Редът на Фурие е представяне на произволно взета функция с определен период като серия. Най-общо това решение се нарича разлагане на елемент в ортогонална основа. Разширяването на функциите в ред на Фурие е доста мощен инструмент за решаване на различни проблеми поради свойствата на тази трансформация при интегриране, диференциране, както и изместване на израз в аргумент и конволюция.

Човек, който не е запознат с висшата математика, както и с произведенията на френския учен Фурие, най-вероятно няма да разбере какво представляват тези „серии“ и за какво служат. Междувременно тази трансформация стана доста плътна в живота ни. Използва се не само от математици, но и от физици, химици, лекари, астрономи, сеизмолози, океанографи и много други. Нека разгледаме по-отблизо и трудовете на великия френски учен, който направи откритие, изпреварващо времето си.

Човекът и трансформацията на Фурие

Редът на Фурие е един от методите (заедно с анализа и други) Този процес се случва всеки път, когато човек чуе някакъв звук. Нашето ухо автоматично трансформира елементарните частици в еластична среда, те се разлагат на редове (по протежение на спектъра) от последователни стойности на нивото на силата на звука за тонове с различна височина. След това мозъкът превръща тези данни в познати за нас звуци. Всичко това се случва в допълнение към нашето желание или съзнание, от само себе си, но за да разберем тези процеси, ще са необходими няколко години, за да изучаваме висшата математика.

Повече за преобразуването на Фурие

Преобразуването на Фурие може да се извърши чрез аналитични, числени и други методи. Редовете на Фурие се отнасят до числов начин за разлагане на всякакви колебателни процеси - от океански приливи и светлинни вълни до цикли на слънчева (и други астрономически обекти) активност. Използвайки тези математически техники, е възможно да се анализират функции, представящи всякакви осцилаторни процеси като серия от синусоидални компоненти, които преминават от минимум към максимум и обратно. Преобразуването на Фурие е функция, която описва фазата и амплитудата на синусоидите, съответстващи на конкретна честота. Този процес може да се използва за решаване на много сложни уравнения, които описват динамични процеси, възникващи под въздействието на топлинна, светлинна или електрическа енергия. Също така, сериите на Фурие позволяват да се изолират постоянните компоненти в сложни осцилаторни сигнали, което направи възможно правилното интерпретиране на получените експериментални наблюдения в медицината, химията и астрономията.

Справка по история

Основателят на тази теория е френският математик Жан Батист Жозеф Фурие. Впоследствие тази трансформация е кръстена на него. Първоначално ученият прилага своя метод за изследване и обяснение на механизмите на топлопроводимост – разпространението на топлината в твърдите тела. Фурие предполага, че първоначалното неправилно разпределение може да бъде разложено на най-простите синусоиди, всяка от които ще има свой температурен минимум и максимум, както и своя собствена фаза. В този случай всеки такъв компонент ще бъде измерен от минимум до максимум и обратно. Математическата функция, която описва горния и долния пик на кривата, както и фазата на всеки от хармониците, се нарича преобразуване на Фурие на израза за разпределение на температурата. Авторът на теорията свежда общата функция на разпределение, която е трудно да се опише математически, до много удобен ред от косинус и синус, които се сумират, за да дадат оригиналното разпределение.

Принципът на трансформацията и възгледите на съвременниците

Съвременниците на учения - водещите математици от началото на деветнадесети век - не приемат тази теория. Основното възражение беше твърдението на Фурие, че прекъсната функция, описваща права линия или прекъсната крива, може да бъде представена като сбор от синусоидални изрази, които са непрекъснати. Като пример, разгледайте "стъпката" на Хевисайд: нейната стойност е нула вляво от празнината и една вдясно. Тази функция описва зависимостта на електрическия ток от времевата променлива, когато веригата е затворена. Съвременниците на теорията по това време никога не са се сблъсквали с такава ситуация, когато един прекъснат израз би се описвал чрез комбинация от непрекъснати, обикновени функции, като експоненциална, синусоидна, линейна или квадратична.

Какво обърка френските математици в теорията на Фурие?

В крайна сметка, ако математикът е бил прав в своите твърдения, тогава чрез сумиране на безкрайния тригонометричен ред на Фурие може да се получи точно представяне на поетапния израз, дори ако има много подобни стъпки. В началото на деветнадесети век подобно твърдение изглеждаше абсурдно. Но въпреки всички съмнения, много математици разшириха обхвата на изследването на това явление, извеждайки го извън обхвата на изследванията на топлопроводимостта. Повечето учени обаче продължиха да се измъчват от въпроса: „Може ли сумата от синусоидалния ред да се доближи до точната стойност на прекъснатата функция?“

Конвергенция на редовете на Фурие: пример

Въпросът за конвергенцията се повдига винаги, когато е необходимо да се сумират безкрайни серии от числа. За да разберете това явление, разгледайте класически пример. Можете ли някога да стигнете до стената, ако всяка следваща стъпка е наполовина по-малка от предишната? Да предположим, че сте на два метра от целта, първата стъпка ви доближава до средата на пътя, следващата до три четвърти, а след петата ще преодолеете почти 97 процента от пътя. Въпреки това, колкото и стъпки да предприемете, няма да постигнете набелязаната цел в строг математически смисъл. С помощта на числени изчисления може да се покаже, че в крайна сметка е възможно да се приближи до произволно малко дадено разстояние. Това доказателство е еквивалентно на демонстриране, че общата стойност на една половина, една четвърт и т.н. ще клони към единица.

Въпрос на сближаване: Второто пришествие, или уредът на лорд Келвин

Този въпрос е повдигнат отново в края на деветнадесети век, когато редовете на Фурие се опитват да се използват за прогнозиране на интензивността на приливите и отливите. По това време лорд Келвин изобретява устройство, което е аналогово изчислително устройство, което позволява на моряците от военния и търговския флот да проследяват този природен феномен. Този механизъм определя наборите от фази и амплитуди от таблица с височини на приливите и съответните им времеви моменти, внимателно измерени в дадено пристанище през годината. Всеки параметър беше синусоидален компонент на израза на височината на прилива и беше един от редовните компоненти. Резултатите от измерванията бяха въведени в калкулатора на лорд Келвин, който синтезира крива, която предсказва височината на водата като функция от времето за следващата година. Много скоро подобни криви бяха начертани за всички пристанища по света.

И ако процесът е нарушен от прекъсната функция?

По това време изглеждаше очевидно, че предикторът на приливните вълни с голям брой броещи елементи може да изчисли голям брой фази и амплитуди и по този начин да осигури по-точни прогнози. Въпреки това се оказа, че тази закономерност не се наблюдава в случаите, когато приливният израз, който трябва да се синтезира, съдържа рязък скок, тоест беше прекъснат. В случай, че в устройството се въвеждат данни от таблицата с времеви моменти, то изчислява няколко коефициента на Фурие. Оригиналната функция се възстановява благодарение на синусоидалните компоненти (според намерените коефициенти). Несъответствието между оригиналния и възстановения израз може да бъде измерено във всяка точка. При извършване на многократни изчисления и сравнения може да се види, че стойността на най-голямата грешка не намалява. Те обаче са локализирани в областта, съответстваща на точката на прекъсване, и клонят към нула във всяка друга точка. През 1899 г. този резултат е теоретично потвърден от Джошуа Уилард Гибс от Йейлския университет.

Сближаване на редовете на Фурие и развитието на математиката като цяло

Анализът на Фурие не е приложим за изрази, съдържащи безкраен брой пакети в определен интервал. Като цяло редовете на Фурие, ако оригиналната функция е представена от резултата от реално физическо измерване, винаги се сближават. Въпросите за конвергенцията на този процес за конкретни класове функции доведоха до появата на нови раздели в математиката, например теорията на обобщените функции. Свързва се с имена като Л. Шварц, Дж. Микусински и Дж. Темпъл. В рамките на тази теория беше създадена ясна и точна теоретична основа за такива изрази като делта функцията на Дирак (тоя описва област от една област, концентрирана в безкрайно малък квартал на точка) и Heaviside " стъпка”. Благодарение на тази работа, сериите на Фурие станаха приложими за решаване на уравнения и задачи, в които се появяват интуитивни понятия: точков заряд, точкова маса, магнитни диполи, както и концентрирано натоварване върху лъч.

Метод на Фурие

Редовете на Фурие, в съответствие с принципите на интерференцията, започват с разлагането на сложни форми в по-прости. Например промяната в топлинния поток се обяснява с преминаването му през различни препятствия, изработени от топлоизолационен материал с неправилна форма или промяна в земната повърхност - земетресение, промяна в орбитата на небесно тяло - влиянието на планети. По правило подобни уравнения, описващи прости класически системи, се решават елементарно за всяка отделна вълна. Фурие показа, че простите решения също могат да бъдат сумирани, за да дадат решения на по-сложни проблеми. Изразено на езика на математиката, редът на Фурие е техника за представяне на израз като сума от хармоници - косинус и синусоиди. Следователно този анализ е известен още като "хармоничен анализ".

Серията на Фурие - идеалната техника преди "компютърната ера"

Преди създаването на компютърните технологии, техниката на Фурие беше най-доброто оръжие в арсенала на учените при работа с вълновата природа на нашия свят. Редът на Фурие в сложна форма позволява решаването на не само прости задачи, които могат да бъдат директно приложени към законите на механиката на Нютон, но и основни уравнения. Повечето от откритията на Нютоновата наука през деветнадесети век стават възможни само чрез техниката на Фурие.

Серията на Фурие днес

С развитието на компютрите трансформациите на Фурие се издигнаха на качествено ново ниво. Тази техника е здраво закрепена в почти всички области на науката и технологиите. Пример за това е цифров аудио и видео сигнал. Реализирането му става възможно само благодарение на теорията, разработена от френски математик в началото на деветнадесети век. По този начин редът на Фурие в сложна форма позволи да се направи пробив в изследването на космическото пространство. В допълнение, това повлия на изучаването на физиката на полупроводниковите материали и плазмата, микровълновата акустика, океанографията, радара и сеизмологията.

Тригонометричен ред на Фурие

В математиката редът на Фурие е начин за представяне на произволни сложни функции като сбор от по-прости. В общи случаи броят на такива изрази може да бъде безкраен. Освен това, колкото повече се вземе предвид техният брой при изчислението, толкова по-точен е крайният резултат. Най-често тригонометричните функции на косинус или синус се използват като най-прости. В този случай редът на Фурие се нарича тригонометричен, а решението на такива изрази се нарича разширение на хармоника. Този метод играе важна роля в математиката. На първо място, тригонометричният ред осигурява средство за изображение, както и за изучаване на функциите, той е основният апарат на теорията. Освен това позволява решаването на редица проблеми на математическата физика. И накрая, тази теория допринесе за развитието и даде живот на редица много важни раздели на математическата наука (теория на интегралите, теория на периодичните функции). В допълнение, той послужи като отправна точка за развитието на следните функции на реална променлива, а също така постави началото на хармоничния анализ.

следва:

1) начертайте графика f(x)на интервал от поне два периода, за да се покаже, че дадената функция е периодична;

2) начертайте графика S(x)по подобен начин, за да може да се види в кои точки f(x)¹S(x);

3) изчислете коефициентите на Фурие и запишете реда на Фурие.

Задачи

№1. Разширете в серия на Фурие

Решение.забележи това f(x)дадено на интервала на дължината Т=4. Защото f(x)се приема, че е периодичен, тогава това число е неговият период, тогава - l = 2.

1) Графика f(x):

2) Графика S(x):

Стрелките в краищата на редовете показват, че функцията не приема в краищата на интервала стойността, определена от израза, даден на интервала. При сравняване на графики f(x)и S(x)ясно се вижда, че в точките на прекъсване f(x)¹S(x).

3) Изчислете коефициентите на Фурие. Това може да стане с помощта на формули (3*): ; ; . Точно: ; така,

Разлагане f(x)в ред на Фурие има формата:

Забележки . 1) При интегриране на [-1;3] този раздел е разделен на и , защото на тези сегменти f(x)зададени на различни стойности.

2) При изчисляване на коефициентите са използвани интеграли: и , където a = const.

№2 . Разширете в серия на Фурие

Решение.Тук Т=2, l = 1.

Редът на Фурие има формата: , където ; ; , защото l = 1.

1) Графика f(x):

2) Графика S(x):

№3. Разширете в ред на Фурие по отношение на синусите

Решение.Имайте предвид, че само нечетните функции се разширяват в редицата на Фурие по отношение на синусите. Защото f(x)дефиниран само за x > 0, xн(0;2)И(2;3), то това означава, че на симетричния интервал (-3;-2)È(-2;0) f(x)трябва да се продължи по такъв начин, че равенството f(-x) = -f(x). Следователно дължината на интервала, на който f(x)дадено като нечетна функция, е равно на 6. Следователно T = 6, l = 3.Ред на Фурие за f(x)има формата: , където , n = 1, 2, 3, (според формули (5")).

1) Графика f(x).

За начертаване на графика f(x)като нечетна функция първо рисуваме графика (0;2)È(2;3), и след това се възползвайте от факта, че графиката на нечетна функция е симетрична по отношение на началото. От тези съображения получаваме графиката f(x)на (-3;-2)È(-2;0). След това продължаваме f(x) Т=6.

2) Графика S(x).

График S(x)различен от графиката f(x)в точките на прекъсване на функцията f(x). Например в т. x = 2f(x)не е дефинирано, но S(x)има при х=2стойност, равна на половината от сумата от едностранните граници на функцията f(x), точно: , където , .

И така, тогава разлагането f(x)в ред на Фурие има формата: .

№4 . Разширете в ред на Фурие в косинуси.

Решение. Обърнете внимание, че само четните функции могат да бъдат разширени в редицата на Фурие по отношение на косинусите. Защото f(x)зададен само за x>0, xн(0;2)И(2;3],тогава това означава, че на симетричния интервал [-3;-2)È(-2;0) f(x)трябва да продължим по такъв начин, че равенството да е в сила: f(-x) = f(x).Следователно дължината на интервала, на който f(x)дадено като четна функция е равно на 6, тогава T = 6, l = 3.Редът на Фурие в този случай има формата:

където ; ; n=1,2,...(според формули (4")).

1) Графика f(x).

За начертаване на графика f(x)като четна функция първо начертаваме графика f(x)на (0;2)È(2;3]и след това се възползвайте от факта, че графиката на четна функция е симетрична спрямо оста y. От тези съображения получаваме графиката f(x)на [-3;-2)È(-2;0). След това продължаваме f(x)на цялата числова права като периодична функция с период Т=6.

Ето графиката f(x)начертан върху два пълни периода на функцията.

2) Графика S(x).

График S(x)различен от графиката f(x)в точките на прекъсване на функцията f(x). Например в т. x = 0 f(x)не е дефинирано, но S(x)има значението: , така че графиката S(x)не се прекъсва в х=0, за разлика от графиката f(x).

Разлагане f(x)в ред на Фурие в косинуси има формата: .

№5. Разширете в серия на Фурие f(x) = |x|, xн(-2;2)..

Решение.По условие, f(x)е включена равномерна функция (-2;2) ; тези. неговият ред на Фурие съдържа само косинуси, докато T = 4, l = 2, ,

където ; ; n = 1, 2,

1) Графика f(x):

2) Графика S(x):

3) , защото |x| = хза х > 0.; .

След това разлагането f(x)в ред на Фурие има формата: . Имайте предвид, че при интегриране на изрази или , се използва формулата за интегриране по части: , където u=x; dv = cos(ax)dxили dv = sin(ax)dx.

№6. Разширете функцията в ред на Фурие: а) в интервала (-?,?); б) в интервала (0, 2?); в) в интервала (0, ?) в поредица от синуси.

Решение.а) Графика на функция с 2? - периодичното продължение има формата

Функцията удовлетворява условията на теоремата на Дирихле и следователно може да бъде разширена в ред на Фурие.

Нека изчислим коефициентите на Фурие. Тъй като функцията е четна, тогава bn = 0 (n = 0, 1, 2,…) и (n = 0, 1, 2,…).

За изчисляване на този интеграл се използва формулата за интегриране по части в определен интеграл. Получаваме

Редът на Фурие на тази функция има формата . По силата на теста на Дирихле тази серия представлява функцията x2 в интервала (-?,?).

б) Интервалът (0, 2?) не е симетричен по отношение на началото и дължината му е 2 л= 2?. Изчисляваме коефициентите на Фурие по формулите:

Следователно редът на Фурие има формата . По силата на теоремата на Дирихле, редът се сближава до генерираща функция в точките x?(0,2?), а в точките 0 и 2? да оценявам. Графиката на сумите на поредицата изглежда така

в) Функцията, разширена в серия по отношение на синусите, трябва да е нечетна. Следователно ние разширяваме дадената функция x2 в (-π,π) по нечетен начин, т.е. разгледайте функцията. За тази функция f(x) имаме an = 0 (n = 0, 1, 2,…) и

Желаното разширение има формата .

Графиката на сумите на поредицата изглежда така

Забележете, че в точките x = (-π, π) редът на Фурие се сближава до нула.

№7 Разширете в серия на Фурие функция, дадена графично:

Решение . Получаваме изричен израз за f(x). Графиката на функцията е права линия, използваме уравнението на права линия във формата. Както се вижда от чертежа, т.е. f(x) = x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.

Тази функция удовлетворява условията на теста на Дирихле, така че се разширява в ред на Фурие. Нека изчислим коефициентите на Фурие ( л = 1):

; (n = 1, 2,…);

Редът на Фурие за функцията f(x) има формата

Той представлява функцията f(x) при -1< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. Разширете функцията в тригонометричен ред на Фурие върху сегмент и посочете функцията, към която се сближава получената серия.

Решение.Начертайте графика на функция, като я продължавате периодично с точка или по цялата ос. Продължената функция има точка.

Проверете условията за достатъчни условия за сходимост на редовете на Фурие (Дини-Липшиц, Йордан, Дирихле).

Функцията е монотонна на парчета на сегмента: тя се увеличава непрекъснато. В точки функцията има прекъсвания от първия вид.

Разберете дали дадена функция е четна или нечетна: Функцията не е нито четна, нито нечетна.

а) ако функцията е настроена на

б) ако функцията е настроена на

Съставете редицата на Фурие на функцията: .

Посочете функцията, към която ще се сближи тази серия, като използвате критерии за точкова конвергенция: Съгласно критерия на Дирихле, редът на Фурие на функцията се сближава до сумата:

№9. Разширете функцията в серия на Фурие по отношение на синусите и използвайте това разширение, за да намерите сумата от числовия ред.

Решение.Продължете функцията по четен (нечетен) начин на (- стр,0) или (- л,0), а след това периодично с период 2 стрили 2 лпродължете функцията до цялата ос.

Продължаваме функцията по нечетен начин на , а след това периодично, с точка, я продължаваме по цялата ос.

Начертайте графика с периодично продължение. Ще получим функция от формата:

Проверете условията за достатъчни условия за сходимост на редовете на Фурие (Дини-Липиц, Йордан, Дирихле).

Функцията е частично постоянна в интервала: тя е равна на -1 на и 1 на. В точки функцията има прекъсвания от първия вид.

Изчислете коефициентите на Фурие:

Неговите коефициенти на Фурие се изчисляват по формулите:

Съставете редицата на Фурие на функцията. .

Посочете функцията, към която ще се сближи тази серия, като използвате критерии за точкова конвергенция.

Според теста на Дирихле, редът на Фурие на функцията се доближава до сумата:

Следователно, когато

Замествайки стойностите, посочете сумата от дадения числов ред.

Ако приемем в полученото разлагане, намираме,

откъде, тъй като , .

№10. Напишете равенството на Парсевал за функцията и въз основа на това равенство намерете сумата от числовия ред.

Решение.Определете дали дадената функция е квадратна интегрируема функция на .

Функцията е непрекъсната и следователно интегрируема на . По същата причина неговият квадрат е интегрируем на .

Изчислете коефициентите на Фурие, като използвате формулите:

Тъй като е нечетна функция, нейните коефициенти на Фурие се изчисляват по формулите:

Изчислете интеграла.

Напишете формулата на Парсевал:

Така формулата на Парсевал има формата

След като извършите, ако е необходимо, аритметични операции от дясната и лявата страна, вземете сумата от дадения числов ред.

Разделяйки двете части на полученото равенство на 144, намираме: .

№11. Намерете интеграла на Фурие на функция

и построете неговата графика.

Решение.Начертайте функцията.

Проверете изпълнението на условията на достатъчни условия за сближаване на интеграла на Фурие (Дини, Дирихле-Йордан или следствия от тях).

Функцията е абсолютно интегрируема в интервала, непрекъсната за и , и има прекъсване от първи вид в точка. Освен това, за и функцията има крайна производна, а при нула има крайни десни и лява производни. Разберете дали функцията е четна или нечетна. Функцията не е нито четна, нито нечетна. ; .

Така че, или

Разлагане в ред на Фурие на четни и нечетни функции Разлагане на функция, дадена на сегмент, в серия от гледна точка на синуси или косинуси. Ред на Фурие за функция с произволен период Комплексно представяне на ред на Фурие Ред на Фурие в общи ортогонални системи от функции Ред на Фурие в ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системите

Разширяване в ред на Фурие на четни и нечетни функции Функцията f(x), дефинирана на отсечката \-1, където I > 0, се извиква четно, ако графиката на четната функция е симетрична спрямо оста y. Функцията f(x), дефинирана на отсечката J, където I > 0, се нарича нечетна, ако графиката на нечетната функция е симетрична по отношение на началото. Пример. a) Функцията е четна на отсечката |-jt, jt), тъй като за всички x e b) Функцията е нечетна, тъй като разширението на четните и нечетните функции в редицата на Фурие е разширение на функция, дадена на сегмента в серия от синуси или косинуси Редове на Фурие за функция с произволен период Сложно обозначение на редовете на Фурие редове на Фурие в общи ортогонални системи от функции Редове на Фурие в ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство на Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системите нито до четни или нечетни функции, тъй като Нека функцията f(x), удовлетворяваща условията на теорема 1, е четна на отсечката x|. Тогава за всички, т.е. /(g) cos nx е четна функция, а f(x)sinnx е нечетна. Следователно коефициентите на Фурие на четна функция /(x) ще бъдат равни. Следователно, редът на Фурие на четна функция има формата f(x) sin nx е четна функция. Следователно, ние ще имаме Така, редът на Фурие на нечетна функция има формата Имаме Прилагайки интегриране по части два пъти, получаваме, че Следователно, редът на Фурие на тази функция изглежда така: или, в разширен вид, това равенство е валидно за всяко x €, тъй като в точките x = ±ir сумата от серия съвпада със стойностите на функцията f(x) = x2, тъй като графиките на функцията f(x) = x и сумите от получената серия са дадени на фиг. Коментирайте. Тази серия на Фурие ви позволява да намерите сумата на един от сходящите числови редове, а именно, за x = 0, получаваме, че Функцията /(x) удовлетворява условията на теорема 1, следователно може да бъде разширена в ред на Фурие, който поради нечетността на тази функция ще има формата Интегрирайки по части, намираме коефициентите на Фурие Следователно, Фурие редът на тази функция има формата. Това равенство важи за всички x В точки x - ±tg, сумата от редицата на Фурие не съвпада със стойностите на функцията / (x) = x, тъй като е равна на Извън сегмент [- *, n-] сумата от серията е периодично продължение на функцията / (x) \u003d x; графиката му е показана на фиг. 6. § 6. Разлагане на функция, дадена на интервал, в серия по синуси или косинуси Нека е дадена ограничена монотонна функция на парчета / на интервал . Стойностите на тази функция на интервала 0| може да се дефинира по различни начини. Например, възможно е да се дефинира функцията / на отсечката mc] по такъв начин, че /. В този случай се казва, че) "се разпростира до отсечката 0] по четен начин"; неговият ред на Фурие ще съдържа само косинуси. Ако обаче функцията /(x) е дефинирана на отсечката [-x, mc], така че /(, тогава се получава нечетна функция и тогава казваме, че / "се разширява до отсечката [-*, 0 ] по странен начин"; в този случай редът на Фурие ще съдържа само синуси. Така че всяка ограничена монотонна функция /(x), дефинирана на сегмента, може да бъде разширена в ред на Фурие както по синуси, така и по в косинуси. Пример 1. Функцията може да се разшири в ред на Фурие: а) с косинус; б) по синусите. M Тази функция с нейните четни и нечетни разширения към отсечката |-x, 0) ще бъде ограничена и монотонна на парчета. a) Продължаваме / (z) в отсечката 0) a) Продължаваме j \ x) в сегмента (-m, 0 | по четен начин (фиг. 7), тогава неговият ред на Фурие i ще има вида P \u003d 1 където коефициентите на Фурие са равни, съответно за Следователно, b) Нека продължим /(z) в сегмента [-x,0] по нечетен начин (фиг. 8). Тогава неговият ред на Фурие §7. Ред на Фурие за функция с произволен период Нека функцията fix) бъде периодична с период от 21,1 ^ 0. За да я разширим в ред на Фурие на интервала, където I > 0, правим промяна на променливата, като задаваме x = jt . Тогава функцията F(t) = / ^tj ще бъде периодична функция на аргумента t с точка и може да бъде разширена върху сегмент от серия на Фурие Връщайки се към променливата x, т.е., настройка, получаваме , остава в сила също за периодични функции с произволен период 21. По-специално, достатъчният критерий за разширяване на функция в ред на Фурие също остава валиден. Пример 1. Разширете в ред на Фурие периодична функция с период 21, дадена на отсечката [-/,/] по формулата (фиг. 9). Тъй като тази функция е четна, нейният ред на Фурие има формата Замествайки намерените стойности на коефициентите на Фурие в реда на Фурие, получаваме Отбелязваме едно важно свойство на периодичните функции. Теорема 5. Ако функция има период T и е интегрируема, то за произволно число a важи равенството m. т.е. интегралът на отсечка, чиято дължина е равна на периода T, има една и съща стойност, независимо от позицията на този сегмент върху реалната ос. Наистина, ние правим промяна на променливата във втория интеграл, като приемем Това дава и следователно, геометрично, това свойство означава, че в случая на зоната, защрихована на фиг. 10 области са равни една на друга. По-специално, за функция f(x) с период, получаваме при разширяване на редовете на Фурие на четни и нечетни функции разширяването на функция, дадена на сегмент, в серия по отношение на синуси или косинуси. Ред на Фурие за функция с произволен период Комплексно представяне на редовете на Фурие, редовете на Фурие в общи функции на ортогонални системи. Редове на Фурие в ортогонална система. Минимално свойство на коефициентите на Фурие. x) с период 21 може да се изчисли с помощта на формулите където a е произволно реално число (обърнете внимание, че функциите cos - и sin имат период 2/). Пример 3. Разширете в ред на Фурие функция, дадена на интервал с период 2x (фиг. 11). 4 Намерете коефициентите на Фурие на тази функция. Въвеждането на формулите установяваме, че за Следователно, редът на Фурие ще изглежда така: В точката x = jt (точка на прекъсване от първи вид) имаме §8. Сложна нотация на редовете на Фурие В този раздел се използват някои елементи на комплексния анализ (вижте глава XXX, където всички операции, извършени тук със сложни изрази, са строго обосновани). Нека функцията f(x) удовлетворява достатъчни условия за разширяване в ред на Фурие. Тогава на отсечката x] той може да бъде представен с поредица от вида Използвайки формулите на Ойлер Замествайки тези изрази в редицата (1) вместо cos nx и sin xy ще имаме. Въведем следната нотация. Тогава серия (2) приема формата По този начин редът на Фурие (1) е представен в комплексен вид (3). Нека намерим изрази за коефициентите чрез интеграли. Имаме По същия начин, намираме Накрая, формулите за с„, с_п и с могат да бъдат записани, както следва: . . Коефициентите cn се ​​наричат ​​комплексни коефициенти на Фурие на функцията. За периодична функция с период), комплексната форма на редицата на Фурие приема стойностите на формата w, ако съществуват граници Пример. Разширете функцията за период в сложен ред на Фурие Тази функция удовлетворява достатъчни условия за разширяване в ред на Фурие. Нека Намерете комплексните коефициенти на Фурие на тази функция. Имаме за нечетно за четно n, или, накратко. Замествайки стойностите), накрая получаваме Забележете, че този ред може да се запише и по следния начин: Редът на Фурие в общи ортогонални системи от функции 9.1. Ортогонални системи от функции Означете с множеството от всички (реални) функции, които са дефинирани в квадрат и интегрируеми в интервала [a, 6], т.е. тези, за които съществува интеграл. По-специално, всички функции f(x), които са непрекъснати на интервала [a, 6], принадлежат на 6] и стойностите на техните интеграли на Лебег съвпадат със стойностите на интегралите на Риман. Определение. Системата от функции, където, се нарича ортогонална на отсечката [a, b\, ако условието (1) предполага по-специално, че никоя от функциите не е идентично равна на нула. Интегралът се разбира в смисъла на Лебег. и ние наричаме количеството норма на функция.Ако в ортогонална система за всяко n, което имаме, тогава системата от функции се нарича ортонормална. Ако системата (y>n(x)) е ортогонална, тогава системата Пример 1. Тригонометричната система е ортогонална на сегмент. Системата от функции е ортонормирана система от функции на, пример 2. Косинусовата система и синусовата система е ортонормирана. Нека въведем обозначението, че те са ортогонални на отсечката (0, f|, но не и ортонормални (за I ↦ 2). Тъй като техните норми са COS, функциите образуват ортонормирана система от функции на сегмент. Нека покажем, например, че полиномите на Лежандър са ортогонални. Нека m > n. В този случай, интегрирайки n пъти по части, намираме, тъй като за функцията t/m = (z2 - I)m всички производни до порядък m - I включително изчезват в краищата на отсечката [-1,1). Определение. Системата от функции (pn(x)) се нарича ортогонална на интервала (a, b) чрез надвес p(x), ако: 1) има интеграли за всички n = 1,2,... Тук се приема, че тегловната функция p(x) е дефинирана и положителна навсякъде в интервала (a, b), с възможно изключение на краен брой точки, където p(x) може да изчезне. След извършване на диференциране във формула (3), намираме. Може да се покаже, че полиномите на Чебишев-Ермит са ортогонални на интервала Пример 4. Системата от функции на Бесел (jL(pix)^ е ортогонална на интервала от нули на системата от функции на Бесел Нека ортогонална система от функции в интервала (a, 6) и нека редът (cj = const) се сближи на този интервал към функцията f(x): По силата на ортогоналността на системата получаваме, че тази операция има, най-общо казано, чисто формален характер. Въпреки това, в някои случаи, например, когато редът (4) се сближава равномерно, всички функции са непрекъснати и интервалът (a, 6) е краен, тази операция е законна. Но официалното тълкуване е важно за нас сега. Така че да кажем, че е дадена функция. Формираме числата c * по формулата (5) и пишем Редът от дясната страна се нарича ред на Фурие на функцията f (x) по отношение на системата (^n (n)) - Числата Cn са наречени коефициенти на Фурие на функцията f (x) в тази система. Знакът ~ във формула (6) означава само, че числата Cn са свързани с функцията f(x) по формула (5) (в този случай не се приема, че редът отдясно се сближава изобщо, още по-малко се сближава към функцията f(x)). Следователно, естествено възниква въпросът: какви са свойствата на тази серия? В какъв смисъл тя "представлява" функцията f(x)? 9.3. Определение за средна конвергенция. Последователност се сближава до елемент ] средно, ако нормата е в пространството Теорема 6. Ако последователност ) се сближава равномерно, тогава тя също се сближава средно. M Нека последователността ()) се сближава равномерно на отсечката [a, b] към функцията f(x). Това означава, че за всяко, за всички достатъчно големи n, имаме Оттук, от което следва нашето твърдение. Обратното не е вярно: последователността () може да се сближава средно до /(x), но не е равномерно сходяща. Пример. Нека разгледаме последователността nx Лесно е да се види, че Но тази конвергенция не е еднаква: съществува e, например, такова, че без значение колко голямо е n, в интервалния ред на Фурие за функция с произволен период Сложна нотация на редът на Фурие редът на Фурие в общите ортогонални системи от функции Редът на Фурие в ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие неравенство на Бесел Равенство на Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системите и нека ) в ортонормираната система b Да разгледаме линейна комбинация, където n ^ 1 е фиксирано цяло число и намерете стойностите на константите, за които интегралът приема минималната си стойност. Нека го напишем по-подробно Интегрирайки член по член, поради ортонормалността на системата получаваме Първите два члена от дясната страна на равенството (7) са независими, а третият член е неотрицателен. Следователно интегралът (*) придобива минимална стойност при ak = sk. Интегралът се нарича средноквадратично приближение на функцията f(x) като линейна комбинация от Tn(x). По този начин средноквадратната апроксимация на функцията /\ придобива минимална стойност, когато. когато Tn(x) е 71-вата частична сума от редицата на Фурие на функцията /(x) в системата (. Поставяйки ak = ck, от (7) получаваме Равенство (9) се нарича идентичност на Бесел. Тъй като лявата му страната е неотрицателна, то от нея следва неравенството на Бесел Тъй като i тук е произволно, неравенството на Бесел може да бъде представено в засилена форма, т.е. за всяка функция /, поредицата от квадратирани коефициенти на Фурие на тази функция в ортонормирана система . Тъй като системата е ортонормирана на интервала [-x, r], тогава неравенството (10), преведено в обичайната нотация на тригонометричния ред на Фурие, дава отношението do валидно за всяка функция f(x) с интегрируем квадрат. Ако f2(x) е интегрируема, то по силата на необходимото условие за сходимост на редицата от лявата страна на неравенството (11) получаваме това. Равенството на Парсевал За някои системи (^n(x)) знакът на неравенството във формула (10) може да бъде заменен (за всички функции f(x) 6 x) със знак за равенство. Полученото равенство се нарича равенство на Парсевал-Стеклов (условие за пълнота). Идентичността на Бесел (9) ни позволява да запишем условие (12) в еквивалентна форма по пространствена норма 6]. Определение. Ортонормирана система ( се нарича пълна в b2[ay b], ако някоя функция може да бъде апроксимирана с всякаква точност средно чрез линейна комбинация от формата с достатъчно голям брой членове, т.е. ако за която и да е функция f(x) € b2[a, b\ и за всяко e > 0 има естествено число nq и числа a\, a2y..., такива, че № Теорема 7. Ако системата ) е пълна в пространството чрез ортонормализация, редът на Фурие от всяка функция / в тази система се доближава до f( x) средно, т.е. според нормата Може да се покаже, че тригонометричната система е пълна в пространството. Това предполага твърдението. Теорема 8. Ако една функция /0 нейният тригонометричен ред на Фурие се сближава средно към нея. 9.5. затворени системи. Пълнота и затвореност на системите Определение. Ортонормирана система от функции \, се нарича затворена, ако в пространството Li\a, b) няма ненулева функция, ортогонална на всички функции.В пространството L2\a, b\ понятията за пълнота и затвореност на ортонормирани системи съвпада. Упражнения 1. Разширете функцията в редицата на Фурие в интервала (-i-, x) 2. Разширете функцията в редицата на Фурие в интервала (-r, r) 3. Разширете функцията в редицата на Фурие в интервала (-r, r) 4. Разширете в ред на Фурие в интервалната (-jt, r) функция 5. Разширете в ред на Фурие в интервала (-r, r) функцията f(x) = x + x. 6. Разширете в ред на Фурие в интервала (-jt, r) функцията n 7. Разширете в ред на Фурие в интервала (-r, x) функцията / (x) \u003d sin2 x. 8. Разширете в ред на Фурие в интервала (-m, jt) функцията f(x) = y 9. Разширете в ред на Фурие в интервала (-mm, -k) функцията f(x) = | sinx|. 10. Разширете в ред на Фурие в интервала (-x-, r) функцията f(x) = g. 11. Разширете в ред на Фурие в интервала (-r, r) функцията f (x) \u003d sin §. 12. Разширете в ред на Фурие функцията f (x) = n -2x, дадена в интервала (0, x), като я продължите в интервала (-x, 0): а) по четен начин; б) по странен начин. 13. Разширете в ред на Фурие по синуси функцията / (x) \u003d x2, дадена в интервала (0, x). 14. Разширете в серия на Фурие функцията / (x) \u003d 3-x, дадена в интервала (-2,2). 15. Разширете в ред на Фурие функцията f (x) \u003d |x |, дадена в интервала (-1,1). 16. Разширете в ред на Фурие по синуси функцията f (x) = 2x, посочена в интервала (0,1).

препис

1 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ НОВОСИБИРСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИ ФАКУЛТЕТ R. K. Belkheeva СЕРИАТА НА ФУРИЕ В ПРИМЕРИ И ЗАДАЧИ Учебник Новосибирск 211

2 УДК BBK V161 B44 B44 Белхеева Р. К. Серия на Фурие в примери и задачи: Учебник / Новосиб. състояние не-т. Новосибирск, с. ISBN Урокът предоставя основна информация за редовете на Фурие, предоставя примери за всяка изучавана тема. Подробно е анализиран пример за прилагане на метода на Фурие за решаване на проблема за напречните вибрации на струна. Даден е илюстративен материал. Има задачи за самостоятелно решаване. Предназначен е за студенти и преподаватели от Физическия факултет на Новосибирския държавен университет. Публикувано по решение на Методическата комисия на Физическия факултет на НСУ. Рецензент д-р физ.-мат. Науки. В. А. Александров ISBN c Новосибирски държавен университет, 211 c Белхеева Р. К., 211

3 1. Разлагане в ред на Фурие на 2π-периодична функция. Определение. Редът на Фурие на функцията f(x) е функционалният ред a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) където коефициентите a n, b n се изчисляват по формулите: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Формулите (2) (3) се наричат ​​формули на Фурие на Ойлер . Фактът, че функцията f(x) съответства на редицата на Фурие (1) се записва като формула f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) и те казват, че дясната страна на формулата ( 4) е формална серия функции на Фурие f(x). С други думи, формула (4) означава само, че коефициентите a n, b n се намират по формули (2), (3). 3

4 Определение. 2π-периодична функция f(x) се нарича гладка на парче, ако интервалът [, π] съдържа краен брой точки = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Фиг. 1. Графика на функцията f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, за нечетно n, за четно n, f(x ) sin nxdx = защото функцията f(x) е четна. Записваме формалния ред на Фурие за функцията f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Разберете дали функцията f(x) е гладка на парчета. Тъй като е непрекъснат, ние изчисляваме само границите (6) в крайните точки на интервала x = ±π и в точката на прекъсване x = : и f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Границите съществуват и са крайни, следователно функцията е гладка на парчета. Съгласно теоремата за точкова конвергенция, нейният ред на Фурие се сближава до числото f(x) във всяка точка, т.е. f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Фигури 2 и 3 показват характера на апроксимацията на частичните суми от редицата на Фурие S n (x), където S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, към функцията f(x) в интервала [, π] . 6

7 Фиг. Фиг. 2. Графика на функцията f(x) с насложени графики на частични суми S (x) = a 2 и S 1(x) = a 2 + a 1 cos x 3. Графика на функцията f (x) с насложена върху нея графика за частична сума S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Замествайки в (7) x = получаваме: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, откъдето намираме сбора от числовия ред: = π2 8. Знаейки сумата на тази серия, тя е лесно да намерим следната сума. Имаме: S = ( ) S = ()= π S, следователно S = π2 6, т.е. 1 n = π Сумата от тази известна серия е открита за първи път от Леонхард Ойлер. Често се среща в математическия анализ и неговите приложения. ПРИМЕР 2. Начертайте графика, намерете редицата на Фурие на функцията, дадена по формулата f(x) = x за x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Фиг. 4. Графика на функцията f(x) Функцията f(x) е непрекъснато диференцируема на интервала (, π). В точките x = ±π той има крайни граници (5): f() =, f(π) = π. Освен това има крайни граници (6): f(+ h) f(+) lim = 1 и h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Следователно f(x) е плавна функция на парчета. Тъй като функцията f(x) е нечетна, тогава a n =. Коефициентите b n се намират чрез интегриране по части: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ едно. n Нека съставим формалния ред на Фурие на функцията 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Съгласно теоремата за точкова конвергенция за гладка на парчета 2π-периодична функция, редът на Фурие на функцията f(x) се доближава до сумата: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, ако π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Фиг. Фиг. 6. Графика на функцията f(x) с насложена графика на частичната сума S 2 (x). 7. Графика на функцията f(x) с насложена графика на частичната сума S 3 (x) 11

12 Фиг. 8. Графика на функцията f(x) с насложена върху нея графика на частичната сума S 99 (x) Използваме получения ред на Фурие, за да намерим сумите на два числови реда. Поставяме (8) x = π/2. Тогава 2 () +... = π 2, или = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Лесно намерихме сумата от добре познатия ред на Лайбниц. Поставяйки x = π/3 в (8), намираме () +... = π 2 3, или (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 ПРИМЕР 3. Начертайте графика, намерете редицата на Фурие на функцията f(x) = sin x, като приемем, че тя има период 2π, и 1 изчислете сумата от числовия ред 4n 2 1. Решение. Графиката на функцията f(x) е показана на фиг. 9. Очевидно f(x) = sin x е непрекъсната четна функция с период π. Но 2π също е периодът на функцията f(x). Ориз. 9. Графика на функцията f(x) Да изчислим коефициентите на Фурие. Всички b n = защото функцията е четна. Използвайки тригонометрични формули, ние изчисляваме a n за n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n n π 1 n 2 ( 4 1, ако n = 2k, = π n 2 1, ако n = 2k

14 Това изчисление не ни позволява да намерим коефициента a 1, тъй като при n = 1 знаменателят става нула. Следователно, ние изчисляваме директно коефициента a 1: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Тъй като f(x) е непрекъснато диференцируема върху (,) и (, π) и в точките kπ, (k е цяло число), има крайни граници (5) и (6), редът на Фурие на функцията се сближава до то във всяка точка: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Графика на функцията f(x) с насложена върху нея графиката на частичната сума S(x) 14

15 Фиг. Фиг. 11. Графика на функцията f(x) с насложена графика на частичната сума S 1 (x). Фиг. 12. Графика на функцията f(x) с насложена графика на частичната сума S 2 (x). 13. Графика на функцията f(x) с насложена графика на частичната сума S 99 (x) 15

16 1 Изчислете сумата от числовия ред. За да направим това, поставяме 4n 2 1 в (9) x =. Тогава cosnx = 1 за всички n = 1, 2,... и Следователно, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. ПРИМЕР 4. Нека докажем, че ако една частично гладка непрекъсната функция f(x) удовлетворява условието f(x π) = f(x) за всички x (т.е. е π-периодична) , тогава a 2n 1 = b 2n 1 = за всички n 1 и обратно, ако a 2n 1 = b 2n 1 = за всички n 1, тогава f(x) е π-периодична. Решение. Нека функцията f(x) е π-периодична. Нека изчислим неговите коефициенти на Фурие a 2n 1 и b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x ) cos (2n 1)xdx. В първия интеграл правим промяната на променливата x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. шестнадесет

17 Използвайки факта, че cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t и f(t π) = f(t), получаваме: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. По подобен начин се доказва, че b 2n 1 =. Обратно, нека a 2n 1 = b 2n 1 =. Тъй като функцията f(x) е непрекъсната, тогава според теоремата за представимостта на функция в точка от нейния ред на Фурие имаме Тогава f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), което означава, че f(x) е π-периодична функция. ПРИМЕР 5. Нека докажем, че ако гладка на парчета функция f(x) удовлетворява условието f(x) = f(x) за всички x, тогава a = и a 2n = b 2n = за всички n 1, и обратно , ако a = a 2n = b 2n =, тогава f(x π) = f(x) за всички x. Решение. Нека функцията f(x) удовлетворява условието f(x π) = f(x). Нека изчислим неговите коефициенти на Фурие: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. В първия интеграл правим промяната на променливата x = t π. Тогава f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Използвайки факта, че cos n(t π) = (1) n cosnt и f(t π) = f(t), получаваме: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = ако n четно, = 2 π f(t) cos nt dt, ако n е нечетно. π По подобен начин се доказва, че b 2n =. Обратно, нека a = a 2n = b 2n =, за всички n 1. Тъй като функцията f(x) е непрекъсната, тогава според теоремата за представимостта на функция в точка нейният ред на Фурие удовлетворява равенството f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). осемнадесет

19 Тогава = f(x π) = = = f(x). ПРИМЕР 6. Нека проучим как да разширим функцията f(x), интегрируема на интервала [, π/2] до интервала [, π], така че нейният ред на Фурие да има формата: a 2n 1 cos(2n 1) х. (1) Решение. Нека графиката на функцията има формата, показана на фиг. 14. Тъй като в серия (1) a = a 2n = b 2n = за всички n, от пример 5 следва, че функцията f(x) трябва да удовлетворява равенството f(x π) = f(x) за всички x. Това наблюдение дава начин за разширяване на функцията f(x) до интервала [, /2] : f(x) = f(x+π), фиг. 15. От факта, че ред (1) съдържа само косинуси, заключаваме, че продължаващата функция f (x) трябва да е четна (т.е. графиката й трябва да е симетрична спрямо оста Oy), фиг.

20 Фиг. 14. Графика на функцията f(x) 15. Графика на продължението на функцията f(x) на интервала [, /2] 2

21 И така, желаната функция има формата, показана на фиг. 16. Фиг. 16. Графика на продължението на функцията f(x) на интервала [, π] Обобщавайки, заключаваме, че функцията трябва да продължи, както следва: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), което е интервал [π/2, π], графиката на функцията f(x) е централно симетрична спрямо точката (π/2,), а на интервала [, π] нейната графика е симетрично спрямо оста Oy. 21

22 ОБОБЩАНЕ НА ПРИМЕРИ 3 6 Нека l >. Да разгледаме две условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. От геометрична гледна точка условие (а) означава, че графиката на функцията f(x) е симетрична спрямо вертикалната линия x = l/2, а условие (b) графиката f(x) е централно симетрична около точката (l/2;) на оста абсцис. Тогава следните твърдения са верни: 1) ако функцията f(x) е четна и условие (a) е изпълнено, тогава b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) ако функцията f(x) е четна и условие (b) е изпълнено, тогава b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) ако функцията f(x) е нечетна и условие (a) е изпълнено, тогава a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) ако функцията f(x) е нечетна и условие (b) е изпълнено, тогава a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ПРОБЛЕМИ В задачи 1 7 начертайте графики и намерете редицата на Фурие за функциите (ако приемем, че имат период от 2π: ако< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 ако /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Разширяване на функция, дадена в интервала [, π] само по синуси или само по косинуси Нека функция f е дадена в интервала [, π]. За да го разширим в този интервал в ред на Фурие, първо разширяваме f в интервала [, π] по произволен начин и след това използваме формулите на Фурие на Ойлер. Произволността в продължението на функция води до факта, че за една и съща функция f: [, π] R можем да получим различни редове на Фурие. Но е възможно да се използва този произвол по такъв начин, че да се получи разширение само в синуси или само в косинуси: в първия случай е достатъчно да продължим f по нечетен начин, а във втория - по четен начин. Алгоритъм за решение 1. Продължете функцията по нечетен (четен) начин на (,), и след това периодично с период от 2π продължете функцията до цялата ос. 2. Изчислете коефициентите на Фурие. 3. Съставете редицата на Фурие на функцията f(x). 4. Проверете условията за сходимост на редовете. 5. Посочете функцията, към която ще се сближи тази серия. ПРИМЕР 7. Разширете функцията f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Фиг. 17. Графика на продължаващата функция Очевидно функцията f (x) е гладка на парчета. Нека изчислим коефициентите на Фурие: a n = за всички n, защото функцията f (x) е нечетна. Ако n 1, тогава b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, ако n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n, ако n = 2k. π n 2 1 При n = 1 в предишните изчисления знаменателят изчезва, така че коефициентът b 1 може да се изчисли директно.

26 По същество: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Съставете редицата на Фурие на функцията f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Тъй като функцията f (x) е гладка на парчета, тогава, съгласно теоремата за точкова конвергенция, редът на Фурие на функцията f (x) се доближава до сумата cosx, ако π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Фиг. Фиг. 18. Графика на функцията f (x) с насложена графика на частичната сума S 1 (x). 19. Графика на функцията f(x) с насложена върху нея графиката на частичната сума S 2 (x) 27

28 Фиг. Фиг. 2. Графика на функцията f (x) с насложена графика на частичната сума S 3 (x). 21 показва графики на функцията f (x) и нейната частична сума S 99 (x). Ориз. 21. Графика на функцията f (x) с насложена върху нея графика на частичната сума S 99 (x) 28

29 ПРИМЕР 8. Нека разширим функцията f(x) = e ax, a >, x [, π] в ред на Фурие само в косинуси. Решение. Продължаваме функцията по четен начин до (,) (т.е., така че равенството f(x) = f(x) важи за всички x (, π)), а след това периодично с период от 2π до цялото реално ос. Получаваме функцията f (x), графиката на която е показана на фиг. 22. Функция f (x) в точки 22. Графиката на продължената функция f (x) x = kπ, k е цяло число, има кинкове. Нека изчислим коефициентите на Фурие: b n =, тъй като f (x) е четно. Интегрирайки по части, получаваме 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (ea1π cosn ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e x dx a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Следователно, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Тъй като f (x) е непрекъснато, съгласно теоремата за точкова конвергенция, неговият ред на Фурие се сближава до f (x). Следователно за всички x [, π] имаме f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Фигурите демонстрират постепенното приближаване на частичните суми от редицата на Фурие към дадена прекъсната функция. 3

31 Фиг. 23. Графики на функции f (x) и S (x) 24. Графики на функции f (x) и S 1 (x) 25. Графики на функции f (x) и S 2 (x) 26. Графики на функции f (x) и S 3 (x) 31

32 Фиг. 27. Графики на функции f (x) и S 4 (x) 28. Графики на функциите f (x) и S 99 (x) ЗАДАЧА 9. Разширете функцията f (x) = cos x, x π в ред на Фурие само в косинуси. 1. Разширете функцията f (x) \u003d e ax, a >, x π в ред на Фурие само по отношение на синусите. 11. Разширете функцията f (x) \u003d x 2, x π, в серия на Фурие само в синуси. 12. Разширете функцията f (x) \u003d sin ax, x π в ред на Фурие само по отношение на косинусите. 13. Разширете функцията f (x) \u003d x sin x, x π, в серия на Фурие само в синуси. Отговори 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Ако a не е цяло число, тогава sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; ако a = 2m е четно число, тогава sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; ако a = 2m 1 е положително нечетно число, тогава sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Ред на Фурие на функция с произволен период Да приемем, че функцията f(x) е дефинирана в интервала [ l, l], l >. Чрез заместване на x = ly, y π получаваме функцията g(y) = f(ly/π), дефинирана в интервала π [, π]. Тази функция g(y) съответства на (формалния) ред на Фурие () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), чиито коефициенти се намират по формулите на Фурие на Ойлер: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, получаваме леко модифициран тригонометричен ред за функцията f(x): където f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Твърди се, че формулите (11) (13) дефинират разширението в ред на Фурие на функция с произволен период. ПРИМЕР 9. Намерете редицата на Фурие на функцията, дадена в интервала (l, l) от израза ( A, ако l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = ако n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Съставете редицата на Фурие на функцията f (x) : f(x) A + B π (B A Тъй като cosπn = (1) n, то n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l за n = 2k получаваме b n = b 2k =, за n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).

36 Следователно f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Съгласно теоремата за точкова конвергенция, редът на Фурие на функцията f(x) се доближава до сумата A, ако l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Фиг. 29. Графика на функцията f (x) с насложени графики на хармониците S (x) = a 2 и S 1 (x) = b 1 sinx. За по-голяма яснота графиките на трите по-високи хармоника S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l и S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx са изместени вертикално нагоре л 37

38 Фиг. Фиг. 3. Графика на функцията f(x) с насложена графика на частичната сума S 99 (x). 31. Фрагмент от фиг. 3 в друга скала 38

39 ПРОБЛЕМИ При задачи разширете определените функции в редицата на Фурие в дадени интервали. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1). 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1, ако 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) 2 l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Комплексна форма на редицата на Фурие Разлагане f(x) = c n e inx, където c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., се нарича сложна форма на реда на Фурие. Функцията се разширява в сложен ред на Фурие при същите условия, при които се разширява в реален ред на Фурие. 4

41 ПРИМЕР 1. Намерете редицата на Фурие в комплексния вид на функцията, дадена с формулата f(x) = e ax в интервала [, π), където a е реално число. Решение. Нека изчислим коефициентите: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Комплексният ред на Фурие на функцията f има формата f(x) sh aπ π n= (1) n a in einx. Нека проверим, че функцията f(x) е гладка на парчета: в интервала (, π) тя е непрекъснато диференцируема, а в точките x = ±π има крайни граници (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Следователно функцията f(x) може да бъде представена с ред на Фурие sh aπ π n= (1) n a в einx, който се сближава до сумата: ( e S(x) = ax, ако π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 ПРИМЕР 11. Намерете редицата на Фурие в комплексната и реална форма на функцията, дадена с формулата f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, където a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Припомнете си, че сумата от безкрайна геометрична прогресия със знаменател q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Сега нека намерим редицата на Фурие в реална форма. За да направим това, групираме термините с числа n и n за n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Тъй като c = 1, тогава 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Това е ред на Фурие в реалната форма на функцията f(x). По този начин, без да изчисляваме нито един интеграл, намерихме редицата на Фурие на функцията. При това изчислихме твърд интеграл в зависимост от параметъра cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Разширяваме всяка от простите дроби по формулата за геометрична прогресия: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Това е възможно, защото az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, или по-кратко, c n = 1 2i a n sgnn. Така се намира редът на Фурие в комплексна форма. Групирайки членове с числа n и n, получаваме редицата на Фурие на функцията в реална форма: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Отново успяхме да изчислим следния сложен интеграл: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ПРОБЛЕМА 24. Използвайки (15), изчислете интеграла cos nxdx 1 2a cosx + a 2 за реално a, a > Използвайки (16), изчислете интеграла sin x sin nxdx за реално a, a > a cosx + a2 В задачи , намерете редицата на Фурие в сложна форма за функции. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Теорема за равенството на Ляпунов (Равенство на Ляпунов). Нека функция f: [, π] R е такава, че f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Следователно равенството на Ляпунов за функцията f(x) приема вида: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. От последното равенство за a π намираме sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Ако приемем a = π 2, получаваме sin2 na = 1 за n = 2k 1 и sin 2 na = за n = 2k. Следователно k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. ПРИМЕР 14. Нека запишем равенството на Ляпунов за функцията f(x) = x cosx, x [, π] и го използваме, за да намерим сумата от числото ред (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Решение. Директните изчисления дават = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Тъй като f(x) е четна функция, то за всички n имаме b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, ако n = 2k, 2, ако n = 2k + 1. Коефициентът a 1 трябва да се изчисли отделно, тъй като в общата формула за n = 1 знаменателят на дробта изчезва . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Така равенството на Ляпунов за функцията f(x) има вида: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π ЗАДАЧА 32. Запишете равенството на Ляпунов за функцията ( x f(x) = 2 πx, ако x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Отговори + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, където c n е коефициентът на Фурие 2π на f(x), и d n е функциите на коефициента на Фурие g(x). 6. Диференциране на редовете на Фурие Нека f: R R е непрекъснато диференцируема 2π-периодична функция. Неговият ред на Фурие има формата: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Производната f (x) на тази функция ще бъде непрекъсната и 2π-периодична функция, за която може да се запише формален ред на Фурие: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), където a, a n , b n, n = 1 , 2,... Коефициенти на Фурие на функцията f (x). 51

52 Теорема (за почленно диференциране на редовете на Фурие). При направените по-горе предположения са верни равенствата a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ПРИМЕР 15. Нека късо-гладка функция f(x) е непрекъсната в интервала [, π]. Нека докажем, че когато условието f(x)dx = е изпълнено, неравенството 2 dx 2 dx, наречено неравенство на Стеклов, е в сила и проверяваме, че равенството в него се реализира само за функции от вида f(x) = cosx. С други думи, неравенството на Стеклов дава условия, при които малкостта на производната (в rms) предполага малката функция (в rms). Решение. Нека разширим функцията f(x) до интервала [, ] равномерно. Означете разширената функция със същия символ f(x). Тогава продължаващата функция ще бъде непрекъсната и гладка на парче на интервала [, π]. Тъй като функцията f(x) е непрекъсната, то f 2 (x) е непрекъсната на интервала и 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Тъй като продължаващата функция е четна, тогава b n =, a = по условие. Следователно равенството на Ляпунов приема формата 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Нека се уверим, че f (x) удовлетворява заключението на теоремата за диференцирането член по член на реда на Фурие, тоест, че a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Нека производната f (x) претърпи прекъсвания в точките x 1, x 2,..., x N в интервала [, π]. Означете x =, x N+1 = π. Нека разделим интервала на интегриране [, π] на N +1 интервала (x, x 1),..., (x N, x N+1), на всеки от които f(x) е непрекъснато диференцируема. След това, използвайки свойството адитивност на интеграла и след това интегрирайки по части, получаваме: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= По същия начин получаваме a n = nb n. Показахме, че теоремата за диференцирането член по член на редовете на Фурие за непрекъсната, късо-гладка 2π-периодична функция, чиято производна в интервала [, π] претърпява прекъсвания от първи вид, е вярна. Така че f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, тъй като a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Тъй като 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Тъй като всеки член от редицата в (18) е по-голям или равен на съответния член на реда в (17), тогава 2 dx 2 dx. Припомняйки, че f(x) е четно продължение на оригиналната функция, имаме 2 dx 2 dx. Което доказва равенството на Стеклов. Сега нека разгледаме за кои функции има равенство в неравенството на Стеклов. Ако за поне едно n 2, коефициентът a n е различен от нула, тогава a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ЗАДАЧИ 37. Нека късо-гладка функция f(x) е непрекъсната на интервала [, π]. Докажете, че при условието f() = f(π) = неравенството 2 dx 2 dx, наричано още неравенство на Стеклов, е валидно и се уверете, че равенството в него е валидно само за функции от вида f(x) = B sin x . 38. Нека функция f е непрекъсната в интервала [, π] и в нея (с възможно изключение само на краен брой точки) има квадратно интегрируема производна f (x). Докажете, че ако са изпълнени условията f() = f(π) и f(x) dx =, то неравенството 2 dx 2 dx, наречено неравенство на Виртингер, е валидно и равенството в него се изпълнява само за функциите от форма f(x ) = A cosx + B sinx. 56

57 7. Приложение на редовете на Фурие за решаване на частни диференциални уравнения При изследване на реален обект (природни явления, производствен процес, система за управление и т.н.) се оказват значими два фактора: нивото на натрупани знания за изучавания обект и степента на развитие на математическия апарат. На настоящия етап от научните изследвания е разработена следната верига: явление физически модел математически модел. Физическата постановка (модел) на проблема е следната: идентифицират се условията за развитие на процеса и основните фактори, влияещи върху него. Математическата формулировка (модел) се състои в описание на избраните във физическата формулировка фактори и условия под формата на система от уравнения (алгебрични, диференциални, интегрални и др.). Проблемът се нарича добре поставен, ако в определено функционално пространство решението на проблема съществува, еднозначно и непрекъснато зависи от началните и граничните условия. Математическият модел не е идентичен с разглеждания обект, но е неговото приблизително описание. Извеждане на уравнението на свободните малки напречни вибрации на струната Ще следваме учебника. Нека краищата на връвта да бъдат фиксирани, а самата струна да бъде опъната. Ако струната бъде извадена от равновесие (например чрез дърпане или удар по нея), тогава струната ще започне 57

58 се колебайте. Ще приемем, че всички точки на струната се движат перпендикулярно на нейното равновесно положение (напречни вибрации) и във всеки момент от време струната лежи в една и съща равнина. Нека вземем система от правоъгълни координати xou в тази равнина. Тогава, ако в началния момент t = струната е била разположена по оста Ox, тогава u ще означава отклонението на струната от равновесното положение, тоест позицията на точката на струната с абсцисата x в произволно време t съответства на стойността на функцията u(x, t). За всяка фиксирана стойност на t графиката на функцията u(x, t) представя формата на вибриращата струна в момент t (фиг. 32). При постоянна стойност на x функцията u(x, t) дава закона за движение на точка с абсцисата x по права линия, успоредна на оста Ou, производната u t е скоростта на това движение, а втората производна 2 u t 2 е ускорението. Ориз. 32. Сили, приложени към безкрайно малък участък от низ Нека напишем уравнение, на което функцията u(x, t) трябва да отговаря. За да направим това, правим някои по-опростяващи предположения. Ще приемем, че низът е абсолютно гъвкав.

59 coy, тоест ще приемем, че струната не издържа на огъване; това означава, че напреженията, възникващи в струната, винаги са насочени тангенциално към нейния моментен профил. Предполага се, че струната е еластична и подчинена на закона на Хук; това означава, че промяната в големината на силата на опън е пропорционална на промяната в дължината на струната. Да приемем, че низът е хомогенен; това означава, че неговата линейна плътност ρ е постоянна. Пренебрегваме външните сили. Това означава, че разглеждаме свободни колебания. Ще изучаваме само малки вибрации на струна. Ако обозначим с ϕ(x, t) ъгъла между оста на абсцисата и допирателната към низа в точката с абсцисата x в момента t, тогава условието за малки трептения е стойността на ϕ 2 (x, t) може да се пренебрегне в сравнение с ϕ (x, t), т.е. ϕ 2. Тъй като ъгълът ϕ е малък, то cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, следователно, стойността (u x x,) 2 също може бъде пренебрегван. От това веднага следва, че в процеса на трептене можем да пренебрегнем промяната в дължината на който и да е участък от струната. Действително, дължината на парче струна M 1 M 2, проектирано в интервала на оста x, където x 2 = x 1 + x, е равна на l = x 2 x () 2 u dx x. x Нека покажем, че при нашите предположения стойността на силата на опън T ще бъде постоянна по цялата струна. За целта вземаме част от низа M 1 M 2 (фиг. 32) в момент t и заменяме действието на изхвърлените части

60 kov от силите на опън T 1 и T 2. Тъй като според условието всички точки на струната се движат успоредно на оста Ou и няма външни сили, сумата от проекциите на силите на опън върху оста Ox трябва да е равно на нула: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Оттук, поради малкостта на ъглите ϕ 1 = ϕ(x 1, t) и ϕ 2 = ϕ(x 2, t), заключаваме, че T 1 = T 2. Означаваме общата стойност на T 1 = T 2 от T. Сега изчисляваме сумата от проекциите F u на същите сили върху оста Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Тъй като за малки ъгли sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t) и tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, уравнение (2) може да се пренапише като F u T (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Тъй като точката x 1 е избрана произволно, тогава F u T 2 u x2(x, t) x. След като се намерят всички сили, действащи върху сечението M 1 M 2, прилагаме към него втория закон на Нютон, според който произведението на масата и ускорението е равно на сумата от всички действащи сили. Масата на парче струна M 1 M 2 е равна на m = ρ l ρ x, а ускорението е равно на 2 u(x, t). Уравнението на Нютон за t 2 приема формата: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, където α 2 = T ρ е постоянно положително число. 6

61 Намалявайки с x, получаваме 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) В резултат на това получихме линейно хомогенно частно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Нарича се уравнение на вибрацията на струната или едномерно вълново уравнение. Уравнение (21) по същество е преформулиране на закона на Нютон и описва движението на струна. Но във физическата формулировка на проблема имаше изисквания краищата на струната да са фиксирани и позицията на струната в даден момент да е известна. Ще запишем тези условия в уравнения, както следва: а) ще приемем, че краищата на низа са фиксирани в точките x = и x = l, т.е. ще приемем, че за всички t отношенията u(, t) = , u(l, t ) = ; (22) b) ще приемем, че в момента t = позицията на низа съвпада с графиката на функцията f(x), т.е. ще приемем, че за всички x [, l] равенството u(x, ) = f( x); (23) c) ще приемем, че в момента t = точката на низа с абсцисата x има скорост g(x), т.е. ще приемем, че u (x,) = g(x). (24) t Отношенията (22) се наричат ​​гранични условия, а отношенията (23) и (24) се наричат ​​начални условия. Математически модел на свободната малка напречна 61

62 вибрации на струната е, че е необходимо да се реши уравнение (21) с гранични условия (22) и начални условия (23) и (24) Решение на уравнението на свободните малки напречни вибрации на струната по метода на Фурие< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Замествайки (25) в (21), получаваме: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Казва се, че е имало разделяне на променливите. Тъй като x и t не зависят едно от друго, лявата страна в (27) не зависи от x, но дясната страна не зависи от t и общата стойност на тези съотношения е 62

63 трябва да е постоянна, което означаваме с λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Така получаваме две обикновени диференциални уравнения: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) В този случай граничните условия (22) приемат формата X()T(t) = и X(l)T(t) =. Тъй като те трябва да бъдат изпълнени за всички t, t >, тогава X() = X(l) =. (3) Нека намерим решения на уравнение (28), удовлетворяващи гранични условия (3). Нека разгледаме три случая. Случай 1: λ >. Означаваме λ = β 2. Уравнението (28) приема формата X (x) β 2 X(x) =. Характеристичното му уравнение k 2 β 2 = има корени k = ±β. Следователно общото решение на уравнение (28) има формата X(x) = C e βx + De βx. Трябва да изберем константите C и D така, че да са изпълнени граничните условия (3), т.е. X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Тъй като β, то тази система от уравнения има единствено решение C = D =. Следователно X(x) и 63

64 u(x, t). Така в случай 1 получихме тривиално решение, което няма да разглеждаме по-нататък. Случай 2: λ =. Тогава уравнението (28) приема формата X (x) = и решението му очевидно се дава с формулата: X(x) = C x+d. Замествайки това решение в граничните условия (3), получаваме X() = D = и X(l) = Cl =, следователно C = D =. Следователно X(x) и u(x, t) и отново имаме тривиално решение. Случай 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 По-нататък ще присвоим на n само положителни стойности n = 1, 2,..., тъй като за отрицателни n ще се получат решения от същия вид (nπ). Стойностите λ n = са наречени собствени стойности, а функциите X n (x) = C n sin πnx собствени функции на диференциално уравнение (28) с гранични условия (3). Сега нека решим уравнение (29). За него характеристичното уравнение има вида k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Тъй като по-горе разбрахме, че нетривиални решения X(x) на уравнение (28) съществуват само при отрицателно λ, равно на λ = n2 π 2, именно тези λ ще разгледаме по-долу. Корените на уравнение (32) са k = ±iα λ, а решенията на уравнение (29) имат вида: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l където A n и B n са произволни константи. Замествайки формули (31) и (33) в (25), намираме конкретни решения на уравнение (21), които удовлетворяват гранични условия (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin pnx. l l l Въвеждайки множителя C n в скоби и въвеждайки обозначението C n A n = b n и B n C n = a n, пишем u n (X, T) като (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) sin pnx. (34) l l l 65

66 Вибрациите на струната, съответстващи на решенията u n (x, t), се наричат ​​естествени вибрации на струната. Тъй като уравнение (21) и гранични условия (22) са линейни и хомогенни, тогава линейна комбинация от решения (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l ще бъде a решение на уравнение (21), удовлетворяващо граничните условия (22) със специален избор на коефициентите a n и b n, което осигурява равномерно сближаване на реда. Сега избираме коефициентите a n и b n на решение (35) така, че то да удовлетворява не само граничните условия, но и началните условия (23) и (24), където f(x), g(x) са дадени функции ( освен това f() = f (l) = g() = g(l) =). Приемаме, че функциите f(x) и g(x) удовлетворяват условията за разлагане на Фурие. Замествайки стойността t = в (35), получаваме u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Диференцирайки серия (35) по отношение на t и замествайки t =, получаваме u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x) и това е разширението на функциите f(x) и g(x) в ред на Фурие. Следователно a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Замествайки изразите за коефициентите a n и b n в ред (35), получаваме решение на уравнение (21), което удовлетворява гранични условия (22) и начални условия (23) и (24). По този начин решихме проблема със свободните малки напречни вибрации на струната. Нека изясним физическия смисъл на собствените функции u n (x, t) на задачата за свободните вибрации на струна, дефинирана с формула (34). Нека го пренапишем така, където u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n Формула (37) показва, че всички точки на струната извършват хармонични трептения с една и съща честота ω n = πnα и фаза πnα δ n. Амплитудата на трептене зависи от l l абсцисата x на точката на струната и е равна на α n sin πnx. При такова трептене всички точки на струната едновременно достигат своето l максимално отклонение в една или друга посока и едновременно преминават равновесното положение. Такива трептения се наричат ​​стоящи вълни. Една стояща вълна ще има n + 1 фиксирани точки, дадени от корените на уравнението sin πnx = в интервала [, l]. Неподвижните точки се наричат ​​възли на стоящата вълна. В средата между възлите - l mi са точките, в които отклоненията достигат максимум; такива точки се наричат ​​антивъзли. Всяка струна може да има свои собствени трептения със строго определени честоти ω n = πnα, n = 1, 2,.... Тези честоти се наричат ​​собствени честоти на струната. Най-ниският l тон, който една струна може да произведе, се определя от себе си 67

68 ниска собствена честота ω 1 = π T и се нарича основен тон на струната. Останалите тонове, съответстващи на l ρ честоти ω n, n = 2, 3,..., се наричат ​​обертони или хармоници. За по-голяма яснота ще изобразим типичните профили на струна, излъчваща основния тон (фиг. 33), първия обертон (фиг. 34) и втория обертон (фиг. 35). Ориз. Фиг. 33. Профил на струната, която излъчва основния тон. Фиг. 34. Профил на струна, излъчваща първия обертон. Фиг. 35. Профил на струна, излъчваща втори обертон Ако струната извършва свободни вибрации, определени от началните условия, тогава функцията u(x, t) се представя, както може да се види от формула (35), като сума от индивидуални хармоници. По този начин произволно трептене 68

69-та струна е суперпозиция на стоящи вълни. В този случай естеството на звука на струната (тон, сила на звука, тембър) ще зависи от съотношението между амплитудите на отделните хармоници Сила, височина и тембър на звука Вибриращата струна възбужда въздушни вибрации, възприемани от човека ухо като звук, излъчван от струна. Силата на звука се характеризира с енергията или амплитудата на вибрациите: колкото по-голяма е енергията, толкова по-голяма е силата на звука. Височината на звука се определя от неговата честота или период на трептене: колкото по-висока е честотата, толкова по-висок е звукът. Тембърът на звука се определя от наличието на обертонове, разпределението на енергията върху хармониците, т.е. от метода на възбуждане на вибрации. Амплитудите на обертоновете, най-общо казано, са по-малки от амплитудата на основните, а фазите на обертоновете могат да бъдат произволни. Нашето ухо не е чувствително към фазата на трептения. Сравнете, например, двете криви на фиг. 36, заимстван от . Това е запис на звук със същия основен тон, извлечен от кларинет (а) и пиано (б). И двата звука не са прости синусоидални трептения. Основната честота на звука и в двата случая е една и съща и това създава един и същ тон. Но моделите на кривите са различни, защото различни обертонове се наслагват върху основния тон. В известен смисъл тези рисунки показват какво е тембър. 69

Уравнения от хиперболичен тип. Вибрации на безкрайна и полубезкрайна струна. Метод на Фурие Метод на Фурие Стоящи вълни 4 Лекция 4.1 Уравнения от хиперболичен тип. Флуктуации на безкрайно и полу-безкрайно

МОСКОВСКИЯ ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ НА ГРАЖДАНСКАТА АВИАЦИЯ V.M. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование MATI Руски държавен технологичен университет на името на К. Е. Циолковски

Министерство на образованието на Република Беларус Витебски държавен технологичен университет Тема. "Редове" Катедра "Теоретична и приложна математика". разработен от ст.н.с. Е.Б. Дунина. Основен

Федерална агенция по образованието Федерална държавна образователна институция за висше професионално образование ЮЖЕН ФЕДЕРАЛЕН УНИВЕРСИТЕТ R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Методически

Тема Редове на Фурие Практически урок Редове на Фурие в ортогонални системи от функции Пространство на частично непрекъснати функции Обобщен ред на Фурие 3 Неравенство на Бесел и сходимост на ред на Фурие Пространство

ТЕОРИЯ НА РЕДИТЕ Теорията на редовете е най-важният компонент на математическия анализ и намира както теоретични, така и множество практически приложения. Разграничаване на числови и функционални редове.

СЪДЪРЖАНИЕ Ред на Фурие 4 Понятието за периодична функция 4 Тригонометричен полином 6 3 Ортогонални системи от функции 4 Тригонометричен ред на Фурие 3 5 Ред на Фурие за четни и нечетни функции 6 6 Разлагане

Федерална агенция по образованието Московски държавен университет по геодезия и картография (МИИГАиК) МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ И ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА по курса ВИСША МАТЕМАТИКА

Лекция 4. Хармоничен анализ. Ред на Фурие Периодични функции. Хармоничен анализ В науката и технологиите често се налага да се справяме с периодични явления, т.е. такива, които се повтарят през

ТЕМА V СЕРИЯ НА ФУРИЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разширяване на периодична функция в ред на Фурие Много процеси, протичащи в природата и технологиите, имат свойствата да се повтарят на определени интервали. Такива процеси

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ ЗА ИЗЧИСЛВАНЕ НА ЗАДАЧИ ЗА КУРС ПО ВИСША МАТЕМАТИКА "ОБИКНОВЕНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ РЕД ДВОЙНИ ИНТЕГРАЛИ" ЧАСТ III ТЕМА РЕДА Съдържание Серия Числен ред Сходимост и дивергенция

6 Ред на Фурие 6 Ортогонални системи от функции Редът на Фурие по отношение на ортогонална система от функции Функциите ϕ () и ψ (), дефинирани и интегрируеми на отсечката [, ], се наричат ​​ортогонални на този сегмент, ако

ОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ. Интегрални суми и определен интеграл Нека функция y = f (), дефинирана на отсечката [, b ], където< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 Степенови редове 5 Степенови редове: дефиниция, област на сходимост

БЕЛАРУСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛТЕТ ПО ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАЦИЯ Катедра Висша математика Учебно помагало за студенти от Факултета по приложна математика и информатика

Нека разгледаме някои примери. Пример. Нека намерим сумата от безкрайна геометрична прогресия. Формулата за общия член на тази серия е a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. Нека изчислим частичните му суми. Ако q =, тогава

Задача 1.1. Намерете решения y = y(x) на диференциалното уравнение, които са неидентично нулеви в посочената област и удовлетворяват зададените гранични условия (проблема на Щурм-Лиувил) Решение: Помислете

Математически анализ Тема: Определен интеграл Неправилни интеграли Лектор Пахомова Е.Г. 2017 ГЛАВА II. Определен интеграл и неговите приложения 1. Определен интеграл и неговите свойства 1. Задачи,

Лекция 8 4 Задача на Щурм-Лиувил

Обяснения към текста: знакът се чете като "еквивалентен" и означава, че уравненията вдясно от знака и вляво от знака имат еднакъв набор от решения, знакът IR обозначава множеството от реални числа, знакът IN

82 4. Раздел 4. Функционални и силови редове 4.2. Урок 3 4.2. Урок 3 4.2.. Разлагане на Тейлър на функция ДЕФИНИЦИЯ 4.2.. Нека функцията y = f(x) е безкрайно диференцируема в някаква окръжност

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСИЯ ФЕДЕРАЛНА ДЪРЖАВНА БЮДЖЕТНА УЧЕБНА ИНСТИТУТА НА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ "САМАРСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ" Катедра "Приложна математика"

Федерална агенция за железопътен транспорт Уралски държавен университет за железопътен транспорт Катедра "Висша и приложна математика" Н. П. Чуев Елементи на хармоничния анализ Методически

Лекция 3 Серия на Тейлър и Маклорин Приложение на степенна серия Разширяване на функциите в серия на Тейлър и Маклорин За приложенията е важно да можете да разширите дадена функция в степенен ред, тези функции

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Лекция Преобразуване на Фурие Концепция за интегрална трансформация Методът на интегралните трансформации е един от мощните методи на математическата физика и е мощно решение

Интегрируемост на функция (според Риман) и определен интеграл Примери за решаване на задачи 1. Постоянната функция f(x) = C е интегрируема на , тъй като за всякакви дялове и всеки избор на точки ξ i

Аз разбира се, задача. Докажете, че функцията на Риман, ако 0, m m R(), ако, m, m 0, и дробът е неприводима, 0, ако е ирационална, е прекъсната във всяка рационална точка и непрекъсната във всяка ирационална. Решение.

1 2 Съдържание 1 Ред на Фурие 5 1.1 Тригонометричен ред на Фурие ............... 5 1.2 Само sin & cos ................. ........ 7 1.3 Ред на Фурие в комплексна форма............. 11 1.4 f(x) = c k?............. .........

УРАВНЕНИЯ НА МАТЕМАТИЧЕСКАТА ФИЗИКА 1. Частни диференциални уравнения

Лекция 4. Вълнови уравнения 1. Извеждане на уравнението на вибрациите на струната 2. Уравнение на надлъжните вибрации на прът 3. Начални условия, гранични условия 4. Постановка на задача 1. Извеждане на уравнение на вибрациите на струната

1. Електростатика 1 1. Електростатика Урок 6 Разделяне на променливи в декартови координати 1.1. (Задача 1.49) Равнината z = е заредена с плътност σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), където σ, α, β са константи.

Тема на модула Функционални последователности и серии Свойства на равномерната конвергенция на последователности и редове Силови серии Лекция Дефиниции на последователности от функции и редове Равномерно

Уравнения от параболичен тип. Метод за разделяне на променливите Еднородна гранична задача Функция на източника Нехомогенно уравнение на топлинна енергия 7 Лекция 7.1 Уравнения от параболичен тип. Метод на разделяне

Лекция Числова серия Признаци на сближаване Числова серия Признаци на сближаване Безкраен израз на числова последователност + + + +, съставен от членове на безкрайна, се нарича числов ред

35 7 Тригонометричен ред на Фурие Редове на Фурие за периодични функции с период T. Нека f(x) е частично непрекъсната периодична функция с период T. Разгледайте основната тригонометрична система

Факултет Металургия Катедра Висша математика

Катедра по математика и информатика Елементи на висша математика Учебно-методически комплекс за ученици от средно професионално образование, обучаващи се по дистанционни технологии Модул Диференциално смятане Съставител:

9. Антипроизводна и неопределен интеграл 9.. Нека функцията f() е дадена на интервала I R. Функцията F () се нарича антипроизводна функция f() на интервала I, ако F () = f() за произволно I, и антипроизводната

ДИФЕРЕНЦИАЦИЯ НА ФУНКЦИИТЕ НА ЕДНА ПРОМЕНЕНА Понятие за производна, нейното геометрично и физическо значение Проблеми, водещи до понятието за производна. Определение на допирателната S към правата y f (x) в точка A x ; f(

Уравнения от хиперболичен тип. Вибрации на безкрайна и полубезкрайна струна. Метод на д'Аламбер Безкраен низ. Формула на д'Аламбер Полу-безкраен низ 3 Лекция 3.1 Уравнения от хиперболичен тип.

Заглавие Въведение. Основни понятия .... 4 1. Интегрални уравнения на Волтера ... 5 Варианти за домашна работа .... 8 2. Резолвента на интегралното уравнение на Волтера. 10 опции за домашна работа.... 11

РЕДОВЕ. Числови линии. Основни дефиниции Нека бъде дадена безкрайна последователност от числа. Изразът (безкрайна сума) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= се нарича a числови серии. Числа

8. Степен ред 8. Функционална серия от вида c n (z) n, (8.) n= където c n е числова последователност, R е фиксирано число и z R се нарича степенен ред с коефициенти c n . Чрез промяна на променливите

~ ~ Неопределени и определени интеграли Понятието за антипроизводен и неопределен интеграл. Определение: Функция F се нарича антипроизводна по отношение на функция f, ако тези функции са свързани по следния начин

3724 РЕДА ОТ МНОЖЕСТВЕНИ И КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ 1 РАБОТА ПРОГРАМА ОТ РАЗДЕЛИ "ПОРЕД ОТ МНОЖЕСТВЕНИ И КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ" 11 Числови редове Понятието за числови ред Свойства на числови ред Необходим критерий за сходимост

ЯЖТЕ. РУДА МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ. ЦИФРОВ И ФУНКЦИОНАЛЕН СЕРИЯ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСИЯ SEI HPE "НОВОСИБИРСКИ ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ" Ye.M. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ.

ЛЕКЦИЯ N 7 .Мощност

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ

РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРИ Коментар Задачите с параметри са традиционно сложни задачи в структурата на ИЗПОЛЗВАНЕ, които изискват от кандидата не само да овладее всички методи и техники за решаване на различни

Диференциално смятане Въведение в математическия анализ Гранична последователност и функция. Разкриване на несигурности вътре. Производна на функцията. Правила за диференциране. Приложение на производното

Ред на Фурие Ортогонални системи от функции От гледна точка на алгебрата, равенството където са функции от даден клас и са коефициенти от R или C просто означава, че векторът е линейна комбинация от вектори B

1. Определен интеграл 1.1. Нека f е ограничена функция, дефинирана върху отсечката [, b] R. Разделянето на отсечката [, b] е набор от точки τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] така, че = x< x 1 < < x n 1

Ch Степенен ред a a a Ред от вида a a a a a () се нарича степенен ред, където a, са константи, наречени коефициенти на ред. Понякога се разглежда степенен ред с по-общ вид: a a (a) a (a ) a (a) (), където

Ред на Фурие от периодични функции с период 2π.

Серията на Фурие ви позволява да изучавате периодични функции, като ги разлагате на компоненти. Променливи токове и напрежения, премествания, скорост и ускорение на коляновите механизми и акустични вълни са типични практически приложения на периодичните функции в инженерните изчисления.

Разширението на редовете на Фурие се основава на предположението, че всички функции с практическо значение в интервала -π ≤ x ≤ π могат да бъдат изразени като конвергентен тригонометричен ред (ред се счита за сходен, ако последователността от частични суми, съставена от нейните членове, се сближава) :

Стандартна (=обичайна) нотация чрез сбора от sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

където a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. са реални константи, т.е.

Където за диапазона от -π до π коефициентите на реда на Фурие се изчисляват по формулите:

Коефициентите a o ,a n и b n се наричат Коефициенти на Фурие, и ако могат да бъдат намерени, тогава се извиква серия (1). близо до Фурие,съответстваща на функцията f(x). За серия (1) членът (a 1 cosx+b 1 sinx) се нарича първи или основна хармоника,

Друг начин да напишете серия е да използвате релацията acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Където a o е константа, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n = (a n 2 +b n 2) 1/2 са амплитудите на различните компоненти и е равно на a n \ u003d arctg a n /b n.

За серия (1) терминът (a 1 cosx + b 1 sinx) или c 1 sin (x + α 1) се нарича първия или основна хармоника,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) се нарича втори хармоники т.н.

За точно представяне на сложен сигнал обикновено се изисква безкраен брой термини. Въпреки това, в много практически задачи е достатъчно да се разгледат само първите няколко члена.

Ред на Фурие от непериодични функции с период 2π.

Разлагане на непериодични функции.

Ако функцията f(x) е непериодична, тогава тя не може да бъде разширена в ред на Фурие за всички стойности на x. Възможно е обаче да се дефинира ред на Фурие, представляващ функция във всеки диапазон с ширина 2π.

Като се има предвид непериодична функция, може да се състави нова функция, като се изберат f(x) стойности в рамките на определен диапазон и се повтарят извън този диапазон на интервали от 2π. Тъй като новата функция е периодична с период от 2π, тя може да бъде разширена в ред на Фурие за всички стойности на x. Например, функцията f(x)=x не е периодична. Ако обаче е необходимо да се разшири в ред на Фурие на интервала от 0 до 2π, тогава периодична функция с период от 2π се изгражда извън този интервал (както е показано на фигурата по-долу).

За непериодични функции като f(x)=x, сумата от редицата на Фурие е равна на стойността на f(x) във всички точки в дадения диапазон, но не е равна на f(x) за точки извън обхвата. За намиране на редицата на Фурие на непериодична функция в диапазона 2π се използва същата формула на коефициентите на Фурие.

Четни и нечетни функции.

Казват, че функцията y=f(x) дориако f(-x)=f(x) за всички стойности на x. Графиките на четните функции винаги са симетрични спрямо оста y (тоест, те са огледални). Два примера за четни функции: y=x 2 и y=cosx.

Казват, че функцията y=f(x) странно,ако f(-x)=-f(x) за всички стойности на x. Графиките на нечетните функции винаги са симетрични спрямо началото.

Много функции не са нито четни, нито нечетни.

Разлагане в ред на Фурие в косинуси.

Редът на Фурие на четна периодична функция f(x) с период 2π съдържа само косинусови членове (т.е. не съдържа синусови членове) и може да включва постоянен член. следователно,

където са коефициентите на реда на Фурие,

Редът на Фурие на нечетна периодична функция f(x) с период 2π съдържа само членове със синуси (т.е. не съдържа членове с косинуси).

следователно,

където са коефициентите на реда на Фурие,

Ред на Фурие на полупериод.

Ако дадена функция е дефинирана за диапазон, да речем от 0 до π, а не само от 0 до 2π, тя може да бъде разширена в серия само по отношение на синусите или само по отношение на косинусите. Полученият ред на Фурие се нарича близо до Фурие на половин цикъл.

Ако искате да получите разлагане Фурие на полупериод в косинусифункции f(x) в диапазона от 0 до π, тогава е необходимо да се състави четна периодична функция. На фиг. по-долу е функцията f(x)=x, изградена върху интервала от x=0 до x=π. Тъй като четната функция е симетрична спрямо оста f(x), ние начертаваме линията AB, както е показано на фиг. По-долу. Ако приемем, че извън разглеждания интервал, получената триъгълна форма е периодична с период 2π, тогава крайната графика има формата display. на фиг. По-долу. Тъй като е необходимо да се получи разширението на Фурие в косинуси, както преди, ние изчисляваме коефициентите на Фурие a o и a n

Ако трябва да получите синус полупериодно разширение на Фуриефункция f(x) в диапазона от 0 до π, тогава е необходимо да се състави нечетна периодична функция. На фиг. по-долу е функцията f(x)=x, изградена върху интервала от x=0 до x=π. Тъй като нечетната функция е симетрична по отношение на началото, ние конструираме линията CD, както е показано на фиг. Ако приемем, че извън разглеждания интервал полученият трионообразен сигнал е периодичен с период 2π, тогава крайната графика има вида, показан на фиг. Тъй като е необходимо да се получи разширението на Фурие на полупериод по синуси, както преди, ние изчисляваме коефициента на Фурие. б

Ред на Фурие за произволен интервал.

Разширяване на периодична функция с период L.

Периодичната функция f(x) се повтаря, когато x нараства с L, т.е. f(x+L)=f(x). Преходът от разглежданите по-рано функции с период 2π към функции с период L е доста прост, тъй като може да се извърши с промяна на променлива.

За да намерим редицата на Фурие на функцията f(x) в диапазона -L/2≤x≤L/2, въвеждаме нова променлива u, така че функцията f(x) да има период от 2π по отношение на u. Ако u=2πx/L, тогава x=-L/2 за u=-π и x=L/2 за u=π. Също така нека f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Редът на Фурие F(u) има формата

(Границите на интегриране могат да бъдат заменени с всеки интервал с дължина L, например от 0 до L)

Ред на Фурие на полупериод за функции, дадени в интервала L≠2π.

За заместването u=πx/L интервалът от x=0 до x=L съответства на интервала от u=0 до u=π. Следователно функцията може да се разшири в серия само по косинуси или само по синуси, т.е. в Ред на Фурие за половин цикъл.

Разширението в косинуси в диапазона от 0 до L има формата