В този урок всеки ще може да изучава темата "Правоъгълна кутия". В началото на урока ще повторим какво представляват произволен и прав паралелепипед, ще си припомним свойствата на техните противоположни лица и диагоналите на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво представлява кубоидът и ще обсъдим основните му свойства.

Тема: Перпендикулярност на правите и равнините

Урок: кубоид

Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, се нарича паралелепипед(Фиг. 1).

Ориз. 1 паралелепипед

Тоест: имаме два равни паралелограма ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредник паралелепипед.

По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.

1. Противоположните страни на паралелепипед са успоредни и равни.

(цифрите са равни, тоест могат да се комбинират чрез наслагване)

Например:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (равни паралелограми по дефиниция),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни страни на паралелепипеда).

2. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и разполовяват тази точка.

Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O и всеки диагонал е разделен наполовина от тази точка (фиг. 2).

Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипеда се пресичат и разполовяват пресечната точка.

3. Има три четворки равни и успоредни ръбове на паралелепипеда: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.

Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. И следователно правоъгълниците лежат в страничните лица. А основите са произволни паралелограми. Означете, ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.

Ориз. 3 Дясно поле

И така, дясната кутия е кутия, в която страничните ръбове са перпендикулярни на основите на кутията.

Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.

Паралелепипедът АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:

1. AA 1 ⊥ ABCD (страничният ръб е перпендикулярен на равнината на основата, тоест прав паралелепипед).

2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.

Ориз. 4 кубоид

Правоъгълната кутия има всички свойства на произволна кутия.Но има допълнителни свойства, които са получени от определението за кубоид.

Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоида е правоъгълник.

1. В кубоид всичките шест лица са правоъгълници.

ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.

2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на кубоид са правоъгълници.

3. Всички двугранни ъгли на кубоид са прави ъгли.

Да разгледаме, например, двугранния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двугранния ъгъл между равнините ABB 1 и ABC.

AB е ръб, точка A 1 лежи в една равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двуграничен ъгъл може да се обозначи и по следния начин: ∠А 1 АВD.

Вземете точка A на ръб AB. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABB-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Следователно ∠A 1 AD е линейният ъгъл на дадения двуграничен ъгъл. ∠A 1 AD \u003d 90 °, което означава, че двугранният ъгъл при ръба AB е 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

По същия начин се доказва, че всички двугранни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Квадратът на диагонала на кубоида е равен на сбора от квадратите на трите му измерения.

Забележка. Дължините на трите ръба, произлизащи от един и същи връх на кубоида, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат ​​дължина, ширина, височина.

Дадено: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).

Докажи: .

Ориз. 5 кубоид

доказателство:

Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC, а оттам и на правата AC. Така че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен триъгълник. Според питагоровата теорема:

Да разгледаме правоъгълен триъгълник ABC. Според питагоровата теорема:

Но BC и AD са противоположни страни на правоъгълника. Така че BC = AD. Тогава:

Защото , а , тогава. Тъй като CC 1 = AA 1, тогава това, което се изискваше да се докаже.

Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.

Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

В геометрията се разграничават следните видове паралелепипеди: правоъгълен паралелепипед (правоъгълниците действат като лица на паралелепипеда); прав паралелепипед (страничните му страни действат като правоъгълници); наклонен паралелепипед (страничните му страни действат като перпендикуляри); кубът е паралелепипед с точно същите размери, а лицата на куба са квадрати. Паралелепипедите могат да бъдат наклонени или прави.

Основните елементи на паралелепипеда са, че две лица на дадена геометрична фигура, които нямат общ ръб, са противоположни, а тези, които имат, са съседни. Върховете на кутията, които не принадлежат на едно и също лице, са един срещу друг. Паралелепипедът има измерение - това са три ръба, които имат общ връх.

Отсечка, която свързва противоположни върхове, се нарича диагонал. Четирите диагонала на паралелепипеда, пресичащи се в една точка, се разделят едновременно наполовина.

За да се определи диагонала на паралелепипед, е необходимо да се определят страните и ръбовете, които са известни от условието на задачата. С известни три ръба А , V , С начертайте диагонал в паралелепипеда. Според свойството на паралелепипед, което казва, че всичките му ъгли са прави, се определя диагонал. Построете диагонал от една от лицата на паралелепипеда. Диагоналите трябва да бъдат начертани по такъв начин, че диагоналът на лицето, желаният диагонал на паралелепипеда и известният ръб да създават триъгълник. След като се оформи триъгълникът, намерете дължината на този диагонал. Диагоналът в друг получен триъгълник действа като хипотенуза, така че може да бъде намерен с помощта на питагоровата теорема, която трябва да се вземе под корен квадратен. Така научаваме стойността на втория диагонал. За да се намери първият диагонал на паралелепипеда в образувания правоъгълен триъгълник, е необходимо да се намери и неизвестната хипотенуза (зад теоремата на Питагор). Използвайки същия пример, намерете последователно останалите три диагонала, съществуващи в паралелепипеда, като извършите допълнителни конструкции на диагонали, които образуват правоъгълни триъгълници и решите с помощта на питагоровата теорема.

Правоъгълният паралелепипед (PP) не е нищо повече от призма, чиято основа е правоъгълник. В PP всички диагонали са равни, което означава, че всеки от неговите диагонали се изчислява по формулата:

a, c - страните на основата на PP;

c е неговата височина.

Може да се даде друго определение, като се има предвид декартовата правоъгълна координатна система:

PP диагоналът е радиус векторът на всяка точка от пространството, дадена от координатите x, y и z в декартовата координатна система. Този радиус вектор към точката се изтегля от началото. И координатите на точката ще бъдат проекциите на радиус вектора (диагонал PP) върху координатните оси. Проекциите съвпадат с върховете на дадения паралелепипед.

Паралелепипед и неговите видове

Ако буквално преведем името му от древногръцки, се оказва, че това е фигура, състояща се от успоредни равнини. Има такива еквивалентни дефиниции за паралелепипед:

• призма с основа под формата на паралелограм;
• полиедър, чието лице е паралелограм.

Неговите видове се разграничават в зависимост от това коя фигура лежи в основата му и как са насочени страничните ребра. Като цяло се говори за наклонен паралелепипедчиято основа и всички лица са успоредни. Ако страничните повърхности на предишния изглед се превърнат в правоъгълници, тогава той вече трябва да бъде извикан директен. И при правоъгълнаи основата също има ъгли от 90º.

Освен това в геометрията те се опитват да изобразят последното по такъв начин, че да се забележи, че всички ръбове са успоредни. Тук, между другото, се наблюдава основната разлика между математиците и художниците. За последното е важно да предаде тялото в съответствие със закона за перспективата. И в този случай успоредността на ръбовете е напълно невидима.

Относно въведената нотация

Във формулите по-долу са валидни обозначенията, посочени в таблицата.

Формули за наклонена кутия

Първият и вторият за областите:

Третият е за изчисляване на обема на кутията:

Тъй като основата е успоредник, за да изчислите неговата площ, ще трябва да използвате съответните изрази.

Формули за кубоид

Подобно на първия параграф - две формули за области:

И още едно за обем:

Първа задача

състояние. Даден е правоъгълен паралелепипед, чийто обем трябва да се намери. Известен е диагоналът - 18 см - и фактът, че образува ъгли от 30 и 45 градуса съответно с равнината на страничната повърхност и страничния ръб.

Решение.За да отговорите на въпроса на задачата, трябва да намерите всички страни в три правоъгълни триъгълника. Те ще дадат необходимите стойности на ръба, за които трябва да изчислите обема.

Първо трябва да разберете къде е ъгълът от 30º. За да направите това, трябва да начертаете диагонал на страничната повърхност от същия връх, от който е начертан главният диагонал на успоредника. Ъгълът между тях ще бъде това, от което се нуждаете.

Първият триъгълник, който ще даде една от страните на основата, ще бъде следният. Той съдържа желаната страна и два начертани диагонала. Тя е правоъгълна. Сега трябва да използвате съотношението на противоположния крак (основната страна) и хипотенузата (диагонал). То е равно на синуса от 30º. Тоест, неизвестната страна на основата ще бъде определена като диагонал, умножен по синуса от 30º или ½. Нека бъде отбелязано с буквата "а".

Вторият ще бъде триъгълник, съдържащ известен диагонал и ръб, с който образува 45º. Той също е правоъгълен и отново можете да използвате съотношението на катета към хипотенузата. С други думи, страничният ръб към диагонала. То е равно на косинус от 45º. Тоест "c" се изчислява като произведение на диагонала и косинуса от 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).

В същия триъгълник трябва да намерите друг крак. Това е необходимо, за да се изчисли след това третото неизвестно - "в". Нека бъде отбелязано с буквата "x". Лесно е да се изчисли с помощта на питагоровата теорема:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) = 9 √ 2 (см).

Сега трябва да разгледаме друг правоъгълен триъгълник. Той съдържа вече известните страни "c", "x" и тази, която трябва да се преброи, "c":

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 = 9 (см).

И трите количества са известни. Можете да използвате формулата за обем и да я изчислите:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).

Отговор:обемът на паралелепипеда е 729√2 cm 3 .

Втора задача

състояние. Намерете обема на паралелепипеда. Знае страните на паралелограма, който лежи в основата, 3 и 6 см, както и неговия остър ъгъл - 45º. Страничното ребро има наклон към основата 30º и е равно на 4 cm.

Решение.За да отговорите на въпроса за задачата, трябва да вземете формулата, която е написана за обема на наклонен паралелепипед. Но и двете количества са неизвестни в него.

Площта на основата, тоест на успоредника, ще се определи от формулата, в която трябва да умножите известните страни и синуса на острия ъгъл между тях.

S o \u003d 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2) / 2 = 9 √2 (cm 2).

Втората неизвестна е височината. Може да се изтегли от всеки от четирите върха над основата. Може да се намери от правоъгълен триъгълник, в който височината е катета, а страничният ръб е хипотенузата. В този случай ъгъл от 30º лежи срещу неизвестната височина. Така че можете да използвате съотношението на крака към хипотенузата.

n = 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 = 2.

Сега всички стойности са известни и можете да изчислите обема:

V \u003d 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).

Отговор:обемът е 18 √2 cm 3 .

Трета задача

състояние. Намерете обема на паралелепипеда, ако е известно, че е права линия. Страните на основата му образуват паралелограм и са равни на 2 и 3 см. Острият ъгъл между тях е 60º. По-малкият диагонал на паралелепипеда е равен на по-големия диагонал на основата.

Решение.За да разберем обема на паралелепипед, използваме формулата с основната площ и височината. И двете количества са неизвестни, но са лесни за изчисляване. Първият е височината.

Тъй като по-малкият диагонал на паралелепипеда е със същия размер като по-голямата основа, те могат да бъдат обозначени със същата буква d. Най-големият ъгъл на паралелограма е 120º, тъй като той образува 180º с остър. Нека вторият диагонал на основата се обозначава с буквата "x". Сега, за двата диагонала на основата, можем да напишем косинусните теореми:

d 2 \u003d a 2 + в 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + в 2 - 2av cos 60º.

Намирането на стойности без квадрати няма смисъл, тъй като тогава те отново ще бъдат повдигнати на втора степен. След подмяна на данните се оказва:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 \u003d a 2 + в 2 - 2av cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Сега височината, която е и страничният ръб на паралелепипеда, ще бъде кракът на триъгълника. Хипотенузата ще бъде известният диагонал на тялото, а вторият крак ще бъде "x". Можете да напишете Питагоровата теорема:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Следователно: n = √12 = 2√3 (cm).

Сега втората неизвестна величина е площта на основата. Може да се изчисли по формулата, посочена във втория проблем.

S o \u003d 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3 √3 (cm 2).

Комбинирайки всичко във формула за обем, получаваме:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (см 3).

Отговор: V \u003d 18 cm 3.

Четвъртата задача

състояние. Необходимо е да се намери обемът на паралелепипед, който отговаря на следните условия: основата е квадрат със страна 5 cm; страничните лица са ромби; един от върховете над основата е еднакво отдалечен от всички върхове, лежащи в основата.

Решение.Първо трябва да се справите със състоянието. Няма въпроси с първия параграф за квадрата. Вторият, относно ромбовете, показва, че паралелепипедът е наклонен. Освен това всичките му ръбове са равни на 5 см, тъй като страните на ромба са еднакви. И от третия става ясно, че трите диагонала, изтеглени от него, са равни. Това са две, които лежат на страничните лица, а последният е вътре в паралелепипеда. И тези диагонали са равни на ръба, тоест те също имат дължина 5 см.

За да определите обема, ще ви е необходима формула, написана за наклонен паралелепипед. Отново няма известни количества в него. Площта на основата обаче е лесно да се изчисли, защото е квадрат.

S o \u003d 5 2 = 25 (см 2).

Малко по-труден е случаят с височината. Тя ще бъде такава в три фигури: паралелепипед, четириъгълна пирамида и равнобедрен триъгълник. Трябва да се използва последното обстоятелство.

Тъй като е височина, това е катет в правоъгълен триъгълник. Хипотенузата в него ще бъде известен ръб, а вторият катет е равен на половината от диагонала на квадрата (височината също е медиана). И диагоналът на основата е лесно да се намери:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (см).

V \u003d 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см 3).

Отговор: 62,5 √2 (см 3).

Паралелепипедът е геометрична фигура, всичките 6 лица на която са успоредни.

В зависимост от вида на тези паралелограми има следните видовепаралелепипед:

• прав;
• наклонен;
• правоъгълна.

Правият паралелепипед е четириъгълна призма, чиито ръбове образуват ъгъл от 90 ° с основната равнина.

Правоъгълният паралелепипед е четириъгълна призма, чиито лица са правоъгълници. Кубът е вид четириъгълна призма, в която всички лица и ръбове са равни.

Характеристиките на фигурата предопределят нейните свойства. Те включват следните 4 твърдения:

Запомнянето на всички горни свойства е просто, те са лесни за разбиране и се извличат логически въз основа на вида и характеристиките на геометричното тяло. Въпреки това, простите изрази могат да бъдат невероятно полезни при решаване на типични USE задачи и ще спестят времето, необходимо за преминаване на теста.

Формули на паралелепипед

За да намерите отговори на проблема, не е достатъчно да знаете само свойствата на фигурата. Може да ви трябват и някои формули, за да намерите площта и обема на геометрично тяло.

Площта на основите също се намира като съответен индикатор на успоредник или правоъгълник. Можете сами да изберете основата на паралелограма. По правило при решаване на задачи е по-лесно да се работи с призма, която се основава на правоъгълник.

Формулата за намиране на страничната повърхност на паралелепипед може да е необходима и в тестови задачи.

Примери за решаване на типични USE задачи

Упражнение 1.

Дадено: кубоид с размери 3, 4 и 12 cm.
НеобходимоНамерете дължината на един от основните диагонали на фигурата.
Решение: Всяко решение на геометричен проблем трябва да започне с изграждането на правилен и ясен чертеж, върху който ще бъде посочена „дадената“ и желаната стойност. Фигурата по-долу показва пример за правилно форматиране на условията на задачата.

След като разгледахме направения чертеж и запомнихме всички свойства на геометрично тяло, стигаме до единствения правилен начин да го решим. Прилагайки свойство 4 на паралелепипеда, получаваме следния израз:

След прости изчисления получаваме израза b2=169, следователно b=13. Отговорът на задачата е намерен, търсенето и начертаването му трябва да отнеме не повече от 5 минути.