Различните призми не са еднакви. В същото време те имат много общо. За да намерите площта на основата на призмата, трябва да разберете какъв вид има.

Обща теория

Призмата е всеки полиедър, чиито страни са под формата на успоредник. Освен това в основата му може да се появи всеки полиедър - от триъгълник до n-ъгълник. Освен това основите на призмата винаги са равни взаимно... Това не се отнася за страничните повърхности - те могат да варират значително по размер.

При решаване на задачи се среща не само площта на основата на призмата. Може да се изисква познаване на страничната повърхност, тоест всички лица, които не са основи. Пълната повърхност вече ще бъде обединението на всички лица, които съставляват призмата.

Понякога височината се появява в задачите. Тя е перпендикулярна на основите. Диагоналът на полиедъра е сегмент, който свързва по двойки всеки два върха, които не принадлежат на едно и също лице.

Трябва да се отбележи, че основната площ на права или наклонена призма не зависи от ъгъла между тях и страничните повърхности. Ако имат идентични фигурив горната и долната част, тогава техните площи ще бъдат равни.

Триъгълна призма

В основата си има фигура с три върха, тоест триъгълник. Известно е, че е различно. Ако тогава е достатъчно да запомните, че неговата площ се определя от половината от произведението на краката.

Математическата нотация изглежда така: S = ½ av.

За да разберете площта на основата в общ изглед, ще са полезни формулите: Чапла и тази, в която половината от страната е взета до изтеглената към нея височина.

Първата формула трябва да бъде написана така: S = √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Този запис съдържа полупериметър (p), тоест сумата от три страни, разделена на две.

Второ: S = ½ n a * a.

Ако искате да знаете площта на основата на триъгълна призма, която е правилна, тогава триъгълникът се оказва равностранен. Има формула за него: S = ¼ a 2 * √3.

Четириъгълна призма

Основата му е някой от известните четириъгълници. Може да бъде правоъгълник или квадрат, паралелепипед или ромб. Във всеки случай, за да изчислите площта на основата на призмата, ще ви е необходима различна формула.

Ако основата е правоъгълник, тогава неговата площ се определя, както следва: S = ab, където a, b са страните на правоъгълника.

Когато става въпрос за четириъгълна призма, основната площ на обикновена призма се изчислява по формулата за квадрат. Защото именно той се оказва на дъното. S = а 2.

В случай, че основата е паралелепипед, ще е необходимо следното равенство: S = a * na. Това се случва, че страната на паралелепипеда и един от ъглите са дадени. След това, за да изчислите височината, ще трябва да използвате допълнителна формула: n a = b * sin A. Освен това ъгълът A е съседен на страната "b", а височината е n противоположна на този ъгъл.

Ако в основата на призмата има ромб, тогава ще е необходима същата формула, за да се определи нейната площ като за успоредника (тъй като това е негов специален случай). Но можете да използвате и това: S = ½ d 1 d 2. Тук d 1 и d 2 са двата диагонала на ромба.

Правилна петоъгълна призма

Този случай включва разделяне на многоъгълника на триъгълници, чиито площи са по-лесни за откриване. Въпреки че се случва фигурите да са с различен брой върхове.

Тъй като основата на призмата е правилен петоъгълник, тя може да бъде разделена на пет равностранни триъгълника. Тогава площта на основата на призмата е равна на площта на един такъв триъгълник (формулата може да се види по-горе), умножена по пет.

Правилна шестоъгълна призма

Съгласно описания принцип за петоъгълна призма е възможно основният шестоъгълник да се раздели на 6 равностранни триъгълника. Формулата за основната площ на такава призма е подобна на предишната. Само в него трябва да се умножи по шест.

Формулата ще изглежда така: S = 3/2 и 2 * √3.

Задачи

№ 1. Дадена е правилна права линия.Диагоналът му е 22 см, височината на многогранника е 14 см. Изчислете площта на основата на призмата и цялата повърхност.

Решение.Основата на призмата е квадрат, но страната й не е известна. Можете да намерите стойността му от диагонала на квадрата (x), който е свързан с диагонала на призмата (d) и нейната височина (h). x 2 = d 2 - n 2. От друга страна, този сегмент "x" е хипотенуза в триъгълник, катетата на който са равни на страната на квадрата. Тоест x 2 = a 2 + a 2. Така се оказва, че a 2 = (d 2 - n 2) / 2.

Заменете 22 вместо d и заменете "n" с неговата стойност - 14, тогава се оказва, че страната на квадрата е 12 см. Сега просто разберете площта на основата: 12 * 12 = 144 см 2.

За да разберете площта на цялата повърхност, трябва да добавите два пъти основната площ и учетворете страната. Последното може лесно да се намери с помощта на формулата за правоъгълник: умножете височината на полиедъра и страната на основата. Тоест, 14 и 12, това число ще бъде равно на 168 cm 2. цялата зонаповърхността на призмата е 960 cm 2.

Отговор.Основната площ на призмата е 144 cm 2. Цялата повърхност е 960 cm 2.

№ 2. Дана В основата лежи триъгълник със страна 6 см. В този случай диагоналът на страничната повърхност е 10 см. Изчислете площите: основа и странична повърхност.

Решение.Тъй като призмата е правилна, основата й е равностранен триъгълник. Следователно площта му е равна на 6 на квадрат, умножена по ¼ и корен квадратен от 3. Едно просто изчисление води до резултата: 9√3 cm 2. Това е площта на една основа на призмата.

Всички странични лица са еднакви и са правоъгълници със страни 6 и 10 см. За да се изчислят площите им, е достатъчно тези числа да се умножат. След това ги умножете по три, защото има точно толкова странични лица на призмата. Тогава страничната повърхност се оказва 180 cm 2 рана.

Отговор.Площи: основа - 9√3 cm 2, странична повърхност на призмата - 180 cm 2.

Видео курсът "Вземете A" включва всички теми, необходими за успешно издържане на изпита по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профилен изпитматематика. Подходящ и за полагане на Основен изпит по математика. Ако искате да издържите изпита за 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). А това са повече от 70 точки на изпита и нито един стоточков, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата теория, от която се нуждаете. Бързи решения, капани и тайните на изпита... Разглобени са всички съответни задачи на част 1 от Банката със задачи на FIPI. Курсът отговаря напълно на изискванията на изпит-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми, всяка по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, проста и ясна.

Стотици изпитни задачи. Словни проблеми и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове изпитни задачи. Стереометрия. Сложни решения, полезни мами, развиващи пространствено въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от 2-ра част на изпита.

Определение.

Това е шестоъгълник, чиито основи са два равни квадрата, а страничните страни са равни правоъгълници.

Странично реброе общата страна на две съседни странични лица

Височина на призматае отсечка, перпендикулярна на основите на призмата

Диагонална призма- сегмент, свързващ два върха на основите, които не принадлежат на едно и също лице

Диагонална равнина- равнина, която минава през диагонала на призмата и страничните й ръбове

Диагонално сечение- границите на пресечната точка на призмата и диагоналната равнина. Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник

Перпендикулярно сечение (ортогонално сечение)е пресечната точка на призма и равнина, начертана перпендикулярно на страничните й ръбове

Елементи на правилна четириъгълна призма

Фигурата показва две правилни четириъгълни призми, които са обозначени със съответните букви:

• Основите ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са равни и успоредни една на друга
• Странични повърхности AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, всяка от които е правоъгълник
• Странична повърхност - сумата от площите на всички странични повърхности на призмата
• Пълна повърхност - сумата от площите на всички основи и странични повърхности (сумата от площта на страничната повърхност и основите)
• Странични ребра AA 1, BB 1, CC 1 и DD 1.
• Диагонал B 1 D
• Основен диагонал BD
• Диагонално сечение BB 1 D 1 D
• Перпендикулярно сечение A 2 B 2 C 2 D 2.

Свойства на правилна четириъгълна призма

• Основите са два равни квадрата
• Основите са успоредни една на друга
• Страничните повърхности са правоъгълници
• Страничните лица са равни една на друга
• Страничните повърхности са перпендикулярни на основите
• Страничните ребра са успоредни и равни
• Перпендикулярно сечение, перпендикулярно на всички странични ръбове и успоредно на основите
• Ъглите на перпендикулярния участък са прави
• Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник
• Перпендикулярно (ортогонално сечение), успоредно на основите

Формули за правилна четириъгълна призма

Инструкции за решаване на проблеми

При решаване на задачи по темата " правилна четириъгълна призма„разбира се, че:

Правилна призма- призма, в основата на която лежи правилен многоъгълник, а страничните ръбове са перпендикулярни на базовите равнини. Тоест правилната четириъгълна призма съдържа в основата си квадрат... (вижте по-горе свойствата на правилна четириъгълна призма) Забележка... Това е част от урока с геометрични задачи (секционна стереометрия - призма). Ето задачите, които предизвикват трудности при решаването. Ако трябва да решите геометричен проблем, който не е тук, пишете за него във форума. За да се обозначи действието по извличане на квадратен корен в решенията на задачите, символът√ .

Задача.

В правилна четириъгълна призма площта на основата е 144 см 2, а височината е 14 см. Намерете диагонала на призмата и общата повърхност.

Решение.
Правилният четириъгълник е квадрат.
Съответно страната на основата ще бъде равна на

√144 = 12 см.
Откъдето ще бъде диагоналът на основата на правилна правоъгълна призма
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагоналът на правилната призма образува правоъгълен триъгълник с диагонала на основата и височината на призмата. Съответно, според Питагоровата теорема, диагоналът на дадена правилна четириъгълна призма ще бъде равен на:
√ ((12√2) 2 + 14 2) = 22 см

Отговор: 22 см

Задача

Определете пълната повърхност на правилната четириъгълна призма, ако нейният диагонал е 5 cm, а диагоналът на страничната страна е 4 cm.

Решение.
Тъй като в основата на правилна четириъгълна призма има квадрат, ще намерим страната на основата (означена като а) от питагоровата теорема:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Височината на страничната повърхност (означена като h) тогава ще бъде равна на:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3.5

Общата повърхност ще бъде равна на сбора от страничната повърхност и удвоената площ на основата

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7 * 25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Отговор: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

ДИРЕКТНА ПРИЗМА. ПОВЪРХНОСТ И ОБЕМ НА ДИРЕКТНА ПРИЗМА.

§ 68. ОБХВАТ НА ПРЯКАТА ПРИЗМА.

1. Обемът на права триъгълна призма.

Нека се изисква да се намери обемът на права триъгълна призма, чиято основна площ е S, а височината е з= AA "= = BB" = SS "(фиг. 306).

Да начертаем отделно основата на призмата, тоест триъгълника ABC (фиг. 307, а), и да го добавим към правоъгълника, за който начертаваме права линия KM || през връх B || AC и от точки A и C нека пуснем перпендикулярите AF и CE върху тази права. Получаваме правоъгълника ACEF. След като начертаем височината BD на триъгълника ABC, ще видим, че правоъгълникът ACEF е разбит на 4 правоъгълни триъгълника. освен това /\ ВСИЧКИ = /\ BCD и /\ BAF = /\ ЛОШО. Това означава, че площта на правоъгълника ACEF е два пъти повече площтриъгълник ABC, т.е. равен на 2S.

Към тази призма с основата ABC ще прикрепим призми с основите ALL и BAF и височината з(фиг. 307, б). Получаваме правоъгълен паралелепипед с основа
ACEF.

Ако отрежем този паралелепипед с равнина, минаваща през прави BD и BB", ще видим, че правоъгълният паралелепипед се състои от 4 призми с основи
ВСD, ВСИЧКИ, ЛОШИ и БАФ.

Призми с основи ВСD и ALL могат да се комбинират, тъй като техните основи са равни ( /\ ВСD = /\ BCE) и техните странични ръбове също са равни, които са перпендикулярни на една равнина. Това означава, че обемите на тези призми са равни. Обемите на призмите с основи BAD и BAF също са равни.

Така се оказва, че обемът на дадена триъгълна призма с основа
ABS е половината от обема правоъгълен паралелепипедс основаването на ACEF.

Знаем, че обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на площта на основата му на височината, тоест в този случай е равен на 2S з... Следователно обемът на тази права триъгълна призма е S з.

Обемът на права триъгълна призма е равен на произведението на площта на основата й на височината.

2. Обемът на права многоъгълна призма.

За да намерите обема на права многоъгълна призма, например петоъгълна призма, с основна площ S и височина з, ще го разделим на триъгълни призми (фиг. 308).

Означавайки площта на основата на триъгълните призми през S 1, S 2 и S 3, и обема на тази многоъгълна призма през V, получаваме:

V = S 1 з+ S 2 з+ S 3 з, или
V = (S 1 + S 2 + S 3) з.

И накрая: V = S з.

По същия начин се извежда формулата за обема на права призма с произволен многоъгълник в основата си.

означава, обемът на всяка права призма е равен на произведението на площта на основата й на височината.

Упражнения.

1. Изчислете обема на права призма с успоредник в основата според следните данни:

2. Изчислете обема на права призма с триъгълник в основата, според следните данни:

3. Изчислете обема на права призма с равностранен триъгълник в основата със страна 12 cm (32 cm, 40 cm). Височината на призмата е 60 см.

4. Изчислете обема на права призма с правоъгълен триъгълник в основата с катети 12 cm и 8 cm (16 cm и 7 cm; 9 m и 6 m). Височината на призмата е 0,3 m.

5. Изчислете обема на права призма с трапец в основата с успоредни страни 18 см и 14 см и височина 7,5 см. Височината на призмата е 40 см.

6. Изчислете обема на вашата класна стая (фитнес зала, вашата стая).

7. Общата повърхност на куба е 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Изчислете обема на този куб.

8. Дължината на една строителна тухла е 25,0 см, ширината й е 12,0 см, дебелината й е 6,5 см. А) Изчислете нейния обем, б) Определете теглото й, ако 1 кубичен сантиметър тухла тежи 1,6 g.

9. Колко парчета строителни тухли са необходими за изграждането на масивна тухлена стена под формата на правоъгълен паралелепипед с дължина 12 m, ширина 0,6 m и височина 10 m? (Размери на тухла от упражнение 8.)

10. Дължината на чисто изрязана дъска е 4,5 м, ширината е 35 см, дебелината е 6 см. А) Изчислете обема б) Определете теглото й, ако един кубичен дециметър от дъската тежи 0,6 кг.

11. Колко тона сено могат да се сложат в сенокос, покрит с двускатен покрив (фиг. 309), ако сенокосът е дълъг 12 m, широк 8 m, висок 3,5 m и билото на покрива е 1,5 m? (Специфичното тегло на сеното се приема за 0,2.)

12. Изисква се изкопаване на ров с дължина 0,8 km; в разрез канавката трябва да има формата на трапец с основи от 0,9 m и 0,4 m, а дълбочината на канавката трябва да бъде 0,5 m (фиг. 310). Колко кубични метра земя ще трябва да бъдат премахнати?

Обемът на призмата. Разрешаване на проблеми

Геометрията е най-мощният инструмент за изостряне на умствените ни способности и ни позволява да мислим и разсъждаваме правилно.

Г. Галилей

Целта на урока:

• да преподава решаването на задачи за изчисляване на обема на призмите, да обобщава и систематизира наличната на учениците информация за призмата и нейните елементи, да формира способност за решаване на задачи с повишена сложност;
• развиват логическото мислене, способността за самостоятелна работа, уменията за взаимен контрол и самоконтрол, способността да се говори и слуша;
• развиват навик за постоянна заетост във всяка полезна дейност, възпитавайки отзивчивост, старание, точност.

Тип урок: урок по прилагане на знания, умения и способности.

Оборудване: контролни карти, медиен проектор, презентация „Урок. Prism Volume”, компютри.

По време на занятията

• Странични ръбове на призмата (Фигура 2).
• Страничната повърхност на призмата (фиг. 2, фиг. 5).
• Височината на призмата (Фигура 3, Фигура 4).
• Права призма (фигура 2,3,4).
• Наклонена призма (Фигура 5).
• Правилна призма (фиг. 2, фиг. 3).
• Диагонално сечение на призмата (фиг. 2).
• Диагонал на призмата (Фигура 2).
• Перпендикулярно сечение на призмата (р3, фиг.4).
• Площта на страничната повърхност на призмата.
• Общата повърхност на призмата.
• Обемът на призмата.

1. ПРОВЕРКА НА ДОМАШНАТА (8 мин.)

Разменете тетрадки, проверете решението на слайдовете и поставете знак (маркирайте 10, ако проблемът е завършен)

Начертайте задача според картинката и я решете. Ученикът защитава задачата, която е съставил на черната дъска. Фигура 6 и Фигура 7.





Глава 2, §3
Задача 2. Дължините на всички ръбове на правилната триъгълна призма са равни една на друга. Изчислете обема на призмата, ако нейната повърхност е равна на cm 2 (фиг. 8)



Глава 2, §3
Задача 5. Основата на правата призма ABCA 1B 1C1 е правоъгълен триъгълник ABC (ъгъл ABC = 90 °), AB = 4cm. Изчислете обема на призмата, ако радиусът на окръжността, описана около триъгълника ABC, е 2,5 cm, а височината на призмата е 10 cm. (Фигура 9).



Глава 2, §3
Задача 29 Дължината на страната на основата на правилната четириъгълна призма е 3 cm. Диагоналът на призмата образува ъгъл от 30 ° с равнината на страничната повърхност. Изчислете обема на призмата (Фигура 10).



2. Съвместна работа на учителя с класа (2-3 мин.).

Цел: обобщаване на резултатите от теоретичната загрявка (учениците поставят оценки един на друг), изучаване на начини за решаване на проблеми по темата.

3. Физически упражнения (3 минути)
4. РЕШАВАНЕ НА ПРОБЛЕМИ (10 мин.)

На този етап учителят организира фронтална работа по повторение на методи за решаване на планиметрични задачи, планиметрични формули. Класът е разделен на две групи, някои решават задачи, други работят на компютъра. След това се сменят. Учениците се насърчават да решат всички задачи № 8 (устно), № 9 (устно). След това се разделят на групи и преминават към решаване на задачи № 14, № 30, № 32.

Глава 2, §3, стр. 66-67

Задача 8. Всички ръбове на правилната триъгълна призма са равни помежду си. Намерете обема на призмата, ако площта на напречното сечение на равнината, минаваща през ръба на долната основа и средата на страната на горната основа, е cm (фиг. 11).



Глава 2, §3, стр. 66-67
Задача 9. Основата на права призма е квадрат, а страничните й ръбове са два пъти по-голяма от страната на основата. Изчислете обема на призмата, ако радиусът на окръжност, описана около сечението на призмата от равнина, минаваща през страната на основата и средата на противоположния страничен ръб, е виж (фиг. 12)



Глава 2, §3, стр. 66-67
Задача 14Основата на права призма е ромб, един от диагоналите на който е равен на неговата страна. Изчислете периметъра на сечението по равнина, минаваща през големия диагонал на долната основа, ако обемът на призмата е равен и всички странични страни са квадрати (фиг. 13).



Глава 2, §3, стр. 66-67
Задача 30.ABSA 1 В 1 С 1 - правилна триъгълна призма, чиито ръбове са равни един на друг, точка около средата на реброто BB 1. Изчислете радиуса на окръжността, вписана в сечението на призмата от равнината на AOS, ако обемът на призмата е равен (фиг. 14).



Глава 2, §3, стр. 66-67
Задача 32.В правилна четириъгълна призма сумата от площите на основите е равна на площта на страничната повърхност. Изчислете обема на призмата, ако диаметърът на окръжност, описана около сечението на призмата от равнина, минаваща през двата върха на долната основа и срещуположния връх на горната основа, е 6 cm (фиг. 15).



В хода на решаването на задачи учениците сравняват отговорите си с тези, показани от учителя. Това е пример за решаване на задача с подробни коментари ... Индивидуална работа на учител със „силни“ ученици (10 мин.).

5. Самостоятелна работаучениците над теста на компютъра

1. Страната на основата на правилната триъгълна призма е равна, а височината е 5. Намерете обема на призмата.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Изберете правилното твърдение.

1) Обемът на права призма, чиято основа е правоъгълен триъгълник, е равен на произведението на площта на основата на височината.

2) Обемът на правилната триъгълна призма се изчислява по формулата V = 0,25a 2 h - където a е страната на основата, h е височината на призмата.

3) Обемът на права призма е равен на половината от произведението на площта на основата и височината.

4) Обемът на правилната четириъгълна призма се изчислява по формулата V = a 2 h-където a е страната на основата, h е височината на призмата.

5) Обемът на правилната шестоъгълна призма се изчислява по формулата V = 1.5a 2 h, където a е страната на основата, h е височината на призмата.

3. Основната страна на правилна триъгълна призма е равна на. През страната на долната основа и срещуположния връх на горната основа се прокарва равнина, която минава под ъгъл от 45 ° спрямо основата. Намерете обема на призмата.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Основата на правата призма е ромб, чиято страна е 13, а един от дигоналите е 24. Намерете обема на призмата, ако диагоналът на страничната повърхност е 14.