Забележете, че по-нататък, без да губим общността, ще разгледаме случая на вектори в триизмерно пространство. В равнината разглеждането на векторите се извършва по подобен начин. Както беше отбелязано по-горе, всички резултати, известни от курса на линейната алгебра за алгебрични вектори, могат да бъдат пренесени в специалния случай на геометричните вектори. Така че нека го направим.

Нека векторите са фиксирани.

Определение.Сборът, където са някои числа, се нарича линейна комбинация от вектори. В този случай тези числа ще бъдат наречени коефициенти на линейната комбинация.

Ще ни интересува въпросът за възможността за равенство на линейна комбинация с нулев вектор. В съответствие със свойствата и аксиомите на векторните пространства става очевидно, че за всяка система от вектори има тривиален (нулев) набор от коефициенти, за които това равенство е валидно:

Възниква въпросът за съществуването за дадена система от вектори на нетривиален набор от коефициенти (сред които има поне един ненулев коефициент), за който е вярно споменатото равенство. В съответствие с това ще правим разлика между линейно зависими и независими системи.

Определение.Система от вектори се нарича линейно независима, ако има такъв набор от числа, сред които има поне едно ненулево, така че съответната линейна комбинация е равна на нулевия вектор:

Система от вектори се нарича линейно независима, ако е налице равенството

е възможно само в случай на тривиален набор от коефициенти:

Нека изброим основните свойства на линейно зависими и независими системи, доказани в хода на линейната алгебра.

1. Всяка система от вектори, съдържаща нулев вектор, е линейно зависима.

2. Нека в системата от вектори има линейно зависима подсистема. Тогава цялата система също е линейно зависима.

3. Ако една система от вектори е линейно независима, то всяка от нейните подсистеми също е линейно независима.

4. Ако в система от вектори има два вектора, единият от които се получава от другия чрез умножение по определено число, тогава цялата система е линейно зависима.

Теорема (критерий за линейна зависимост).Една система от вектори е линейно зависима, ако и само ако един от векторите на тази система може да бъде представен като линейна комбинация от другите вектори на системата.

Като се вземе предвид критерият за колинеарност на два вектора, може да се твърди, че критерият за тяхната линейна зависимост е тяхната колинеарност. За три вектора в пространството е вярно следното твърдение.

Теорема (критерий за линейна зависимост на три геометрични вектора).Три вектора и са линейно зависими, ако и само ако са компланарни.

Доказателство.

Трябва.Нека векторите , и са линейно зависими. Нека докажем тяхната съвместимост. След това, според общия критерий за линейна зависимост на алгебричните вектори, ние твърдим, че един от тези вектори може да бъде представен като линейна комбинация от други вектори. Нека например

Ако и трите вектора са приложени към общ произход, тогава векторът ще съвпадне с диагонала на успоредника, изграден върху векторите и . Но това означава, че векторите , и лежат в една и съща равнина, т.е. компланарен.

Адекватност.Нека векторите , и да бъде компланарна. Нека покажем, че те са линейно зависими. Първо, разгледайте случая, когато която и да е двойка от посочените вектори е колинеарна. В този случай, съгласно предишната теорема, системата от вектори , , съдържа линейно зависима подсистема и следователно самата тя е линейно зависима според свойство 2 на линейно зависими и независими системи от вектори. Нека сега нито една двойка от разглежданите вектори не е колинеарна. Прехвърляме и трите вектора в една равнина и ги довеждаме до общ произход. Начертайте през края на векторните линии, успоредни на векторите и . Нека буквата обозначава пресечната точка на правата, успоредна на вектора, с правата, върху която лежи векторът, а с буквата точката на пресичане на правата, успоредна на вектора, с правата, върху която лежи векторът. По дефиниция на сумата от вектори получаваме:

.

Тъй като векторът е колинеарен на ненулев вектор, съществува реално число, такова, че

Подобни съображения предполагат съществуването на реално число, такова че

В резултат на това ще имаме:

Тогава от общия критерий за линейната зависимост на алгебричните вектори получаваме, че векторите , , са линейно зависими. ■

Теорема (линейна зависимост на четири вектора).Всички четири вектора са линейно зависими.

Доказателство. Първо, разгледайте случая, когато всяка тройка от посочените четири вектора е компланарна. В този случай тази тройка е линейно зависима в съответствие с предходната теорема. Следователно, в съответствие със свойството на 2 линейно зависими и независими системи от вектори, и цялата четворка е линейно зависима.

Нека сега сред разглежданите вектори нито една тройка вектори не е компланарна. Нека приведем всичките четири вектора , , , в общо начало и начертаем равнини през края на вектора, успоредни на равнините, определени от двойки вектори, ; , ; , . Точките на пресичане на посочените равнини с линиите, върху които лежат векторите , и , се означават съответно с буквите , и . От определението на сумата от вектори следва, че

което, като се вземе предвид общия критерий за линейна зависимост на алгебричните вектори, казва, че и четирите вектора са линейно зависими. ■

Въведено от нас линейни операции върху векторидават възможност за създаване на различни изрази за векторни количестваи ги трансформирайте, като използвате свойствата, зададени за тези операции.

Въз основа на даден набор от вектори a 1 , ... и n , можете да съставите израз във формата

където a 1 , ... и n са произволни реални числа. Този израз се нарича линейна комбинация от вектори a 1 , ..., a n . Числата α i , i = 1, n , са линейни комбинирани коефициенти. Множеството от вектори също се нарича векторна система.

Във връзка с въведеното понятие за линейна комбинация от вектори възниква проблемът за описание на набора от вектори, който може да се запише като линейна комбинация от дадена система от вектори a 1 , ..., a n . Освен това въпросите за условията, при които има представяне на вектор под формата на линейна комбинация, и за уникалността на такова представяне, са естествени.

Определение 2.1.Векторите a 1 , ... и n се наричат линейно зависими, ако има такъв набор от коефициенти α 1 , ... , α n, че

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

и поне един от тези коефициенти е различен от нула. Ако посоченият набор от коефициенти не съществува, тогава векторите се извикват линейно независими.

Ако α 1 = ... = α n = 0, тогава очевидно α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Имайки предвид това, можем да кажем това: вектори a 1 , ... и n са линейно независими, ако от равенството (2.2) следва, че всички коефициенти α 1 , ... , α n са равни на нула.

Следващата теорема обяснява защо новата концепция се нарича терминът "зависимост" (или "независимост") и дава прост критерий за линейна зависимост.

Теорема 2.1.За да бъдат векторите a 1 , ... и n , n > 1 линейно зависими, е необходимо и достатъчно единият от тях да е линейна комбинация от останалите.

◄ Необходимост. Да приемем, че векторите a 1, ... и n са линейно зависими. Съгласно дефиниция 2.1 на линейна зависимост, в равенство (2.2) има поне един ненулев коефициент отляво, например α 1 . Оставяйки първия член от лявата страна на равенството, преместваме останалите в дясната страна, като сменяме техните знаци както обикновено. Разделяйки полученото равенство на α 1 , получаваме

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

тези. представяне на вектора a 1 като линейна комбинация от останалите вектори a 2 , ... и n .

Адекватност. Нека например първият вектор a 1 може да бъде представен като линейна комбинация от останалите вектори: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Прехвърляйки всички членове от дясната страна на лявата, получаваме a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, т.е. линейна комбинация от вектори a 1 , ... и n с коефициенти α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , равни на нулев вектор.В тази линейна комбинация не всички коефициенти са равни на нула. Съгласно дефиниция 2.1, векторите a 1, ... и n са линейно зависими.

Определението и критерият за линейна зависимост са формулирани по такъв начин, че предполагат наличието на два или повече вектора. Може обаче да се говори и за линейна зависимост на един вектор. За да реализираме тази възможност, вместо „векторите са линейно зависими“ трябва да кажем „системата от вектори е линейно зависима“. Лесно е да се види, че изразът "система от един вектор е линейно зависима" означава, че този единичен вектор е нула (има само един коефициент в линейна комбинация и той не трябва да е равен на нула).

Концепцията за линейна зависимост има проста геометрична интерпретация. Това тълкуване се изяснява от следните три твърдения.

Теорема 2.2.Два вектора са линейно зависими, ако и само ако са колинеарна.

◄ Ако векторите a и b са линейно зависими, тогава единият от тях, например a, се изразява през другия, т.е. a = λb за някакво реално число λ. Съгласно дефиниция 1.7 върши работавектори по число, векторите a и b са колинеарни.

Сега нека векторите a и b са колинеарни. Ако и двете са нула, тогава е очевидно, че са линейно зависими, тъй като всяка линейна комбинация от тях е равна на нулевия вектор. Нека един от тези вектори не е равен на 0, например векторът b. Означете с λ съотношението на дължините на векторите: λ = |а|/|b|. Колинеарните вектори могат да бъдат еднопосочнаили противоположни посоки. В последния случай сменяме знака на λ. След това, проверявайки дефиниция 1.7, виждаме, че a = λb. Съгласно теорема 2.1 векторите a и b са линейно зависими.

Забележка 2.1.В случай на два вектора, като се вземе предвид критерият за линейна зависимост, доказаната теорема може да се преформулира по следния начин: два вектора са колинеарни тогава и само ако единият от тях е представен като произведение на другия с число. Това е удобен критерий за колинеарност на два вектора.

Теорема 2.3.Три вектора са линейно зависими, ако и само ако са компланарен.

◄ Ако три вектора a, b, c са линейно зависими, тогава, съгласно теорема 2.1, един от тях, например a, е линейна комбинация от останалите: a = βb + γc. Нека комбинираме началото на векторите b и c в точка A. Тогава векторите βb, γc ще имат общ произход в точка A и паралелограм управлява тяхната сума,тези. вектор a, ще бъде вектор с началото A и край, което е върхът на паралелограм, изграден върху сумирани вектори. По този начин всички вектори лежат в една и съща равнина, тоест те са компланарни.

Нека векторите a, b, c са компланарни. Ако един от тези вектори е нула, тогава е очевидно, че ще бъде линейна комбинация от останалите. Достатъчно е всички коефициенти на линейната комбинация да са равни на нула. Следователно можем да приемем, че и трите вектора не са нула. Съвместим започнететези вектори в обща точка O. Нека техните краища са съответно точките A, B, C (фиг. 2.1). Начертайте линии през точка C, успоредни на линии, минаващи през двойки точки O, A и O, B. Означавайки пресечните точки като A" и B", получаваме успоредник OA"CB", следователно, OC" = OA" + OB " . Вектор OA" и ненулевият вектор a= OA са колинеарни и следователно първият от тях може да се получи чрез умножаване на второто по реално число α:OA" = αOA. По същия начин OB" = βOB , β ∈ R. В резултат получаваме, че OC" = α OA + βOB , т.е. векторът c е линейна комбинация от векторите a и b. Съгласно теорема 2.1, векторите a, b, c са линейно зависими.

Теорема 2.4.Всички четири вектора са линейно зависими.

◄ Доказателството следва същата схема като в теорема 2.3. Да разгледаме произволни четири вектора a, b, c и d. Ако един от четирите вектора е нула, или сред тях има два колинеарни вектора, или три от четирите вектора са компланарни, тогава тези четири вектора са линейно зависими. Например, ако векторите a и b са колинеарни, тогава можем да съставим тяхната линейна комбинация αa + βb = 0 с ненулеви коефициенти и след това да добавим останалите два вектора към тази комбинация, като вземем нули като коефициенти. Получаваме линейна комбинация от четири вектора, равни на 0, в които има ненулеви коефициенти.

По този начин можем да приемем, че сред избраните четири вектора няма нулеви, нито два са колинеарни, нито три са компланарни. За тяхно общо начало избираме точка O. Тогава краищата на векторите a, b, c, d ще бъдат някои точки A, B, C, D (фиг. 2.2). През точка D прокарваме три равнини, успоредни на равнините ОВС, OCA, OAB, и нека A", B", С" са точките на пресичане на тези равнини с правите OA, OB, OS, съответно. Получаваме паралелепипед OA"C"B"C" B"DA", а векторите a, b, c лежат върху ръбовете му, излизащи от връх O. Тъй като четириъгълникът OC"DC" е успоредник, то OD = OC" + OC " . От своя страна отсечката OS" е диагонален паралелограм OA"C"B", така че OC" = OA" + OB" и OD = OA" + OB" + OC" .

Остава да се отбележи, че двойките вектори OA ≠ 0 и OA" , OB ≠ 0 и OB" , OC ≠ 0 и OC" са колинеарни и следователно можем да изберем коефициентите α, β, γ, така че OA" = αOA , OB" = βOB и OC" = γOC . Накрая получаваме OD = αOA + βOB + γOC. Следователно, векторът OD се изразява чрез останалите три вектора и всичките четири вектора, съгласно теорема 2.1, са линейно зависими.

Необходимо условие за линейна зависимост на n функции.

Нека функциите , имат производни на границата (n-1).

Помислете за детерминанта: (1)

W(x) обикновено се нарича детерминанта на Wronsky за функции.

Теорема 1.Ако функциите са линейно зависими в интервала (a,b), тогава техният Wronskian W(x) е идентично равен на нула в този интервал.

Доказателство.Съгласно условието на теоремата, отношението

, (2) където не всички са равни на нула. Нека бъде . Тогава

(3). Разграничете тази идентичност n-1 пъти и,

замествайки вместо получените им стойности в детерминантата на Вронски,

получаваме:

В детерминантата на Вронски последната колона е линейна комбинация от предишните n-1 колони и следователно е равна на нула във всички точки от интервала (a, b).

Теорема 2.Ако функциите y 1 ,..., y n са линейно независими решения на уравнението L[y] = 0, всички коефициенти на което са непрекъснати в интервала (a,b), то коефициентът на Вронскиан на тези решения е различен от нула във всеки интервал от точки (a,b).

Доказателство.Да предположим обратното. Има X 0 , където W(X 0)=0. Съставяме система от n уравнения

Очевидно системата (5) има ненулево решение. Нека (6).

Нека съставим линейна комбинация от решения y 1 ,..., y n .

Y(x) е решение на уравнението L[y] = 0. В допълнение, . По силата на теоремата за уникалността, решението на уравнението L[y] = 0 с нулеви начални условия трябва да бъде само нула, ᴛ.ᴇ. .

Получаваме тождество, при което не всичко е равно на нула, което означава, че y 1 ,..., y n са линейно зависими, което противоречи на условието на теоремата. Следователно няма такава точка, където W(X 0)=0.

Въз основа на теорема 1 и теорема 2 можем да формулираме следното твърдение. За да бъдат n решения на уравнението L[y] = 0 линейно независими в интервала (a,b), е изключително важно и достатъчно техният Вронскиан да не изчезва в нито една точка от този интервал.

Следните очевидни свойства на Вронскиан също следват от доказаните теореми.

1. Ако Вронскианът на n решения на уравнението L[y] = 0 е равен на нула в една точка x = x 0 от интервала (a, b), в който всички коефициенти p i (x) са непрекъснати, то е равно на нула във всички ex точки на този интервал.
2. Ако Вронскианът на n решения на уравнението L[y] = 0 е различен от нула в една точка x = x 0 от интервала (a, b), тогава той е различен от нула във всички точки от този интервал.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, за линейността на n независими решения на уравнението L[y] = 0 в интервала (a,b), в който коефициентите на уравнението p i (x) са непрекъснати, е изключително важно и достатъчно тяхното Вронскиан да бъде различен от нула дори в една точка от този интервал.

Необходимо условие за линейна зависимост на n функции. - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "Необходимо условие за линейната зависимост на n функции." 2017 г., 2018 г.

-

Оборудване за разтоварване на кораба (бордово оборудване за обработка на товари) Лекция № 6 Тема: Товарно оборудване (Cargo gear) 6.1. Оборудване за обработка на кораби (бордово оборудване за обработка на товари). 6.2. Товарни кранове. 6.3. Рампа. Претоварването е движението на стоки към или от превозно средство. Много... .

- Товарни кранове

Сертификати Разпределение на задачите Инспекцията, сертифицирането и отговорността са разделени, както следва: &... .

- Познаваш ли го? Lo conoces?

Там - allá Тук - aqui В кафене - en el cafe На работа - en el trabajo На морето - en el mar 1. Знаете ли къде е кафенето? 2. Знаеш ли къде е Саша? 3. Знаете ли къде е библиотеката? 4. Знаете ли къде е Оля сега? 5. Знаете ли къде е Наташа сега? Добър ден! Аз... .

- Определяне на Zmin и Xmin от условието за липса на подбиване

Фиг.5.9. Относно рязането на зъбите на колелата. Нека разгледаме как коефициентът на срязване на релсата x е свързан с броя на зъбите, които могат да бъдат нарязани от релсата на колелото. Нека релсата е монтирана в позиция 1 (фиг. 5.9.). В този случай правата глава на стелажа ще пресече линията на зацепване N-N, включително ...

Def.Система от елементи x 1 ,…,x m lin. продукцията V се нарича линейно зависима, ако ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0), така че λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ .

Def.Система от елементи x 1 ,…,x m ∈ V се нарича линейно независима, ако от равенството λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.

Def.Елемент x ∈ V се нарича линейна комбинация от елементи x 1 ,…,x m ∈ V, ако ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ, така че x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

Теорема (критерий за линейна зависимост):Система от вектори x 1 ,…,x m ∈ V е линейно зависима тогава и само ако поне един вектор от системата е линейно изразен през останалите.

Док. Трябва:Нека x 1 ,…,x m е линейно зависима ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0), така че λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. Да предположим, че λ m ≠ 0, тогава

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Адекватност: Нека поне един от векторите е линейно изразен чрез другите вектори: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - са линейно независими.

Вент. условие на линейна зависимост:

Ако системата съдържа нулев елемент или линейно зависима подсистема, тогава тя е линейно зависима.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – линейно зависима система

1) Нека x 1 = θ, тогава това равенство е валидно за λ 1 =1 и λ 1 =…= λ m =0.

2) Нека λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 е линейно зависима подсистема ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . Тогава за λ 1 =0 получаваме също |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 е линейно зависима система.

Основа на линейно пространство. Координати на вектора в дадената основа. Координатите на сумите от вектори и произведението на вектор по число. Необходимо и достатъчно условие за линейна зависимост на система от вектори.

определение: Подредена система от елементи e 1, ..., e n от линейно пространство V се нарича основа на това пространство, ако:

A) e 1 ... e n са линейно независими

Б) ∀ x ∈ α 1 … α n, така че x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – разширение на елемента x в основата e 1, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ са координатите на елемента x в основата e 1, …, e n

теорема: Ако основата e 1, …, e n е дадена в линейното пространство V, тогава ∀ x ∈ V колоната с координати x в основата e 1, …, e n е еднозначно определена (координатите са еднозначно определени)

доказателство:Нека x=α 1 e 1 +…+ α n e n и x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, т.е. e 1, …, e n са линейно независими, тогава - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

теорема: нека e 1, …, e n е основата на линейното пространство V; x, y са произволни елементи от пространството V, λ ∈ ℝ е произволно число. Когато x и y се добавят, техните координати се добавят, когато x се умножава по λ, координатите на x също се умножават по λ.

доказателство: x= (e 1, …, e n) и y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Лема 1: (необходимо и достатъчно условие за линейната зависимост на система от вектори)

Нека e 1 …e n е основата на пространството V. Системата от елементи f 1 , …, f k ∈ V е линейно зависима, ако и само ако координатните колони на тези елементи в основата e 1, …, e n са линейно зависими

доказателство:разширете f 1 , …, f k в основата e 1, …, e n

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] т.е. λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = според изискванията.

13. Размерност на линейно пространство. Теорема за връзката между размерност и основа.
определение: Линейно пространство V се нарича n-мерно пространство, ако има n линейно независими елемента във V и система от произволни n + 1 елемента от пространството V е линейно зависима. В този случай n се нарича размерност на линейното пространство V и се означава dimV=n.

Линейно пространство се нарича безкрайномерно, ако ∀N ∈ ℕ в пространството V съществува линейно независима система, съдържаща N елемента.

теорема: 1) Ако V е n-мерно линейно пространство, тогава всяка подредена система от n линейно независими елемента от това пространство образува база. 2) Ако в линейното пространство V има основа, състояща се от n елемента, тогава размерността на V е равна на n (dimV=n).

доказателство: 1) Нека dimV=n ⇒ във V ∃ n линейно независими елементи e 1, …,e n . Доказваме, че тези елементи образуват основа, тоест доказваме, че ∀ x ∈ V може да бъде разширено по отношение на e 1, …,e n . Нека добавим x към тях: e 1, …,e n , x – тази система съдържа n+1 вектора, което означава, че е линейно зависима. Тъй като e 1,...,e n е линейно независимо, то по теорема 2 хлинейно изразено чрез e 1, …,e n т.е. ∃ ,…, така че x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Така че e 1, …,e n е основата на пространството V. 2) Нека e 1, …,e n е основата на V, така че има n линейно независими елемента във V ∃ n. Вземете произволни f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 елементи. Нека покажем тяхната линейна зависимост. Нека ги разделим по отношение на:

f m =(e 1, …,e n) = където m = 1,…,n Нека създадем матрица от координатни колони: A= Матрицата съдържа n реда ⇒ RgA≤n. Брой колони n+1 > n ≥ RgA ⇒ Колоните на матрица A (т.е. колони с координати f 1 ,…,f n ,f n +1) са линейно зависими. От лема 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 са линейно зависими ⇒ dimV=n.

Последица:Ако някоя основа съдържа n елемента, то всяка друга база на това пространство съдържа n елемента.

Теорема 2: Ако системата от вектори x 1 ,… ,x m -1 , x m е линейно зависима и нейната подсистема x 1 ,… ,x m -1 е линейно независима, тогава x m - се изразява линейно чрез x 1 ,… ,x m -1

доказателство: Защото x 1 ,… ,x m -1 , x m е линейно зависима, тогава ∃ , …, , ,

, …, | , | такъв, че . Ако , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 са линейно независими, което не може да бъде. Така че m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

В тази статия ще разгледаме:

• какво представляват колинеарни вектори;
• какви са условията за колинеарни вектори;
• какви са свойствата на колинеарните вектори;
• каква е линейната зависимост на колинеарните вектори.

Определение 1

Колинеарните вектори са вектори, които са успоредни на една и съща права или лежат на една и съща права.

Пример 1

Условия за колинеарни вектори

Два вектора са колинеарни, ако е вярно някое от следните условия:

• условие 1 . Векторите a и b са колинеарни, ако има число λ такова, че a = λ b ;
• условие 2 . Векторите a и b са колинеарни с еднакво съотношение на координатите:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• условие 3 . Векторите a и b са колинеарни, при условие че векторното произведение и нулевият вектор са равни:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Забележка 1

Условие 2 не е приложимо, ако една от векторните координати е нула.

Забележка 2

Условие 3 приложимо само за тези вектори, които са дадени в пространството.

Примери за задачи за изследване на колинеарността на векторите

Пример 1

Разглеждаме векторите a \u003d (1; 3) и b = (2; 1) за колинеарност.

Как да решим?

В този случай е необходимо да се използва 2-ро условие за колинеарност. За дадени вектори това изглежда така:

Равенството е погрешно. От това можем да заключим, че векторите a и b са неколинеарни.

Отговор : а | | б

Пример 2

Каква стойност m на вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) е необходима, за да бъдат векторите колинеарни?

Как да решим?

Използвайки второто колинеарно условие, векторите ще бъдат колинеарни, ако техните координати са пропорционални:

Това показва, че m = - 2.

Отговор: m = - 2 .

Критерии за линейна зависимост и линейна независимост на системите от вектори

Теорема

Система от вектори във векторно пространство е линейно зависима само ако един от векторите на системата може да бъде изразен чрез останалите вектори на системата.

Доказателство

Нека системата e 1 , e 2 , . . . , e n е линейно зависима. Нека запишем линейната комбинация на тази система, равна на нулевия вектор:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

при което поне един от коефициентите на комбинацията не е равен на нула.

Нека a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , н .

Разделяме двете страни на равенството на ненулев коефициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Означете:

A k - 1 a m , където m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В такъв случай:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

От това следва, че един от векторите на системата се изразява чрез всички останали вектори на системата. Което се изискваше да бъде доказано (p.t.d.).

Адекватност

Нека един от векторите бъде линейно изразен чрез всички останали вектори на системата:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Прехвърляме вектора e k в дясната страна на това равенство:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Тъй като коефициентът на вектора e k е равен на - 1 ≠ 0 , получаваме нетривиално представяне на нула чрез система от вектори e 1 , e 2 , . . . , e n , а това от своя страна означава, че дадената система от вектори е линейно зависима. Което се изискваше да бъде доказано (p.t.d.).

Последица:

• Системата от вектори е линейно независима, когато нито един от нейните вектори не може да бъде изразен чрез всички останали вектори на системата.
• Векторна система, която съдържа нулев вектор или два равни вектора, е линейно зависима.

Свойства на линейно зависими вектори

1. За 2- и 3-мерните вектори е изпълнено условието: два линейно зависими вектора са колинеарни. Два колинеарни вектора са линейно зависими.
2. За 3-мерните вектори е изпълнено условието: три линейно зависими вектора са компланарни. (3 компланарни вектора - линейно зависими).
3. За n-мерни вектори условието е изпълнено: n + 1 вектори винаги са линейно зависими.

Примери за решаване на задачи за линейна зависимост или линейна независимост на векторите

Пример 3

Нека проверим векторите a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 за линейна независимост.

Решение. Векторите са линейно зависими, тъй като размерността на векторите е по-малка от броя на векторите.

Пример 4

Нека проверим векторите a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 за линейна независимост.

Решение. Намираме стойностите на коефициентите, при които линейната комбинация ще бъде равна на нулевия вектор:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записваме векторното уравнение под формата на линейно:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ние решаваме тази система с помощта на метода на Гаус:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

От 2-ри ред изваждаме 1-ви, от 3-ти - 1-ви:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Извадете 2-ра от 1-вия ред, добавете 2-ра към 3-та:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

От решението следва, че системата има много решения. Това означава, че има ненулева комбинация от стойностите на такива числа x 1 , x 2 , x 3, за които линейната комбинация a , b , c е равна на нулевия вектор. Следователно векторите a , b , c са линейно зависими. ​​​​​​​

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter