тригонометрични функции. Урок "Функция y=cosx, нейните свойства и графика"

Урок и презентация на тема: "Функция y=cos(x). Дефиниция и графика на функция"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 10 клас
Алгебрични задачи с параметри, 9–11 клас
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"

Какво ще учим:
1. Определение.
2. Графика на функцията.
3. Свойства на функцията Y=cos(X).
4. Примери.

Дефиниране на косинусовата функция y=cos(x)

Момчета, вече се срещнахме с функцията Y=sin(X).

Нека си спомним една от формулите за призрак: sin(X + π/2) = cos(X).

Благодарение на тази формула можем да твърдим, че функциите sin(X + π/2) и cos(X) са идентични и техните функционални графики са еднакви.

Графиката на функцията sin(X + π/2) се получава от графиката на функцията sin(X) чрез паралелно изместване на π/2 единици наляво. Това ще бъде графиката на функцията Y=cos(X).

Графиката на функцията Y=cos(X) се нарича още синусоида.

свойства на функцията cos(x).

Областта на дефиниция е множеството от реални числа.
Функцията е равномерна. Нека си припомним определението за четна функция. Функцията се извиква дори ако е изпълнено равенството y(-x)=y(x). Както помним от призрачните формули: cos(-x)=-cos(x), дефиницията е изпълнена, тогава косинусът е четна функция.
Функцията Y=cos(X) намалява на интервала и се увеличава на интервала [π; 2π]. Можем да проверим това на графиката на нашата функция.
Функцията Y=cos(X) е ограничена отдолу и отгоре. Това свойство идва от факта, че
-1 ≤ cos(X) ≤ 1
Най-малката стойност на функцията е -1 (за x = π + 2πk). Най-голямата стойност на функцията е 1 (за x = 2πk).
Функцията Y=cos(X) е непрекъсната функция. Нека да разгледаме графиката и да се уверим, че нашата функция няма пропуски, което означава приемственост.
Диапазонът от стойности е сегментът [- 1; едно]. Това също се вижда ясно от графиката.
Функцията Y=cos(X) е периодична функция. Нека отново да разгледаме графиката и да видим, че функцията приема същите стойности на определени интервали.

Примери с функцията cos(x).

1. Решете уравнението cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Решение: Нека построим 2 графики на функцията: y=cos(x) и y=(x - 2π) 2 + 1 (виж фигурата).

y = (x - 2π) 2 + 1 е парабола, изместена вдясно с 2π и нагоре с 1. Нашите графики се пресичат в една точка A (2π; 1), това е отговорът: x \u003d 2π.

2. Начертайте графика на функцията Y=cos(X) за x ≤ 0 и Y=sin(X) за x ≥ 0

Решение: За да изградим необходимата графика, нека начертаем две графики на функцията част по парче. Първи срез: y=cos(x) за x ≤ 0. Втори срез: y=sin(x)
за x ≥ 0. Нека изобразим и двете „парчета“ на една графика.

3. Намерете най-голямото и най-малката стойностфункция Y=cos(X) на интервала [π; 7π/4]

Решение: Да построим графика на функцията и да разгледаме нашия сегмент [π; 7π/4]. Графиката показва, че най-големите и най-малките стойности се постигат в краищата на сегмента: съответно в точките π и 7π/4.
Отговор: cos(π) = -1 е най-малката стойност, cos(7π/4) = най-голямата стойност.

4. Начертайте графика на функцията y=cos(π/3 - x) + 1

Решение: cos(-x)= cos(x), тогава желаната графика ще бъде получена чрез преместване на графиката на функцията y=cos(x) π/3 единици надясно и 1 единица нагоре.

Задачи за самостоятелно решаване

1) Решете уравнението: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Решете уравнението: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Начертайте графика на функцията y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Начертайте графика на функцията y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y=cos(x) на отсечката.
6) Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y=cos(x) на интервала [- π/6; 5π/4].

В този урок ще разгледаме подробно функцията y \u003d cos x, нейните основни свойства и графика. В началото на урока ще дефинираме тригонометричната функция y = цена върху координатната окръжност и ще разгледаме графиката на функция върху окръжността и правата. Нека да покажем периодичността на тази функция на графиката и да разгледаме основните свойства на функцията. В края на урока ще решим някои прости задачи, използвайки графиката на функцията и нейните свойства.

Тема: Тригонометрични функции

Урок: Функция y=разход, нейните основни свойства и графика

Функцията е закон, според който на всяка стойност на независим аргумент се приписва уникална стойност на функцията.

Да си припомним дефиниция на функцияПозволявам т- всяко реално число. Съответства на една точка Мна кръга с числата. В точката Мима само една абциса. Нарича се косинус на числото. т.Всяка стойност на аргумента тсъответства само на една стойност на функцията (фиг. 1).

Централният ъгъл е числено равен на размера на дъгата в радиани, т.е. номер Следователно, аргументът може да бъде или реално число, или ъгъл в радиани.

Ако можем да определим за всяка стойност, тогава можем да изобразим функцията

Можете да получите графиката на функцията по друг начин. Според формулите за намаляване така че косинусовата диаграма е синусоида, изместена по оста хвляво (фиг. 2).

Свойства на функцията

1) Домен на дефиниция:

2) Диапазон от стойности:

3) Функцията е четна:

4) Най-малкият положителен период:

5) Координати на точките на пресичане с оста на абсцисата:

6) Координати на пресечната точка с оста y:

7) Интервали, на които функцията приема положителни стойности:

8) Интервали, на които функцията приема отрицателни стойности:

9) Увеличаване на интервалите:

10) Низходящи интервали:

11) Ниски точки:

12) Минимална функция: .

13) Високи точки:

14) Максимални характеристики:

Разгледахме основните свойства и графиката на функцията.По-нататък те ще бъдат използвани при решаването на задачи.

Библиография

1. Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Урок за образователни институции (ниво профил) изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Тетрадка за учебни заведения (профилно ниво), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас ( урокза ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика).-М .: Образование, 1996г.

4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Дълбоко обучениеалгебра и математически анализ.-М.: Образование, 1997г.

5. Сборник задачи по математика за кандидати в технически университети (под редакцията на М.И.Сканави).-М.: Висше училище, 1992г.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Тренажор по алгебри.-К.: А.С.К., 1997г.

7. Саакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебра и началото на анализа (помагало за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции).-М .: Образование, 2003.

8. Karp A.P. Сборник задачи по алгебра и началото на анализа: учеб. надбавка за 10-11 клетки. с дълбоко проучване математика.-М.: Образование, 2006.

Домашна работа

Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Тетрадка за учебни заведения (профилно ниво), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Допълнителни уеб ресурси

3. Образователен порталза подготовка за изпити ().

Назад напред

Внимание! Предварителният преглед на слайда е само за информационни цели и може да не представлява пълния обхват на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Тема на урока: „Функция y=cosx“

Урок 1

Цели на урока: Да запознае учениците със свойствата на функция

Цели на урока.

Образователно - формиране на функционални представи върху визуален материал, формиране на способност за начертаване на графики на функцията y = cosx, за формиране на умения за свободно четене на графики, способност за отразяване на свойствата на функцията върху графиката.

По време на занятията

№	Етап на урока	Слайдшоу	Време
1	Организиране на времето.Поздравления
2	Обявяване на темата и целта на урока
3	Актуализиране на основни знания Правете устни упражнения.	Фронтално проучване
4	Представяне на нов материал Задачата за начертаване на y \u003d cosx върху сегмент Обсъждане на свойствата на функцията y = cosx върху сегмент Задачата за изграждане на скица на графиката на функцията y \u003d cosx Обсъждане на свойствата на функцията y = cosx	Въвеждане на свойства в таблица
5	Решаване на задачи по учебник No 708, No 709	Решението е придружено от слайд номер 4
6	Задачата за начертаване на графика на функция с изместване по оста на ординатите и по оста на абсцисата. Обсъждане на свойствата на функцията
7	Самостоятелна работаспоред учебника	№710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3)
	Обобщавайки. Резултати от урока. Оценяване.
9	Домашна работа	§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Конструирайте графики на функции y = cosx и опишете свойствата на тази функция. Екстра #717 (1)

Цел на урока: Да запознае учениците със свойствата на функцията y = cosx, да се научи да начертае графиката на функцията y = cosx, да чете тази графика, използвайки свойствата и графиката на функцията при решаване на уравнения и неравенства .

2. Обявяването на темата и целта на урока е придружено от слайд номер 2

3. Актуализация на основни знания

Правете устни упражнения.

Повторете дефиницията на тригонометричните функции и знаците на стойностите на тези функции.
Обърнете внимание на учениците върху факта, че за всяко реално число можете да посочите съответната точка на единичната окръжност и следователно нейната абциса и ордината, т.е. косинус и синус на числото x: y = cosx и y = sinx, чиято област на дефиниране е всички реални числа.

След това учениците отговарят на въпросите:

При какви стойности на x функцията y=cosx приема стойност, равна на 0? един? -един?
Може ли функцията y=cosx да приеме стойност, по-голяма от 1, по-малка от -1?
При какви стойности на x функцията y=cosx приема най-голямата (най-малка) стойност?
Какъв е наборът от стойности на функцията y=cosx?

Отговорите на тези и следващите въпроси са придружени от илюстрация върху единичен кръг.

След като повторят знаците на стойностите на тригонометричните функции във всяка четвърт от координатната равнина, учениците трябва да покажат няколко точки от единичния кръг, съответстващи на числа, чийто косинус е положително (отрицателно) число. Тогава отговори на въпроса:

1) Какъв е знакът на функцията y \u003d cosx, ако x =, x \u003d,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Посочете няколко стойности на x, при които стойностите на функцията y \u003d cosx са положителни, отрицателни.

3) Възможно ли е да се назоват всички стойности на число, чийто косинус е положителен, отрицателен?

4) Възможно ли е да се назоват всички стойности на аргумента x, за които стойностите на функцията y = cosx са положителни или отрицателни?

5) Четна или нечетна функция y = cosx.

6) Какъв е периодът на тази функция?

4. Представяне на нов материал.

Обобщение и конкретизиране на знанията, получени по-рано: изучаването на областта на дефиницията, набора от стойности, паритета, периодичността ви позволява да изградите графика първо върху сегмента, след това върху сегмента и след това върху цялата числова права. Обяснението е придружено от слайд №3.

След това учениците се научават да рисуват скица на графиката на функцията y = cosx в точки (0; 1), (; 0),

(:-1), (;0), (;1) и обобщете свойствата на функцията, като ги запишете в таблица.

Проверяваме с помощта на слайд номер 4.

(На този етап се издават подкрепящи бележки (Приложение 1))

5. Затвърждаване на първични знания.

С помощта на скица на графиката на функцията y = cosx, учениците отговарят на въпроси № 708, като използват таблицата на свойствата на функцията y = cosx, те отговарят на въпроси № 709

6. Задачата за начертаване на функционална графика с изместване по оста на ординатите и по оста на абсцисата.

1. Слайд номер 5, 6

По време на разговора се обсъждат свойствата на тези функции.

7. Самостоятелна работа по учебника

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Разделете този сегмент на два сегмента, така че функцията y \u003d cosx да се увеличава на един от тях и намалява на другия:

Намалява; - се увеличава

Използвайки свойството на увеличаване или намаляване на функцията y = cosx, сравнете числата:

На сегмента функцията y \u003d cosx намалява; , следователно, .

На сегмента функцията y \u003d cosx се увеличава;

<, следовательно, cos < cos

Намерете всички корени на уравнението, принадлежащи на отсечката:

1) cosx \u003d x \u003d ± +2 n, nЗ

Отговор: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Обобщаване.

Оценяване.

В урока научихме как да изобразяваме функцията y = cosx, четем свойствата на тази графика, изграждаме скица на графиката, решаваме задачи, свързани с използването на графиката и свойствата на функцията y = cosx.

9. Домашна работа.

§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Конструирайте графики на функции y = cosx и опишете свойствата на тази функция.

Допълнително № 717(1).

Тема: “Функция y=cosx”

Урок №2

Цели на урока: Повторете правилата за изграждане на графика на функция y \u003d cosx, научете как да прилагате техниките за трансформиране на графика, четене на тази графика, като използвате свойствата и графиката на функция при решаване на уравнения и неравенства.

Цели на урока.

Образователно - формиране на функционални представи върху визуален материал, формиране на способност за начертаване на графики на функцията y \u003d cosx с различни трансформации, за формиране на умения за свободно четене на графики, способност за отразяване на свойствата на функция върху графика.

Развиване - формиране на способност за анализиране, обобщаване на получените знания. Формиране на логическо мислене.

Образователна – за активиране на интерес към придобиване на нови знания, възпитание на графична култура, формиране на точност и точност при изработване на рисунки.

Оборудване: мултимедиен проектор, екран, операционна система Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

По време на занятията

№	Етап на урока	Слайдшоу	Време
1	Организиране на времето.Поздравления		1
2	Обявяване на темата и целта на урока		2
3	Проверка на домашната работа	№717(1), Слайд №7	5
4	Представяне на нов материал Задачата за начертаване на графика чрез притискане и разтягане до оста OX Обсъждане на свойствата на функцията y =k cosx за k>1 и 0 Задачата за начертаване на графика чрез свиване и разтягане до ori OU Обсъждане на свойствата на функцията y = cos(k x) за k>1 и 0	Слайд №8, 9	12
5	Консолидиране на първични знания.Решаване на задачи в учебника №713(1;3), №715(1) №716(1)	No 717 (2) учебник стр. 208. При решаване на No 715 (1), No 716 (1) използвайте построената графика на функцията y = cos2x. Слайд №10	5
6	Задачата е да се начертае графика на функция, която е симетрична спрямо оста x. 1. Организационен момент. Поздравления. 2. Обявяването на темата и целта на урока е придружено от слайд номер 2. 3. Проверка на домашното 4. Представяне на нов материал 1. Задачата за начертаване на графика чрез свиване и разтягане до оста OX. Обсъждане на свойствата на функцията y =k cosx за k>1 и 0 слайд номер 8 2. Задачата за начертаване на графика чрез притискане и разтягане до оста y. Обсъждане на свойствата на функцията y = cos(kx) за k>1 и 0 слайд номер 9 5. Затвърждаване на първични знания Решаване на задачи по учебник No 713 (1; 3), No 715 (1) No 716 (1) Задача No 715 (1) No 716 (1) се проверява с помощта на слайд No 10 6. Задачата за начертаване на графика на функция, симетрична спрямо оста x Обсъждане на свойствата на функцията . Слайд номер 11 (използвайте референтния контур (Приложение 1)) 7. Самостоятелна работа Решаване на тестови задачи . (Половината от учениците решават тестове в XL (Приложение 2), на компютри, втората половина на раздатки (Приложение 3). След това учениците сменят местата.) 8. Резултатите от урока. В резултат на изучаването на темата учениците се научиха как да изобразяват графика на функцията y = cosx, да четат свойствата на функцията, да изграждат графики на функцията, използвайки различни трансформации, да четат свойствата на графики с трансформации, да решават прости задачи с помощта на графики и свойства на функцията y \u003d cosx. Оценяване. 9. Домашна работа. §40 #717(3), #713(4), #715(4), #716(2). Допълнително № 719(2) (Проверете слайд № 13) В началото на следващия урок можете да поканите учениците да работят върху изграждането на графики върху готови разпечатки (

Видео урокът "Функция y = cos x, нейните свойства и графика" е визуален материал за изучаване на тази тема. Наръчникът представя особеностите на функцията, нейните свойства, както и описания на решаване на задачи, при които се прилагат познания за свойствата на косинуса. С помощта на видео урок за учителя е по-лесно да предостави необходимите знания и да формира уменията на учениците. Визуалното помагало може да помогне за подобряване на ефективността на урока, като осигури по-задълбочено разбиране и по-добро задържане, както и освобождава време на урока за индивидуална работа.

Използването на видео урок дава предимство на учителя при по-ефективно предаване на материала. Помагалото може да се използва само за яснота, придружаващо обяснението на учителя или като самостоятелна част от урока, даваща възможност на учителя да подобри индивидуалната работа с учениците. Демонстрираният график, трансформациите с помощта на анимационни ефекти стават по-разбираеми за учениците, помагат да се овладеят уменията за решаване на проблеми с помощта на този материал. Открояването и озвучаването на свойствата на функцията с инструментите на видеоурока помага да ги запомните по-добре.

Демонстрацията започва с представяне на заглавието на темата. За да начертаят функцията y = cos x, учениците се напомнят за формулата за намаляване cos x = sin (x + π / 2), която показва, че графиките на функциите y = cos x и y = sin (x + π / 2) са идентично равни. За да се начертае функцията y \u003d sin (x + π / 2), се начертава координатна равнина, на оста x на която е отбелязана точката -π / 2. Ако вземем тази точка като начало за начертаване на sin x, тогава тази графика е и графиката на функцията y = sin (x + π / 2) за началото. Тоест графиката на функцията y \u003d cos x се измества с π / 2 по оста на абсцисата на графиката на функцията y = sin x. очевидно е, че графиката на функцията y \u003d cos x също е синусоида. Местоположението му ни позволява да правим изводи за свойствата на функцията.

Първото свойство на функция е свързано с обхвата. Очевидно е, че цялата числова права ще бъде областта на функцията, тоест D(f)=(- ∞;+∞).

Във второто свойство на функцията се отбелязва четността на функцията. На учениците се припомня изучавания материал в 9. клас, в който е посочено условието за четност на функцията. За четна функция е валидно равенството f(-x)=f(x). Говорейки за четността на косинусовата функция, трябва да се отбележи, че графиката на тази функция е симетрична спрямо оста y. Можете да демонстрирате свойствата на функцията на фигурата, която показва единична окръжност в координатната равнина. През първото и четвъртото тримесечие се отбелязват точки, които са симетрични спрямо оста на абсцисата. Косинусът се определя от абсцисата на точката, така че за две точки L(t) и N(-t) абсцисите са еднакви. Следователно cos (-t)= cos t.

Третото свойство маркира интервалите на намаляване и нарастване на функцията. Свойството показва, че функцията намалява на отсечката , а на отсечката [π;2π] косинусът се увеличава. Фигурата показва функционална графика, която ясно показва областта на намаляващи и нарастващи функции.

Очевидно функцията y \u003d cos x се увеличава на всеки сегмент [π + 2πk; 2π + 2πk]. Низходящите сегменти като цяло изглеждат така, където k е цяло число.

В четвъртото свойство се отбелязва ограничеността на косинус функцията отгоре и отдолу. Подобно на синуса, могат да се отбележат ограничените стойности на косинуса -1<= cos х<=1. Поэтому функция является ограниченной.

Петото свойство определя най-малката и най-голямата стойност на функцията. В този случай най-малката стойност -1 се постига във всяка точка x= π+2πk, а най-голямата стойност 1 се постига във всяка точка x=2πk.

Шестото свойство показва непрекъснатостта на функцията y = cos x. На фигурата, която показва графиката, може да се види, че тази функция няма прекъсвания в цялата област на дефиниция.

Седмото свойство на функцията показва, че наборът от стойности от \u003d cos x се намира на сегмента [-1; 1].

Освен това се разглеждат примери, в които е необходимо да се използват знания за свойствата на функцията y = cos x. В първия пример е необходимо да се реши уравнението cos x=1-x 2 . Решението на това уравнение ще бъдат пресечните точки на графиките на функциите, които са представени от изразите на дясната и лявата страна на уравнението, тоест y = cos x и y = 1-x 2. Очевидно графиката на първото уравнение е синусоидата, показана по-рано в темата. Графиката на втората функция е парабола, чийто връх се намира в точката (0;1). След начертаване на графиките на всяка функция, на фигурата за този проблем може да се види, че единствената пресечна точка на двете графики ще бъде точката B (0; 1).

Във втория пример трябва да изградите и прочетете графиката на функцията, която е дефинирана на сегмента x<π/2 выражением sinx, а на отрезке х>=π/2 израз cosx. На фигурата, придружаваща решението на примера, графика на функцията y = sinx е нанесена върху сегмента [-3π / 2; π/2]. В същото време в точката π/2 функцията не приема стойност. На отсечката [π/2; 3π/2] се конструира фрагмент от функцията y = cos x. Очевидно конструираните фрагменти ще се повтарят в цялата област на дефиниция. По-долу е описано как се чете функцията. Отбелязва се, че това означава да се опишат неговите свойства. Изброени са свойствата на тази функция - областта на дефиниция (-∞;+∞), липсата на признаци за четност или нечетност за цялата област на дефиниция, ограничеността на функцията както отгоре, така и отдолу. Най-голямата стойност на функцията ще бъде 1, а най-малката -1. Има и празнина в точката x=π/2, набор от стойности на функцията (-1;1).

Видео урокът „Функция y = cos x, нейните свойства и графика“ се използва в урок по математика по тази тема като визуален материал. Също така това видео може да бъде полезно за формирането на необходимите умения у учениците за учител, който провежда обучение от разстояние. Материалът може да бъде препоръчан за самостоятелно разглеждане на ученици, които не са усвоили достатъчно добре темата и изискват допълнителни занимания.

ТЪЛКУВАНЕ НА ТЕКСТА:

Преди да начертаете функцията y = cos x, припомнете си формулата за намаляване, според която cos x = sin (x + 14Ã2) "> (косинусът на аргумента x е равен на синуса на аргумента x плюс pi с две ). Това означава, че функциите y = cos x и

y = sin(x +14ПЂ2)"> са идентично равни, следователно техните графики съвпадат.

За да начертаете функцията y \u003d sin (x +14ПЂ2)"> имаме нужда от помощна координатна система с начало в точка B (-14ПЂ2 ">; 0) (в точката е с координати минус pi по две, нула). Ако начертаем графиката на функцията y = sin x в новата координатна система, тогава получаваме графиката на функцията

y = sin(x +14ПЂ2)"> или графиката на функцията y \u003d cos x, тъй като техните графики съвпадат (виж фиг. 1).

Тъй като графиката на функцията y = cos x се получава от графиката на синуса, използвайки паралелно превеждане на разстояние14ПЂ2 "> в отрицателна посока, тогава графиката на тази функция също е синусоида.

Изображението на графиката на функцията y \u003d cos x дава визуално представяне на свойствата на тази функция.

СВОЙСТВО 1. Областта на дефиниция е множеството от всички реални числа или D (f) = (-14в€ћ"> ; +14v €ћ ">) (de от ef е равно на интервала от минус безкрайност до плюс безкрайност).

СВОЙСТВО 2. Функцията y = cos x е четна.

В уроците в 9 клас научихме, че функцията y \u003d f (x), x ϵX (y е равно на eff от x, където x принадлежи на множеството x е голямо) се извиква дори ако за всяка стойност x от множеството X е равенството

f (- x) \u003d f (x) (ef от минус x е равно на ef от x).

СВОЙСТВО 3. На интервала [ 0 ; π ](от нула до pi) функцията намалява, нараства на интервала [ π ; 2π] (от пи до две пи) и т.н.

Можем да направим общо заключение: функцията y \u003d cos x се увеличава на сегмента

[π 14+2ПЂk ">;142ПЂ+2ПЂk"> ] (от пи плюс два пика до два пи плюс два пика) и намалява на сегмента [14 2ПЂk">;14ПЂ+2ПЂk]"> (от две pi ka до pi плюс две pi ka), където (ka принадлежи към множеството от цели числа).

СВОЙСТВО 4. Функцията е ограничена отгоре и отдолу.

СВОЙСТВО 5. Най-малката стойност на функцията е равна на минус едно и се достига във всяка точка от вида x =14ПЂ + 2ПЂk "> (или можете да напишете y име = - 1); най-голямата стойност е 1 и се достига във всяка точка от формата x =142ПЂk">

(или можете да напишете y max. = 1).

СВОЙСТВО 6. Функцията y \u003d cos x е непрекъсната.

СВОЙСТВО 7. Наборът от стойности на функциите е отсечка от минус едно до едно (или можете да напишете E (f) = [ - 1; 1]).

Помислете за примери.

ПРИМЕР 1. Решете уравнението cos x \u003d 1 - x 2 (косинус x е равен на едно минус x на квадрат).

Решение. Нека да решим това уравнение графично. В една координатна система ще изградим две графики на функции: y = cos x и y = 1 - x 2. Графика на функциите

y \u003d 1 - x 2 е парабола, клоните на която са насочени надолу, тъй като коефициентът на x на квадрат е отрицателен. (виж фиг. 2) Построените графики имат само една обща точка - това е точка B (0; 1) (да е с координати нула, единица).

Решение. Ще изградим графика „част по парче“. Първо, ние изграждаме част от графиката на функцията y = sin x върху отворения лъч (-14v€ћ"> ;14ПЂ2">) , след това в същата координатна система на гредата [14 ПЂ2 ">; +14в€ћ">) изграждаме част от графиката на функцията y = cos x. Получаваме графиката на функцията y = f (x).

Нека да прочетем графиката на тази функция (това означава да изброим свойствата на функцията):

Областта на дефиниция е множеството от всички реални числа, т.е.

D(f) = (-14v€ћ ; + в€ћ)"> (т.е. de от ef е равно на интервала от минус безкрайност до плюс безкрайност).

Функцията не е нито четна, нито нечетна.
Функцията е ограничена както отдолу, така и отгоре.
Най-малката стойност на функцията е равна на минус едно (има безкрайно много такива точки), най-голямата стойност на функцията е равна на единица (също има безкрайно много такива точки).
Функцията има прекъсване в точката x =14ПЂ 2 "> .
Наборът от стойности на функцията е сегмент от минус едно до едно.

Тема: Тригонометрични функции

Урок: Функция y=разход, нейните основни свойства и графика

Ако можем да определим за всяка стойност, тогава можем да изобразим функцията

Свойства на функцията

1) Домен на дефиниция:

2) Диапазон от стойности:

3) Функцията е четна:

4) Най-малкият положителен период:

5) Координати на точките на пресичане с оста на абсцисата:

6) Координати на пресечната точка с оста y:

7) Интервали, на които функцията приема положителни стойности:

8) Интервали, на които функцията приема отрицателни стойности:

9) Увеличаване на интервалите:

10) Низходящи интервали:

11) Ниски точки:

12) Минимална функция: .

13) Високи точки:

14) Максимални характеристики:

Библиография

1. Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за учебни заведения (профилно ниво), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математиката). - М.: Образование, 1996.

4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено изследване на алгебрата и математическия анализ.-М .: Образование, 1997.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Тренажор по алгебри.-К.: А.С.К., 1997г.

Домашна работа

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Допълнителни уеб ресурси

3. Образователен портал за подготовка за изпит ().