Методът на Крамер се основава на използването на детерминанти при решаване на системи линейни уравнения. Това значително ускорява процеса на решение.
Методът на Крамер може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото има неизвестни във всяко уравнение. Ако детерминантата на системата не е равна на нула, тогава методът на Крамер може да се използва в решението; ако е равен на нула, тогава не може. В допълнение, методът на Крамер може да се използва за решаване на системи от линейни уравнения, които имат уникално решение.
Определение. Детерминантата, съставена от коефициентите на неизвестните, се нарича детерминанта на системата и се обозначава с (делта).
Детерминанти
се получават чрез заместване на коефициентите при съответните неизвестни със свободни членове:
;
.
Теорема на Крамер. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение, а неизвестното е равно на съотношението на детерминантите. Знаменателят съдържа детерминантата на системата, а числителят - детерминантата, получена от детерминанта на системата чрез замяна на коефициентите с неизвестното със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен порядък.
Пример 1Решете системата от линейни уравнения:
Според Теорема на Крамерние имаме:
И така, решението на система (2):
онлайн калкулатор, метод за решение на Крамер.
Три случая при решаване на системи от линейни уравнения
Както изглежда от Теореми на Крамер, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:
Първи случай: системата от линейни уравнения има уникално решение
(системата е последователна и категорична)
Втори случай: системата от линейни уравнения има безкраен брой решения
(системата е последователна и неопределена)
** 
,
тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.
Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения
(системата е непоследователна)
Така че системата млинейни уравнения с нпроменливи се извиква несъвместимиако няма решения и ставаако има поне едно решение. Нарича се съвместна система от уравнения, която има само едно решение сигурен, и повече от един несигурен.
Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер
Нека системата
.
Въз основа на теоремата на Крамер
………….
,
където 
-
системен идентификатор. Останалите детерминанти се получават чрез заместване на колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни членове:
Пример 2
.
Следователно системата е категорична. За да намерим неговото решение, изчисляваме детерминантите
По формулите на Крамер намираме:
Така че (1; 0; -1) е единственото решение на системата.
За да проверите решенията на системите от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, метода за решаване на Крамер.
Ако в системата от линейни уравнения няма променливи в едно или повече уравнения, тогава в детерминантата съответните им елементи са равни на нула! Това е следващият пример.
Пример 3Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:
.
Решение. Намираме детерминанта на системата:
Погледнете внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминанта са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим неговото решение, изчисляваме детерминантите за неизвестните
По формулите на Крамер намираме:
И така, решението на системата е (2; -1; 1).
За да проверите решенията на системите от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, метода за решаване на Крамер.
Най-горе на страницата
Продължаваме заедно да решаваме системи, използвайки метода на Крамер
Както вече споменахме, ако детерминантът на системата е равен на нула, а детерминантите за неизвестните не са равни на нула, системата е непоследователна, тоест няма решения. Нека илюстрираме със следния пример.
Пример 6Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:
Решение. Намираме детерминанта на системата:
Детерминантът на системата е равен на нула, следователно системата от линейни уравнения е или непоследователна и определена, или непоследователна, тоест няма решения. За да изясним, изчисляваме детерминантите за неизвестните
Детерминантите за неизвестните не са равни на нула, следователно системата е непоследователна, тоест няма решения.
За да проверите решенията на системите от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, метода за решаване на Крамер.
В задачи за системи от линейни уравнения има и такива, при които освен буквите, обозначаващи променливи, има и други букви. Тези букви означават някакво число, най-често реално число. На практика подобни уравнения и системи от уравнения водят до проблеми за намиране на общите свойства на всякакви явления и обекти. Тоест вие сте измислили някакъв нов материал или устройство и за да опишете неговите свойства, които са често срещани, независимо от размера или броя на копията, трябва да решите система от линейни уравнения, където вместо някои коефициенти за променливи има букви. Не е нужно да търсите далеч за примери.
Следващият пример е за подобен проблем, само броят на уравненията, променливите и буквите, обозначаващи някакво реално число, се увеличава.
Пример 8Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:
Решение. Намираме детерминанта на системата:
Намиране на детерминанти за неизвестни
1.1. Системи от две линейни уравнения и детерминанти от втори ред
Да разгледаме система от две линейни уравнения с две неизвестни:
Коефициенти 
с неизвестен 
и 
имат два индекса: първият показва номера на уравнението, вторият - номера на променливата.
Правилото на Крамер: Решението на системата се намира чрез разделяне на помощните детерминанти на главния детерминант на системата
,
Забележка 1.Използването на правилото на Крамер е възможно, ако детерминантата на системата 
не е равно на нула.
Забележка 2.Формулите на Крамер също могат да бъдат обобщени за системи от по-висок порядък.
Пример 1Решете система: 
.
Решение.
;
;
;
Преглед:
заключение:Системата е правилна: 
.
1.2. Системи от три линейни уравнения и детерминанти от трети ред
Да разгледаме система от три линейни уравнения с три неизвестни:
Детерминантата, съставена от коефициентите на неизвестните, се нарича системен квалификатор или главен квалификатор:
.
Ако 
тогава системата има уникално решение, което се определя от формулите на Крамер:
къде са детерминантите 
се наричат спомагателни и се получават от детерминанта 
като замени първата, втората или третата колона с колона със свободни членове на системата.
Пример 2Решете системата 
.
Нека формираме главните и спомагателните детерминанти:
Остава да разгледаме правилата за изчисляване на детерминантите от трети ред. Има три от тях: правилото за събиране на колони, правилото на Сарус и правилото за разлагане.
а) Правилото за добавяне на първите две колони към главния детерминант:
Изчислението се извършва, както следва: с техния знак са произведенията на елементите на главния диагонал и по паралелите към него, с противоположния знак, те вземат продуктите на елементите на вторичния диагонал и по паралелите към него .
б) правило на Сарус:
Със своя знак те вземат произведенията на елементите на главния диагонал и по паралелите към него, а липсващият трети елемент се взема от противоположния ъгъл. С противоположен знак те вземат продуктите на елементите на вторичния диагонал и по паралелите към него, третият елемент се взема от противоположния ъгъл.
в) Правилото за разширяване с елементи на ред или колона:
Ако 
, тогава .
Алгебрично събиранее детерминанта от по-нисък порядък, получена чрез изтриване на съответния ред и колона и отчитане на знака 
, където 
- номер на реда 
- номер на колона.
Например,
,
,
и т.н.
Нека изчислим спомагателните детерминанти според това правило 
и 
, разширявайки ги с елементите на първия ред.
След като изчислихме всички детерминанти, намираме променливите според правилото на Крамер:
Преглед:
заключение:системата е правилна: .
Основни свойства на детерминантите
Трябва да се помни, че детерминантата е номер, намерен по някои правила. Неговото изчисление може да бъде опростено, ако използваме основните свойства, които са валидни за детерминанти от произволен ред.
Свойство 1. Стойността на детерминанта няма да се промени, ако всичките му редове се заменят със съответните колони и обратно.
Операцията по замяна на редове с колони се нарича транспониране. От това свойство следва, че всяко твърдение, което е вярно за редовете на детерминанта, ще бъде вярно и за неговите колони.
Свойство 2. Ако два реда (колони) се разменят в детерминанта, тогава знакът на детерминантата ще се промени на противоположния.
Свойство 3. Ако всички елементи от който и да е ред от детерминанта са равни на 0, тогава детерминантът е равен на 0.
Свойство 4.
Ако елементите на низа на детерминанта се умножат (разделят) по някакво число 
, тогава стойността на детерминанта ще се увеличи (намали) в 
веднъж.
Ако елементите на който и да е ред имат общ фактор, тогава той може да бъде изваден от знака на детерминанта.
Свойство 5. Ако детерминантата има два еднакви или пропорционални реда, тогава такава детерминанта е равна на 0.
Свойство 6. Ако елементите на който и да е ред от детерминанта са сбор от два члена, тогава детерминантът е равен на сбора от двата детерминанта.
Свойство 7. Стойността на детерминанта не се променя, ако елементите на един ред се добавят към елементите на друг ред, умножени по същото число.
В този детерминант първо третият, умножен по 2, беше добавен към втория ред, след това вторият беше изваден от третата колона, след което вторият ред беше добавен към първия и третия, в резултат на което получихме много от нули и опрости изчислението.
Елементарнотрансформации детерминанта се наричат нейни опростявания поради използването на тези свойства.
Пример 1Изчисляване на детерминанта
Директното броене според едно от горните правила води до тромави изчисления. Ето защо е препоръчително да използвате свойствата:
а) извадете втория ред, умножен по 2, от първия ред;
б) извадете третия ред от втория ред, умножено по 3.
В резултат на това получаваме:
Нека разширим тази детерминанта по отношение на елементите на първата колона, която съдържа само един ненулев елемент.
.
Системи и детерминанти от по-високи порядки
система 
линейни уравнения с 
неизвестните могат да се запишат по следния начин:
За този случай също е възможно да се съставят главните и спомагателните детерминанти и да се определят неизвестните според правилото на Крамер. Проблемът е, че детерминантите от по-висок порядък могат да бъдат изчислени само чрез понижаване на реда и редуцирането им до детерминанти от трети порядък. Това може да стане чрез директно разлагане на редови или колонни елементи, както и чрез предварителни елементарни трансформации и по-нататъшно разлагане.
Пример 4Изчислете детерминанта от четвърти ред
Решениенамери по два начина:
а) чрез директно разширяване върху елементите от първия ред:
б) чрез предварителни трансформации и по-нататъшно разлагане
|
|
а) извадете ред 3 от ред 1 |
|
|
б) добавете ред II към ред IV |
Пример 5Изчислете детерминанта от пети ред, като получите нули в третия ред с помощта на четвърта колона
|
|
извадете втория от първия ред, извадете втория от третия и извадете втория, умножен по 2 от четвъртия. |
извадете третата от втората колона: 
извадете третия от втория ред: 
Пример 6Решете система:
Решение.Нека съставим детерминанта на системата и, прилагайки свойствата на детерминантите, да го изчислим:
(от първия ред изваждаме третия, а след това в получения детерминант от трети порядък от третата колона изваждаме първия, умножен по 2). Определящо 
следователно формулите на Крамер са приложими.
Нека изчислим останалите детерминанти:
Четвъртата колона се умножава по 2 и се изважда от останалата част
Четвъртата колона се изважда от първата и след това, умножена по 2, се изважда от втората и третата колона.
.
Тук бяха извършени същите трансформации като за 
.
.
Когато се намери 
първата колона беше умножена по 2 и извадена от останалите.
Според правилото на Крамер имаме:
След като заменим намерените стойности в уравненията, се уверяваме, че решението на системата е правилно.
2. МАТРИЦИ И ИЗПОЛЗВАНЕТО ИМ
ПРИ РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ НА ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ
Матрицата е правоъгълна таблица, съставена от числа.
Нека е дадена квадратна матрица от 2-ри порядък:
Детерминантата (или детерминантата) от 2-ри ред, съответстваща на тази матрица, е числото
Детерминантата (или детерминантата) от 3 реда, съответстващи на матрицата, се нарича число
Пример 1: Намерете детерминанти на матрици и
Система от линейни алгебрични уравнения
Нека е дадена система от 3 линейни уравнения с 3 неизвестни
Система (1) може да бъде записана в матрично-векторна форма
където A е матрицата на коефициентите
B - разширена матрица
X е желаният компонентен вектор;
Решаване на системи от уравнения по метода на Крамер
Нека е дадена система от линейни уравнения с две неизвестни:
Разгледайте решението на системи от линейни уравнения с две и три неизвестни с помощта на формулите на Крамер. Теорема 1. Ако главният детерминант на системата е различен от нула, тогава системата има решение, освен това уникално. Решението на системата се определя по формулите:
където x1, x2 са корените на системата от уравнения,
Основният детерминант на системата, x1, x2 - спомагателни детерминанти.
Спомагателни квалификации:
Решаване на системи от линейни уравнения с три неизвестни по метода на Крамер.
Нека е дадена система от линейни уравнения с три неизвестни:
Теорема 2. Ако главният детерминант на системата е различен от нула, тогава системата има решение, освен това уникално. Решението на системата се определя по формулите:
където x1, x2, x3 са корените на системата от уравнения,
Основният детерминант на системата,
x1, x2, x3 - помощни детерминанти.
Основният детерминант на системата се определя от:
Спомагателни квалификации:
- 1. Направете таблица (матрица) на коефициентите за неизвестни и изчислете главния определител.
- 2. Намерете - допълнителна детерминанта х, получена от замяната на първата колона с колона от свободни членове.
- 3. Намерете - допълнителна детерминанта y, получена от замяната на втората колона с колона от свободни членове.
- 4. Намерете - допълнителен детерминант z, получен от замяната на третата колона с колона от свободни членове. Ако главният детерминант на системата не е равен на нула, тогава се изпълнява стъпка 5.
- 5. Намерете стойността на променливата x по формулата x / .
- 6. Намерете стойността на променливата y по формулата y / .
- 7. Намерете стойността на променливата z по формулата z / .
- 8. Запишете отговора: x = ...; y=…, z=… .
В хода на решаване на задачи по висша математика много често се налага да изчисляване на детерминанта на матрицата. Детерминантата на матрицата се появява в линейната алгебра, аналитичната геометрия, математическия анализ и други клонове на висшата математика. По този начин човек просто не може да мине без умението за решаване на детерминанти. Също така, за самотестване, можете да изтеглите калкулатора за детерминанти безплатно, той няма да ви научи как да решавате детерминанти сам, но е много удобно, защото винаги е полезно да знаете правилния отговор предварително!
Няма да давам строга математическа дефиниция на детерминанта и като цяло ще се опитам да сведа до минимум математическата терминология, това няма да улесни повечето читатели. Целта на тази статия е да ви научи как да решавате детерминанти от втори, трети и четвърти ред. Целият материал е представен в проста и достъпна форма и дори пълен (празен) чайник по висша математика, след внимателно изучаване на материала, ще може правилно да реши детерминантите.
На практика най-често можете да намерите детерминанта от втори ред, например: , и детерминанта от трети ред, например: 
.
Детерминанта от четвърти ред 
също не е антика и ще стигнем до него в края на урока.
Надявам се всички да разберат следното:Числата вътре в детерминанта живеят сами и не може да става дума за изваждане! Не можете да разменяте номера!
(По-специално, възможно е да се извършват пермутации по двойки на редовете или колоните на детерминанта с промяна в нейния знак, но често това не е необходимо - вижте следващия урок Свойства на детерминанта и понижаване на неговия ред)
По този начин, ако е даден детерминант, тогава не докосвайте нищо вътре в него!
Нотация: Ако е дадена матрица 
, тогава неговият детерминант се означава с . Също така, много често детерминантата се обозначава с латинска буква или гръцка.
1)Какво означава да се реши (намери, разкрие) детерминанта?За да изчислите детерминанта, трябва да НАМЕРИТЕ ЧИСЛОТО. Въпросителните знаци в горните примери са напълно обикновени числа.
2) Сега остава да разберем КАК да намеря този номер?За да направите това, трябва да приложите определени правила, формули и алгоритми, които ще бъдат обсъдени сега.
Да започнем с детерминанта "две" до "две":
ТОВА ТРЯБВА ДА СЕ ЗАПОМНИ, поне за времето на изучаване на висша математика в университета.
Нека да разгледаме пример веднага:
Готов. Най-важното е, НЕ БЪРКАЙТЕ ЗНАКИТЕ.
Матричен детерминант три по триможе да се отвори по 8 начина, 2 от тях са прости и 6 са нормални.
Да започнем с две прости начини
Подобно на детерминанта „две по две“, детерминантата „три по три“ може да бъде разширена с помощта на формулата:
Формулата е дълга и е лесно да се направи грешка поради невнимание. Как да избегнем неудобните грешки? За това е изобретен втори метод за изчисляване на детерминанта, който всъщност съвпада с първия. Нарича се методът на Сарус или методът на "паралелни ленти".
Изводът е, че първата и втората колона се приписват отдясно на детерминанта и линиите са внимателно начертани с молив:
Факторите, разположени на "червените" диагонали, са включени във формулата със знак "плюс".
Факторите, разположени на "сините" диагонали, са включени във формулата със знак минус:
пример:
Сравнете двете решения. Лесно е да се види, че това е СЪЩОТО, просто във втория случай факторите на формулата са леко пренаредени и най-важното е, че вероятността да се направи грешка е много по-малка.
Сега разгледайте шестте нормални начина за изчисляване на детерминанта
Защо нормално? Защото в по-голямата част от случаите детерминантите трябва да се отварят по този начин.
Както можете да видите, детерминантата три по три има три колони и три реда.
Можете да решите детерминанта, като я разширите на всеки ред или на която и да е колона.
По този начин се оказва 6 начина, докато във всички случаи се използва от същия типалгоритъм.
Детерминантата на матрицата е равна на сбора от произведенията на елементите на реда (колона) и съответните алгебрични допълнения. Страхливо? Всичко е много по-просто, ще използваме ненаучен, но разбираем подход, достъпен дори за човек, който е далеч от математиката.
В следващия пример ще разширим детерминантата на първия ред.
За да направим това, имаме нужда от матрица от знаци: . Лесно е да се види, че знаците са разпръснати.
Внимание! Матрицата на знаците е мое собствено изобретение. Тази концепция не е научна, не е необходимо да се използва при окончателния дизайн на заданията, тя само ви помага да разберете алгоритъма за изчисляване на детерминанта.
Първо ще дам цялостното решение. Отново вземаме нашия експериментален детерминант и извършваме изчисления:
И основният въпрос: КАК да получите това от детерминанта „три по три“: 
?
И така, детерминантата "три по три" се свежда до трималки детерминанти, или както те също се наричат, НЕЛЕНОЛЕТНИ. Препоръчвам да запомните термина, особено след като е запомнящ се: минор - малък.
Веднага след като бъде избран методът за разширяване на детерминантата на първия ред, очевидно всичко се върти около него:
Елементите обикновено се гледат отляво надясно (или отгоре надолу, ако ще бъде избрана колона)
Да тръгваме, първо се занимаваме с първия елемент от низа, тоест с единицата:
1) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците: 
2) След това пишем самия елемент: 
3) МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, в които е първият елемент: 
Останалите четири числа образуват детерминантата "две по две", която се нарича НЕЗНАЧИТЕЛЕНдаден елемент (единица).
Преминаваме към втория елемент от линията.
4) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците:
5) След това пишем втория елемент: 
6) МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, съдържащи втория елемент: 
Е, третият елемент от първия ред. Никаква оригиналност
7) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците: 
8) Запишете третия елемент: 
9) МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, в които е третият елемент: 
Останалите четири числа се записват в малък определител.
Останалите стъпки не са трудни, тъй като вече знаем как да броим детерминантите „две по две“. НЕ БЪРКАЙТЕ ЗНАКИТЕ!
По същия начин, детерминантата може да бъде разширена върху всеки ред или върху всяка колона.Естествено и в шестте случая отговорът е един и същ.
Детерминантата "четири по четири" може да се изчисли по същия алгоритъм.
В този случай матрицата на знаците ще се увеличи:
В следващия пример разширих детерминантата на четвъртата колона:
А как се е случило, опитайте се да разберете сами. Повече информация ще дойде по-късно. Ако някой иска да реши детерминантата до края, верният отговор е: 18. За обучение е по-добре да отворите определителя в някоя друга колона или друг ред.
Да практикуваш, да разкриваш, да правиш изчисления е много добре и полезно. Но колко време ще отделите за голям детерминант? Няма ли по-бърз и по-надежден начин? Предлагам ви да се запознаете с ефективни методи за изчисляване на детерминанти във втория урок - Свойства на детерминанта. Намаляване на реда на детерминантата.
БЪДИ ВНИМАТЕЛЕН!
ФИЛИАЛ КОСТРОМА НА ВОЕННИЯ УНИВЕРСИТЕТ НА РЧБ ЗАЩИТА
Катедра "Автоматизация на командването и управлението"
Само за учители
"Аз одобрявам"
Началник отделение No9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
"____" ______________ 2004 г
доцент А. И. Смирнова
„ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
РЕШЕНИЕ НА СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ"
ЛЕКЦИЯ № 2/1
Обсъждано на заседанието на катедра No9
"____" ___________ 2004г
протокол № ___________
Кострома, 2004 г.
Въведение
Детерминанти от втори и трети ред.
Свойства на детерминантите. Теорема за разлагане.
Теорема на Крамер.
Заключение
литература
V.E. Шнайдер и др., Кратък курс по висша математика, том I, гл. 2, т.1.
СРЕЩУ. Щипачев, Висша математика, гл.10, стр.2.
ВЪВЕДЕНИЕ
Лекцията разглежда детерминанти от втори и трети ред, техните свойства. Както и теоремата на Крамер, която позволява решаване на системи от линейни уравнения с помощта на детерминанти. Детерминантите се използват и по-късно в темата "Векторна алгебра", когато се изчислява кръстосаното произведение на векторите.
1-ви учебен въпрос КВАЛИФИКАЦИИ НА ВТОРА И ТРЕТА
ПОРЪЧКА
Помислете за таблица с четири числа от формата
Числата в таблицата са обозначени с буква с два индекса. Първият индекс показва номера на реда, вторият индекс показва номера на колоната.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Детерминанта от втори редсе нарича израз като:
(1)
Числата a11, ..., a22 се наричат елементи на детерминанта.
Диагоналът, образуван от елементите a11; a22 се нарича главной, а диагоналът, образуван от елементите a12; a21 - отстрани.
Така детерминантата от втори ред е равна на разликата между произведенията на елементите на главния и вторичния диагонал.
Имайте предвид, че отговорът е число.
ПРИМЕРИ. Изчисли:
Помислете сега за таблица с девет числа, написани в три реда и три колони:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.Детерминанта от трети порядъкнаречен израз като:
Елементи a11; а22; a33 - образуват главния диагонал.
Числа а13; а22; a31 - образуват вторичен диагонал.
Нека изобразим схематично как се образуват термините с плюс и минус:
" + " " – "
Плюс включва: произведението на елементите на главния диагонал, другите два члена са произведението на елементите, разположени във върховете на триъгълници с основи, успоредни на главния диагонал.
Членовете с минус се образуват по същия начин по отношение на вторичния диагонал.
Това правило за изчисляване на детерминанта от трети порядък се нарича
право
ПРИМЕРИ. Изчислете по правилото на триъгълниците:
КОМЕНТАР. Детерминантите се наричат още детерминанти.
2-ри учебен въпрос СВОЙСТВА НА ОПРЕДЕЛИТЕЛИТЕ.
ТЕОРЕМА ЗА РАЗШИРЯВАНЕ
Свойство 1. Стойността на детерминанта няма да се промени, ако нейните редове се разменят със съответните колони.
.
Разширявайки и двата детерминанта, ние се убеждаваме в валидността на равенството.
Свойство 1 задава равенството на редовете и колоните на детерминанта. Следователно всички следващи свойства на детерминантата ще бъдат формулирани както за редове, така и за колони.
Свойство 2. Когато два реда (или колони) се разменят, детерминантата променя знака на противоположния, като запазва абсолютната стойност.
.
Свойство 3. Общият фактор на елементите на ред (или колона) може да бъде изваден от знака на детерминантата.
.
Свойство 4. Ако детерминантата има два еднакви реда (или колони), тогава тя е равна на нула.
Това свойство може да се докаже чрез директна проверка или да се използва свойство 2.
Означете детерминантата с D. Когато два еднакви първи и втори реда се разменят, той няма да се промени, а по второто свойство трябва да смени знака, т.е.
D \u003d - D Yu 2 D = 0 Yu D \u003d 0.
Свойство 5. Ако всички елементи на някакъв ред (или колона) са равни на нула, тогава детерминантата е равна на нула.
Този имот може да се разглежда като частен случай на имот 3 с
Свойство 6. Ако елементите на два реда (или колони) на детерминанта са пропорционални, тогава определителят е равен на нула.
.
Може да се докаже чрез директна проверка или чрез използване на свойства 3 и 4.
Свойство 7. Стойността на детерминантата няма да се промени, ако съответните елементи от друг ред (или колона) се добавят към елементите на всеки ред (или колона), умножени по същото число.
.
Доказва се чрез пряка проверка.
Използването на тези свойства в някои случаи може да улесни процеса на изчисляване на детерминанти, особено от трети порядък.
За това, което следва, имаме нужда от понятията за минорно и алгебрично допълнение. Разгледайте тези понятия, за да дефинирате третия ред.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.Незначителенна даден елемент от детерминанта от трети ред се нарича детерминанта от втори ред, получена от даден чрез изтриване на реда и колоната, в пресечната точка на които стои даденият елемент.
Минорът на елемента ai j се означава с Mi j . Така че за елемента a11 минор
Получава се чрез изтриване на първия ред и първата колона в детерминантата от трети ред.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.Алгебрично допълнение на детерминантния елементнаречете го минор, умножен по (-1)k , където k е сумата от номерата на редове и колони, в пресечната точка на които се намира дадения елемент.
Алгебричното допълнение на елемента ai j се означава с Ai j.
Така Аi j = .
Нека напишем алгебричните допълнения за елементите a11 и a12.
.
Полезно е да запомните правилото: алгебричното допълнение на елемент от детерминанта е равно на неговия минор със знак плюс, ако сумата от номерата на редовете и колоните, в които се намира елементът, е четна и със знак минус, ако тази сума е странна.
ПРИМЕР. Намерете минорни и алгебрични допълнения за елементи от първия ред на детерминанта:
Ясно е, че минорите и алгебричните допълнения могат да се различават само по знак.
Нека разгледаме без доказателство една важна теорема – теоремата за разлагането на детерминантата.
ТЕОРЕМА ЗА РАЗШИРЯВАНЕ
Детерминантата е равна на сбора от произведенията на елементите на всеки ред или колона и техните алгебрични допълнения.
Използвайки тази теорема, ние записваме разлагането на детерминантата от трети ред в първия ред.
.
Разширено: 
.
Последната формула може да се използва като основна при изчисляване на детерминанта от трети порядък.
Теоремата за разлагане ни позволява да сведем изчисляването на детерминанта от трети порядък до изчисляването на три детерминанта от втори ред.
Теоремата за разлагане дава втори начин за изчисляване на детерминантите от трети ред.
ПРИМЕРИ. Изчислете детерминантата, като използвате теоремата за разлагане.
бяха използвани разширения от втория ред.
Теоремата за декомпозицията също така позволява да се изчислят детерминанти от по-висок порядък, свеждайки ги до изчисляването на няколко детерминанти от трети или втори ред.
Така детерминанта от четвърти ред може да се сведе до изчисляването на четири детерминанта от трети порядък.
3-ти учебен въпрос ТЕОРЕМА НА КРАМЪР
Нека приложим разглежданата теория на детерминантите към решението на системи от линейни уравнения.
Система от две линейни уравнения с две неизвестни.
(3)
Тук x1, x2 са неизвестни;
a11, ..., a22 са коефициентите на неизвестните, номерирани с два индекса, където първият индекс означава номера на уравнението, а вторият индекс е номера на неизвестното.
b1, b2 са свободни членове.
Припомнете си, че решението на система (3) се разбира като двойка стойности x1, x2, които, когато се заменят и в двете уравнения, ги превръщат в истински равенства.
В случай, че системата има уникално решение, това решение може да бъде намерено с помощта на детерминанти от втори ред.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Детерминантата, съставена от коефициентите на неизвестните, се нарича системен детерминант.
Означете детерминантата на системата с D.
Колоните на детерминантата D съдържат съответно коефициентите при x1 и при x2.
Въвеждаме две допълнителни детерминанта, които се получават от детерминанта на системата, като заменим една от колоните с колона от свободни членове:
Разгледайте без доказателство следната теорема:
ТЕОРЕМА НА КРАМЪР(за случай n = 2)
Ако детерминантата D на система (3) е различна от нула (D № 0), тогава системата има уникално решение, което се намира по формулите:
(4)
Формулите (4) се наричат формули на Крамер.
ПРИМЕР. Решете системата с помощта на правилото на Крамер.
Отговор: x1 = 3; x2 = -1
2. Система от три линейни уравнения с три неизвестни:
(5)
В случай на уникално решение, система (5) може да бъде решена с помощта на детерминанти от трети ред.
Детерминантата на системата D има вида:
Въвеждаме три допълнителни детерминанта:
Теоремата е формулирана по подобен начин.
ТЕОРЕМА НА КРАМЪР (за случай n = 3)
Ако детерминантата D на система (5) е различна от нула, тогава системата има уникално решение, което се намира по формулите:
Формулите (6) са формулите на Крамер.
КОМЕНТАР. Г. Крамер (1704 – 1752) – швейцарски математик.
Забележете, че теоремата на Крамер е приложима, когато броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и когато детерминантата на системата D е различна от нула.
Ако детерминантата на системата е равна на нула, тогава в този случай системата може или да няма решения, или да има безкраен брой решения. Тези случаи се изследват отделно, те могат да бъдат намерени подробно в препоръчителната литература.
Отбелязваме само един случай:
Ако детерминантата на системата е равна на нула (D = 0) и поне една от допълнителните детерминанти е различна от нула, тогава системата няма решения (т.е. е непоследователна).
Теоремата на Крамер може да бъде обобщена до система от n линейни уравнения с n неизвестни.
Ако 
, тогава единственото решение на системата е
Формулите на Крамер:
Допълнителна квалификация 
се получава от детерминанта D, ако съдържа колона с коефициенти за неизвестно
xi се заменят с колона от свободни членове.
Забележете, че детерминантите D, D1, … , Dn са от порядък n.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Лекцията разгледа ново понятие – детерминантата, разгледа подробно детерминантите от втори и трети ред, често срещани в практиката. За детерминантата от трети ред са дадени два метода за изчисление. Разгледана е теоремата на Крамер, която дава практически начин за решаване на системи от линейни уравнения, за случая, когато решението е уникално. За повече информация по тази тема вижте препоръчителната литература.
Подобни резюмета:
Правила за произведението на матрица и вектор, намиране обратното на матрица и нейния детерминант. Елементарни трансформации на матрица: умножение по число, събиране, пермутация и изтриване на редове, транспониране. Решение на системата от уравнения по метода на Гаус.
В това резюме се разглеждат детерминанти от втори и трети ред, дават се примери за решаване на системи от уравнения по метода на детерминантите.
Определяне на алгебричното допълнение на елемента на детерминантата, матрицата, нейния размер и видове. Нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения. Решаване на системата от уравнения по метода на Крамер. Скаларни и векторни величини, техните примери, векторна декомпозиция.