Представяне на урока за диференциране на логаритмични и експоненциални функции. Диференциране на експоненциалната и логаритмичната функция

Производна на експоненциални и логаритмични функции Урок в 11 "Б" клас
учител Копова О.В.

Изчислете производната

устно
1.
2.
3.
3x2 2x5
д
2x
3e x
4.
ln x 3
5.
34 х
6.
5 x 2 sin x ln 5 x
писмено
х
1
y дневник 5 x 4
7
y x 2 log 1 3x 1
2
3 1
y ln 2 x
х

х
Дадена е функция y 2 x e . Намерете ъгъл
коефициент на начертаната допирателна
точка с абциса x0 0 .
Напишете уравнение за допирателната към
графика на функцията f x x 5 ln x в точка c
абсцис x0 1 .

Задача B8 (#8319)

дефиниран на интервала 5; 10 . Намерете пропуските
увеличаване на функцията. Дайте на отговора си дължината на най-дългата
от тях.

Задача B8 (#9031)
Фигурата показва графика на производната на функция,
дефиниран на интервала 11; 2. Намерете точка
екстремум на функцията на сегмент 10; пет .

Задача B8 (#8795)
Фигурата показва графика на производната на функция,
дефиниран на интервала 9; 2. Намерете количество
точки, в които допирателната към графиката на функцията
е успоредна на правата y x 12 или съвпада с нея.

Прототип на работа B14

Намерете минималната точка на функцията y 4x 4 ln x 7 6 .
76xx2
Намерете най-голямата стойност на функция
y 3
Намерете най-малката стойност на функция
y e 2 x 6e x 3
на сегмент 1; 2.

Да разгледаме експоненциална функция y = a x, където a > 1. Изграждаме графики за различни бази a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1-ви вариант) 3. y = 10 x (2-ри вариант) 1. Нека построим графики за различни бази a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1-ви вариант) 3. y = 10 x (2-ри вариант) "> 1. Нека построим графики за различни бази a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1-ва опция) 3. y = 10 x (2-ра опция) "\u003e 1. Нека да изградим графики за различни бази: 1. y = 2 x 2. y \u003d 3 x (1-ва опция) 3 . y = 10 x (Вариант 2)" title="(!LANG: Помислете за експоненциална функция y = ax, където a > 1. Нека начертаем графики за различни бази a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (Вариант 1) 3. y = 10 x (Вариант 2)"> title="Да разгледаме експоненциална функция y = a x, където a > 1. Изграждаме графики за различни бази a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1-ви вариант) 3. y = 10 x (2-ри вариант)"> !}

С помощта на прецизни конструкции на допирателни към графики може да се види, че ако основата a на експоненциалната функция y = ax постепенно увеличава основата от 2 до 10, тогава ъгълът между допирателната към графиката на функцията при точката x \u003d 0 и оста x постепенно се увеличава от 35 до 66, пет. Следователно има основа a, за която съответният ъгъл е 45. И тази стойност на a е между 2 и 3, т.к. за a = 2 ъгълът е 35, за a = 3 е 48. В хода на математическия анализ се доказва, че тази основа съществува, обикновено се обозначава с буквата e. Установено е, че e е ирационално число, тоест е безкрайно непериодично десетичен: e = 2, … ; На практика обикновено се приема, че e 2.7.

Графика и свойства на функцията y = e x: 1) D (f) = (- ; +); 2) не е нито четно, нито нечетно; 3) увеличава; 4) не ограничен отгоре, ограничен отдолу 5) няма нито най-голямата, нито най-малката стойност; 6) непрекъснат; 7) E (f) = (0; +); 8) изпъкнал надолу; 9) е диференцируем. Функцията y = e x се нарича експонента.

В хода на математическия анализ беше доказано, че функцията y \u003d e x има производна във всяка точка x: -3)" = e x-3

3) -2 x) x \u003d -2 - максимална точка x \u003d 0 - минимална точка Отговор:

Свойства на функцията y = ln x: 1) D (f) = (0; +); 2) не е нито четно, нито нечетно; 3) се увеличава с (0; +); 4) неограничени; 5) няма нито най-голямата, нито най-малката стойност; 6) непрекъснат; 7) E (f) = (-; +); 8) изпъкнал връх; 9) е диференцируем. Графика и свойства на функцията y = ln x

В хода на математическия анализ беше доказано, че за всяка стойност x> 0 формулата за диференциация е валидна 0 формулата за диференциране е валидна"> 0 формулата за диференциране е валидна"> 0 формулата за диференциране е валидна" title="(!LANG: В хода на математическия анализ беше доказано, че за всяка стойност x>0 формулата за диференциране е валиден"> title="В хода на математическия анализ беше доказано, че за всяка стойност x> 0 формулата за диференциация е валидна"> !}Интернет ресурси: pokazatelnojj-funkcii.html pokazatelnojj-funkcii.html

Алгебра и начало на математическия анализ

Диференциране на експоненциалната и логаритмичната функция

Съставено от:

учител по математика МОУ СОУ №203 ЧЕТС

град Новосибирск

Видутова Т.В.

номер д.Функция y=e х, неговите свойства, графика, диференциация

1. Нека изградим графики за различни бази: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (Опция 2) (Опция 1) "width="640"

Помислете за експоненциалната функция y = a х, където е 1.

Нека строим за различни бази но графики:

1. y=2 х

3. y=10 х

2. y=3 х

(Вариант 2)

(1 опция)

1) Всички графики минават през точката (0; 1);

2) Всички графики имат хоризонтална асимптота y = 0

в х  ∞;

3) Всички те са обърнати с издутина надолу;

4) Всички те имат допирателни във всичките си точки.

Начертайте допирателна към графиката на функцията y=2 х в точката х= 0 и измерете ъгъла, образуван от допирателната към оста х

С помощта на точни конструкции на допирателни към графиките може да се види, че ако основата ноекспоненциална функция y = a хосновата постепенно нараства от 2 до 10, след което ъгълът между допирателната към графиката на функцията в точката х= 0 и оста x постепенно се увеличава от 35' до 66,5'.

Следователно има основание но, за което съответният ъгъл е 45'. И това значение носключен между 2 и 3, т.к в но= 2 ъгълът е 35’, с но= 3 е равно на 48'.

В хода на математическия анализ се доказва, че тази база съществува, обикновено се обозначава с буквата д.

Определи това д - ирационално число, тоест е безкрайна непериодична десетична дроб:

e = 2,7182818284590... ;

На практика обикновено се приема, че д ≈ 2,7.

Свойства на графика и функция y = e х :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) увеличава;

4) не ограничен отгоре, ограничен отдолу

5) няма нито най-големия, нито най-малкия

стойности;

6) непрекъснат;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) изпъкнал надолу;

9) е диференцируем.

Функция y = e х Наречен изложител .

В хода на математическия анализ беше доказано, че функцията y = e х има производна във всяка точка х :

(напр х ) = e х

(напр 5x )" = 5e 5x

(напр х-3 )" = д х-3

(напр -4x+1 )" = -4e -4x-1

Пример 1 . Начертайте допирателна към графиката на функцията в точката x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = напр

Отговор:

Пример 2 .

х = 3.

Пример 3 .

Изследване на функция за екстремум

x=0 и x=-2

х= -2 - максимална точка

х= 0 – минимална точка

Ако основата на логаритъма е числото д, тогава те казват, че дадено естествен логаритъм . За естествените логаритми е въведено специално обозначение вътрешен (l - логаритъм, n - естествен).