функция f(t)може да се разшири в тази система от функции на интервала [-π, π], както следва:

Коефициенти α k ,β k , както е показано по-рано, може да бъде изразено чрез скаларни произведения:

Като цяло функцията f(t)може да бъде представен по следния начин:

Коефициенти α 0 , α k ,β k се нарича коефициенти на Фурие,и такова представяне на функция се извиква разширение в ред на Фурие.Понякога този изглед се нарича валиденразширение в ред на Фурие, а коефициентите са реалните коефициенти на Фурие. Терминът "реален" е въведен, за да се разграничи представеното разширение от разширението в редицата на Фурие в сложна форма.

Както бе споменато по-рано, произволна функция може да бъде разширена от гледна точка на система от ортогонални функции, дори ако функциите от тази система не са представени като тригонометричен ред. Обикновено разширението в ред на Фурие означава разширение в тригонометричен ред. Ако коефициентите на Фурие са изразени чрез α 0 , α k ,β k получаваме:

Тъй като за k = 0 костюм= 1, тогава константата а 0/2изразява общата форма на коефициента а кв к= 0.

Във връзка (5.1), колебанието на най-големия период, представено от сумата cos t и грях t се нарича трептене на основната честота или първи хармоник.Трептене с период равен на половината от главния период се нарича второ хармоника.Нарича се трептене с период, равен на 1/3 от главния период трети хармоники т.н. Както се вижда от съотношение (5.1) а 0 е постоянна стойност, изразяваща средната стойност на функцията f(t). Ако функцията f(t)е електрически сигнал а 0представлява неговият постоянен компонент. Следователно всички други коефициенти на Фурие изразяват неговите променливи компоненти.

На фиг. 5.2 показва сигнала и неговото разширение в серия на Фурие: в постоянна компонента и хармоници с различни честоти. Във времевата област, където променливата е време, сигналът се изразява от функцията f(t),и в честотната област, където променливата е честота, сигналът се представя от коефициентите на Фурие (a k, b k).

Първият хармоник е периодична функция с период 2 π Други хармоници също имат период, кратен на 2 π . Въз основа на това, при формиране на сигнал от компонентите на редицата на Фурие, ние естествено получаваме периодична функция с период 2 π. И ако това е така, тогава разширяването в ред на Фурие всъщност е начин за представяне на периодични функции.

Нека разширим сигнала от често срещан тип в ред на Фурие. Например, разгледайте кривата на трион, спомената по-рано (Фигура 5.3). Сигнал с тази форма на сегмент - π < t < π i се изразява чрез функцията f( т)= т, така че коефициентите на Фурие могат да бъдат изразени по следния начин:

Пример 1

Разширяване в серия на Фурие на трионообразен сигнал

f(t) = t,

В много случаи задачата за получаване (изчисляване) на спектъра на сигнала е както следва. Има ADC, който с честота на дискретизация Fd преобразува непрекъснат сигнал, постъпващ на входа му за времето T, в цифрови показания - N броя. След това масивът от показания се подава в определена програма, която дава N / 2 от някои числови стойности (програмистът, който изтеглено от интернетнаписа програма, твърди, че извършва трансформацията на Фурие).

За да проверим дали програмата работи правилно, ще формираме масив от показания като сбор от две синусоиди sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и ще го вмъкнем в програма. Програмата нарисува следното:

фиг.1 Графика на времевата функция на сигнала

фиг.2 Графика на спектъра на сигнала

На графиката на спектъра има две пръчици (хармоници) 5 Hz с амплитуда 0,5 V и 10 Hz - с амплитуда 1 V, всички както във формулата на оригиналния сигнал. Всичко е наред, браво програмист! Програмата работи коректно.

Това означава, че ако приложим реален сигнал от смес от две синусоиди към входа на ADC, тогава ще получим подобен спектър, състоящ се от два хармоника.

Общо, нашите истинскиизмерен сигнал, продължителност 5 сек, дигитализиран от АЦП, т.е. представен отделенброи, има дискретни непериодичниобхват.

От математическа гледна точка, колко грешки има в тази фраза?

Сега властите решиха, че решихме, че 5 секунди е твърде дълго, нека измерим сигнала за 0,5 секунди.



фиг.3 Графика на функцията sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) за период на измерване от 0,5 сек.

фиг.4 Функционален спектър

Нещо не е наред! Хармоника от 10 Hz се рисува нормално, но вместо 5 Hz пръчка се появиха няколко неразбираеми хармоника. Гледаме в интернет какво и как...

Те казват, че в края на пробата трябва да се добавят нули и спектърът ще се изчертае нормално.

фиг.5 Завършени нули до 5 секунди

фиг.6 Получихме спектъра

Все още не това, което беше на 5 секунди. Трябва да се справите с теорията. Хайде да отидем до Уикипедия- източник на знания.

2. Непрекъсната функция и нейното представяне чрез ред на Фурие

Математически нашият сигнал с продължителност от T секунди е определена функция f(x), дадена на интервала (0, T) (X в този случай е време). Такава функция винаги може да бъде представена като сума от хармонични функции (синус или косинус) от вида:

K - номер на тригонометричната функция (брой на хармоничния компонент, хармоничен номер)
T - сегмент, където е дефинирана функцията (продължителност на сигнала)
Ak - амплитуда на k-тия хармоничен компонент,
?k - начална фаза на k-тия хармоничен компонент

Какво означава "представяне на функция като сбор от поредица"? Това означава, че като добавим стойностите на хармоничните компоненти от редицата на Фурие във всяка точка, ще получим стойността на нашата функция в тази точка.

(По-стриктно, стандартното отклонение на реда от функцията f(x) ще клони към нула, но въпреки стандартната конвергенция, редът на Фурие на функцията, най-общо казано, не се изисква да се сближава точково към нея. Вижте https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series .)

Тази серия може да бъде написана и като:

(2),
където , k-та комплексна амплитуда.

Връзката между коефициентите (1) и (3) се изразява със следните формули:

Забележете, че всичките тези три представяния на редицата на Фурие са напълно еквивалентни. Понякога, когато се работи с редовете на Фурие, е по-удобно да се използват експонентите на въображаемия аргумент вместо синуси и косинуси, тоест да се използва преобразуването на Фурие в сложна форма. Но за нас е удобно да използваме формула (1), където редът на Фурие се представя като сбор от косинусови вълни със съответните амплитуди и фази. Във всеки случай е неправилно да се каже, че резултатът от преобразуването на Фурие на реалния сигнал ще бъде комплексните амплитуди на хармониците. Както правилно се казва в уикито, „Преобразуването на Фурие (?) е операция, която съпоставя една функция на реална променлива в друга функция, също на реална променлива.“

Обща сума:
Математическата основа на спектралния анализ на сигналите е преобразуването на Фурие.

Преобразуването на Фурие ни позволява да представим непрекъсната функция f(x) (сигнал), дефинирана на сегмента (0, T) като сума от безкраен брой (безкраен ред) тригонометрични функции (синус и/или косинус) с определени амплитуди и фази, също разглеждани на сегмента (0, T). Такъв ред се нарича ред на Фурие.

Отбелязваме още няколко точки, чието разбиране е необходимо за правилното прилагане на преобразуването на Фурие към анализа на сигнала. Ако разгледаме редицата на Фурие (сумата от синусоидите) по цялата ос X, тогава можем да видим, че извън сегмента (0, T), функцията, представена от реда на Фурие, периодично ще повтаря нашата функция.

Например, в графиката на фиг. 7, първоначалната функция е дефинирана на сегмента (-T \ 2, + T \ 2), а редът на Фурие представлява периодична функция, дефинирана по цялата ос x.

Това е така, защото самите синусоиди са съответно периодични функции и тяхната сума ще бъде периодична функция.

фиг.7 Представяне на непериодична оригинална функция чрез ред на Фурие

По този начин:

Нашата първоначална функция е непрекъсната, непериодична, дефинирана на някакъв интервал с дължина T.
Спектърът на тази функция е дискретен, тоест се представя като безкрайна серия от хармонични компоненти - редът на Фурие.
Всъщност определена периодична функция се дефинира от реда на Фурие, който съвпада с нашия на отсечката (0, T), но тази периодичност не е съществена за нас.

Периодите на хармоничните компоненти са кратни на сегмента (0, T), върху който е дефинирана първоначалната функция f(x). С други думи, хармоничните периоди са кратни на продължителността на измерването на сигнала. Например, периодът на първия хармоник от редицата на Фурие е равен на интервала T, на който е дефинирана функцията f(x). Периодът на втория хармоник от редицата на Фурие е равен на интервала T/2. И така нататък (виж фиг. 8).

фиг.8 Периоди (честоти) на хармоничните компоненти от редицата на Фурие (тук T = 2?)

Съответно, честотите на хармоничните компоненти са кратни на 1/T. Тоест, честотите на хармоничните компоненти Fk са равни на Fk= k\T, където k варира от 0 до?, например, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (при нулева честота - постоянен компонент).

Нека нашата оригинална функция е сигнал, записан за T=1 сек. Тогава периодът на първия хармоник ще бъде равен на продължителността на нашия сигнал T1=T=1 sec и честотата на хармоника е 1 Hz. Периодът на втория хармоник ще бъде равен на продължителността на сигнала, разделена на 2 (T2=T/2=0,5 sec) и честотата е 2 Hz. За третия хармоник T3=T/3 sec и честотата е 3 Hz. И т.н.

Стъпката между хармониците в този случай е 1 Hz.

По този начин сигнал с продължителност 1 секунда може да бъде разложен на хармонични компоненти (за получаване на спектър) с честотна разделителна способност 1 Hz.
За да увеличите разделителната способност 2 пъти до 0,5 Hz, е необходимо да увеличите продължителността на измерването 2 пъти - до 2 секунди. Сигнал с продължителност 10 секунди може да бъде разложен на хармонични компоненти (за получаване на спектър) с честотна разделителна способност 0,1 Hz. Няма други начини за увеличаване на разделителната способност на честотата.

Има начин изкуствено да се увеличи продължителността на сигнала чрез добавяне на нули към масива от проби. Но това не увеличава реалната честотна разделителна способност.

3. Дискретни сигнали и дискретно преобразуване на Фурие

С развитието на цифровите технологии се промениха и начините за съхранение на измервателни данни (сигнали). Ако по-рано сигналът можеше да се записва на магнетофон и да се съхранява на лента в аналогова форма, сега сигналите се дигитализират и се съхраняват във файлове в паметта на компютъра като набор от числа (броя).

Обичайната схема за измерване и цифровизиране на сигнал е както следва.

фиг.9 Схема на измервателния канал

Сигналът от измервателния преобразувател пристига в ADC за период от време T. Получените сигнални проби (проба), получени през времето T, се прехвърлят към компютъра и се съхраняват в паметта.

фиг.10 Цифров сигнал - N показания, получени във време T

Какви са изискванията за параметрите за цифровизация на сигнала? Устройство, което преобразува входен аналогов сигнал в дискретен код (цифров сигнал), се нарича аналогово-цифров преобразувател (ADC, английски аналогово-цифров преобразувател, ADC) (Wiki).

Един от основните параметри на ADC е максималната честота на дискретизация (или честота на дискретизация, английски sample rate) - честотата на вземане на проби от сигнал, непрекъснат във времето по време на неговото семплиране. Измерено в херци. ((Уики))

Според теоремата на Котельников, ако непрекъснат сигнал има спектър, ограничен от честотата Fmax, тогава той може да бъде напълно и уникално възстановен от своите дискретни проби, взети на интервали от време, т.е. с честота Fd ? 2*Fmax, където Fd - честота на дискретизация; Fmax - максимална честота на спектъра на сигнала. С други думи, честотата на дискретизация на сигнала (ADC семплираща честота) трябва да бъде поне 2 пъти максималната честота на сигнала, който искаме да измерим.

И какво ще стане, ако вземем показания с по-ниска честота от изискваната от теоремата на Котельников?

В този случай възниква ефектът на „алиасинг“ (известен още като стробоскопичен ефект, ефект на моаре), при който високочестотният сигнал след дигитализация се превръща в нискочестотен сигнал, който всъщност не съществува. На фиг. 5 високочестотна червена синусоида е истинският сигнал. Синусоидната вълна с по-ниска честота е фиктивен сигнал, произтичащ от факта, че повече от половината период на високочестотен сигнал има време да премине по време на времето за вземане на проби.

Ориз. 11. Появата на фалшив нискочестотен сигнал, когато честотата на дискретизация не е достатъчно висока

За да се избегне ефекта на алиасинг, пред ADC се поставя специален филтър за сглаживане - LPF (low-pass filter), който пропуска честоти под половината от честотата на семплиране на ADC, и отрязва по-високите честоти.

За да се изчисли спектърът на сигнал от неговите дискретни проби, се използва дискретното преобразуване на Фурие (DFT). Отбелязваме още веднъж, че спектърът на дискретен сигнал е "по дефиниция" ограничен от честотата Fmax, която е по-малка от половината от честотата на дискретизация Fd. Следователно, спектърът на дискретен сигнал може да бъде представен чрез сумата от краен брой хармоници, за разлика от безкрайната сума за редицата на Фурие на непрекъснат сигнал, чийто спектър може да бъде неограничен. Съгласно теоремата на Котельников максималната хармонична честота трябва да бъде такава, че да отчита поне две извадки, така че броят на хармониците е равен на половината от броя на извадките на дискретния сигнал. Тоест, ако има N проби в пробата, тогава броят на хармониците в спектъра ще бъде равен на N/2.

Помислете сега за дискретното преобразуване на Фурие (DFT).

Сравнение с редицата на Фурие

Виждаме, че те съвпадат, с изключение на това, че времето в DFT е дискретно и броят на хармониците е ограничен до N/2 - половината от броя на извадките.

Формулите на DFT се записват в безразмерни целочислени променливи k, s, където k са броят на сигналните извадки, s са броят на спектралните компоненти.
Стойността на s показва броя на пълните трептения на хармоника в периода T (продължителността на измерването на сигнала). Дискретното преобразуване на Фурие се използва за числено намиране на амплитудите и фазите на хармониците, т.е. "на компютъра"

Връщайки се към резултатите, получени в началото. Както бе споменато по-горе, при разширяване на непериодична функция (нашия сигнал) в ред на Фурие, полученият ред на Фурие всъщност съответства на периодична функция с период T. (фиг. 12).

фиг.12 Периодична функция f(x) с период Т0, с период на измерване Т>T0

Както се вижда на фиг. 12, функцията f(x) е периодична с период Т0. Въпреки това, поради факта, че продължителността на измервателната проба T не съвпада с периода на функцията T0, функцията, получена като ред на Фурие, има прекъсване в точка T. В резултат на това спектърът на тази функция ще съдържат голям брой високочестотни хармоници. Ако продължителността на измервателната проба T съвпада с периода на функцията T0, тогава в спектъра, получен след трансформацията на Фурие, ще присъства само първият хармоник (синусоид с период, равен на продължителността на пробата), тъй като функцията f (x) е синусоида.

С други думи, програмата DFT „не знае“, че нашият сигнал е „парче от синусоида“, но се опитва да представи периодична функция като серия, която има пропуск поради несъответствието на отделните части от синусоидата.

В резултат на това в спектъра се появяват хармоници, които общо трябва да представляват формата на функцията, включително този прекъсване.

По този начин, за да се получи "правилният" спектър на сигнала, който е сбор от няколко синусоиди с различни периоди, е необходимо цял брой периоди от всяка синусоида да пасне на периода на измерване на сигнала. На практика това условие може да бъде изпълнено за достатъчно дълго време на измерване на сигнала.

Фиг.13 Пример за функцията и спектъра на сигнала за кинематичната грешка на скоростната кутия

С по-кратка продължителност картината ще изглежда "по-зле":

Фиг.14 Пример за функцията и спектъра на вибрационния сигнал на ротора

На практика може да бъде трудно да се разбере къде са „реалните компоненти“ и къде са „артефактите“, причинени от немножеството на периодите на компонентите и продължителността на сигналната извадка или „скокове и прекъсвания“ на формата на вълната. Разбира се, думите „реални компоненти“ и „артефакти“ не са напразно цитирани. Наличието на много хармоници на графиката на спектъра не означава, че нашият сигнал всъщност „се състои“ от тях. Все едно си мислиш, че числото 7 се „състои“ от числата 3 и 4. Числото 7 може да бъде представено като сбор от числата 3 и 4 – това е правилно.

Така е и нашият сигнал ... или по-скоро дори не "нашият сигнал", а периодична функция, съставена чрез повтаряне на нашия сигнал (семплиране), може да бъде представена като сума от хармоници (синусоиди) с определени амплитуди и фази. Но в много случаи, важни за практиката (вижте фигурите по-горе), наистина е възможно хармониците, получени в спектъра, да се свържат с реални процеси, които имат цикличен характер и имат значителен принос за формата на сигнала.

Някои резултати

1. Реалният измерен сигнал, продължителност T сек, дигитализиран от ADC, тоест представен от набор от дискретни проби (N броя), има дискретен непериодичен спектър, представен от набор от хармоници (N/2 броя ).

2. Сигналът е представен от набор от реални стойности, а неговият спектър е представен от набор от реални стойности. Хармоничните честоти са положителни. Фактът, че за математиците е по-удобно да представят спектъра в сложна форма, използвайки отрицателни честоти, не означава, че „това е правилно“ и „винаги трябва да се прави по този начин“.

3. Сигналът, измерен на интервала от време T, се определя само на интервала от време T. Какво се е случило преди да започнем да измерваме сигнала, и какво ще се случи след това - това е неизвестно на науката. А в нашия случай - не е интересно. DFT на ограничен във времето сигнал дава неговия "реален" спектър, в смисъл, че при определени условия ви позволява да изчислите амплитудата и честотата на неговите компоненти.

Използвани материали и други полезни материали.

Фурие и Хартли трансформират трансформиращите функции на времето във функции на честотата, съдържащи информация за амплитуда и фаза. По-долу са дадени графики на непрекъсната функция ж(т) и дискретно ж(τ), където ти τ са моменти от време.

И двете функции започват от нула, скачат до положителна стойност и намаляват експоненциално. По дефиниция преобразуването на Фурие за непрекъсната функция е интеграл по цялата реална ос, Ф(е), а за дискретна функция, сумата за краен набор от извадки, Ф(ν):

където е, ν са честотни стойности, не броят на примерните стойности на функцията и и=√ –1 е въображаемата единица. Интегралното представяне е по-подходящо за теоретични изследвания, а представянето под формата на краен сбор е по-подходящо за компютърни изчисления. Интегралните и дискретните трансформации на Хартли се дефинират по подобен начин:

Въпреки че единствената разлика в нотацията между дефинициите на Фурие и Хартли е наличието на фактор пред синуса, фактът, че трансформацията на Фурие има както реална, така и въображаема част, прави представянията на двете трансформации доста различни. Дискретните трансформации на Фурие и Хартли имат по същество същата форма като техните непрекъснати колеги.

Въпреки че графиките изглеждат различно, същата информация за амплитудата и фазата може да бъде извлечена от трансформациите на Фурие и Хартли, както е показано по-долу.

Амплитудата на Фурие се определя от корен квадратен от сбора на квадратите на реалната и въображаемата част. Амплитудата на Хартли се дава от корен квадратен от сбора от квадрати Х(–v) и Х(ν). Фазата на Фурие се определя от тангенса на дъгата на въображаемата част, разделена на реалната част, а фазата на Хартли се определя от сбора от 45° и тангенса на дъгата на Х(–ν) разделено на Х(ν).