Fourierov rad je reprezentácia ľubovoľne prijatej funkcie s konkrétnou periódou ako rad. Vo všeobecnosti sa toto riešenie nazýva rozklad prvku na ortogonálnej báze. Rozšírenie funkcií vo Fourierovom rade je pomerne silným nástrojom na riešenie rôznych problémov vďaka vlastnostiam tejto transformácie pri integrácii, diferenciácii, ako aj pri posúvaní výrazu v argumente a konvolúcii.
Osoba, ktorá nie je oboznámená s vyššou matematikou, ako aj s prácami francúzskeho vedca Fouriera, s najväčšou pravdepodobnosťou nepochopí, čo sú tieto „série“ a na čo slúžia. Medzitým sa táto premena v našich životoch dosť zhustla. Používajú ho nielen matematici, ale aj fyzici, chemici, lekári, astronómovia, seizmológovia, oceánografi a mnohí ďalší. Pozrime sa tiež bližšie na diela veľkého francúzskeho vedca, ktorý urobil objav, ktorý predbehol svoju dobu.
Človek a Fourierova transformácia
Fourierova séria je jednou z metód (spolu s analýzou a inými) Tento proces nastáva vždy, keď človek počuje akýkoľvek zvuk. Naše ucho automaticky transformuje elementárne častice do elastického média, tie sa rozložia do radov (pozdĺž spektra) po sebe nasledujúcich hodnôt úrovne hlasitosti pre tóny rôznych výšok. Potom mozog premení tieto údaje na zvuky, ktoré sú nám známe. Toto všetko sa deje popri našej túžbe či vedomí samo od seba, no na pochopenie týchto procesov bude trvať niekoľko rokov štúdium vyššej matematiky.
Viac o Fourierovej transformácii
Fourierova transformácia môže byť uskutočnená analytickými, numerickými a inými metódami. Fourierove rady označujú číselný spôsob rozkladu akýchkoľvek oscilačných procesov - od morských prílivov a svetelných vĺn až po cykly slnečnej (a iných astronomických objektov) aktivity. Pomocou týchto matematických techník je možné analyzovať funkcie reprezentujúce akékoľvek oscilačné procesy ako sériu sínusových komponentov, ktoré idú od minima k maximu a naopak. Fourierova transformácia je funkcia, ktorá popisuje fázu a amplitúdu sínusoidov zodpovedajúcich konkrétnej frekvencii. Tento proces je možné použiť na riešenie veľmi zložitých rovníc, ktoré popisujú dynamické procesy, ktoré sa vyskytujú pod vplyvom tepelnej, svetelnej alebo elektrickej energie. Fourierove rady tiež umožňujú izolovať konštantné zložky v komplexných oscilačných signáloch, čo umožnilo správne interpretovať získané experimentálne pozorovania v medicíne, chémii a astronómii.
Odkaz na históriu
Zakladateľom tejto teórie je francúzsky matematik Jean Baptiste Joseph Fourier. Táto premena bola následne pomenovaná po ňom. Spočiatku vedec aplikoval svoju metódu na štúdium a vysvetlenie mechanizmov vedenia tepla - šírenia tepla v pevných látkach. Fourier navrhol, že pôvodné nepravidelné rozloženie možno rozložiť na najjednoduchšie sínusoidy, z ktorých každá bude mať svoje vlastné teplotné minimum a maximum, ako aj svoju fázu. V tomto prípade bude každý takýto komponent meraný od minima po maximum a naopak. Matematická funkcia, ktorá opisuje horný a dolný vrchol krivky, ako aj fázu každej z harmonických, sa nazýva Fourierova transformácia výrazu rozloženia teploty. Autor teórie zredukoval všeobecnú distribučnú funkciu, ktorú je ťažké matematicky opísať, na veľmi vhodný rad kosínusov a sínusov, ktorých súčet dáva pôvodné rozdelenie.
Princíp premeny a názory súčasníkov
Vedcovi súčasníci - poprední matematici začiatku devätnásteho storočia - túto teóriu neprijali. Hlavnou námietkou bolo Fourierovo tvrdenie, že nespojitú funkciu opisujúcu priamku alebo nespojitú krivku možno reprezentovať ako súčet sínusových výrazov, ktoré sú spojité. Ako príklad uvažujme Heavisideov „krok“: jeho hodnota je nula naľavo od medzery a jedna vpravo. Táto funkcia popisuje závislosť elektrického prúdu od časovej premennej pri uzavretí obvodu. Súčasníci vtedajšej teórie sa ešte nestretli s takou situáciou, keď by nespojitý výraz bol opísaný kombináciou spojitých, obyčajných funkcií, akými sú exponenciálna, sínusová, lineárna alebo kvadratická.
Čo zmiatlo francúzskych matematikov vo Fourierovej teórii?
Koniec koncov, ak mal matematik vo svojich tvrdeniach pravdu, potom sčítaním nekonečného trigonometrického Fourierovho radu možno získať presnú reprezentáciu stupňovitého výrazu, aj keď má veľa podobných krokov. Na začiatku devätnásteho storočia sa takéto vyhlásenie zdalo absurdné. Ale napriek všetkým pochybnostiam mnohí matematici rozšírili rozsah štúdia tohto javu a prekročili rámec štúdií tepelnej vodivosti. Väčšinu vedcov však naďalej trápila otázka: "Môže súčet sínusového radu konvergovať k presnej hodnote nespojitej funkcie?"
Konvergencia Fourierových radov: Príklad
Otázka konvergencie vzniká vždy, keď je potrebné sčítať nekonečné rady čísel. Aby ste pochopili tento jav, zvážte klasický príklad. Dokážete niekedy dosiahnuť na stenu, ak je každý nasledujúci krok polovičný ako ten predchádzajúci? Predpokladajme, že ste dva metre od cieľa, prvý krok vás priblíži k polovici, ďalší k trištvrtinám a po piatom kroku prejdete takmer 97 percent trasy. Avšak bez ohľadu na to, koľko krokov urobíte, nedosiahnete zamýšľaný cieľ v striktnom matematickom zmysle. Pomocou numerických výpočtov možno ukázať, že v konečnom dôsledku je možné priblížiť sa k ľubovoľne malej danej vzdialenosti. Tento dôkaz je ekvivalentný preukázaniu, že celková hodnota jednej polovice, jednej štvrtiny atď. bude mať tendenciu k jednej.
Otázka konvergencie: Druhý príchod alebo Spotrebič lorda Kelvina
Táto otázka bola znovu nastolená na konci devätnásteho storočia, keď sa Fourierove rady pokúšali použiť na predpovedanie intenzity prílivu a odlivu. V tom čase lord Kelvin vynašiel zariadenie, ktoré je analógovým výpočtovým zariadením, ktoré umožnilo námorníkom vojenskej a obchodnej flotily sledovať tento prírodný fenomén. Tento mechanizmus určoval súbory fáz a amplitúd z tabuľky výšok prílivu a odlivu a ich zodpovedajúcich časových momentov, starostlivo meraných v danom prístave počas roka. Každý parameter bol sínusovým komponentom vyjadrenia výšky prílivu a bol jedným z pravidelných komponentov. Výsledky meraní boli vložené do kalkulačky lorda Kelvina, ktorá syntetizovala krivku, ktorá predpovedala výšku vody ako funkciu času na nasledujúci rok. Veľmi skoro boli podobné krivky vypracované pre všetky prístavy sveta.
A ak je proces prerušený nespojitou funkciou?
V tom čase sa zdalo zrejmé, že prediktor prílivových vĺn s veľkým počtom počítacích prvkov dokáže vypočítať veľké množstvo fáz a amplitúd, a tak poskytnúť presnejšie predpovede. Napriek tomu sa ukázalo, že táto pravidelnosť nie je pozorovaná v tých prípadoch, keď slapový výraz, ktorý sa má syntetizovať, obsahoval ostrý skok, to znamená, že bol nespojitý. V prípade, že sa do prístroja zadávajú údaje z tabuľky časových momentov, potom vypočíta niekoľko Fourierových koeficientov. Pôvodná funkcia je obnovená vďaka sínusovým zložkám (podľa zistených koeficientov). Rozdiel medzi pôvodným a obnoveným výrazom možno merať v ktoromkoľvek bode. Pri opakovaných výpočtoch a porovnávaniach je vidieť, že hodnota najväčšej chyby neklesá. Sú však lokalizované v oblasti zodpovedajúcej bodu diskontinuity a majú tendenciu k nule v ktoromkoľvek inom bode. V roku 1899 tento výsledok teoreticky potvrdil Joshua Willard Gibbs z Yale University.
Konvergencia Fourierových radov a vývoj matematiky všeobecne
Fourierova analýza nie je použiteľná pre výrazy obsahujúce nekonečný počet zhlukov v určitom intervale. Vo všeobecnosti platí, že Fourierove rady, ak je pôvodná funkcia výsledkom skutočného fyzikálneho merania, vždy konvergujú. Otázky konvergencie tohto procesu pre špecifické triedy funkcií viedli k vzniku nových sekcií v matematike, napríklad teórie zovšeobecnených funkcií. Spája sa s menami ako L. Schwartz, J. Mikušinskij a J. Temple. V rámci tejto teórie bol vytvorený jasný a presný teoretický základ pre také výrazy ako Diracova delta funkcia (opisuje oblasť jednej oblasti sústredenú v nekonečne malom okolí bodu) a Heaviside „ krok“. Vďaka tejto práci sa Fourierove rady stali použiteľnými pri riešení rovníc a problémov, v ktorých sa objavujú intuitívne pojmy: bodový náboj, bodová hmotnosť, magnetické dipóly a tiež sústredené zaťaženie lúča.
Fourierova metóda
Fourierove rady v súlade s princípmi interferencie začínajú rozkladom zložitých foriem na jednoduchšie. Napríklad zmena tepelného toku sa vysvetľuje jeho prechodom cez rôzne prekážky z tepelne izolačného materiálu nepravidelného tvaru alebo zmena povrchu zeme - zemetrasenie, zmena dráhy nebeského telesa - vplyv napr. planét. Podobné rovnice popisujúce jednoduché klasické systémy sa spravidla elementárne riešia pre každú jednotlivú vlnu. Fourier ukázal, že zhrnutím jednoduchých riešení možno získať aj riešenia zložitejších problémov. Vyjadrené jazykom matematiky, Fourierove rady sú technikou na vyjadrenie výrazu ako súčtu harmonických – kosínus a sínusoidy. Preto je táto analýza známa aj ako „harmonická analýza“.
Fourierova séria - ideálna technika pred "vekom počítačov"
Pred vytvorením počítačovej technológie bola Fourierova technika najlepšou zbraňou v arzenáli vedcov pri práci s vlnovou povahou nášho sveta. Fourierov rad v komplexnej forme umožňuje riešiť nielen jednoduché problémy, ktoré možno priamo aplikovať na zákony Newtonovej mechaniky, ale aj základné rovnice. Väčšinu objavov newtonovskej vedy v devätnástom storočí umožnila iba Fourierova technika.
Fourierova séria dnes
S rozvojom počítačov sa Fourierove transformácie dostali na kvalitatívne novú úroveň. Táto technika je pevne zakorenená takmer vo všetkých oblastiach vedy a techniky. Príkladom je digitálny audio a video signál. Jeho realizácia bola možná len vďaka teórii vyvinutej francúzskym matematikom na začiatku devätnásteho storočia. Fourierova séria v komplexnej forme teda umožnila urobiť prelom v štúdiu vesmíru. Okrem toho to ovplyvnilo štúdium fyziky polovodičových materiálov a plazmy, mikrovlnnej akustiky, oceánografie, radaru a seizmológie.
Trigonometrické Fourierove rady
V matematike je Fourierov rad spôsob, ako reprezentovať ľubovoľné komplexné funkcie ako súčet jednoduchších. Vo všeobecnosti môže byť počet takýchto výrazov nekonečný. Navyše, čím viac sa pri výpočte zohľadňuje ich počet, tým presnejší je konečný výsledok. Najčastejšie sa ako najjednoduchšie používajú trigonometrické funkcie kosínus alebo sínus. V tomto prípade sa Fourierove rady nazývajú trigonometrické a riešenie takýchto výrazov sa nazýva expanzia harmonickej. Táto metóda hrá dôležitú úlohu v matematike. Po prvé, trigonometrické rady poskytujú prostriedky na obraz, ako aj na štúdium funkcií, sú hlavným aparátom teórie. Okrem toho umožňuje riešiť množstvo problémov matematickej fyziky. Napokon táto teória prispela k rozvoju a uviedla do života množstvo veľmi dôležitých úsekov matematickej vedy (teória integrálov, teória periodických funkcií). Okrem toho slúžil ako východiskový bod pre vývoj nasledujúcich funkcií reálnej premennej a tiež znamenal začiatok harmonickej analýzy.
nasleduje:1) nakreslite graf f(x) v intervale aspoň dvoch periód, aby sa ukázalo, že daná funkcia je periodická;
2) nakreslite graf S(x) podobne, aby bolo vidieť, v ktorých bodoch f(x)1S(x);
3) vypočítajte Fourierove koeficienty a zapíšte Fourierove rady.
Úlohy
№1. Expandujte vo Fourierovom rade
rozhodnutie. Všimni si f(x) uvedené na intervale dĺžky T = 4. Pretože f(x) sa predpokladá, že je periodické, potom je to toto číslo, ktoré je jeho periódou, potom - l = 2.
1) Graf f(x):
2) Graf S(x):
Šípky na koncoch riadkov ukazujú, že funkcia nenaberá na koncoch intervalu hodnotu určenú z výrazu uvedeného na intervale. Pri porovnávaní grafov f(x) a S(x) je jasne vidieť, že v bodoch diskontinuity f(x)¹S(x).
3) Vypočítajte Fourierove koeficienty. Dá sa to urobiť pomocou vzorcov (3*): ; ; . Presne tak: ; tak,
Rozklad f(x) vo Fourierovom rade má tvar:
Poznámky . 1) Pri integrácii na [-1;3] táto časť bola rozdelená na a , pretože na týchto segmentoch f(x) nastaviť na rôzne hodnoty.
2) Pri výpočte koeficientov boli použité integrály: a , kde a = konšt.
№2 . Expandujte vo Fourierovom rade
rozhodnutie. Tu T = 2, l = 1.
Fourierov rad má tvar: , kde ; ; , pretože l = 1.
1) Graf f(x):
2) Graf S(x):
№3. Expandujte vo Fourierovom rade z hľadiska sínusov
rozhodnutie. Všimnite si, že len nepárne funkcie sú rozšírené vo Fourierovom rade z hľadiska sínusov. Pretože f(x) definované len pre x > 0, xн(0;2)И(2;3), potom to znamená, že na symetrickom intervale (-3;-2)È(-2;0) f(x) musí pokračovať takým spôsobom, že rovnosť f(-x) = -f(x). Preto dĺžka intervalu, na ktorom f(x) zadaná ako nepárna funkcia, rovná sa 6. Preto T = 6, 1 = 3. Fourierov rad pre f(x) má tvar: , kde , n = 1, 2, 3, (podľa vzorcov (5“)).
1) Graf f(x).
Ak chcete nakresliť graf f(x) ako nepárnu funkciu najprv nakreslíme graf (0;2)È(2;3) a potom využiť skutočnosť, že graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok. Z týchto úvah dostaneme graf f(x) na (-3;-2)È(-2;0). Potom pokračujeme f(x) T = 6.
2) Graf S(x).
Rozvrh S(x) odlišný od grafu f(x) v bodoch zlomu funkcie f(x). Napríklad v t. x = 2f(x) nie je definovaný, ale S(x) má pri x=2 hodnota rovnajúca sa polovici súčtu jednostranných limitov funkcie f(x), presne tak: , kde , .
Takže potom rozklad f(x) vo Fourierovom rade má tvar: .
№4 . Expandujte vo Fourierovom rade v kosínusoch.
rozhodnutie. Všimnite si, že iba párne funkcie môžu byť rozšírené vo Fourierovom rade v kosínoch. Pretože f(x) nastaviť len pre x>0, xн(0;2)И(2;3], potom to znamená, že na symetrickom intervale [-3;-2)È(-2;0) f(x) musíme pokračovať tak, aby rovnosť platila: f(-x) = f(x). Preto dĺžka intervalu, na ktorom f(x) zadaná ako párna funkcia sa teda rovná 6 T = 6, 1 = 3. Fourierova séria má v tomto prípade tvar:
kde ; ; n=1,2,...(podľa vzorcov (4“)).
1) Graf f(x).
Ak chcete nakresliť graf f(x) ako párnu funkciu najskôr nakreslíme graf f(x) na (0;2)È(2;3] a potom využiť skutočnosť, že graf párnej funkcie je symetrický podľa osi y. Z týchto úvah dostaneme graf f(x) na [-3;-2)È(-2;0). Potom pokračujeme f(x) na celej číselnej osi ako periodická funkcia s bodkou T = 6.
Tu je graf f(x)čerpané z dvoch úplných období funkcie.
2) Graf S(x).
Rozvrh S(x) odlišný od grafu f(x) v bodoch zlomu funkcie f(x). Napríklad v t. x = 0 f(x) nie je definovaný, ale S(x) má význam: , teda graf S(x) nie je prerušená v x=0, na rozdiel od grafu f(x).
Rozklad f(x) vo Fourierovom rade v kosínusoch má tvar: .
№5. Expandujte vo Fourierovom rade f(x) = |x|, xn(-2;2)..
rozhodnutie. Podľa podmienok, f(x) je zapnutá rovnomerná funkcia (-2;2) ; tie. jeho Fourierov rad obsahuje iba kosínusy, kým T = 4, l = 2, ,
kde ; ; n = 1, 2,
1) Graf f(x):
2) Graf S(x):
3), pretože |x| = x pre x > 0.; .
Potom rozklad f(x) vo Fourierovom rade má tvar: . Všimnite si, že pri integrácii výrazov alebo , sa používa vzorec integrácie po častiach: , kde u=x; dv = cos(ax)dx alebo dv = sin(ax)dx.
№6. Rozšírte funkciu vo Fourierovom rade: a) v intervale (-?,?); b) v intervale (0, 2?); c) v intervale (0, ?) v rade sínusov.
rozhodnutie. a) Graf funkcie s 2? - periodické pokračovanie má tvar
Funkcia spĺňa podmienky Dirichletovej vety a preto ju možno rozšíriť do Fourierovho radu.
Vypočítajme Fourierove koeficienty. Keďže funkcia je párna, potom bn = 0 (n = 0, 1, 2,…) a (n = 0, 1, 2,…).
Na výpočet tohto integrálu sa používa vzorec pre integráciu po častiach do určitého integrálu. Dostaneme
Fourierov rad tejto funkcie má tvar . Na základe Dirichletovho testu tento rad predstavuje funkciu x2 v intervale (-?,?).
b) Interval (0, 2?) nie je symetrický vzhľadom na počiatok a jeho dĺžka je 2 l= 2?. Fourierove koeficienty vypočítame pomocou vzorcov:
Preto má Fourierov rad tvar . Na základe Dirichletovej vety rad konverguje k generujúcej funkcii v bodoch x?(0,2?) av bodoch 0 a 2? ohodnotiť. Graf súčtu série vyzerá takto
c) Funkcia rozšírená v sérii v zmysle sínusov musí byť nepárna. Preto danú funkciu x2 v (-π,π) predĺžime nepárnym spôsobom, t.j. zvážiť funkciu. Pre túto funkciu f(x) máme an = 0 (n = 0, 1, 2,...) a
Požadované rozšírenie má tvar .
Graf súčtu série vyzerá takto
Všimnite si, že v bodoch x = (-π, π) Fourierov rad konverguje k nule.
№7 Rozviňte vo Fourierovom rade funkciu zadanú graficky:
rozhodnutie . Získame explicitný výraz pre f(x). Grafom funkcie je priamka, vo forme použijeme rovnicu priamky. Ako je vidieť z nákresu, t.j. f(x) = x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.
Táto funkcia spĺňa podmienky Dirichletovho testu, takže sa rozširuje do Fourierovho radu. Vypočítajme Fourierove koeficienty ( l = 1):
; (n = 1, 2,...);
Fourierov rad pre funkciu f(x) má tvar
Predstavuje funkciu f(x) na -1< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.
№8. Rozviňte funkciu na trigonometrický Fourierov rad na segmente a označte funkciu, ku ktorej výsledný rad konverguje.
rozhodnutie. Nakreslite graf funkcie a pravidelne v ňom pokračujte bodkou alebo na celej osi. Pokračujúca funkcia má obdobie.
Skontrolujte podmienky pre dostatočné podmienky pre konvergenciu Fourierovho radu (Dini-Lipschitz, Jordan, Dirichlet).
Funkcia je v segmente po častiach monotónna: stále sa zvyšuje. V bodoch má funkcia diskontinuity prvého druhu.
Zistite, či je funkcia párna alebo nepárna: Funkcia nie je ani párna, ani nepárna.
a) ak je funkcia nastavená na
b) ak je funkcia nastavená na
Zostavte Fourierov rad funkcie: .
Zadajte funkciu, ku ktorej bude tento rad konvergovať, pomocou kritérií bodovej konvergencie: Podľa Dirichletovho kritéria Fourierov rad funkcie konverguje k súčtu:
№9. Rozšírte funkciu na Fourierov rad v zmysle sínusov a použite toto rozšírenie na nájdenie súčtu číselného radu.
rozhodnutie. Pokračujte vo funkcii párnym (nepárnym) spôsobom ďalej (- p,0) alebo (- l,0) a potom pravidelne s periódou 2 p alebo 2 l pokračovať vo funkcii na celú os.
Vo funkcii pokračujeme nepárnym spôsobom na a potom periodicky s bodkou pokračujeme na celej osi.
Nakreslite periodický graf pokračovania. Dostaneme funkciu formulára:
Skontrolujte podmienky pre dostatočné podmienky pre konvergenciu Fourierovho radu (Dini-Lipitz, Jordan, Dirichlet).
Funkcia je po častiach konštantná v intervale: rovná sa -1 on a 1 on. V bodoch má funkcia diskontinuity prvého druhu.
Vypočítajte Fourierove koeficienty:
Jeho Fourierove koeficienty sa vypočítavajú podľa vzorcov:
Zostavte Fourierov rad funkcie. .
Zadajte funkciu, ku ktorej bude tento rad konvergovať, pomocou kritérií bodovej konvergencie.
Podľa Dirichletovho testu Fourierov rad funkcie konverguje k súčtu:
Preto, keď
Nahradením hodnôt uveďte súčet daného číselného radu.
Za predpokladu, že vo výslednom rozklade zistíme,
odkiaľ, odkedy, .
№10. Napíšte Parsevalovu rovnosť pre funkciu a na základe tejto rovnosti nájdite súčet číselného radu .
rozhodnutie. Zistite, či je daná funkcia štvorcovou integrovateľnou funkciou na .
Funkcia je spojitá, a preto je integrovateľná na . Z rovnakého dôvodu je jeho štvorec integrovateľný na .
Vypočítajte Fourierove koeficienty pomocou vzorcov:
Keďže ide o nepárnu funkciu, jej Fourierove koeficienty sa vypočítavajú podľa vzorcov:
Vypočítajte integrál.
Napíšte Parsevalov vzorec:
Parsevalov vzorec má teda tvar
Po vykonaní prípadných aritmetických operácií na pravej a ľavej strane získate súčet daného číselného radu.
Vydelením oboch častí výslednej rovnosti číslom 144 zistíme: .
№11. Nájdite Fourierov integrál funkcie
a zostavte jeho graf.
rozhodnutie. Nakreslite funkciu.
Skontrolujte splnenie podmienok dostatočných podmienok pre konvergenciu Fourierovho integrálu (Dini, Dirichlet-Jordan alebo dôsledky z nich).
Funkcia je absolútne integrovateľná v intervale, spojitá pre a a má v bode diskontinuitu prvého druhu. Ďalej, pre a funkcia má konečnú deriváciu a pri nule sú konečné pravé a ľavé derivácie. Zistite, či je funkcia párna alebo nepárna. Funkcia nie je párna ani nepárna. ; .
Takže, resp.
Fourierov rad rozšírenie párnych a nepárnych funkcií rozšírenie funkcie danej na segmente do radu v zmysle sínusov alebo kosínus Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľnou periódou Komplexná reprezentácia Fourierovho radu Fourierov rad vo všeobecných ortogonálnych systémoch funkcií Fourierove rady v ortogonálnej sústave Minimálna vlastnosť Fourierových koeficientov Besselova nerovnosť Rovnosť Parseval Uzavreté sústavy Úplnosť a uzavretosť sústav
Rozšírenie Fourierovho radu párnych a nepárnych funkcií Funkcia f(x), definovaná na segmente \-1, kde I > 0, sa volá aj vtedy, ak je Graf párnej funkcie symetrický podľa osi y. Funkcia f(x) definovaná na segmente J, kde I > 0, sa nazýva nepárna, ak je graf nepárnej funkcie symetrický vzhľadom na počiatok. Príklad. a) Funkcia je párna na segmente |-jt, jt), keďže pre všetky x e b) Funkcia je nepárna, keďže rozšírenie Fourierovho radu párnych a nepárnych funkcií je rozšírenie funkcie danej na segmente v rade sínus alebo kosínus Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľnou periódou Komplexný zápis Fourierovho radu Fourierov rad vo všeobecných ortogonálnych sústavách funkcií Fourierov rad v ortogonálnej sústave Minimálna vlastnosť Fourierových koeficientov Besselova nerovnosť Parsevalova rovnosť Uzavreté sústavy Úplnosť a uzavretosť sústav ani do párne ani nepárne, keďže Nech je funkcia f(x) spĺňajúca podmienky vety 1 párna na úsečke x|. Potom za všetky t.j. /(g) cos nx je párna funkcia a f(x)sinnx je nepárna. Preto Fourierove koeficienty párnej funkcie /(x) budú rovnaké, preto Fourierov rad párnej funkcie má tvar f(x) sin nx je párna funkcia. Preto budeme mať Fourierov rad nepárnej funkcie má teda tvar Máme dvakrát Aplikovanie integrácie po častiach, dostaneme, že Fourierov rad tejto funkcie teda vyzerá takto: alebo v rozšírenej forme Táto rovnosť platí pre ľubovoľné x €, keďže v bodoch x = ±ir je súčet séria sa zhoduje s hodnotami funkcie f(x) = x2, keďže grafy funkcie f(x) = x a súčty výsledných sérií sú uvedené na obr. Komentujte. Táto Fourierova séria vám umožňuje nájsť súčet jedného z konvergentných číselných radov, konkrétne pre x \u003d 0 dostaneme, že Funkcia /(x) spĺňa podmienky vety 1, preto ju možno rozšíriť na Fourierov rad, ktorý vzhľadom na zvláštnosť tejto funkcie bude mať tvar Integrovanie po častiach, nájdeme Fourierove koeficienty. rad tejto funkcie má tvar Táto rovnosť platí pre všetkých x В bodov x - ±tg súčet Fourierovho radu sa nezhoduje s hodnotami funkcie / (x) = x, pretože sa rovná mimo segment [- *, n-] súčet série je periodickým pokračovaním funkcie / (x) \u003d x; jeho graf je znázornený na obr. 6. § 6. Rozšírenie funkcie danej na intervale do radu v sínusoch alebo kosínusoch Nech je ohraničená po častiach monotónna funkcia / daná na intervale . Hodnoty tejto funkcie na intervale 0| možno definovať rôznymi spôsobmi. Napríklad je možné definovať funkciu / na segmente mc] tak, že /. V tomto prípade sa hovorí, že) "je rozšírený na segment 0] rovnomerným spôsobom"; jeho Fourierov rad bude obsahovať iba kosínusy. Ak je však funkcia /(x) definovaná na segmente [-x, mc] tak, že /(, potom sa získa nepárna funkcia a potom hovoríme, že / "je rozšírená na segment [-*, 0 ] nepárnym spôsobom"; v tomto prípade bude Fourierov rad obsahovať iba sínus. Takže každá ohraničená po častiach monotónna funkcia /(x), definovaná na segmente , môže byť rozšírená na Fourierov rad v sínusoch aj v kosínoch.Príklad 1. Funkciu možno rozšíriť vo Fourierovom rade: a) o kosínusy; b) pozdĺž sínusov. M Táto funkcia so svojimi párnymi a nepárnymi rozšíreniami na segment |-x, 0) bude ohraničená a po častiach monotónna. a) Pokračujeme / (z) do segmentu 0) a) Pokračujeme j \ x) do segmentu (-m, 0 | rovnomerným spôsobom (obr. 7), potom jeho Fourierov rad i bude mať tvar P \u003d 1 kde sú Fourierove koeficienty rovnaké, resp. pre Preto, b) Pokračujme /(z) v segmente [-x,0] nepárnym spôsobom (obr. 8). Potom jeho Fourierov rad §7. Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľnou periódou Nech je funkcia fix) periodická s periódou 21,1 ^ 0. Aby sme ju rozšírili na Fourierov rad na intervale, kde I > 0, vykonáme zmenu premennej nastavením x = jt . Potom funkcia F(t) = / ^tj bude periodickou funkciou argumentu t s bodkou a možno ju rozšíriť na segment vo Fourierovom rade. Vrátime sa k premennej x, t.j. nastavením, získame , zostaneme v sila aj pre periodické funkcie s ľubovoľnou periódou 21. V platnosti zostáva najmä dostatočné kritérium pre rozšírenie funkcie do Fourierovho radu. Príklad 1. Rozviňte vo Fourierovom rade periodickú funkciu s periódou 21, danú na segmente [-/,/] vzorcom (obr. 9). Keďže táto funkcia je párna, jej Fourierov rad má tvar Nahradením nájdených hodnôt Fourierových koeficientov do Fourierovho radu dostaneme Všimneme si jednu dôležitú vlastnosť periodických funkcií. Veta 5. Ak má funkcia periódu T a je integrovateľná, potom pre ľubovoľné číslo a platí rovnosť m. To znamená, že integrálny žiadny segment, ktorého dĺžka sa rovná perióde T, má rovnakú hodnotu bez ohľadu na polohu tohto segmentu na reálnej osi. V skutočnosti urobíme zmenu premennej v druhom integráli, za predpokladu To dáva a teda Geometricky táto vlastnosť znamená, že v prípade plochy zatienenej na obr. 10 oblastí je navzájom rovnakých. Najmä pre funkciu f(x) s periódou získame pri Fourierovom rade expanzie párnych a nepárnych funkcií rozšírenie funkcie danej na segmente do radu v zmysle sínusov alebo kosínusov Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľná perióda Komplexná reprezentácia Fourierovho radu Fourierov rad vo všeobecných ortogonálnych systémových funkciách Fourierov rad v ortogonálnom systéme Minimálna vlastnosť Fourierových koeficientov Besselova nerovnosť Parsevalova rovnosť Systémy s uzavretou slučkou Úplnosť a uzavretosť systémov, ktoré Fourierove koeficienty periodickej funkcie f( x) s periódou 21 možno vypočítať pomocou vzorcov, kde a je ľubovoľné reálne číslo (všimnite si, že funkcie cos - a sin majú periódu 2/). Príklad 3. Rozviňte vo Fourierovom rade funkciu danú na intervale s periódou 2x (obr. 11). 4 Nájdite Fourierove koeficienty tejto funkcie. Vložením vzorcov zistíme, že pre Preto bude Fourierov rad vyzerať takto: V bode x = jt (bod nespojitosti prvého druhu) máme §8. Komplexný zápis Fourierovho radu V tejto časti sú použité niektoré prvky komplexnej analýzy (pozri kapitolu XXX, kde sú všetky operácie vykonávané tu s komplexnými výrazmi prísne odôvodnené). Nech funkcia f(x) spĺňa dostatočné podmienky na rozšírenie do Fourierovho radu. Potom na intervale x] môže byť reprezentovaný radom tvaru Pomocou Eulerových vzorcov Dosadením týchto výrazov do radu (1) namiesto cos nx a sin xy budeme mať Zavedieme nasledujúci zápis Potom rad (2) nadobúda tvar Fourierov rad (1) je teda prezentovaný v komplexnej forme (3). Nájdime výrazy pre koeficienty z hľadiska integrálov. Máme Podobne nájdeme Napokon vzorce pre с„, с_п a с môžeme zapísať takto: . . Koeficienty cn sa nazývajú komplexné Fourierove koeficienty funkcie Pre periodickú funkciu s bodkou) má komplexný tvar Fourierovho radu tvar hodnôt w, ak existujú limity Príklad. Rozšírenie funkcie periódy do komplexného Fourierovho radu Táto funkcia spĺňa dostatočné podmienky na rozšírenie do Fourierovho radu. Nech Nájdite komplexné Fourierove koeficienty tejto funkcie. Máme pre nepárne pre párne n, alebo skrátka. Dosadením hodnôt) nakoniec dostaneme Všimnite si, že tento rad možno zapísať aj takto: Fourierove rady vo všeobecných ortogonálnych systémoch funkcií 9.1. Ortogonálne sústavy funkcií Označme množinou všetkých (reálnych) funkcií definovaných a integrovateľných na intervale [a, 6] so štvorcom, t.j. tých, pre ktoré existuje integrál. Najmä všetky funkcie f(x), ktoré sú spojité na intervale [a , 6] patria do 6] a hodnoty ich Lebesgueových integrálov sa zhodujú s hodnotami Riemannových integrálov. Definícia. Systém funkcií, kde, sa nazýva ortogonálny na segmente [a, b\, ak podmienka (1) predpokladá najmä to, že žiadna z funkcií nie je zhodne rovná nule. Integrál sa chápe v zmysle Lebesgue. a kvantitu nazývame normou funkcie Ak máme v ortogonálnej sústave pre ľubovoľné n, potom sa sústava funkcií nazýva ortonormálna. Ak je sústava (y>n(x)) ortogonálna, potom sústava Príklad 1. Goniometrická sústava je na úsečke ortogonálna. Systém funkcií je ortonormálny systém funkcií na príklade 2. Systém kosínus a systém sínus je ortonormálny. Zavedieme zápis, že sú ortogonálne na intervale (0, f|, ale nie ortonormálne (pre I ∗ 2). Keďže ich normy sú COS, funkcie tvoria ortonormálny systém funkcií na segmente. Ukážme napr. napríklad, že Legendreove polynómy sú ortogonálne. Nech m > n. V tomto prípade integrovaním n-krát po častiach nájdeme, keďže pre funkciu t/m = (z2 - I)m, všetky derivácie až do rádu m - I vrátane miznú na koncoch segmentu [-1,1). Definícia. Systém funkcií (pn(x)) sa nazýva ortogonálny na intervale (a, b) s presahom p(x), ak: 1) existujú integrály pre všetky n = 1,2,... Tu sa predpokladá, že váhová funkcia p(x) je definovaná a kladná všade na intervale (a, b), možno s výnimkou konečného počtu bodov, kde p(x) môže zaniknúť. Po vykonaní diferenciácie vo vzorci (3) nájdeme. Dá sa ukázať, že Čebyševovo-Hermitove polynómy sú ortogonálne na intervale Príklad 4. Systém Besselových funkcií (jL(pix)^ je ortogonálny na intervale núl Besselovho funkčného systému Nech ortogonálny systém funkcií v intervale (a, 6) a nech rad (cj = const) konverguje na tomto intervale k funkcii f(x): V dôsledku ortogonality systému dostaneme, že Táto operácia má vo všeobecnosti čisto formálny charakter. Avšak v niektorých prípadoch, napríklad keď rad (4) konverguje rovnomerne, všetky funkcie sú spojité a interval (a, 6) je konečný, je táto operácia legálna. Teraz je však pre nás dôležitý formálny výklad. Povedzme teda, že je daná funkcia. Čísla c * utvoríme podľa vzorca (5) a zapíšeme Rad na pravej strane nazývame Fourierovým radom funkcie f (x) vzhľadom na sústavu (^n (n)) - Čísla Cn sú nazývané Fourierove koeficienty funkcie f (x) v tomto systéme. Znamienko ~ vo vzorci (6) znamená iba to, že čísla Cn súvisia s funkciou f(x) vzorcom (5) (v tomto prípade sa nepredpokladá, že rad napravo vôbec konverguje, tým menej konverguje na funkciu f(x)). Preto prirodzene vyvstáva otázka: aké sú vlastnosti tejto série? V akom zmysle "predstavuje" funkciu f(x)? 9.3. Definícia priemernej konvergencie. Postupnosť konverguje k prvku ] v priemere, ak je norma v priestore Veta 6. Ak postupnosť ) konverguje rovnomerne, potom konverguje aj v priemere. M Nech postupnosť ()) rovnomerne konverguje na segmente [a, b] k funkcii f(x). To znamená, že pre akékoľvek, pre všetky dostatočne veľké n, máme Odtiaľ, z čoho vyplýva naše tvrdenie. Opak nie je pravdou: postupnosť () môže konvergovať v priemere k /(x), ale nemusí byť rovnomerne konvergentná. Príklad. Uvažujme postupnosť nx Je ľahké vidieť, že táto konvergencia však nie je jednotná: existuje e, napríklad také, že bez ohľadu na to, aké veľké je n, na intervale Fourierovho radu pre funkciu s ľubovoľnou periódou Komplexný zápis funkcie Fourierov rad Fourierov rad vo všeobecných ortogonálnych systémoch funkcií Fourierov rad v ortogonálnom systéme Minimálna vlastnosť Fourierových koeficientov Besselova nerovnosť Parsevalova rovnosť Uzavreté systémy Úplnosť a uzavretosť systémov a nech ) v ortonormálnom systéme b Uvažujme lineárnu kombináciu, kde n ^ 1 je pevné celé číslo a nájdite hodnoty konštánt, pre ktoré má integrál svoju minimálnu hodnotu. Napíšme si to podrobnejšie Integrovaním člen po člene, vzhľadom na ortonormalitu systému, dostaneme Prvé dva členy na pravej strane rovnosti (7) sú nezávislé a tretí člen je nezáporný. Preto integrál (*) nadobudne minimálnu hodnotu pri ak = sk. Integrál sa nazýva aproximácia strednej hodnoty funkcie f(x) ako lineárna kombinácia Tn(x). Aproximácia odmocniny funkcie /\ teda nadobúda minimálnu hodnotu, keď. keď Tn(x) je 71. čiastkový súčet Fourierovho radu funkcie /(x) v systéme (. Nastavením ak = ck, z (7) dostaneme Rovnosť (9) sa nazýva Besselova identita. Od jej ľavice strana je nezáporná, potom z nej vyplýva Besselova nerovnosť Keďže i je tu ľubovoľné, Besselovu nerovnosť možno znázorniť v zosilnenom tvare, t.j. pre ľubovoľnú funkciu / séria druhých mocnínových Fourierových koeficientov tejto funkcie v ortonormálnom systéme ) konverguje . Keďže systém je ortonormálny na intervale [-x, r], potom nerovnosť (10), preložená do obvyklého zápisu trigonometrického Fourierovho radu, dáva vzťah do platný pre akúkoľvek funkciu f(x) s integrovateľným štvorcom. Ak je f2(x) integrovateľné, potom na základe nevyhnutnej podmienky pre konvergenciu radu na ľavej strane nerovnosti (11) to dostaneme. Parsevalova rovnosť Pre niektoré systémy (^n(x)) možno znak nerovnosti vo vzorci (10) nahradiť (pre všetky funkcie f(x) 6 x) znakom rovnosti. Výsledná rovnosť sa nazýva Parseval-Steklovova rovnosť (podmienka úplnosti). Besselova identita (9) nám umožňuje zapísať podmienku (12) v ekvivalentnej forme podľa vesmírnej normy 6]. Definícia. Ortonormálny systém ( sa nazýva úplný v b2[ay b], ak je možné ľubovoľnú funkciu aproximovať s akoukoľvek presnosťou v priemere lineárnou kombináciou tvaru s dostatočne veľkým počtom členov, t. j. ak pre akúkoľvek funkciu f(x) € b2[a, b\ a pre ľubovoľné e > 0 existuje prirodzené číslo nq a čísla a\, a2y... také, že č. Veta 7. Ak je systém ) úplný v priestore ortonormalizáciou, Fourierov rad ktorákoľvek funkcia / v tomto systéme konverguje k f( x) v priemere, t.j. podľa normy Dá sa ukázať, že goniometrický systém je v priestore úplný, z čoho vyplýva tvrdenie. Veta 8. Ak funkcia /0 jej trigonometrický Fourierov rad k nej konverguje v priemere. 9.5. uzavreté systémy. Úplnosť a uzavretosť systémov Definícia. Ortonormálny systém funkcií \, sa nazýva uzavretý, ak v priestore Li\a, b) neexistuje žiadna nenulová funkcia ortogonálna ku všetkým funkciám.V priestore L2\a, b\ pojmy úplnosti a uzavretosti ortonormálnych systémov. zhodovať sa. Cvičenia 1. Rozšírte funkciu vo Fourierovom rade v intervale (-i-, x) 2. Rozšírte funkciu vo Fourierovom rade v intervale (-r, r) 3. Rozšírte funkciu vo Fourierovom rade v intervale (-r, r) 4. Expandujte vo Fourierovom rade v intervale (-jt, r) funkcia 5. Rozšírte vo Fourierovom rade v intervale (-r, r) funkciu f(x) = x + x. 6. Rozviňte vo Fourierovom rade v intervale (-jt, r) funkciu n 7. Rozbaľte vo Fourierovom rade v intervale (-r, x) funkciu / (x) \u003d sin2 x. 8. Rozšírte vo Fourierovom rade v intervale (-m, jt) funkciu f(x) = y 9. Rozšírte vo Fourierovom rade v intervale (-mm, -k) funkciu f(x) = | sinx|. 10. Rozšírte vo Fourierovom rade v intervale (-x-, r) funkciu f(x) = g. 11. Rozviňte vo Fourierovom rade v intervale (-r, r) funkciu f (x) \u003d sin §. 12. Rozviňte vo Fourierovom rade funkciu f (x) = n -2x, danú v intervale (0, x), pokračujúc v intervale (-x, 0): a) párnym spôsobom; b) zvláštnym spôsobom. 13. Rozviňte vo Fourierovom rade pomocou sínusov funkciu / (x) \u003d x2, zadanú v intervale (0, x). 14. Rozviňte vo Fourierovom rade funkciu / (x) \u003d 3-x, uvedenú v intervale (-2,2). 15. Rozviňte vo Fourierovom rade funkciu f (x) \u003d |x |, danú v intervale (-1,1). 16. Rozviňte vo Fourierovom rade pomocou sínusov funkciu f (x) \u003d 2x, špecifikovanú v intervale (0,1).
prepis
1 MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKEJ FEDERÁCIE NOVOSIBIRSKÁ ŠTÁTNA UNIVERZITA FYZIKÁLNA FAKULTA R. K. Belkheeva ŠTVORIEROVÁ SÉRIA V PRÍKLADOCH A ÚLOHÁCH Návod Novosibirsk 211
2 MDT BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Fourierov rad v príkladoch a úlohách: Učebnica / Novosib. štát un-t. Novosibirsk, s. ISBN Návod poskytuje základné informácie o Fourierových radoch, poskytuje príklady ku každej študovanej téme. Podrobne je analyzovaný príklad aplikácie Fourierovej metódy na riešenie problému priečnych kmitov struny. Uvádza sa ilustračný materiál. Existujú úlohy na samostatné riešenie. Je určený pre študentov a pedagógov Fyzikálnej fakulty Novosibirskej štátnej univerzity. Zverejnené podľa rozhodnutia Metodickej komisie FÚ NSU. Recenzent Dr. fyz. vedy. V. A. Aleksandrov ISBN c Štátna univerzita v Novosibirsku, 211 c Belkheeva R. K., 211
3 1. Rozšírenie Fourierovho radu 2π-periodickej funkcie Definícia. Fourierov rad funkcie f(x) je funkčný rad a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) kde koeficienty a n, b n vypočítame podľa vzorcov: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Vzorce (2) (3) sa nazývajú Eulerove Fourierove vzorce . To, že funkcia f(x) zodpovedá Fourierovmu radu (1) sa zapíše ako vzorec f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) a hovoria, že pravá strana vzorca ( 4) je formálny rad Fourierových funkcií f(x). Inými slovami, vzorec (4) znamená len to, že koeficienty a n, b n nájdeme podľa vzorcov (2), (3). 3
4 Definícia. 2π-periodická funkcia f(x) sa nazýva po častiach hladká, ak interval [, π] obsahuje konečný počet bodov = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4
5 Obr. 1. Graf funkcie f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, pre nepárne n, pre párne n, f(x ) sin nxdx = pretože funkcia f(x) je párna. Formálny Fourierov rad pre funkciu f(x) zapíšeme: f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.
6 Zistite, či je funkcia f(x) po častiach hladká. Keďže je spojitá, vypočítame len limity (6) v koncových bodoch intervalu x = ±π a v bode zlomu x = : a f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Limity existujú a sú konečné, preto je funkcia po častiach hladká. Podľa vety o bodovej konvergencii jej Fourierov rad konverguje k číslu f(x) v každom bode, t.j. f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Na obrázkoch 2 a 3 je znázornený charakter aproximácie parciálnych súčtov Fourierovho radu S n (x), kde S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, k funkcii f(x) v intervale [, π] . 6
7 Obr. 2. Graf funkcie f(x) so superponovanými grafmi čiastkových súčtov S (x) = a 2 a S 1(x) = a 2 + a 1 cos x Obr. 3. Graf funkcie f (x) s grafom čiastočného súčtu superponovaným S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7
8 Dosadením do (7) x = dostaneme: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, odkiaľ zistíme súčet číselného radu: = π2 8. Keď poznáme súčet tohto radu, je ľahké nájsť nasledujúci súčet Máme: S = ( ) S = ()= π S, teda S = π2 6, teda 1 n = π Súčet tohto slávneho radu prvýkrát našiel Leonhard Euler. Často sa vyskytuje v matematickej analýze a jej aplikáciách. PRÍKLAD 2. Nakreslite graf, nájdite Fourierov rad funkcie danej vzorcom f(x) = x pre x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8
9 Obr. 4. Graf funkcie f(x) Funkcia f(x) je plynule diferencovateľná na intervale (, π). V bodoch x = ±π má konečné limity (5): f() =, f(π) = π. Okrem toho existujú konečné limity (6): f(+ h) f(+) lim = 1 a h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h F(x) je teda po častiach hladká funkcia. Keďže funkcia f(x) je nepárna, potom a n =. Koeficienty b n nájdeme integráciou po častiach: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ jeden. n Zostavme formálny Fourierov rad funkcie 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =
10 Podľa vety o bodovej konvergencii pre po častiach hladkú 2π-periodickú funkciu Fourierov rad funkcie f(x) konverguje k súčtu: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x ak π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1
11 Obr. Obr. 6. Graf funkcie f(x) s grafom čiastkového súčtu S 2 (x), ktorý je naň superponovaný. 7. Graf funkcie f(x) s preloženým grafom čiastkového súčtu S 3 (x) 11
12 Obr. 8. Graf funkcie f(x) so superponovaným grafom čiastočného súčtu S 99 (x) Získaný Fourierov rad použijeme na nájdenie súčtov dvoch číselných radov. Vložíme (8) x = π/2. Potom 2 () +... = π 2, alebo = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Ľahko sme našli súčet známeho Leibnizovho radu. Vložením x = π/3 do (8) nájdeme () +... = π 2 3 alebo (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k
13 PRÍKLAD 3. Nakreslite graf, nájdite Fourierov rad funkcie f(x) = sin x za predpokladu, že má periódu 2π a 1 vypočítajte súčet číselného radu 4n 2 1. Riešenie. Graf funkcie f(x) je znázornený na obr. 9. Je zrejmé, že f(x) = sin x je spojitá párna funkcia s periódou π. Ale 2π je tiež perióda funkcie f(x). Ryža. 9. Graf funkcie f(x) Vypočítajme Fourierove koeficienty. Všetky b n = pretože funkcia je párna. Pomocou goniometrických vzorcov vypočítame a n pre n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1, ak n = 2k, = π n 2 1, ak n = 2 tis
14 Tento výpočet nám neumožňuje nájsť koeficient a 1, pretože pri n = 1 je menovateľ nulový. Koeficient a 1 teda vypočítame priamo: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Pretože f(x) je spojito diferencovateľné na (,) a (, π) a v bodoch kπ, (k je celé číslo), existujú konečné limity (5) a (6), Fourierov rad funkcie konverguje k to v každom bode: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Graf funkcie f(x) s grafom čiastkového súčtu S(x) superponovaného 14
15 Obr. Obr. 11. Graf funkcie f(x) s preloženým grafom čiastkového súčtu S 1 (x). Obr. 12. Graf funkcie f(x) s preloženým grafom čiastkového súčtu S 2 (x). 13. Graf funkcie f(x) s preloženým grafom čiastkového súčtu S 99 (x) 15
16 1 Vypočítajte súčet číselného radu. Aby sme to dosiahli, vložíme 4n 2 1 do (9) x =. Potom cosnx = 1 pre všetky n = 1, 2,... a teda 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. PRÍKLAD 4. Dokážme, že ak po častiach hladká spojitá funkcia f(x) spĺňa podmienku f(x π) = f(x) pre všetky x (t.j. je π-periodická) , potom a 2n 1 = b 2n 1 = pre všetky n 1 a naopak, ak a 2n 1 = b 2n 1 = pre všetky n 1, potom je f(x) π-periodické. rozhodnutie. Nech je funkcia f(x) π-periodická. Vypočítajme jeho Fourierove koeficienty a 2n 1 a b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x ) cos (2n 1)xdx. V prvom integráli vykonáme zmenu premennej x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. šestnásť
17 Použitím skutočnosti, že cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t a f(t π) = f(t), dostaneme: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Podobne je dokázané, že b 2n 1 =. Naopak, nech a 2n 1 = b 2n 1 =. Keďže funkcia f(x) je spojitá, potom podľa vety o reprezentovateľnosti funkcie v bode jej Fourierovým radom máme Potom f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), čo znamená, že f(x) je π-periodická funkcia. PRÍKLAD 5. Dokážme, že ak po častiach hladká funkcia f(x) spĺňa podmienku f(x) = f(x) pre všetky x, potom a = a a 2n = b 2n = pre všetky n 1 a naopak. , ak a = a 2n = b 2n =, potom f(x π) = f(x) pre všetky x. rozhodnutie. Nech funkcia f(x) spĺňa podmienku f(x π) = f(x). Vypočítajme jeho Fourierove koeficienty: 17
18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. V prvom integráli vykonáme zmenu premennej x = t π. Potom f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Použitím skutočnosti, že cos n(t π) = (1) n cosnt a f(t π) = f(t), dostaneme: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = ak n párne, = 2 π f(t) cos nt dt, ak je n nepárne. π Podobne je dokázané, že b 2n =. Naopak, nech a = a 2n = b 2n =, pre všetky n 1. Keďže funkcia f(x) je spojitá, potom podľa vety o reprezentatívnosti funkcie v bode jej Fourierov rad spĺňa rovnosť f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). osemnásť
19 Potom = f(x π) = = = f(x). PRÍKLAD 6. Naštudujme si, ako rozšíriť funkciu f(x) integrovateľnú na intervale [, π/2] na interval [, π] tak, aby jej Fourierov rad mal tvar: a 2n 1 cos(2n 1) X. (1) Riešenie. Nech má graf funkcie tvar znázornený na obr. 14. Keďže v rade (1) a = a 2n = b 2n = pre všetky n, z príkladu 5 vyplýva, že funkcia f(x) musí spĺňať rovnosť f(x π) = f(x) pre všetky x. Toto pozorovanie poskytuje spôsob, ako rozšíriť funkciu f(x) na interval [, /2] : f(x) = f(x+π), obr. 15. Zo skutočnosti, že rad (1) obsahuje len kosínusy, usudzujeme, že pokračovacia funkcia f (x) musí byť párna (t. j. jej graf musí byť symetrický okolo osi Oy), Obr.
20 Obr. 14. Graf funkcie f(x) 15. Graf pokračovania funkcie f(x) na intervale [, /2] 2
21 Požadovaná funkcia má teda tvar znázornený na obr. 16. Obr. 16. Graf pokračovania funkcie f(x) na intervale [, π] Zhrnutím dospejeme k záveru, že funkcia by mala pokračovať nasledovne: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), teda interval [π/2, π], graf funkcie f(x) je stredovo symetrický okolo bodu (π/2,) a na intervale [, π] je jeho graf symetrické okolo osi Oy. 21
22 GENERALIZÁCIA PRÍKLADOV 3 6 Nech l >. Uvažujme dve podmienky: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Z geometrického hľadiska podmienka (a) znamená, že graf funkcie f(x) je symetrický podľa zvislice x = l/2 a podmienka (b), že graf f(x) je stredovo symetrický podľa bod (l/2;) na osi x. Potom platia nasledujúce tvrdenia: 1) ak je funkcia f(x) párna a podmienka (a) je splnená, potom b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) ak je funkcia f(x) párna a podmienka (b) je splnená, potom b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) ak je funkcia f(x) nepárna a podmienka (a) je splnená, potom a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) ak je funkcia f(x) nepárna a podmienka (b) je splnená, potom a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ÚLOHY V úlohách 1 7 nakreslite grafy a nájdite Fourierov rad funkcií (za predpokladu, že majú periódu 2π: ak< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22
23 (1 ak /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23
24 2. Rozšírenie funkcie danej v intervale [, π] len v sínusoch alebo len v kosínusoch Nech je funkcia f daná v intervale [, π]. Aby sme ho v tomto intervale rozšírili na Fourierov rad, najprv ľubovoľným spôsobom rozšírime f do intervalu [, π] a potom použijeme Eulerove Fourierove vzorce. Ľubovoľnosť v pokračovaní funkcie vedie k tomu, že pre tú istú funkciu f: [, π] R môžeme získať rôzne Fourierove rady. Ale je možné použiť túto svojvoľnosť tak, aby sme získali expanziu iba v sínusoch alebo len v kosínusoch: v prvom prípade stačí pokračovať f nepárnym spôsobom a v druhom párne. Algoritmus riešenia 1. Pokračujte vo funkcii nepárnym (párnym) spôsobom na (,) a potom periodicky s periódou 2π pokračujte vo funkcii na celú os. 2. Vypočítajte Fourierove koeficienty. 3. Zostavte Fourierov rad funkcie f(x). 4. Skontrolujte podmienky konvergencie radu. 5. Zadajte funkciu, ku ktorej bude tento rad konvergovať. PRÍKLAD 7. Rozviňte funkciu f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис
25 Obr. 17. Graf pokračovacej funkcie Funkcia f (x) je samozrejme po častiach hladká. Vypočítajme Fourierove koeficienty: a n = pre všetky n, pretože funkcia f (x) je nepárna. Ak n 1, potom b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, ak n = 2 k + 1, (1) n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n, ak n = 2k. π n 2 1 Pre n = 1 v predchádzajúcich výpočtoch menovateľ zmizne, takže koeficient b 1 možno vypočítať priamo.
26 V podstate: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Zostavte Fourierov rad funkcie f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Keďže funkcia f (x) je po častiach hladká, potom podľa vety o bodovej konvergencii Fourierov rad funkcie f (x) konverguje k súčtu cosx, ak π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26
27 Obr. Obr. 18. Graf funkcie f (x) s navrstveným grafom čiastkového súčtu S 1 (x). 19. Graf funkcie f(x) s grafom čiastkového súčtu S 2 (x) superponovaného 27
28 Obr. Obr. 2. Graf funkcie f (x) s navrstveným grafom čiastkového súčtu S 3 (x). 21 sú znázornené grafy funkcie f (x) a jej čiastkového súčtu S 99 (x). Ryža. 21. Graf funkcie f (x) s preloženým grafom čiastkového súčtu S 99 (x) 28
29 PRÍKLAD 8. Rozšírme funkciu f(x) = e ax, a >, x [, π], vo Fourierovom rade len v kosínoch. rozhodnutie. Vo funkcii pokračujeme rovnomerným spôsobom do (,) (t. j. tak, že rovnosť f(x) = f(x) platí pre všetky x (, π)) a potom periodicky s periódou 2π na celý skutočný os. Získame funkciu f (x), ktorej graf je znázornený na obr. 22. Funkcia f (x) v bodoch 22. Graf pokračovacej funkcie f (x) x = kπ, k je celé číslo, má zlomy. Vypočítajme Fourierove koeficienty: b n =, keďže f (x) je párne. Integráciou po častiach dostaneme 29
30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 coππππππππππ. ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π 2 x 2e = 2 nx ax 2e a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Preto a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Keďže f (x) je spojité, podľa vety o bodovej konvergencii jeho Fourierov rad konverguje k f (x). Pre všetky x [, π] teda platí f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Obrázky demonštrujú postupnú aproximáciu parciálnych súčtov Fourierovho radu k danej nespojitej funkcii. 3
31 Obr. 23. Grafy funkcií f (x) a S (x) 24. Grafy funkcií f (x) a S 1 (x) 25. Grafy funkcií f (x) a S 2 (x) 26. Grafy funkcií f (x) a S 3 (x) 31
32 Obr. 27. Grafy funkcií f (x) a S 4 (x) 28. Grafy funkcií f (x) a S 99 (x) ÚLOHA 9. Rozviňte funkciu f (x) = cos x, x π, vo Fourierovom rade len v kosínoch. 1. Rozviňte funkciu f (x) \u003d e ax, a >, x π, vo Fourierovom rade iba v sínusoch. 11. Rozviňte funkciu f (x) \u003d x 2, x π, vo Fourierovom rade iba v sínusoch. 12. Rozbaľte funkciu f (x) \u003d sin ax, x π, vo Fourierovom rade len na kosínusy. 13. Rozviňte funkciu f (x) \u003d x sin x, x π, vo Fourierovom rade iba v sínusoch. Odpovede 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32
33 12. Ak a nie je celé číslo, potom sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; ak a = 2m je párne číslo, potom sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; ak a = 2m 1 je kladné nepárne číslo, potom sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Fourierov rad funkcie s ľubovoľnou periódou Predpokladajme, že funkcia f(x) je definovaná v intervale [ l, l], l >. Dosadením x = ly, y π dostaneme funkciu g(y) = f(ly/π) definovanú v intervale π [, π]. Tejto funkcii g(y) zodpovedá (formálny) Fourierov rad () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), ktorého koeficienty sa nachádzajú pomocou Eulerových Fourierových vzorcov: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33
34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, získame mierne upravený trigonometrický rad pre funkciu f(x): kde f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) = l dx1, n ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Vzorce (11) (13) definujú expanziu vo Fourierovom rade funkcie s ľubovoľnou periódou. PRÍKLAD 9. Nájdite Fourierov rad funkcie danej v intervale (l, l) výrazom ( A ak l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34
35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos π + nx π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = ak n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin = πnx l co). πn Zostavte Fourierov rad funkcie f (x) : f(x) A + B π (B A Keďže cosπn = (1) n, potom n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l pre n = 2k dostaneme b n = b 2k =, pre n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).
36 Preto f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Podľa vety o bodovej konvergencii Fourierov rad funkcie f(x) konverguje k súčtu A, ak l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).
37 Obr. 29. Graf funkcie f (x) so superponovanými grafmi harmonických S (x) = a 2 a S 1 (x) = b 1 sinx. Pre prehľadnosť sú grafy troch vyšších harmonických S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l a S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx vertikálne posunuté hore l 37
38 Obr. Obr. 3. Graf funkcie f(x) s preloženým grafom čiastkového súčtu S 99 (x). 31. Fragment z obr. 3 v inej mierke 38
39 ÚLOHY V úlohách rozviňte zadané funkcie vo Fourierových radoch v daných intervaloch. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1, ak 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39
40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, 2 π 2 l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Komplexná forma Fourierovho radu Rozklad f(x) = c n e inx, kde c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., sa nazýva komplexná forma Fourierovho radu. Funkcia sa rozšíri na komplexný Fourierov rad za rovnakých podmienok, za ktorých sa rozšíri na skutočný Fourierov rad. 4
41 PRÍKLAD 1. Nájdite Fourierov rad v komplexnom tvare funkcie danej vzorcom f(x) = e ax v intervale [, π), kde a je reálne číslo. rozhodnutie. Vypočítajme koeficienty: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Komplexný Fourierov rad funkcie f má tvar f(x) sh aπ π n= (1) n a v einx. Overme si, že funkcia f(x) je po častiach hladká: v intervale (, π) je spojito diferencovateľná a v bodoch x = ±π sú konečné limity (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Preto funkcia f(x) môže byť reprezentovaná Fourierovým radom sh aπ π n= (1) n a v einx, ktorý konverguje k súčtu: ( e S(x) = ax, ak π< x < π, ch a, если x = ±π. 41
42 PRÍKLAD 11. Nájdite Fourierov rad v komplexnom a reálnom tvare funkcie danej vzorcom f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, kde a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42
43 Pripomeňme, že súčet nekonečnej geometrickej postupnosti s menovateľom q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43
44 Teraz nájdime Fourierovu sériu v reálnej podobe. Aby sme to dosiahli, zoskupíme členy s číslami n a n pre n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Keďže c = 1, potom 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Ide o Fourierov rad v reálnej podobe funkcie f(x). Bez výpočtu jediného integrálu sme teda našli Fourierov rad funkcie. Pritom sme vypočítali tvrdý integrál v závislosti od parametra cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44
45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Každý z jednoduchých zlomkov rozšírime podľa vzorca geometrickej postupnosti: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Je to možné, pretože az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, alebo stručnejšie, c n = 1 2i a n sgnn. Tak sa nachádza Fourierova séria v komplexnej forme. Zoskupením členov s číslami n a n dostaneme Fourierov rad funkcie v reálnom tvare: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Opäť sa nám podarilo vypočítať nasledujúci komplexný integrál: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45
46 ÚLOHA 24. Pomocou (15) vypočítajte integrál cos nxdx 1 2a cosx + a 2 pre reálne a, a > Pomocou (16) vypočítajte integrál sin x sin nxdx pre reálne a, a > a cosx + a2 In úloh nájdite Fourierov rad v komplexnom tvare pre funkcie. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46
47 5. Ljapunovova teoréma rovnosti (Ljapunovova rovnosť). Nech funkcia f: [, π] R je taká, že f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47
48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Preto má Ljapunovova rovnosť pre funkciu f(x) tvar: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Z poslednej rovnosti pre a π zistíme sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Za predpokladu a = π 2 dostaneme sin2 na = 1 pre n = 2k 1 a sin 2 na = pre n = 2k. Preto k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. PRÍKLAD 14. Napíšme Ljapunovovu rovnosť pre funkciu f(x) = x cosx, x [, π] a pomocou nej nájdeme súčet čísla séria (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Riešenie. Priame výpočty dávajú = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π = cos 2xdx
49 Keďže f(x) je párna funkcia, potom pre všetky n platí b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1) (n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 ak n = 2k, 2 ak n = 2k + 1. Koeficient a 1 treba vypočítať samostatne, keďže vo všeobecnom vzorci pre n = 1 menovateľ zlomku zaniká . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.
50 Ljapunovova rovnosť pre funkciu f(x) má teda tvar: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π ÚLOHA 32. Napíšte Ljapunovovu rovnosť pre funkciu ( x f(x) = 2 πx, ak x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5
51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Odpovede + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, kde c n je Fourierov koeficient 2π z f(x) a d n je funkcia Fourierovho koeficientu g(x). 6. Diferenciácia Fourierovho radu Nech f: R R je spojito diferencovateľná 2π-periodická funkcia. Jeho Fourierov rad má tvar: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Derivácia f (x) tejto funkcie bude spojitá a 2π-periodická funkcia, pre ktorú možno napísať formálny Fourierov rad: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), kde a, a n , b n, n = 1 , 2,... Fourierove koeficienty funkcie f (x). 51
52 Veta (o členení Fourierovho radu podľa členu). Za vyššie uvedených predpokladov platia rovnosti a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. PRÍKLAD 15. Nech je po častiach hladká funkcia f(x) spojitá v intervale [, π]. Dokážme, že pri splnení podmienky f(x)dx = platí nerovnosť 2 dx 2 dx, nazývaná Steklova nerovnosť a overíme, že rovnosť v nej je realizovaná len pre funkcie tvaru f(x) =. A cosx. Inými slovami, Steklova nerovnosť dáva podmienky, za ktorých malosť derivácie (v rms) implikuje malosť funkcie (v rms). rozhodnutie. Rozšírme funkciu f(x) rovnomerne na interval [, ]. Rozšírenú funkciu označme rovnakým symbolom f(x). Potom bude pokračujúca funkcia spojitá a po častiach hladká na intervale [, π]. Keďže funkcia f(x) je spojitá, potom f 2 (x) je spojitá na intervale a 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52
53 Keďže pokračovacia funkcia je párna, potom b n =, a = podľa podmienky. V dôsledku toho má Ljapunovova rovnosť tvar 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Uistime sa, že f (x) vyhovuje záveru vety o členení Fourierovho radu po členoch, teda že a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Nech sa derivácia f (x) zlomí v bodoch x 1, x 2,..., x N v intervale [, π]. Označme x =, x N+1 = π. Rozdeľme integračný interval [, π] na N +1 intervalov (x, x 1),..., (x N, x N+1), na každom z nich je f(x) plynule diferencovateľné. Potom pomocou vlastnosti aditivity integrálu a následným integrovaním po častiach dostaneme: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinx 2 f(x 1) sin nx 1)
54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Podobne dostaneme a n = nb n. Ukázali sme, že veta o derivácii Fourierovho radu po členoch pre spojitú po častiach hladkú 2π-periodickú funkciu, ktorej derivácia v intervale [, π] podlieha diskontinuitám prvého druhu, je pravdivá. Takže f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, keďže a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Pretože 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)
55 Pretože každý člen radu v (18) je väčší alebo rovný zodpovedajúcemu členu radu v (17), potom 2 dx 2 dx. Pripomínajúc, že f(x) je párnym pokračovaním pôvodnej funkcie, máme 2 dx 2 dx. Čo dokazuje rovnosť Steklov. Teraz sa pozrime, pre ktoré funkcie platí rovnosť v Steklovej nerovnosti. Ak aspoň pre jedno n 2 je koeficient a n nenulový, potom a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55
56 ÚLOHY 37. Nech je po častiach hladká funkcia f(x) spojitá na intervale [, π]. Dokážte, že za podmienky f() = f(π) = nerovnosť 2 dx 2 dx, nazývaná aj Steklova nerovnosť, platí a presvedčte sa, že rovnosť v nej platí len pre funkcie tvaru f(x) = B sin x . 38. Nech je funkcia f spojitá v intervale [, π] a má v ňom (možno s výnimkou konečného počtu bodov) deriváciu f(x) so štvorcovou integráciou. Dokážte, že ak sú splnené podmienky f() = f(π) a f(x) dx =, platí nerovnosť 2 dx 2 dx, nazývaná Wirtingerova nerovnosť, a rovnosť v nej platí len pre funkcie tvar f(x ) = A cosx + B sinx. 56
57 7. Aplikácia Fourierových radov na riešenie parciálnych diferenciálnych rovníc Pri štúdiu reálneho objektu (prírodné javy, výrobný proces, riadiaci systém a pod.) sa ako významné ukazujú dva faktory: úroveň nahromadených poznatkov o skúmanom objekte, resp. stupeň rozvoja matematického aparátu. V súčasnej fáze vedeckého výskumu bol vyvinutý nasledujúci reťazec: jav fyzikálny model matematický model. Fyzikálna formulácia (model) problému je nasledovná: identifikujú sa podmienky rozvoja procesu a hlavné faktory, ktoré ho ovplyvňujú. Matematická formulácia (model) spočíva v opise faktorov a podmienok zvolených vo fyzikálnej formulácii vo forme sústavy rovníc (algebraických, diferenciálnych, integrálnych atď.). O probléme sa hovorí, že je dobre položený, ak v určitom funkčnom priestore riešenie problému existuje, jednoznačne a nepretržite závisí od počiatočných a okrajových podmienok. Matematický model nie je totožný s uvažovaným objektom, ale je jeho približným popisom Odvodenie rovnice voľných malých priečnych kmitov struny Budeme postupovať podľa učebnice. Nech sú konce struny upevnené a struna samotná napnutá. Ak sa struna dostane z rovnováhy (napríklad potiahnutím alebo úderom), struna sa spustí 57
58 váhať. Budeme predpokladať, že všetky body struny sa pohybujú kolmo na jej rovnovážnu polohu (priečne vibrácie) a v každom okamihu struna leží v rovnakej rovine. Zoberme si systém pravouhlých súradníc xou v tejto rovine. Potom, ak v počiatočnom čase t = bola struna umiestnená pozdĺž osi Ox, potom u bude znamenať odchýlku struny od rovnovážnej polohy, to znamená polohu bodu struny s osou x v ľubovoľnom čase t. zodpovedá hodnote funkcie u(x, t). Pre každú pevnú hodnotu t predstavuje graf funkcie u(x, t) tvar vibrujúcej struny v čase t (obr. 32). Pri konštantnej hodnote x dáva funkcia u(x, t) zákon pohybu bodu s úsečkou x pozdĺž priamky rovnobežnej s osou Ou, derivácia u t je rýchlosť tohto pohybu a druhá derivácia 2 u t 2 je zrýchlenie. Ryža. 32. Sily pôsobiace na nekonečne malý úsek reťazca Napíšme rovnicu, ktorú musí funkcia u(x, t) spĺňať. Aby sme to dosiahli, urobíme niekoľko zjednodušujúcich predpokladov. Budeme predpokladať, že struna je absolútne pružná.
59 čoy, to znamená, že budeme predpokladať, že struna neodolá ohybu; to znamená, že napätia vznikajúce v strune sú vždy smerované tangenciálne k jej okamžitému profilu. Predpokladá sa, že struna je elastická a podlieha Hookovmu zákonu; to znamená, že zmena veľkosti napínacej sily je úmerná zmene dĺžky struny. Predpokladajme, že reťazec je homogénny; to znamená, že jeho lineárna hustota ρ je konštantná. Vonkajšie sily zanedbávame. To znamená, že uvažujeme o voľných osciláciách. Budeme študovať len malé vibrácie struny. Ak označíme ϕ(x, t) uhol medzi osou úsečky a dotyčnicou struny v bode s úsečkou x v čase t, potom podmienkou pre malosť kmitov je, že hodnota ϕ 2 (x , t) možno zanedbať v porovnaní s ϕ (x, t), t.j. ϕ 2. Keďže uhol ϕ je malý, potom cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, preto môže byť hodnota (u x x,) 2 byť tiež zanedbané. Z toho hneď vyplýva, že v procese kmitania môžeme zanedbať zmenu dĺžky ktoréhokoľvek úseku struny. Dĺžka struny M 1 M 2 premietnutá do intervalu osi x, kde x 2 = x 1 + x, sa totiž rovná l = x 2 x () 2 u dx x. x Ukážme, že za našich predpokladov bude hodnota napínacej sily T konštantná pozdĺž celej struny. Aby sme to urobili, odoberieme časť struny M 1 M 2 (obr. 32) v čase t a nahradíme činnosť vyradených častí.
60 kov ťažnými silami T 1 a T 2. Keďže podľa podmienky sa všetky body struny pohybujú rovnobežne s osou Ou a nepôsobia vonkajšie sily, súčet priemetov ťažných síl na os Ox sa musí rovnať nule: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. V dôsledku malej veľkosti uhlov ϕ 1 = ϕ(x 1, t) a ϕ 2 = ϕ(x 2, t) sme dospeli k záveru, že T 1 = T 2. Označme všeobecnú hodnotu T 1 = T 2 o T. Teraz vypočítame súčet priemetov F u rovnakých síl na os Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Keďže pre malé uhly sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t) a tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, rovnicu (2) možno prepísať ako F u T (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ (x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T2 u x 2 (x 1, t) x. Keďže bod x 1 je zvolený ľubovoľne, potom F u T 2 u x2(x, t) x. Po zistení všetkých síl pôsobiacich na prierez M 1 M 2 naň aplikujeme druhý Newtonov zákon, podľa ktorého sa súčin hmotnosti a zrýchlenia rovná súčtu všetkých pôsobiacich síl. Hmotnosť struny M 1 M 2 sa rovná m = ρ l ρ x a zrýchlenie sa rovná 2 u(x, t). Newtonova rovnica t 2 má tvar: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, kde α 2 = T ρ je konštantné kladné číslo. 6
61 Zmenšením o x dostaneme 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Výsledkom je lineárna homogénna parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Nazýva sa to rovnica vibrácií strún alebo jednorozmerná vlnová rovnica. Rovnica (21) je v podstate preformulovaním Newtonovho zákona a opisuje pohyb struny. Ale vo fyzickej formulácii problému boli požiadavky, aby boli konce struny pevné a poloha struny v určitom časovom bode bola známa. Tieto podmienky zapíšeme do rovníc takto: a) budeme predpokladať, že konce reťazca sú pevné v bodoch x = a x = l, t.j. budeme predpokladať, že pre všetky t platí vzťahy u(, t) = u(l, t) =; (22) b) budeme predpokladať, že v čase t = sa poloha reťazca zhoduje s grafom funkcie f(x), t.j. budeme predpokladať, že pre všetky x [, l] platí rovnosť u(x, ) = f(x); (23) c) budeme predpokladať, že v čase t = bod struny s os x má rýchlosť g(x), t.j. budeme predpokladať, že u (x,) = g(x). (24) t Vzťahy (22) sa nazývajú okrajové podmienky a vzťahy (23) a (24) sa nazývajú počiatočné podmienky. Matematický model voľného malého priečnika 61
62 vibrácií struny je, že je potrebné riešiť rovnicu (21) s okrajovými podmienkami (22) a počiatočnými podmienkami (23) a (24) Riešenie rovnice voľných malých priečnych vibrácií struny Fourierovou metódou.< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Dosadením (25) do (21) dostaneme: X T = α 2 X T, (26) alebo T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Hovorí sa, že došlo k oddeleniu premenných. Keďže x a t nezávisia od seba, ľavá strana v (27) nezávisí od x, ale pravá strana nezávisí od t a celková hodnota týchto pomerov je 62
63 musí byť konštantná, čo označíme λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Získame teda dve obyčajné diferenciálne rovnice: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) V tomto prípade majú okrajové podmienky (22) tvar X()T(t) = a X(l)T(t) =. Keďže musia byť splnené pre všetky t, t >, potom X() = X(l) =. (3) Nájdime riešenia rovnice (28) vyhovujúce okrajovým podmienkam (3). Zoberme si tri prípady. Prípad 1: λ >. Označme λ = β 2. Rovnica (28) má tvar X (x) β 2 X(x) =. Jeho charakteristická rovnica k 2 β 2 = má korene k = ±β. Preto všeobecné riešenie rovnice (28) má tvar X(x) = C e βx + De βx. Konštanty C a D musíme zvoliť tak, aby boli splnené okrajové podmienky (3), teda X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Pretože β, potom táto sústava rovníc má jedinečné riešenie C = D =. Preto X(x) a 63
64 u(x, t). V prípade 1 sme teda dostali triviálne riešenie, ktorým sa ďalej nebudeme zaoberať. Prípad 2: λ =. Potom rovnica (28) nadobúda tvar X (x) = a jej riešenie je zrejme dané vzorcom: X(x) = C x+d. Dosadením tohto riešenia do okrajových podmienok (3) dostaneme X() = D = a X(l) = Cl =, teda C = D =. Preto X(x) a u(x, t) a máme opäť triviálne riešenie. Prípad 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64
65 Ďalej priradíme n iba kladné hodnoty n = 1, 2,..., keďže pre záporné n získame riešenia rovnakého tvaru (nπ). Hodnoty λ n = sú nazývané vlastné hodnoty a funkcie X n (x) = C n sin πnx vlastné funkcie diferenciálnej rovnice (28) s okrajovými podmienkami (3). Teraz vyriešme rovnicu (29). Charakteristická rovnica má pre neho tvar k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Keďže sme vyššie zistili, že netriviálne riešenia X(x) z rovnice (28) existujú len pre záporné λ rovné λ = n2 π 2, budeme ďalej uvažovať práve o týchto λ. Korene rovnice (32) sú k = ±iα λ a riešenia rovnice (29) majú tvar: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l kde A n a B n sú ľubovoľné konštanty. Dosadením vzorcov (31) a (33) do (25) nájdeme konkrétne riešenia rovnice (21), ktoré spĺňajú okrajové podmienky (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin pnx. l l l Zadaním súčiniteľa C n do zátvoriek a zavedením zápisu C n A n = b n a B n C n = a n zapíšeme u n (X, T) ako (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) sin pnx. (34) l l l 65
66 Vibrácie struny zodpovedajúce riešeniam u n (x, t) sa nazývajú prirodzené vibrácie struny. Keďže rovnica (21) a okrajové podmienky (22) sú lineárne a homogénne, potom lineárna kombinácia riešení (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l bude a riešenie rovnice (21 ) spĺňajúce okrajové podmienky (22) so špeciálnou voľbou koeficientov a n a b n, čo zabezpečuje rovnomernú konvergenciu radu. Teraz zvolíme koeficienty a n a b n riešenia (35) tak, aby spĺňalo nielen okrajové podmienky, ale aj počiatočné podmienky (23) a (24), kde f(x), g(x) sú dané funkcie ( okrem toho f() = f (l) = g() = g(l) =). Predpokladáme, že funkcie f(x) a g(x) spĺňajú podmienky Fourierovej expanzie. Dosadením hodnoty t = do (35) dostaneme u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Diferencovaním radu (35) vzhľadom na t a dosadením t = dostaneme u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), a to je rozšírenie funkcií f(x) a g(x) do Fourierovho radu. Preto a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πna l (36) 66
67 Dosadením výrazov pre koeficienty a n a b n do radu (35) dostaneme riešenie rovnice (21), ktoré spĺňa okrajové podmienky (22) a počiatočné podmienky (23) a (24). Tým sme vyriešili problém voľných malých priečnych kmitov struny. Ujasnime si fyzikálny význam vlastných funkcií u n (x, t) problému voľných kmitov struny, definovaných vzorcom (34). Prepíšme to ako kde u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n Vzorec (37) ukazuje, že všetky body struny vykonávajú harmonické kmity s rovnakou frekvenciou ω n = πna a fázou πnα δ n. Amplitúda kmitania závisí od l l úsečky x bodu struny a rovná sa α n sin πnx. Pri takomto kmitaní všetky body struny súčasne dosiahnu svoju l maximálnu výchylku v jednom alebo druhom smere a súčasne prejdú rovnovážnou polohou. Takéto oscilácie sa nazývajú stojaté vlny. Stojatá vlna bude mať n + 1 pevných bodov daných koreňmi rovnice sin πnx = v intervale [, l]. Pevné body sa nazývajú uzly stojatej vlny. V strede medzi uzlami - l mi sú body, v ktorých odchýlky dosahujú maximum; takéto body sa nazývajú antinody. Každá struna môže mať svoje kmity presne definovaných frekvencií ω n = πna, n = 1, 2,.... Tieto frekvencie sa nazývajú vlastné frekvencie struny. Najnižší tón l, ktorý môže struna vydať, je určený sám osebe 67
68 nízka vlastná frekvencia ω 1 = π T a nazýva sa základným tónom struny. Zvyšné tóny zodpovedajúce l ρ frekvenciám ω n, n = 2, 3,..., sa nazývajú podtóny alebo harmonické. Pre názornosť si znázorníme typické profily sláčikov vydávajúcich základný tón (obr. 33), prvý tón (obr. 34) a druhý tón (obr. 35). Ryža. Obr. 33. Profil struny, ktorá vydáva základný tón. Obr. 34. Profil struny vydávajúcej prvý podtón. Obr. 35. Profil struny vydávajúcej druhý podtón Ak struna vykonáva voľné vibrácie určené počiatočnými podmienkami, potom funkcia u(x, t) je reprezentovaná, ako je zrejmé zo vzorca (35), ako súčet jednotlivé harmonické. Teda ľubovoľná oscilácia 68
69. struna je superpozícia stojatých vĺn. V tomto prípade bude charakter zvuku struny (tón, sila zvuku, zafarbenie) závisieť od pomeru medzi amplitúdami jednotlivých harmonických Sila, výška a zafarbenie zvuku Vibrujúca struna vybudí vibrácie vzduchu vnímané človekom. ucho ako zvuk vydávaný strunou. Sila zvuku je charakterizovaná energiou alebo amplitúdou vibrácií: čím väčšia je energia, tým väčšia je sila zvuku. Výška zvuku je určená jeho frekvenciou alebo periódou oscilácií: čím vyššia je frekvencia, tým vyšší je zvuk. Zafarbenie zvuku je určené prítomnosťou podtónov, distribúciou energie cez harmonické, to znamená spôsobom budenia kmitov. Amplitúdy podtónov sú vo všeobecnosti menšie ako amplitúdy základných tónov a fázy podtónov môžu byť ľubovoľné. Naše ucho nie je citlivé na fázu kmitov. Porovnajte napríklad dve krivky na obr. 36, zapožičaný z . Ide o záznam zvuku s rovnakým základným tónom, extrahovaný z klarinetu (a) a klavíra (b). Oba zvuky nie sú jednoduché sínusové kmity. Základná frekvencia zvuku je v oboch prípadoch rovnaká a tým vzniká rovnaký tón. Vzory kriviek sú však odlišné, pretože na základnom tóne sú superponované rôzne podtóny. V istom zmysle tieto kresby ukazujú, čo je to zafarbenie. 69
Rovnice hyperbolického typu. Vibrácie nekonečnej a polonekonečnej struny. Fourierova metóda Fourierova metóda Stojaté vlny 4 Prednáška 4.1 Rovnice hyperbolického typu. Kolísanie nekonečna a polonekonečna
MOSKVA ŠTÁTNA TECHNICKÁ UNIVERZITA CIVILNÉHO LETECTVA V.M. Lyubimov, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinov
MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKA Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania MATI Ruská štátna technologická univerzita pomenovaná po K. E. Ciolkovskom
Ministerstvo školstva Bieloruskej republiky Vitebská štátna technologická univerzita Téma. "Rows" Katedra teoretickej a aplikovanej matematiky. vyvinutý Assoc. E.B. Dunina. Hlavná
Federálna agentúra pre vzdelávanie Federálna štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania JUŽNÁ FEDERÁLNA UNIVERZITA R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya metodická
Téma Fourierov rad Cvičenie Fourierov rad v ortogonálnych sústavách funkcií Priestor po častiach spojitých funkcií Zovšeobecnený Fourierov rad 3 Besselova nerovnosť a konvergencia Fourierovho radu Priestor
TEÓRIA RADOV Teória radov je najdôležitejšou zložkou matematickej analýzy a nachádza teoretické aj početné praktické aplikácie. Rozlišujte medzi číselným a funkčným radom.
OBSAH Fourierov rad 4 Pojem periodickej funkcie 4 Goniometrický polynóm 6 3 Ortogonálne systémy funkcií 4 Goniometrické Fourierove rady 3 5 Fourierove rady pre párne a nepárne funkcie 6 6 Dekompozícia
Federálna agentúra pre vzdelávanie Moskovská štátna univerzita geodézie a kartografie (MIIGAiK) METODICKÉ POKYNY A ÚLOHY PRE SAMOSTATNÚ PRÁCU na kurze VYŠŠIA MATEMATIKA
Prednáška 4. Harmonická analýza. Fourierov rad Periodické funkcie. Harmonická analýza Vo vede a technike sa často musíme zaoberať periodickými javmi, t.j. tými, ktoré sa opakujú
TÉMA V PREDNÁŠKA V FOURIEROVEJ SÉRII 6 Rozšírenie periodickej funkcie vo Fourierovom rade Mnohé procesy vyskytujúce sa v prírode a technológii majú vlastnosti, ktoré sa opakujú v určitých intervaloch Takéto procesy
METODICKÉ POKYNY PRE VÝPOČTOVÉ ÚLOHY PRE KURZ VYŠŠEJ MATEMATIKY "OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE RAD DVOJINTÉ INTEGRÁLY" ČASŤ III TEMATICKÁ SÉRIA Obsah Séria Číselné rady Konvergencia a divergencia
6 Fourierov rad 6 Ortogonálne systémy funkcií Fourierove rady z hľadiska ortogonálneho systému funkcií Funkcie ϕ () a ψ (), definované a integrovateľné na segmente [, ], sa na tomto segmente nazývajú ortogonálne, ak
URČITÝ INTEGRÁL. Integrálne súčty a určitý integrál Nech je funkcia y = f () definovaná na segmente [, b ], kde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
5 Mocninný rad 5 Mocninový rad: definícia, definičný obor konvergencie Funkčný rad tvaru (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) čísla sa nazývajú mocninové rady Čísla
BIELORUSKÁ ŠTÁTNA UNIVERZITA FAKULTA Aplikovanej matematiky a informatiky Katedra vyššej matematiky Učebná pomôcka pre študentov Fakulty aplikovanej matematiky a informatiky
Pozrime sa na niekoľko príkladov. Príklad. Nájdite súčet nekonečnej geometrickej postupnosti Vzorec pre spoločný člen tohto radu je a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. Vypočítajme jeho čiastkové súčty. Ak q =, potom
Úloha 1.1. Nájdite riešenia y = y(x) diferenciálnej rovnice, ktoré sú v uvedenej oblasti neidenticky nulové a spĺňajú dané okrajové podmienky (úloha Sturm-Liouville) Riešenie: Uvažujme
Matematická analýza Téma: Určitý integrál Nevlastné integrály Prednášajúci Pakhomova E.G. 2017 KAPITOLA II. Určitý integrál a jeho aplikácie 1. Určitý integrál a jeho vlastnosti 1. Úlohy,
Prednáška 8 4 Problém Sturm-Liouville
Vysvetlivky k textu: znak sa číta ako „ekvivalent“ a znamená, že rovnice napravo od znaku a naľavo od znaku majú rovnakú množinu riešení, znak IR označuje množinu reálnych čísel, znak IN
82 4. Časť 4. Funkčný a výkonový rad 4.2. Lekcia 3 4.2. Lekcia 3 4.2.. Taylorov rozvoj funkcie DEFINÍCIA 4.2.. Nech je funkcia y = f(x) nekonečne diferencovateľná v nejakom okolí
MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKA FEDERÁLNA ŠTÁTNA ROZPOČTOVÁ VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA VYSOKÉHO ODBORNÉHO VZDELÁVANIA "ŠTÁTNA TECHNICKÁ UNIVERZITA SAMARA" Katedra aplikovanej matematiky
Federálna agentúra pre železničnú dopravu Uralská štátna univerzita Katedra železničnej dopravy "Vyššia a aplikovaná matematika" N. P. Chuev Metodické prvky harmonickej analýzy
Prednáška 3 Taylorov a Maclaurinov rad Aplikácia mocninových radov Rozšírenie funkcií do mocninových radov Taylorov a Maclaurinov rad Pre aplikácie je dôležité vedieť rozšíriť danú funkciu do mocninového radu, tie funkcie
S A Lavrenchenko wwwwrckoru Prednáška Fourierova transformácia Koncepcia integrálnej transformácie Metóda integrálnych transformácií je jednou z mocných metód matematickej fyziky a je výkonným riešením
Integrovateľnosť funkcie (podľa Riemanna) a určitého integrálu Príklady riešenia problému 1. Konštantná funkcia f(x) = C je integrovateľná na , keďže pre ľubovoľné partície a ľubovoľnú voľbu bodov ξ i
Samozrejme, úloha. Dokážte, že Riemannova funkcia, ak je 0, m m R(), ak, m, m 0 a zlomok je neredukovateľný, 0, ak je iracionálny, je nespojitá v každom racionálnom bode a spojitá v každom iracionálnom. rozhodnutie.
1 2 Obsah 1 Fourierove rady 5 1.1 Trigonometrické Fourierove rady .................. 5 1.2 Len sin & cos ............. ............ 7 1.3 Fourierove rady v komplexnom tvare............. 11 1,4 f(x) = c k?......... ......
ROVNICE MATEMATICKEJ FYZIKY 1. Parciálne diferenciálne rovnice
Prednáška 4. Vlnové rovnice 1. Odvodenie rovnice kmitania struny 2. Rovnica pozdĺžnych kmitov tyče 3. Počiatočné podmienky, okrajové podmienky 4. Zadanie úlohy 1. Odvodenie rovnice kmitov strún
1. Elektrostatika 1 1. Elektrostatika Lekcia 6 Separácia premenných v karteziánskych súradniciach 1.1. (Úloha 1.49) Rovina z = je nabitá hustotou σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), kde σ, α, β sú konštanty.
Modul Téma Funkčné postupnosti a rady Vlastnosti rovnomernej konvergencie postupností a radov Mocninové rady Prednáška Definície funkčných postupností a radov Jednotne
Rovnice parabolického typu. Metóda separácie premenných Homogénny okrajový problém Funkcia zdroja Rovnica nehomogénneho tepla 7 Prednáška 7.1 Rovnice parabolického typu. Separačná metóda
Prednáška Číselný rad Znaky konvergencie Číselný rad Znaky konvergencie Nekonečné vyjadrenie číselnej postupnosti + + + +, zloženej z členov nekonečnej, sa nazýva číselný rad.
35 7 Goniometrický Fourierov rad Fourierov rad pre periodické funkcie s periódou T. Nech f(x) je po častiach spojitá periodická funkcia s periódou T. Uvažujme základný goniometrický systém
Hutnícka fakulta Katedra vyššej matematiky
Katedra matematiky a informatiky Základy vyššej matematiky Vzdelávací a metodický komplex pre študentov stredného odborného vzdelávania študujúcich pomocou dištančných technológií Modul Diferenciálny počet Zostavil:
9. Primitívny a neurčitý integrál 9.. Nech je funkcia f() daná na intervale I R. Funkcia F () sa nazýva primitívna funkcia f() na intervale I, ak F () = f() pre ľubovoľné I, a priraďovacia funkcia
DIFERENCIÁCIA FUNKCIÍ JEDNEJ PREMENNE Pojem derivácie, jej geometrický a fyzikálny význam Úlohy vedúce k pojmu derivácia Definícia dotyčnice S k priamke y f (x) v bode A x ; f(
Rovnice hyperbolického typu. Vibrácie nekonečnej a polonekonečnej struny. d'Alembertova metóda Nekonečný reťazec. d'Alembertov vzorec Polonekonečná struna 3 Prednáška 3.1 Rovnice hyperbolického typu.
Názov Úvod. Základné pojmy .... 4 1. Volterrova integrálna rovnica ... 5 Možnosti domácej úlohy .... 8 2. Rozlíšenie Volterrovej integrálnej rovnice. 10 možností domácej úlohy.... 11
RIADKY. Číselné rady. Základné definície Nech je daný nekonečný rad čísel Výraz (nekonečný súčet) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= sa nazýva a číselný rad. čísla
8. Mocninný rad 8.. Funkčný rad v tvare c n (z) n, (8.) n= kde c n je číselná postupnosť, R je pevné číslo a z R sa nazýva mocninový rad s koeficientmi c n . Zmenou premenných
~ ~ Neurčité a určité integrály Pojem primitívneho a neurčitého integrálu. Definícia: Funkcia F sa nazýva primitívna derivácia vzhľadom na funkciu f, ak tieto funkcie súvisia nasledovne
3724 RAD VIACNÁSOBNÝCH A KRIVOVÝCH INTEGRÁLOV 1 PRACOVNÝ PROGRAM SEKCIÍ "RAD VIACNÁSOBNÝCH A KRIVOVÝCH INTEGRÁLOV" 11 Číselný rad Pojem číselného radu Vlastnosti číselného radu Nevyhnutné kritérium konvergencie
JESŤ. RUDA MATEMATICKÁ ANALÝZA. NUMERICKÁ A FUNKČNÁ SÉRIA NOVOSIBIRSK 200 2 RUSKÉ MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY SEI HPE "ŠTÁTNA PEDAGOGICKÁ UNIVERZITA NOVOSIBIRSK" E.M. Rudoy MATEMATICKÁ ANALÝZA.
PREDNÁŠKA N 7 .Sila
KVADRATICKÉ ROVNICE
ČASŤ ÚLOH S PARAMETRMI Komentár Úlohy s parametrami sú tradične komplexné úlohy v štruktúre USE vyžadujúce od žiadateľa nielen zvládnutie všetkých metód a techník na riešenie rôznych
Diferenciálny počet Úvod do matematickej analýzy Limita postupnosti a funkcie. Zverejnenie neistôt v rámci. Derivácia funkcie. Pravidlá diferenciácie. Aplikácia derivátu
Fourierove rady Ortogonálne systémy funkcií Z hľadiska algebry rovnosť, kde sú funkcie danej triedy a sú koeficienty z R alebo C, jednoducho znamená, že vektor je lineárnou kombináciou vektorov B
1. Určitý integrál 1.1. Nech f je ohraničená funkcia definovaná na úsečke [, b] R. Priečka úsečky [, b] je množina bodov τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] tak, že = x< x 1 < < x n 1
Ch Mocninný rad a a a Rad tvaru a a a a a () sa nazýva mocninový rad, kde a, sú konštanty, nazývané koeficienty radu Niekedy sa uvažuje mocninný rad všeobecnejšieho tvaru: a a (a) a ( a) a (a) (), kde
Fourierov rad periodických funkcií s periódou 2π.
Fourierova séria vám umožňuje študovať periodické funkcie ich rozkladom na komponenty. Striedavé prúdy a napätia, posuvy, rýchlosť a zrýchlenie kľukových mechanizmov a akustické vlny sú typickými praktickými príkladmi aplikácie periodických funkcií v inžinierskych výpočtoch.
Rozšírenie Fourierovho radu je založené na predpoklade, že všetky funkcie praktického významu v intervale -π ≤ x ≤ π možno vyjadriť ako konvergentný trigonometrický rad (rad sa považuje za konvergentný, ak postupnosť čiastkových súčtov tvorených jeho členmi konverguje) :
Štandardná (=obvyklá) notácia prostredníctvom súčtu sinx a cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
kde a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2,.. sú reálne konštanty, t.j.
Kde pre rozsah od -π do π sú koeficienty Fourierovho radu vypočítané podľa vzorcov:
Nazývajú sa koeficienty a o ,a n a b n Fourierove koeficienty, a ak ich možno nájsť, potom sa zavolá séria (1). blízko Fourier, zodpovedajúca funkcii f(x). Pre rad (1) sa pojem (a 1 cosx+b 1 sinx) nazýva prvý resp hlavná harmonika,
Ďalším spôsobom, ako napísať sériu, je použiť vzťah acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Kde ao je konštanta, c 1 \u003d (a 1 2 + b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 + b n 2) 1/2 sú amplitúdy rôznych zložiek a rovná sa a n \ u003d arctg a n /b n.
Pre sériu (1) sa pojem (a 1 cosx + b 1 sinx) alebo c 1 sin (x + α 1) nazýva prvý resp. hlavná harmonika,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) alebo c 2 sin(2x+α 2) sa nazýva druhá harmonická atď.
Na presné znázornenie komplexného signálu je zvyčajne potrebné nekonečné množstvo výrazov. V mnohých praktických problémoch však stačí uvažovať len o niekoľkých prvých pojmoch.
Fourierov rad neperiodických funkcií s periódou 2π.
Dekompozícia neperiodických funkcií.
Ak je funkcia f(x) neperiodická, nemôže byť rozšírená vo Fourierovom rade pre všetky hodnoty x. Je však možné definovať Fourierov rad reprezentujúci funkciu v akomkoľvek rozsahu šírky 2π.
Vzhľadom na neperiodickú funkciu je možné zostaviť novú funkciu výberom hodnôt f(x) v určitom rozsahu a ich opakovaním mimo tohto rozsahu v intervaloch 2π. Keďže nová funkcia je periodická s periódou 2π, možno ju rozšíriť vo Fourierovom rade pre všetky hodnoty x. Napríklad funkcia f(x)=x nie je periodická. Ak je však potrebné rozšíriť ho do Fourierovho radu na intervale od 0 do 2π, potom sa mimo tohto intervalu zostrojí periodická funkcia s periódou 2π (ako je znázornené na obrázku nižšie).
Pre neperiodické funkcie ako f(x)=x sa súčet Fourierovho radu rovná hodnote f(x) vo všetkých bodoch v danom rozsahu, ale nerovná sa f(x) pre body mimo rozsahu. Na nájdenie Fourierovho radu neperiodickej funkcie v rozsahu 2π sa používa rovnaký vzorec pre Fourierove koeficienty.
Párne a nepárne funkcie.
Hovoria, že funkcia y=f(x) dokonca ak f(-x)=f(x) pre všetky hodnoty x. Grafy párnych funkcií sú vždy symetrické podľa osi y (to znamená, že sú zrkadlené). Dva príklady párnych funkcií: y=x 2 a y=cosx.
Hovoria, že funkcia y=f(x) zvláštny, ak f(-x)=-f(x) pre všetky hodnoty x. Grafy nepárnych funkcií sú vždy symetrické podľa pôvodu.
Mnohé funkcie nie sú ani párne, ani nepárne.
Rozšírenie Fourierovho radu v kosínusoch.
Fourierov rad párnej periodickej funkcie f(x) s periódou 2π obsahuje iba kosínusové členy (t.j. neobsahuje sínusové členy) a môže zahŕňať konštantný člen. teda
kde sú koeficienty Fourierovho radu,
Fourierov rad nepárnej periodickej funkcie f(x) s periódou 2π obsahuje iba členy so sínusmi (t. j. neobsahuje členy s kosínusmi).
teda
kde sú koeficienty Fourierovho radu,
Fourierove rady na polcykle.
Ak je funkcia definovaná pre rozsah, povedzme 0 až π, a nie iba 0 až 2π, možno ju rozšíriť na sériu iba v sínusoch alebo len v kosínusoch. Výsledný Fourierov rad sa nazýva blízko Fouriera na polovičnom cykle.
Ak chcete získať rozklad Fourier na polcykle v kosínusoch funkcie f(x) v rozsahu od 0 do π, potom je potrebné zostaviť párnu periodickú funkciu. Na obr. nižšie je funkcia f(x)=x postavená na intervale od x=0 do x=π. Pretože párna funkcia je symetrická okolo osi f (x), nakreslíme čiaru AB, ako je znázornené na obr. nižšie. Ak predpokladáme, že mimo uvažovaného intervalu je výsledný trojuholníkový tvar periodický s periódou 2π, tak výsledný graf má tvar, zobrazenie. na obr. nižšie. Keďže je potrebné získať Fourierovu expanziu v kosínoch, ako predtým, vypočítame Fourierove koeficienty a o a a n
Ak potrebujete získať sínusová Fourierova expanzia v polovici cyklu funkcie f(x) v rozsahu od 0 do π, potom je potrebné zostaviť nepárnu periodickú funkciu. Na obr. nižšie je funkcia f(x)=x postavená na intervale od x=0 do x=π. Pretože nepárna funkcia je symetrická vzhľadom na počiatok, zostrojíme čiaru CD, ako je znázornené na obr. Ak predpokladáme, že mimo uvažovaného intervalu je prijímaný pílovitý signál periodický s periódou 2π, potom má výsledný graf podobu znázornenú na obr. Pretože je potrebné získať Fourierovu expanziu na polovičnom cykle z hľadiska sínusov, ako predtým, vypočítame Fourierov koeficient. b
Fourierov rad pre ľubovoľný interval.
Rozšírenie periodickej funkcie s periódou L.
Periodická funkcia f(x) sa opakuje, keď sa x zvyšuje o L, t.j. f(x+L)=f(x). Prechod od predtým uvažovaných funkcií s periódou 2π k funkciám s periódou L je pomerne jednoduchý, pretože sa dá urobiť pomocou zmeny premennej.
Aby sme našli Fourierov rad funkcie f(x) v rozsahu -L/2≤x≤L/2, zavedieme novú premennú u tak, aby funkcia f(x) mala periódu 2π vzhľadom na u. Ak u=2πx/L, potom x=-L/2 pre u=-π a x=L/2 pre u=π. Nechaj tiež f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Fourierov rad F(u) má tvar
(Limity integrácie možno nahradiť ľubovoľným intervalom dĺžky L, napríklad od 0 do L)
Fourierov rad na polperióde pre funkcie dané v intervale L≠2π.
Pre substitúciu u=πx/L interval od x=0 do x=L zodpovedá intervalu od u=0 do u=π. Preto môže byť funkcia rozšírená do radu len v zmysle kosínusov alebo len v zmysle sínusov, t.j. v Fourierove série na polovičnom cykle.
Expanzia v kosínusoch v rozsahu od 0 do L má tvar
