Ciele lekcie:

• Zaviesť pojem rovnobežné roviny.
• Uvažujte a dokážte vety vyjadrujúce znamienko rovnobežnosti rovín a vlastnosti rovnobežných rovín.
• Dodržujte aplikáciu týchto teorémov pri riešení problémov.

Plán hodiny (napíšte na tabuľu):

I. Prípravná ústna práca.

II. Učenie nového materiálu:

1. Vzájomné usporiadanie dvoch rovín v priestore.
2. Definícia rovnobežných rovín.
3. Znamienko rovnobežných rovín.
4. Vlastnosť rovnobežných rovín.

III. Zhrnutie lekcie.

IV. Domáca úloha.

POČAS VYUČOVANIA

I. Ústna práca

Chcel by som začať lekciu citátom z Chaadaevovho filozofického listu:

„Odkiaľ pochádza táto zázračná sila analýzy v matematike? Faktom je, že myseľ tu funguje v úplnej poslušnosti tomuto pravidlu.

Toto podriadenie sa pravidlu zvážime v ďalšej úlohe. Na asimiláciu nového materiálu je potrebné zopakovať niektoré otázky. Ak to chcete urobiť, musíte vytvoriť vyhlásenie, ktoré vyplýva z týchto vyhlásení, a zdôvodniť svoju odpoveď:

II. Učenie sa nového materiálu

1. Ako môžu byť dve lietadlá umiestnené vo vesmíre? Aká je množina bodov patriacich do oboch rovín?

odpoveď:

a) zhodovať sa (potom sa budeme zaoberať jednou rovinou, nevyhovuje);
b) pretínajú, ;
c) nepretínajú sa (vôbec neexistujú žiadne spoločné body).

2. Definícia: Ak sa dve roviny nepretínajú, potom sa nazývajú rovnobežné.

3. Označenie:

4. Uveďte príklady rovnobežných rovín z prostredia

5. Ako zistiť, či sú nejaké dve roviny vo vesmíre rovnobežné?

odpoveď:

Môžete použiť definíciu, ale to nie je praktické, pretože nie je vždy možné určiť priesečník rovín. Preto je potrebné zvážiť podmienku postačujúcu na uplatnenie rovnobežnosti rovín.

6. Zvážte situácie:

b) ak ?

c) ak ?

Prečo v a) a b) je odpoveď: „nie vždy“, ale v c) „áno“? (Pretínajúce sa čiary definujú rovinu jedinečným spôsobom, čo znamená, že sú jednoznačne definované!)

Situácia 3 je znakom rovnobežnosti dvoch rovín.

7. Veta: Ak sú dve pretínajúce sa priamky jednej roviny rovnobežné s dvomi priamkami inej roviny, potom sú tieto roviny rovnobežné.

Vzhľadom na to:

dokázať:

dôkaz:

(Zápisy na výkrese aplikujú študenti).

1. Poznámka: . Podobne:
2. Nechajte: .
3. Máme: Podobne:
4. Dostávame: cez M prechádza rozpor s axiómou planimetrie.
5. Takže: zle, potom h. atď.

8. Riešenie č. 51 (Žiaci aplikujú označenia na výkres).

Vzhľadom na to:

dokázať:

dôkaz:

1 spôsob

1. Poďme stavať

2 spôsobom

Zadajte cez .

9. Zvážte dve vlastnosti rovnobežných rovín:

Veta: Ak dve rovnobežné roviny pretína tretia, potom sú čiary ich priesečníka rovnobežné.

(Žiaci sami dokresľujú a označujú kresbu).

Vzhľadom na to:

Dve roviny v priestore môžu byť rovnobežné alebo sa môžu pretínať, ako je uvedené v nasledujúcej tabuľke.

Dve pretínajúce sa roviny

Definícia: Dve roviny sa nazývajú pretínajúci sa, Ak oni nezhodujú a majú existujú spoločné body. Keď sa pretnú dve roviny, križovatka tieto lietadlá je priamka.

Dve rovnobežné roviny

Definícia: Dve roviny sa nazývajú rovnobežné, ak sú nemajú spoločné body.

Znaky rovnobežnosti dvoch rovín

Prvý znak rovnobežnosti dvoch rovín. Ak dve pretínajúce sa čiarypretínajúce sa čiary, ležiace v rovnakej rovine, resp sú paralelnésú paralelné dve priamky ležiace v inej rovine, potom sú také roviny rovnobežné.

Dôkaz . Zoberme si obrázok 1, ktorý znázorňuje roviny α a β

Priamky a a b ležia v rovine α a pretínajú sa v bode K . Priamky c a d ležia v rovine β a sú rovnobežné s priamkami a a b.

Prvý znak rovnobežnosti dvoch rovín dokážeme metódou „protirečenia“. Aby sme to dosiahli, predpokladáme, že roviny α a β nie sú rovnobežné. Preto sa roviny α a β musia pretínať a pretínať pozdĺž nejakej priamky. Priamku, pozdĺž ktorej sa roviny α a β pretínajú, označme písmenom l (obr. 2) a použijeme znamienko rovnobežnosti priamky a roviny.

Rovina α prechádza priamkou a rovnobežnou s priamkou c a pretína rovinu β pozdĺž priamky l. V dôsledku toho sme dospeli k záveru, že priamky a a l sú rovnobežné. Rovina α zároveň prechádza priamkou b rovnobežnou s priamkou d a pretína rovinu β pozdĺž priamky l. Odtiaľto na základe atribútu rovnobežnosti priamky a roviny usudzujeme, že priamky b a l sú rovnobežné. Dosiahli sme teda, že bodom K v rovine α prechádzajú dve priamky, a to priamky a a b , ktoré sú rovnobežné s priamkou l. Výsledný rozpor s axióma rovnobežných čiar umožňuje tvrdiť, že predpoklad, že sa roviny α a β pretínajú, je nesprávny. Dôkaz prvého kritéria pre rovnobežnosť dvoch rovín je dokončený.

Druhý znak rovnobežnosti dvoch rovín. Ak sú dve pretínajúce sa čiary ležiace v jednej rovine rovnobežné s inou rovinou, potom sú tieto roviny rovnobežné.

Dôkaz . Zoberme si obrázok 3, ktorý znázorňuje roviny α a β.

Na tomto obrázku sú znázornené aj priamky a a b, ktoré ležia v rovine α a pretínajú sa v bode K. Podľa predpokladu je každá z priamok a a b rovnobežná s rovinou β. Je potrebné dokázať, že roviny α a β sú rovnobežné.

Dôkaz tohto tvrdenia je analogický s dôkazom prvého kritéria, aby dve roviny boli rovnobežné, a nechávame to na čitateľa ako užitočné cvičenie.

Na našej stránke sa môžete zoznámiť aj so vzdelávacími materiálmi vypracovanými učiteľmi školiaceho strediska Resolventa pre prípravu na skúšku z matematiky.

individuálne hodiny s lektormi matematiky a ruštiny

Paralelnosť rovín je koncept, ktorý sa prvýkrát objavil v euklidovskej geometrii pred viac ako dvetisíc rokmi.

Hlavné charakteristiky klasickej geometrie

Zrod tejto vednej disciplíny sa spája so slávnym dielom starogréckeho mysliteľa Euklida, ktorý napísal brožúru „Počiatky“ v treťom storočí pred Kristom. Živly boli rozdelené do trinástich kníh najvyšší úspech v starovekej matematike a vysvetlil základné postuláty súvisiace s vlastnosťami rovinných figúr.

Klasická podmienka rovnobežnosti pre roviny bola formulovaná takto: dve roviny možno nazvať rovnobežnými, ak nemajú navzájom spoločné body. Toto bol piaty postulát euklidovskej práce.

Vlastnosti rovnobežných rovín

V euklidovskej geometrii je ich spravidla päť:

• Nehnuteľnosť jedna(popisuje rovnobežnosť rovín a ich jedinečnosť). Cez jeden bod, ktorý leží mimo konkrétnej danej roviny, môžeme nakresliť jednu a len jednu rovinu rovnobežnú s ním

• Nehnuteľnosť tri(inými slovami, nazýva sa to vlastnosť priamky pretínajúcej rovnobežnosť rovín). Ak jedna priamka pretína jednu z týchto rovnobežných rovín, pretína druhú.

• Nehnuteľnosť štyri(vlastnosť rovných čiar rezaných na rovinách navzájom rovnobežných). Keď sa dve rovnobežné roviny pretínajú s treťou (v akomkoľvek uhle), čiary ich priesečníka sú tiež rovnobežné

• Majetok piaty(vlastnosť, ktorá popisuje segmenty rôznych rovnobežných čiar, ktoré sú uzavreté medzi rovinami rovnobežnými navzájom). Segmenty týchto rovnobežných čiar, ktoré sú uzavreté medzi dvoma rovnobežnými rovinami, sú nevyhnutne rovnaké.

Rovnobežnosť rovín v neeuklidovských geometriách

Takýmito prístupmi sú najmä geometria Lobačevského a Riemanna. Ak sa Euklidova geometria realizovala na plochých priestoroch, tak Lobačevského geometria sa realizovala v negatívne zakrivených priestoroch (jednoducho zakrivených) a u Riemanna nachádza svoju realizáciu v pozitívne zakrivených priestoroch (inými slovami, gule). Je veľmi rozšírený stereotypný názor, že v Lobačevskom sa pretínajú rovnobežné roviny (a tiež priamky).

Nie je to však pravda. Zrodenie hyperbolickej geometrie sa skutočne spájalo s dôkazom Euklidovho piateho postulátu a so zmenou názorov naň, ale samotná definícia rovnobežných rovín a línií naznačuje, že sa nemôžu pretínať ani v Lobačevskom, ani v Riemannovi, bez ohľadu na to, v akých priestoroch sa nachádzajú. sa realizujú. A zmena názorov a formulácií bola nasledovná. Postulát, že bodom, ktorý neleží v danej rovine, môže byť nakreslená len jedna rovnobežná rovina, bol nahradený inou formuláciou: cez bod, ktorý neleží v danej rovine, aspoň dve priamky, ktoré ležia v rovnakú rovinu ako je daná a nepretína ju.

Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zloženie skúšky z matematiky o 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilová skúška matematiky. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, pasce a POUŽÍVAJTE tajomstvá. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Bank of FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh USE. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.