Въведение

Статията съдържа математически формули, така че за четене отидете на сайта за правилното им показване.Числото \(\pi \) има богата история. Тази константа означава съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър.

В науката числото \(\pi \) се използва във всяко изчисление, където има кръгове. Започвайки от обема на кутия сода, до орбитите на спътниците. И не само кръгове. Всъщност при изследването на кривите линии числото \(\pi \) помага да се разберат периодичните и осцилаторните системи. Например електромагнитни вълни и дори музика.

През 1706 г. в книгата „Ново въведение в математиката“ на британския учен Уилям Джоунс (1675-1749) буквата на гръцката азбука \(\pi\) е използвана за първи път за означаване на числото 3.141592. .. Това обозначение идва от началната буква на гръцките думи περιϕερεια – кръг, периферия и περιµετρoς – периметър. Общоприетото обозначение става след работата на Леонхард Ойлер през 1737 г.

геометричен период

Постоянството на съотношението на дължината на всеки кръг към неговия диаметър е забелязано от дълго време. Жителите на Месопотамия са използвали доста грубо приближение на числото \(\pi \). Както следва от древните проблеми, те използват стойността \(\pi ≈ 3 \) в своите изчисления.

По-точна стойност за \(\pi \) е била използвана от древните египтяни. В Лондон и Ню Йорк се съхраняват две части от древен египетски папирус, който се нарича „папирусът на Ринда”. Папирусът е съставен от писаря Армес между около 2000-1700 г. пр. н. е. пр.н.е. Армс пише в своя папирус, че площта на кръг с радиус \(r\) е равна на площта на квадрат със страна, равна на \(\frac(8)(9) \) от диаметъра на окръжността \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), т.е. \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Следователно \(\pi = 3,16\).

Древногръцкият математик Архимед (287-212 г. пр. н. е.) за първи път поставя задачата да измерва окръжност на научна основа. Той получи резултата \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Методът е доста прост, но при липса на готови таблици тригонометрични функциие необходимо извличане на корен. В допълнение, приближението до \(\pi \) се сближава много бавно: с всяка итерация грешката намалява само с коефициент четири.

Аналитичен период

Въпреки това до средата на 17-ти век всички опити на европейски учени да изчислят числото \ (\ pi \) се свеждат до увеличаване на страните на многоъгълника. Например, холандският математик Лудолф ван Зейлен (1540-1610) изчислява приблизителната стойност на числото \(\pi \) с точност до 20 десетични цифри.

Отне му 10 години, за да разбере. Като удвои броя на страните на вписаните и описани многоъгълници по метода на Архимед, той измисли \(60 \cdot 2^(29) \) - квадрат, за да изчисли \(\pi \) с 20 десетичните знаци.

След смъртта му още 15 точни числачисла \(\pi \). Лудолф завещава, че знаците, които е открил, са издълбани върху надгробната му плоча. В чест на него числото \(\pi \) понякога е наричано "числото на Лудолф" или "константата на Лудолф".

Един от първите, които въвеждат метод, различен от този на Архимед, е Франсоа Виет (1540-1603). Той стигна до резултата, че кръг, чийто диаметър е равен на единица, има площ:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

От друга страна, площта е \(\frac(\pi)(4) \). Замествайки и опростявайки израза, можем да получим следната формула за безкраен продукт за изчисляване на приблизителната стойност \(\frac(\pi)(2) \):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Получената формула е първият точен аналитичен израз за числото \(\pi \). В допълнение към тази формула, Виет, използвайки метода на Архимед, даде с помощта на вписани и описани многоъгълници, започващи с 6-ъгълник и завършващи с многоъгълник със страни \(2^(16) \cdot 6 \), приближение на числото \(\pi \) с 9 правилни знака.

Английският математик Уилям Брункър (1620-1684) използва непрекъснатата дроб, за да изчисли \(\frac(\pi)(4)\), както следва:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Този метод за изчисляване на апроксимацията на числото \(\frac(4)(\pi) \) изисква доста изчисления, за да се получи поне малко приближение.

Стойностите, получени в резултат на заместването, са или по-големи, или по-малки от числото \(\pi \) и всеки път се доближават до истинска стойност, но получаването на стойността 3.141592 ще изисква доста изчисления.

Друг английски математик Джон Мачин (1686-1751) през 1706 г. използва формулата, извлечена от Лайбниц през 1673 г., за да изчисли числото \(\pi \) със 100 знака след десетичната запетая и го прилага, както следва:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

Поредицата се сближава бързо и може да се използва за изчисляване на числото \(\pi \) с голяма точност. Формули от този тип са били използвани за поставяне на няколко рекорда в компютърната епоха.

През 17 век с началото на периода на математиката с променлива величина започва нов етап в изчисляването на \(\pi \). Германският математик Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) през 1673 г. открива разширяването на числото \(\pi \), в общ изгледможе да се запише като следната безкрайна серия:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

Поредицата се получава чрез заместване на x = 1 в \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Леонхард Ойлер развива идеята на Лайбниц в работата си за използването на редове за arctg x при изчисляване на числото \(\pi\). Трактатът „De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi“ (За различните методи за изразяване на квадратурата на окръжност с приблизителни числа), написан през 1738 г., обсъжда методи за подобряване на изчисленията с помощта на формулата на Лайбниц.

Ойлер пише, че дъговата допирателна серия ще се сближи по-бързо, ако аргументът клони към нула. За \(x = 1\) сближаването на редицата е много бавно: за да се изчисли с точност до 100 цифри, е необходимо да се добавят \(10^(50)\) членове на реда. Можете да ускорите изчисленията, като намалите стойността на аргумента. Ако вземем \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), тогава получаваме серията

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Според Ойлер, ако вземем 210 члена от тази серия, получаваме 100 правилни цифри от числото. Получената серия е неудобна, защото е необходимо да се знае достатъчно точна стойност на ирационалното число \(\sqrt(3)\). Също така, в своите изчисления, Ойлер използва разширения на дъговите допирателни в сумата от дъговите тангенси на по-малки аргументи:

\[където x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Далеч не са публикувани всички формули за изчисляване на \(\pi \), които Ойлер е използвал в своите тетрадки. В публикувани произведения и тетрадки той разглежда 3 различни серии за изчисляване на дъговата тангенс и също така прави много изявления относно броя на сумируемите термини, необходими за получаване на приблизителна стойност \(\pi \) с дадена точност.

През следващите години прецизирането на стойността на числото \(\pi \) става все по-бързо и по-бързо. Така например през 1794 г. Джордж Вега (1754-1802) вече идентифицира 140 знака, от които само 136 се оказват верни.

Период на изчисление

20-ти век беше белязан от напълно нов етап в изчисляването на числото \(\pi\). Индийският математик Шриниваса Рамануджан (1887-1920) открива много нови формули за \(\pi \). През 1910 г. той получава формула за изчисляване на \(\pi \) чрез разширяване на допирателната на дъгата в серия на Тейлър:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

При k=100 се постига точност от 600 правилни цифри на числото \(\pi \).

Появата на компютрите направи възможно значително повишаване на точността на получените стойности за по-кратък период от време. През 1949 г., използвайки ENIAC, група учени, водени от Джон фон Нойман (1903-1957), получиха 2037 знака след десетичната запетая от \(\pi \) само за 70 часа. Дейвид и Григорий Чудновски през 1987 г. получават формула, с която успяват да поставят няколко рекорда в изчислението \(\pi \):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Всеки член на серията дава 14 цифри. През 1989 г. са получени 1 011 196 691 знака след десетичната запетая. Тази формула е много подходяща за изчисляване на \(\pi \) на персонални компютри. На този моментбратята са професори в Политехническия институт на Нюйоркския университет.

Важно скорошно развитие беше откриването на формулата през 1997 г. от Саймън Плъф. Позволява ви да извлечете всяка шестнадесетична цифра от числото \(\pi \), без да изчислявате предишните. Формулата се нарича "формула на Бейли-Борвейн-Плъф" в чест на авторите на статията, където формулата е публикувана за първи път. Изглежда така:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

През 2006 г. Саймън, използвайки PSLQ, измисли някои хубави формули за изчисление \(\pi \). Например,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

където \(q = e^(\pi)\). През 2009 г. японски учени, използвайки суперкомпютъра T2K Tsukuba System, получиха числото \(\pi \) с 2 576 980 377 524 знака след десетичната запетая. Изчисленията отнеха 73 часа 36 минути. Компютърът е оборудван с 640 четириядрени процесора AMD Opteron, които осигуряват производителност от 95 трилиона операции в секунда.

Следващото постижение в изчисляването на \(\pi \) принадлежи на френския програмист Фабрис Белард, който в края на 2009 г. на своя персонален компютър, работещ с Fedora 10, постави рекорд, като изчисли 2 699 999 990 000 знака след десетичната запетая на числото \(\pi \). През последните 14 години това е първият световен рекорд, поставен без използване на суперкомпютър. За висока производителност Фабрис използва формулата на братя Чудновски. Общо изчислението отне 131 дни (103 дни на изчисление и 13 дни на проверка). Постижението на Белар показа, че за подобни изчисления не е необходимо да има суперкомпютър.

Само шест месеца по-късно рекордът на Франсоа е счупен от инженерите Александър И и Сингера Кондо. За да се постави рекорд от 5 трилиона знака след десетичната запетая \(\pi \), беше използван и персонален компютър, но с по-впечатляващи характеристики: два процесор Intel Xeon X5680 на 3,33 GHz, 96 GB оперативна памет, 38 TB място за съхранение и операционна система Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. За изчисления Александър и Сингер използваха формулата на братя Чудновски. Процесът на изчисление отне 90 дни и 22 TB дисково пространство. През 2011 г. те поставиха нов рекорд, като изчислиха 10 трилиона знака след десетичната запетая за числото \(\pi \). Изчисленията се извършват на същия компютър, който е поставил предишния им рекорд и са отнели общо 371 дни. В края на 2013 г. Александър и Сингеру подобриха рекорда до 12,1 трилиона цифри от числото \(\pi \), което им отне само 94 дни за изчисляване. Това подобрение в производителността се постига чрез оптимизиране на производителността на софтуера, увеличаване на броя на процесорните ядра и значително подобряване на толерантността към грешки на софтуера.

Настоящият рекорд е този на Александър И и Сингеру Кондо, който е 12,1 трилиона знака след десетичната запетая от \(\pi \).

По този начин ние разгледахме методи за изчисляване на броя \(\pi \), използвани в древни времена, аналитични методи, а също така разгледахме съвременни методии записи за изчисляване на числото \(\pi \) на компютри.

Списък с източници

1. Жуков A.V. Вездесъщото число Пи - М.: Издателство LKI, 2007 - 216 с.
2. Ф. Рудио. Върху квадратурата на окръжността, с приложение към историята на въпроса, съставено от Ф. Рудио. / Рудьо Ф. - М .: ОНТИ НКТП СССР, 1936. - 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270с.
4. Шухман, Е.В. Приблизително изчисляване на Pi с помощта на серия за arctg x в публикувани и непубликувани произведения на Леонхард Ойлер / E.V. Шухман. - История на науката и техниката, 2008 - бр.4. - С. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuliaturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - Т. 9 - 222-236 с.
6. Шумихин, С. Число Пи. История на 4000 години / С. Шумихин, А. Шумихина. – М.: Ексмо, 2011. – 192с.
7. Боруейн, Дж.М. Рамануджан и Пи. / Borwein, J.M., Borwein P.B. В света на науката. 1988 - No4. - С. 58-66.
8. Алекс Йи. свят на числата. Режим на достъп: numberworld.org

Харесвахте?

Казвам

За да се изчисли голям брой знаци на пи, предишният метод вече не е подходящ. Но те са голям бройпоследователности, които се сближават с Pi много по-бързо. Нека използваме, например, формулата на Гаус:

Доказателството на тази формула е просто, така че ще го пропуснем.

Източник на програмата, включително "дълга аритметика"

Програмата изчислява NbDigits на първите цифри на Pi. Функцията за изчисление на арктан се нарича arccot, тъй като arctan(1/p) = arccot(p), но изчислението се извършва съгласно формулата на Тейлър за арктангенса, а именно arctan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - ... x=1/p, така че accot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Изчисленията са рекурсивни: предишният елемент на сумата се разделя и дава следващия .