По Ваше желание!

4. Намерете най-голямото целочислено решение на неравенството:

Умножете двете страни на неравенството по 15 - най-малкият общ знаменател на тези дроби. Получаваме еквивалентно неравенство:

3 (x-2)-5 (2x+3)>15. Разширете скобите: 3x-6-10x-15>15 и опростете:

3x-10x>15+6+15. Получаваме -7x>36. Разделяме двете страни на неравенството на отрицателен коефициент при x, така че променяме знака на неравенството на обратния:

х<-36/7. Выделим целую часть и покажем решения неравенства на числовой прямой.

Най-голямото цяло число в защрихованата област е -6.

5. Определете правилното решение на неравенството: log 2 (x-4)≤3.

Нека представим числото 3 като логаритъм с основа 2.

log 2 (x-4) ≤ log 2 2 3 ; следователно log 2 (x-4)≤log 2 8. Тъй като логаритмичната функция в база 2 се увеличава на множеството от всички положителни числа, последното неравенство ще бъде изпълнено при условие, че x-4≤8, но в същото време: х -4>0. От първото условие следва: x≤12, а от второто, че x>4. Стойността x∈(4; 12] ще бъде обща.

7. Посочете функцията, чиято графика е показана на фигурата.

На фигурата виждаме парабола, която може да бъде дефинирана с уравнение от вида: y=a(x-m) 2 +n, където (m; n) са координатите на върха на параболата. На фигурата върхът на параболата е точката (2; 1). Следователно, m=2; n=1. Какво ще кажете за стойността на коефициента а? Разглеждаме отговорите: навсякъде коефициентът пред скобата е равен на единица. Е, страхотно - по-малко грижи! Получаваме формулата: y=(x-2) 2 +1.

11. Дължината на правоъгълния участък е 120 м, а ширината е 75% от дължината. Изорани са 35% от тази площ, след което не са разорани:

Според условието ширината е 75% от 120 метра - дължината на участъка. Това е 3/4 от дължината, т.е. 120:4 3=90 метра. Площта на правоъгълна секция е равна на произведението на дължината на секцията и нейната ширина, което означава, че е 120 m 90 m = 10800 m 2. Изорано 35%, следователно не изорано 100%-35%=65%. Остава да намерим 65% от 10800. Превръщаме лихвата в десетичен: 65%=0,65 и умножете тази фракция по 10800.

0,65 10800=7020. Отговаряме на въпроса на задачата: 7020 m 2 не са разорани.

12. Решете уравнението:

Прилагаме основното логаритмично тъждество към дясната страна на равенството:

Получихме равни степени в основа 2, следователно експонентите на тези степени ще бъдат равни. Получава се квадратно уравнение: x 2 +x=2 или x 2 +x-2=0. Според теоремата на Vieta избираме корените: x 1 = -2; x2=1.

14. Решете уравнението: sin 2 x-cos 2 x=cos(x/2).

Съгласно формулата за двоен ъгъл косинус: cos2α=cos 2 α-sin 2 α, тогава това равенство се преобразува във вида:

Cos2x=cos(x/2) ⇒ -cos2x-cos(x/2)=0 ⇒ cos2x+cos(x/2)=0. Преобразуваме сумата от косинусите в продукт, използвайки формулата:

17. Намерете сумата от ординатите на точките на екстремум на функцията f(x)=x 3 /(x 2 -3).

Разбира се, знаете, че екстремумите са минимумите и максимумите на функция, които са възможни само в критични точки. Класическото решение на тази задача: 1) намира производната на дадената функция; 2) намерете критични точки и ги маркирайте върху числовата права; 3) определят знаците на производната на интервалите, определени от критичните точки; 4) разберете кои от критичните точки са минимални и кои максимални точки; 5) намерете стойностите на самата функция в тези минимални и максимални точки - това ще бъдат ординатите на точките на екстремум; 6) добавете тези ординатни стойности. Но в тази конкретна задача всичко е много по-просто! Дадена ни е нечетна функция, т.е. за всички възможни стойности на x е изпълнено равенството: f(-x)=f(x). Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото. Какво означава това и как ще ни помогне? Ние спорим: ако тази функция има максимум в точка с абсциса а, след това в точка, симетрична на него с абсцисата (-а)ще има минимум. Отново стойностите на функцията в тези точки аи -асъщо ще бъдат противоположни числа. Колко е сборът от противоположни числа? Точно така: нула. Заключение: ако трябва да намерите сумата от ординатите на точките на екстремум на нечетна функция, тогава отговорът е: 0.

21. Намерете сумата от корените на уравнението: x -2 -16x -1 -80=0.

Нека направим замяна: x -1 =y. Получаваме уравнението: y 2 -16y-80=0. Намираме корените: y 1 = -4 и y 2 = 20.

Тогава x -1 =-4 или x -1 =20.

22. Решете системата от неравенства:

В една координатна система начертаваме графиките на функциите y=sinx, y=cosx и y= 1/6. Нека дефинираме диапазона от стойности на x, за които синусовата графика лежи отгоре, а косинусовата графика лежи под правата линия y= 1/6.

24. Намерете площта на паралелограма ABCD, ако A(5; 4), B(0; 3), C(4; 7), D(9; 8).

Намираме площта на успоредника с помощта на формулата: S=absinA, където a=AD и b=AB са страните на успоредника, A е ъгълът между тези страни. Използваме вектори: намираме координатите и модулите на векторите, изразяващи страните AD и AB на паралелограма, косинуса на ъгъла между тези вектори. След това намираме синуса на този ъгъл и заместваме всички необходими стойности във формулата за площта на паралелограма.

25. Електронният часовник показва часа в часове и минути (от 00:00 до 23:59). Колко пъти на ден можете да видите на таблото 4 числа 2, 0, 1, 9 (в произволен ред). Тъй като не, например, 91 минути или 29 часа, комбинаториката няма да ни помогне. Просто ще изброим всички индикации за време, възможни в действителност.

1) 01:29; 2) 02:19; 3) 09:12; 4) 09:21; 5) 10:29; 6) 12:09; 7) 19:02; 8) 19:20; 9) 20:19; 10) 21:09. Не може да има други стойности от тези 4 цифри.

Приятели, повторете формулите. Пожелавам ти успех!

Площта на паралелограма, изграден върху вектори, е равна на произведението на дължините на тези вектори и ъгъла на ъгъла, който се намира между тях.

Добре е, когато дължините на същите тези вектори са дадени според условията. Но също така се случва, че е възможно да се приложи формулата за площта на паралелограма, изградена върху вектори, само след изчисления на координати.
Ако имате късмет и дължините на векторите са дадени според условията, тогава просто трябва да приложите формулата, която вече анализирахме подробно в статията. Площта ще бъде равна на произведението на модулите и синуса на ъгъла между тях:

Помислете за пример за изчисляване на площта на паралелограм, изграден върху вектори.

задача:Паралелограмът е изграден върху векторите и . Намерете площта, ако , и ъгълът между тях е 30°.
Нека изразим векторите по отношение на техните стойности:

Може би имате въпрос - откъде дойдоха нулите? Струва си да припомним, че работим с вектори и за тях . също така имайте предвид, че ако получим израз като резултат, тогава той ще бъде преобразуван в. Сега нека направим окончателните изчисления:

Да се ​​върнем към проблема, когато дължините на векторите не са посочени в условията. Ако вашият паралелограм лежи в декартовата координатна система, тогава трябва да направите следното.

Изчисляване на дължините на страните на фигура, дадени от координати

За начало намираме координатите на векторите и изваждаме съответните начални координати от крайните координати. Да приемем координатите на вектора a (x1;y1;z1) и вектора b (x3;y3;z3).
Сега намираме дължината на всеки вектор. За да направите това, всяка координата трябва да бъде квадратирана, след това да се добавят резултатите и да се извлече корена от крайно число. Според нашите вектори ще бъдат направени следните изчисления:


Сега трябва да намерим точковото произведение на нашите вектори. За да направите това, съответните им координати се умножават и добавят.

Като се имат предвид дължините на векторите и тяхното точково произведение, можем да намерим косинуса на ъгъла между тях.
Сега можем да намерим синуса на същия ъгъл:
Сега имаме всички необходими количества и лесно можем да намерим площта на паралелограма, изградена върху вектори, използвайки вече известната формула.