Наръчник по частни диференциални уравнения от първи ред - Е. Камке Наръчник по обикновени диференциални уравнения - Е. Камке Наръчник по диференциални уравнения на Камке

Айнс Е.Л. Обикновени диференциални уравнения. Харков: ОНТИ, 1939

Андронов А.А., Леонтович Е.В., Гордън И.И., Майер А.Г. Качествена теория на динамичните системи от втори ред. Москва: Наука, 1966

Аносов Д.В. (ред.) Гладки динамични системи (Сборник от преводи, Математика в чуждата наука N4). М.: Мир, 1977

Арнолд V.I., Козлов V.V., Neishtadt A.I. Математически аспекти на класическата и небесната механика. М.: ВИНИТИ, 1985

Барбашин Е.А. Функции на Ляпунов. Москва: Наука, 1970

Боголюбов Н.Н., Митрополски Ю.А. Асимптотични методи в теорията на нелинейните трептения (2-ро изд.). Москва: Наука, 1974

Вазов В. Асимптотични разложения на решения на обикновени диференциални уравнения. М.: Мир, 1968

Weinberg M.M., Trenogin V.A. Теорията за разклоняване на решенията не е такава линейни уравнения. Москва: Наука, 1969

Голубев В.В. Лекции по аналитична теория на диференциалните уравнения. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1950

Гурса Е. Курс по математически анализ, том 2, част 2. Диференциални уравнения. М.-Л.: GTTI, 1933г

Демидович B.P. Лекции по математическа теория на устойчивостта. Москва: Наука, 1967

Доброволски В.А. Есета върху развитието на аналитичната теория на диференциалните уравнения. Киев: Училище Вища, 1974

Егоров Д. Интегриране на диференциални уравнения (3-то изд.). М.: Печат Яковлев, 1913

Еругин Н.П. Четенка за общ курс по диференциални уравнения (3-то издание). Минск: Наука и техника, 1979

Еругин Н.П. Линейни системиобикновени диференциални уравнения с периодични и квазипериодични коефициенти. Минск: АН БССР, 1963

Еругин Н.П. Метод Лапо-Данилевски в теорията на линейните диференциални уравнения. Л.: Ленинградски държавен университет, 1956

Зайцев В.Ф. Въведение в съвременния групов анализ. Част 1: Групи от трансформации в равнината ( уроккъм курса). Санкт Петербург: Руски държавен педагогически университет им. А. И. Херцен, 1996 г

Зайцев В.Ф. Въведение в съвременния групов анализ. Част 2: Уравнения от първи ред и разрешените от тях точкови групи (учебник за специалния курс). Санкт Петербург: Руски държавен педагогически университет им. А. И. Херцен, 1996 г

Ибрагимов Н.Х. Азбука на груповия анализ. Москва: Знание, 1989

Ибрагимов Н.Х. Опит в груповия анализ на обикновени диференциални уравнения. Москва: Знание, 1991

Каменков Г.В. Избрани произведения. Т.1. Стабилност на движението. Флуктуации. Аеродинамика. Москва: Наука, 1971

Каменков Г.В. Избрани произведения. Т.2. Устойчивост и трептения на нелинейни системи. Москва: Наука, 1972

Камке Е. Наръчник по обикновени диференциални уравнения (4-то издание). Москва: Наука, 1971

Каплански И. Въведение в диференциалната алгебра. М.: IL, 1959

Карташев А.П., Рождественски Б.Л. Обикновени диференциални уравнения и основи на вариационното смятане (2-ро изд.). Москва: Наука, 1979

Coddington EA, Levinson N. Теория на обикновените диференциални уравнения. М.: IL, 1958

Козлов В.В. Симетрии, топология и резонанси в хамилтонова механика. Ижевск: Издателство на Удмуртската държава. университет, 1995г

Collatz L. Проблеми със собствени стойности (с технически приложения). Москва: Наука, 1968

Коул Дж. Методи на смущенията в приложната математика. М.: Мир, 1972

Коялович Б.М. Изследване на диференциалното уравнение ydy-ydx=Rdx. Санкт Петербург: Академия на науките, 1894

Красовски Н.Н. Някои проблеми на теорията за стабилността на движението. Москва: Физматлит, 1959

Крускал М. Адиабатни инварианти. Асимптотична теория на уравненията на Хамилтън и други системи от диференциални уравнения, чиито решения са приблизително периодични. М.: IL, 1962

Куренски М.К. Диференциални уравнения. Книга 1. Обикновени диференциални уравнения. Л .: Артилерийска академия, 1933 г

Лапо-Данилевски I.A. Приложение на функции от матрици към теорията на линейните системи от обикновени диференциални уравнения. М.: GITTL, 1957

Лапо-Данилевски I.A. Теория на функциите от матрици и системи от линейни диференциални уравнения. Л.-М., GITTL, 1934

LaSalle J., Lefschetz S. Изследване на стабилността чрез директния метод на Ляпунов. М.: Мир, 1964

Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодични функции и диференциални уравнения. Москва: Московски държавен университет, 1978

Лефшец С. Геометрична теория на диференциалните уравнения. М.: IL, 1961

Ляпунов A.M. Общият проблем за стабилността на движението. М.-Л.: GITTL, 1950

Малкин И.Г. Теория на стабилността на движението. Москва: Наука, 1966

Марченко В.А. Оператори на Sturm-Liouville и техните приложения. Киев: Наук. мисъл, 1977 г

Марченко В.А. Спектрална теория на операторите на Щурм-Лиувил. Киев: Наук. мисъл, 1972 г

Матвеев Н.М. Методи за интегриране на обикновени диференциални уравнения (3-то издание). Москва: Висше училище, 1967

Мишченко Е.Ф., Розов Н.Х. Диференциални уравнения с малък параметър и релаксационни трептения. Москва: Наука, 1975

Моисеев Н.Н. Асимптотични методи на нелинейната механика. Москва: Наука, 1969

Мордухай-Болтовской Д. За интегрирането в крайна форма на линейни диференциални уравнения. Варшава, 1910 г

Наймарк М.А. Линейни диференциални оператори (2-ро издание). Москва: Наука, 1969

Немицки В.В., Степанов В.В. Качествена теория на диференциалните уравнения. М.-Л.: ОГИЗ, 1947г

Pliss V.A. Нелокални проблеми на теорията на трептенията. М.-Л.: Наука, 1964

Пономарев К.К. Съставяне на диференциални уравнения. Мн.: Виш. училище, 1973г

Понтрягин Л.С. Обикновени диференциални уравнения (4-то издание). Москва: Наука, 1974

Поанкаре А. За кривите, определени от диференциални уравнения. М.-Л., GITTL, 1947

Расулов М.Л. Методът на контурния интеграл и неговото приложение при изследване на задачи за диференциални уравнения. Москва: Наука, 1964

Румянцев V.V., Oziraner A.S. Стабилност и стабилизиране на движението по отношение на някои от променливите. Москва: Наука, 1987

Sansone J. Обикновени диференциални уравнения, том 1. Москва: IL, 1953

Камке Е. Наръчник по диференциални уравнения с частни частни от първи ред: Наръчник. Редактирано от N.X. Розова - М.: "Наука", 1966. - 258 с.
Изтегли(пряка връзка) : kamke_es_srav_po_du.djvu Предишна 1 .. 4 > .. >> Следваща

Въпреки това, на самото напоследъкинтересът към диференциалните уравнения в частни производни от първи ред отново силно се увеличи. Два фактора допринесоха за това. На първо място се оказа, че т. нар. обобщени решения на квазилинейни уравнения от първи ред представляват изключителен интерес за приложения (например в теорията на ударните вълни в газовата динамика и др.). Освен това теорията на системите от частни диференциални уравнения е стъпила далеч напред. Въпреки това към днешна дата няма монография на руски език, която да събира и представя всички факти, натрупани в теорията на частните диференциални уравнения от първи ред, с изключение на добре познатата книга на Н. М. Гюн-

ПРЕДГОВОР КЪМ РУСКО ИЗДАНИЕ

тера, което отдавна се е превърнало в библиографска рядкост. Тази книга до известна степен запълва тази празнина.

Името на професор Е. Камке от университета в Тюбинген е познато на съветските математици. Той притежава голям брой трудове по диференциални уравнения и някои други клонове на математиката, както и няколко книги с образователен характер. По-специално, неговата монография „The Lebesgue-Stieltjes Integral“ е преведена на руски и публикувана през 1959 г. Три издания на руски език през 1951, 1961, 1965 г. са издадени от "Наръчника по обикновени диференциални уравнения", който е превод на първия том на "Gewohnliche Differenlialglelchungen" на книгата на Е. Камке "Differentialgleichungen (Losungsmethod)".

„Наръчник по частни диференциални уравнения от първи ред“ е превод на втория том от същата книга. Събрани са около 500 уравнения с решения. В допълнение към този материал, това ръководство съдържа кратко (без доказателства) представяне на редица теоретични въпроси, включително тези, които не са включени в обичайните курсове на диференциални уравнения, като теореми за съществуване, уникалност и др.

При подготовката на руското издание беше преработена обширната библиография, налична в книгата. Позоваванията на стари и недостъпни чуждестранни учебници бяха заменени по възможност с препратки към местна и преводна литература. Всички забелязани неточности, грешки и печатни грешки са коригирани. Всички вложки, коментари и допълнения, направени към книгата по време на редактиране, са оградени в квадратни скоби.

Този наръчник, създаден в началото на четиридесетте години (и оттогава многократно препечатван в ГДР без никакви промени), несъмнено вече не отразява напълно постиженията, които сега са налични в теорията на частните диференциални уравнения от първи ред. Така теорията на обобщените решения на квазилинейни уравнения, развита в добре познатите трудове на И. М. Гелфанд, О. А. Олейник и др., не намери никакво отражение в наръчника. Примери за скорошни резултати, които не са включени в книгата и свързани на въпроси, пряко разгледани в наръчника, могат да бъдат дадени. Не се разглежда в наръчника и теорията на уравненията на Пфаф. Изглежда обаче, че в този вид книгата несъмнено ще се окаже полезно ръководство за класическата теория на частните диференциални уравнения от първи ред.

Обобщението на дадените в книгата уравнения, чиито решения могат да бъдат записани в окончателен вид, е много интересно и полезно, но, разбира се, не е изчерпателно. Той е съставен от автора въз основа на произведения, появили се преди началото на четиридесетте години.

НЯКОИ ЗАБЕЛЕЖЕНИЯ

x, y; хи хр; yi .... yn - независими променливи, r- (x (, xn) a, b, c; A, B, C - константи, постоянни коефициенти, @, @ (x, y), @ (r) - отворени област, област на равнината (x, y), в пространството на променливите xt,...,xn [обикновено областта на непрекъснатост на коефициентите и решенията. - Бел. ред.], g - поддомейн @, F, f - обща функция,

fi - произволна функция, r;r(x, y); z - ty(x....., xn) - желаната функция, решение,

Dg _ dg _ dg _ dg

p~~dx "q~~dy~" Pv~lx^" qv~~dy~^"

x, |A, k, n - индекси на сумиране,

\n)~n! (n - t)! "

/g„...zln\

дет | zkv\ - детерминанта на матрицата I.....I.

\gsh - gpp I

ПРИЕТИ СЪКРАЩЕНИЯ В БИБЛИОГРАФСКИТЕ ИНСТРУКЦИИ

Гюнтер - Н. М. Гюнтер, Интегриране на частни диференциални уравнения от първи ред, GTTI, 1934 г.

Камке - Е. Камке, Наръчник по обикновени диференциални уравнения, Наука, 1964г.

Курант - Р. Курант, Частни диференциални уравнения, Мир, 1964г.

Петровски - И. Г. Петровски, Лекции по теория на обикновените диференциални уравнения, "Наука", 1964г.

Степанов - В. В. Степанов, Курс на диференциалните уравнения, Fizmat-giz, 1959.

Камке, DQlen-E. Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen, Лайпциг, 1944 г.

Съкращенията на наименованията на периодичните издания съответстват на общоприетите и затова са пропуснати в превода; виж обаче K a m to e. - Прибл. изд.]

ЧАСТ ПЪРВА

ОБЩИ МЕТОДИ ЗА РЕШЕНИЕ

[Следната литература е посветена на въпросите, разгледани в първата част:

Предговор към четвъртото издание
Някои обозначения
Приети съкращения в библиографските указания
ЧАСТ ПЪРВА
ОБЩИ МЕТОДИ ЗА РЕШЕНИЕ
§ 1. Диференциални уравнения, решени по отношение на производната: (формула) основни понятия
1.1. Обозначение и геометричен смисъл на диференциалното уравнение
1.2. Наличие и уникалност на решение
§ 2. Диференциални уравнения, решени по отношение на производната: (формула); методи на решение
2.1. Метод на полилиния
2.2. Метод на последователни приближения на Пикард-Линдельоф
2.3. Прилагане на силови редове
2.4. По-общ случай на разширяване на сериите
2.5. Разширяване на серия от параметри
2.6. Връзка с частни диференциални уравнения
2.7. Теореми за оценка
2.8. Поведение на решенията за големи стойности (?)
§ 3. Диференциални уравнения, които не са разрешени по отношение на производната: (формула)
3.1. Относно решенията и методите за решение
3.2. Редовни и специални линейни елементи
§ 4. Решение на отделни видове диференциални уравнения от първи ред
4.1. Диференциални уравнения с отделими променливи
4.2. (формула)
4.3. Линейни диференциални уравнения
4.4. Асимптотично поведение на решенията на линейни диференциални уравнения
4.5. уравнение на Беднули (формула)
4.6. Хомогенни диференциални уравнения и техните редукции
4.7. Обобщени хомогенни уравнения
4.8. Специално уравнение на Рикати: (формула)
4.9. Общо уравнениеРикати: (формула)
4.10. Уравнение на Абел от първи вид
4.11. Уравнение на Абел от втори вид
4.12. Уравнение в тотални диференциали
4.13. Интегриращ фактор
4.14. (формула), "интегриране чрез диференциране"
4.15. (формула)
4.16. (формула)
4.17. (формула)
4.18. Уравнения на Клеро
4.19. Уравнение на Лагранж - д'Аламбер
4.20. (формула). Трансформация на Лежандър
Глава II. Произволни системи от диференциални уравнения, решени по отношение на производни
§ 5. Основни понятия
5.1. Обозначение и геометричен смисъл на системата от диференциални уравнения
5.2. Наличие и уникалност на решение
5.3. Теорема за съществуването на Каратеодори
5.4. Зависимост на решението от началните условия и от параметрите
5.5. Проблеми с устойчивостта
§ 6. Методи на решение
6.1. Метод на полилиния
6.2. Метод на последователни приближения на Пикард-Линдельоф
6.3. Прилагане на силови редове
6.4. Връзка с частни диференциални уравнения
6.5. Редукция на системата с помощта на известна връзка между решенията
6.6. Редукция на системата чрез диференциране и елиминиране
6.7. Теореми за оценка
§ 7. Автономни системи
7.1. Определение и геометричен смисъл автономна система
7.2. За поведението на интегралните криви в околност на особена точка в случай n = 2
7.3. Критерии за определяне на вида на единичната точка
Глава III. Системи от линейни диференциални уравнения
§ 8. Произволни линейни системи
8.1. Общи забележки
8.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решение
8.3. Редукция на нехомогенна система до хомогенна
8.4. Теореми за оценка
§ 9. Хомогенни линейни системи
9.1. Свойства на разтвора. Системи за фундаментални решения
9.2. Теореми за съществуването и методи за решаване
9.3. Редукция на системата до система с по-малко уравнения
9.4. Конюгирана система от диференциални уравнения
9.5. Самоприсъединени системи от диференциални уравнения
9.6. Конюгирани системи от диференциални форми; Идентичност на Лагранж, формула на Грийн
9.7. Фундаментални решения
§ 10. Хомогенни линейни системи с особени точки
10.1. Класификации на единични точки
10.2. Слаби единични точки
10.3. Силни единични точки
§ 11. Поведение на решенията за големи стойности на x
§ 12. Линейни системи в зависимост от параметър
§ 13. Линейни системи с постоянни коефициенти
13.1. Хомогенни системи
13.2. Системите приключиха общ изглед
Глава IV. Произволни диференциални уравнения от n-ти ред
§ 14. Уравнения, решени по отношение на най-високата производна: (формула)
§ 15. Неразрешени уравнения по отношение на най-високата производна: (формула)
15.1. Уравнения в общи диференциали
15.2. Обобщени хомогенни уравнения
15.3. Уравнения, които не съдържат изрично x или y
Глава V. Линейни диференциални уравнения от n-ти ред
§ 16. Произволни линейни диференциални уравнения от n-ти ред
16.1. Общи забележки
16.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решение
16.3. (n-1)-та елиминация на дериват
16.4. Редукция на нехомогенно диференциално уравнение до хомогенно
16.5. Поведение на решенията за големи стойности на x
§ 17. Хомогенни линейни диференциални уравнения от n-ти ред
17.1. Свойства на решения и теореми за съществуване
17.2. Намаляване на реда на диференциално уравнение
17.3. На нулите на решенията
17.4. Фундаментални решения
17.5. Конюгирани, самосъединени и антисамосъединени диференциални форми
17.6. идентичност на Лагранж; Формулите на Дирихле и Грийн
17.7. Върху решения на съединени уравнения и уравнения в тотални диференциали
§ 18. Хомогенни линейни диференциални уравнения с особени точки
18.1. Класификация на единични точки
18.2. Случаят, когато точката (?) е правилна или слабо единична
18.3. Случаят, когато точката (?) е правилна или слабо единична
18.4. Случаят, когато точката (?) е силно единична
18.5. Случаят, когато точката (?) е силно единична
18.6. Диференциални уравнения с полиномни коефициенти
18.7. Диференциални уравнения с периодични коефициенти
18.8. Диференциални уравнения с двойно периодични коефициенти
18.9. Реален случай на променлива
§ 19. Решение на линейни диференциални уравнения с помощта на определени интеграли
19.1. Общ принцип
19.2. Преобразуване на Лаплас
19.3. Специална трансформация на Лаплас
19.4. Мелин трансформация
19.5. Преобразуване на Ойлер
19.6. Решение с помощта на двойни интеграли
§ 20. Поведение на решенията за големи стойности на x
20.1. Полиномни коефициенти
20.2. По-общи коефициенти
20.3. Постоянни коефициенти
20.4. Осцилационни теореми
§ 21. Линейни диференциални уравнения от n-ти ред в зависимост от параметъра
§ 22. Някои специални видове линейни диференциални уравнения от n-ти ред
22.1. Хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти
22.2. Нехомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти
22.3. уравнения на Ойлер
22.4. уравнение на Лаплас
22.5. Уравнения с полиномни коефициенти
22.6. уравнение на Похамер
Глава VI. Диференциални уравнения от втори ред
§ 23. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред
23.1. Методи за решаване на отделни видове нелинейни уравнения
23.2. Някои допълнителни бележки
23.3. Теореми за пределни стойности
23.4. Теорема за трептене
§ 24. Произволни линейни диференциални уравнения от втори ред
24.1. Общи забележки
24.2. Някои методи за решение
24.3. Теореми за оценка
§ 25. Хомогенни линейни диференциални уравнения от втори ред
25.1. Редукция на линейни диференциални уравнения от втори ред
25.2. Допълнителни забележки относно редуцирането на линейни уравнения от втори ред
25.3. Разширяване на решението в непрекъсната дроб
25.4. Общи бележки за нулите на решенията
25.5. Нули на решения на краен интервал
25.6. Поведение на решенията за (?)
25.7. Линейни диференциални уравнения от втори ред с единични точки
25.8. Приблизителни решения. Асимптотични решения; реална променлива
25.9. Асимптотични решения; комплексна променлива
25.10. WBC метод
Глава VII. Линейни диференциални уравнения от трети и четвърти порядък
§ 26. Линейни диференциални уравнения от трети ред
§ 27. Линейни диференциални уравнения от четвърти ред
Глава VIII. Приблизителни методи за интегриране на диференциални уравнения
§ 28. Приблизително интегриране на диференциални уравнения от първи ред
28.1. Метод на полилиния
28.2. Допълнителен метод на половин стъпка
28.3. Метод Runge-Hein-Kutta
28.4. Комбиниране на интерполация и последователни приближения
28.5. метод на Адамс
28.6. Допълнения към метода на Адамс
§ 29. Приблизително интегриране на диференциални уравнения от по-висок порядък
29.1. Приблизителни методи за интегриране за системи от диференциални уравнения от първи ред
29.2. Методът на прекъсната линия за диференциални уравнения от втори ред
29.3. Метод Runge*-Kutta за диференциални уравнения от този ред
29.4. Адамс - Стормер метод за уравнение (формула)
29.5. Адамс - Стормер метод за уравнение (формула)
29.6. Методът на Блес за уравнение (формула)
ЧАСТ ДВЕ
Проблеми с гранични стойности и собствени стойности
Глава I. Проблеми с гранични стойности и собствени стойности за линейни диференциални уравнения от n-ти ред
§ 1. Обща теория на граничните задачи
1.1. Нотации и предварителни изявления
1.2. Условия за разрешимост на краен проблем
1.3. Конюгирана гранична задача
1.4. Самоприсъединени гранични задачи
1.5. Функцията на Грийн
1.6. Решаване на проблем с нехомогенна гранична стойност с помощта на функцията на Грийн
1.7. Обобщена функция на Грийн
§ 2. Гранични задачи и задачи за собствени стойности на уравнение (формула)
2.1. Собствени стойности и собствени функции; характеристична детерминанта (?)
2.2. Присъединена задача за собствените стойности и резольвентата на Грея; пълна биортогонална система
2.3. Нормализирани гранични условия; редовни проблеми със собствени стойности
2.4. Собствени стойности за регулярни и неправилни проблеми със собствени стойности
2.5. Разширяване на дадена функция в собствени функции на регулярни и неправилни проблеми със собствени стойности
2.6. Самоприсъединени нормални проблеми със собствени стойности
2.7. Върху интегралните уравнения от тип Фредхолм
2.8. Връзка между гранични задачи и интегрални уравнения от тип Фредхолм
2.9. Връзка между проблеми със собствени стойности и интегрални уравнения от тип Фредхолм
2.10. Върху интегрални уравнения от тип Волтера
2.11. Връзка между граничните задачи и интегралните уравнения от типа на Волтера
2.12. Връзка между проблеми със собствени стойности и интегрални уравнения от типа на Волтера
2.13. Връзка между проблемите със собствени стойности и вариационното смятане
2.14. Приложение за разширение по отношение на собствените функции
2.15. допълнителни бележки
§ 3. Приблизителни методи за решаване на проблеми със собствени стойности и гранични задачи
3.1. Приблизителен метод на Галеркин-Риц
3.2. Приблизителен метод на Грамел
3.3. Решаване на нехомогенна гранична задача по метода на Галеркин-Риц
3.4. Метод на последователни приближения
3.5. Приблизително решение на гранични задачи и задачи за собствени стойности по метода на крайните разлики
3.6. Метод на смущения
3.7. Оценки на собствените стойности
3.8. Преглед на начините за изчисляване на собствени стойности и собствени функции
§ 4. Самоприсъединени задачи за собствени стойности за уравнение (формула)
4.1. Формулиране на проблема
4.2. Общи предварителни срещи
4.3. Нормални проблеми със собствени стойности
4.4. Положителни задачи със собствени стойности
4.5. Разлагане по отношение на собствените функции
§ 5. Гранични и допълнителни условия от по-общ вид
Глава II. Задачи за гранични стойности и задачи за собствени стойности за системи от линейни диференциални уравнения
§ 6. Гранични задачи и задачи за собствени стойности за системи от линейни диференциални уравнения
6.1. Нотации и условия на разрешимост
6.2. Конюгирана гранична задача
6.3. Матрицата на Грийн
6.4. Проблеми със собствени стойности
6.5. Самоприсъединени проблеми със собствени стойности
Глава III. Задачи за гранични стойности и задачи за собствени стойности за уравнения от нисък порядък
§ 7. Задачи от първи ред
7.1. Линейни проблеми
7.2. Нелинейни проблеми
§ 8. Линейни гранични задачи от втори ред
8.1. Общи забележки
8.2. Функцията на Грийн
8.3. Оценки за решения на гранични задачи от първи вид
8.4. Гранични условия при (?)
8.5. Намиране на периодични решения
8.6. Един проблем с гранична стойност, свързан с изследването на флуидния поток
§ 9. Линейни задачи за собствени стойности от втори ред
9.1. Общи забележки
9.2 Самоприсъединени проблеми със собствени стойности
9.3. (формула) и граничните условия са самосъединени
9.4. Проблеми със собствени стойности и вариационният принцип
9.5. Относно практическото изчисляване на собствени стойности и собствени функции
9.6. Проблеми със собствени стойности, които не са непременно самосъединени
9.7. Допълнителни условия от по-обща форма
9.8. Задачи със собствени стойности, съдържащи множество параметри
9.9. Диференциални уравнения с сингулярности в гранични точки
9.10. Проблеми със собствени стойности на безкраен интервал
§ 10. Нелинейни гранични задачи и задачи за собствени стойности от втори ред
10.1. Проблеми с гранични стойности за краен интервал
10.2. Проблеми с гранични стойности за полуограничен интервал
10.3. Проблеми със собствени стойности
§ 11. Гранични задачи и задачи за собствени стойности от трети - осми ред
11.1. Линейни задачи за собствени стойности от трети ред
11.2. Линейни задачи за собствени стойности от четвърти ред
11.3. Линейни задачи за система от две диференциални уравнения от втори ред
11.4. Нелинейни гранични задачи от четвърти ред
11.5. Проблеми със собствени стойности от по-висок порядък
ЧАСТ ТРЕТА ОТДЕЛНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ
Предварителни бележки
Глава I. Диференциални уравнения от първи ред
1-367. Диференциални уравнения от първа степен по отношение на (?)
368-517. Диференциални уравнения от втора степен по отношение на (?)
518-544. Диференциални уравнения от трета степен по отношение на (?)
545-576. Диференциални уравнения в по-общ вид
Глава II. Линейни диференциални уравнения от втори ред
1-90. (формула)
91-145. (формула)
146-221 (формула)
222-250. (формула)
251-303. (формула)
304-341. (формула)
342-396. (формула)
397-410. (формула)
411-445. Други диференциални уравнения
Глава III. Линейни диференциални уравнения от трети ред
Глава IV. Линейни диференциални уравнения от четвърти ред
Глава V. Линейни диференциални уравнения от пети и по-висок ред
Глава VI. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред
1-72. (формула)
73-103. (формула)
104-187. (формула)
188-225. (формула)
226-249. Други диференциални уравнения
Глава VII. Нелинейни диференциални уравнения от трети и по-високи порядки
Глава VIII. Системи от линейни диференциални уравнения
Предварителни бележки
1-18. Системи от две диференциални уравнения от първи ред с постоянни коефициенти
19-25. Системи от две диференциални уравнения от първи ред с променливи коефициенти
26-43. Системи от две диференциални уравнения от по-висок порядък от първото
44-57. Системи от повече от две диференциални уравнения
Глава IX. Системи от нелинейни диференциални уравнения
1-17. Системи от две диференциални уравнения
18-29. Системи от повече от две диференциални уравнения
ДОПЪЛНЕНИЯ
За решението на линейни хомогенни уравнения от втори ред (И. Зборник)
Допълнения към книгата на Е. Камке (Д. Митринович)
Нов начин за класифициране и конструиране на линейни диференциални уравнения общо решениеизползване на повтарящи се формули (I. Zbornik)
Предметен индекс

Пер. с него. - 4-то изд., преп. - М.: Наука: гл. изд. физика и математика лит., 1971. - 576с.

ОТ ПРЕДГОВОРИТЕ КЪМ ЧЕТВЪРТОТО ИЗДАНИЕ

„Наръчникът по обикновени диференциални уравнения” на известния немски математик Ерих Камке (1890-1961) е уникално по материално покритие издание и заема достойно място в световната справочна математическа литература.

Първото издание на руския превод на тази книга се появява през 1951 г. Последните две десетилетия бяха период на бързо развитие на изчислителната математика и Информатика. Съвременните изчислителни инструменти позволяват бързо и с голяма точност да се решават различни проблеми, които преди са изглеждали твърде тромави. По-специално, числените методи се използват широко в задачи, свързани с обикновени диференциални уравнения. Независимо от това, възможността за записване на общото решение на едно или друго диференциално уравнение или система в затворена форма в много случаи има значителни предимства. Следователно обширният справочен материал, който е събран в третата част на книгата на Е. Камке – около 1650 уравнения с решения – остава от голямо значение и сега.

В допълнение към горното материал за справка, книгата на Е. Камке съдържа представяне (макар и без доказателство) на основните понятия и ключови резултатиотнасящи се до обикновени диференциални уравнения. Той също така обхваща редица такива въпроси, които обикновено не са включени в учебниците по диференциални уравнения (например теорията на граничните задачи и проблемите на собствените стойности).

Книгата на Е. Камке съдържа много факти и резултати, полезни в ежедневната работа, тя се оказа ценна и необходима за широк кръг учени и специалисти в приложните области, за инженери и студенти. Три предишни издания на превода на този наръчник на руски език бяха приветствани от читателите и отдавна разпродадени.

Съдържание
Предговор към четвъртото издание 11
Някои обозначения 13
Приети съкращения в библиографските указания 13
ЧАСТ ПЪРВА
ОБЩИ МЕТОДИ ЗА РЕШЕНИЕ Глава I. Диференциални уравнения от първи ред
§ 1. Диференциални уравнения, решени по отношение на 19
производно: в" =f(x,y); основни понятия
1.1. Обозначение и геометричен смисъл на диференциала 19
уравнения
1.2. Наличие и уникалност на решение 20
§ 2. Диференциални уравнения, решени по отношение на 21
производно: в" =f(x,y); методи на решение
2.1. Метод на полилиния 21
2.2. Метод на Пикард-Линделоф за последователни приближения 23
2.3. Приложение на силов ред 24
2.4. По-общ случай на разширяване на серия 25
2.5. Разширение в серия в параметър 27
2.6. Връзка с частни диференциални уравнения 27
2.7. Теореми за оценка 28
2.8. Поведение на решенията за големи стойности х 30
§ 3. Нерешени диференциални уравнения по отношение на 32
производно: F(y", y, x)=0
3.1. Относно решенията и методите за решение 32
3.2. Правилни и единични линейни елементи 33
§ 4. Решение на частни форми на диференциални уравнения от първите 34
поръчка
4.1. Диференциални уравнения с отделими променливи 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. Линейни диференциални уравнения 35.
4.4. Асимптотично поведение на решенията
4.5. уравнение на Бернули y"+f(x)y+g(x)y a =0 38
4.6. Хомогенни диференциални уравнения и техните редукции 38
4.7. Обобщени хомогенни уравнения 40
4.8. Специално уравнение на Рикати: y "+ ay 2 \u003d bx a 40
4.9. Общо уравнение на Рикати: y"=f(x)y 2 +g(x)y+h(x) 41
4.10. Уравнение на Абел от първи вид 44
4.11. Уравнение на Абел от втори вид 47
4.12. Уравнение в общи диференциали 49
4.13. Интегриращ фактор 49
4.14. F(y",y,x)=0, "интегриране чрез диференциране" 50
4.15. (а) y=G(x, y"); (б) x=G(y, y") 50 4.16. (a) G(y ",x)=0; (b) G(y y)=Q 51
4L7. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
4.18. Уравнения на Клеро 52
4.19. Уравнение на Лагранж-Д'Аламбер 52
4.20. F(x, xy"-y, y")=0. Трансформация на Лежандър 53 Глава II. Произволни системи от диференциални уравнения,
разрешени спрямо деривати
§ 5. Основни понятия 54
5.1. Обозначение и геометричен смисъл на системата от диференциални уравнения
5.2. Наличие и уникалност на решение 54
5.3. Теорема за съществуването на Каратеодори 5 5
5.4. Зависимост на решението от началните условия и параметрите 56
5.5. Проблеми с устойчивостта 57
§ 6. Методи за решаване 59
6.1. Метод на полилиния 59
6.2. Метод на Пикард-Линдельоф за последователни приближения 59
6.3. Приложение на силов ред 60
6.4. Връзка с частни диференциални уравнения 61
6.5. Редукция на системата с помощта на известна връзка между решенията
6.6. Редукция на системата чрез диференциране и елиминиране 62
6.7. Теореми за оценка 62
§ 7. Автономни системи 63
7.1. Определение и геометричен смисъл на автономна система 64
7.2. За поведението на интегралните криви в околност на особена точка в случая n = 2
7.3. Критерии за определяне на вида на сингулярната точка 66
Глава III. Системи от линейни диференциални уравнения
§ 8. Произволни линейни системи 70
8.1. Общи бележки 70
8.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решение 70
8.3. Редукция на нехомогенна система до хомогенна 71
8.4. Теореми за оценка 71
§ 9. Хомогенни линейни системи 72
9.1. Свойства на разтвора. Системи за фундаментални решения 72
9.2. Теореми за съществуването и методи на решение 74
9.3. Свеждане на системата до система с по-малък брой уравнения 75
9.4. Конюгирана система от диференциални уравнения 76
9.5. Самоприсъединени системи от диференциални уравнения, 76
9.6. Конюгирани системи от диференциални форми; Идентичност на Лагранж, формула на Грийн
9.7. Фундаментални решения 78
§10. Хомогенни линейни системи с особени точки 79
10.1. Класификация на особени точки 79
10.2. Слаби единични точки 80
10.3. Силно сингулярни точки 82 §11. Поведение на решенията за големи стойности х 83
§12. Линейни системи в зависимост от параметър 84
§тринадесет. Линейни системи с постоянни коефициенти 86
13.1. Хомогенни системи 83
13.2. По-общи системи 87 Глава IV. Произволни диференциални уравнения n-ти ред
§ 14. Решени уравнения по отношение на най-високата производна: 89
yin)=f(x,y,y...,y(n-))
§15. Уравнения не са разрешени по отношение на най-високата производна: 90
F(x,y,y...,y(n))=0
15.1. Уравнения в общи диференциали 90
15.2. Обобщени хомогенни уравнения 90
15.3. Уравнения, които не съдържат изрично х или в 91 Глава V. Линейни диференциални уравнения n-ти ред,
§ шестнадесет. Произволни линейни диференциални уравнения n-ти ред 92
16.1. Общи бележки 92
16.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решение 92
16.3. Елиминиране на производното (n-1)-ти ред 94
16.4. Редукция на нехомогенно диференциално уравнение до хомогенно
16.5. Поведение на решенията за големи стойности х 94
§17. Хомогенни линейни диференциални уравнения n-ти ред 95
17.1. Свойства на решения и теореми за съществуване 95
17.2. Намаляване на реда на диференциално уравнение 96
17.3. 0 нулеви решения 97
17.4. Фундаментални решения 97
17.5. Конюгирани, самосъединени и антисамосъединени диференциални форми
17.6. идентичност на Лагранж; Формулите на Дирихле и Грийн 99
17.7. Върху решения на съединени уравнения и уравнения в тотални диференциали
§ осемнадесет. Хомогенни линейни диференциални уравнения с единично число 101
точки
18.1. Класификация на особени точки 101
18.2. Случаят, когато точката x=E, редовно или слабо единствено число 104
18.3. Случаят, когато точката x=inf е редовна или слабо сингулярна 108
18.4. Случаят, когато точката x=% силно специално 107
18.5. Случаят, когато точката x=inf е силно сингулярна 108
18.6. Диференциални уравнения с полиномни коефициенти
18.7. Диференциални уравнения с периодични коефициенти
18.8. Диференциални уравнения с двойно периодични коефициенти
18.9. Случай на реална променлива 112
§деветнадесет. Решаване на линейни диференциални уравнения с помощта на 113
определени интеграли 19.1. Общ принцип 113
19.2. Преобразуване на Лаплас 116
19.3 Специална трансформация на Лаплас 119
19.4. Мелин трансформация 120
19.5. Преобразуване на Ойлер 121
19.6. Решение с двойни интеграли 123
§ 20. Поведение на решения за големи стойности х 124
20.1. Полиномни коефициенти 124
20.2. По-общи коефициенти 125
20.3. Непрекъснат коефициент 125
20.4. Теореми за трептене 126
§21. Линейни диференциални уравнения n-ти ред в зависимост от 127
параметър
§ 22. Някои специални видове линейни диференциали 129
уравнения n-ти ред
22.1. Хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти
22.2. Нехомогенни диференциални уравнения с константи 130
22.3. Уравнения на Ойлер 132
22.4. Уравнение на Лаплас 132
22.5. Уравнения с полиномни коефициенти 133
22.6. Уравнение на Похамер 134
Глава VI. Диференциални уравнения от втори ред
§ 23. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред 139
23.1. Методи за решаване на определени видове нелинейни уравнения 139
23.2. Някои допълнителни забележки 140
23.3. Теореми за пределна стойност 141
23.4. Теорема за трептене 142
§ 24. Произволни линейни диференциални уравнения на второто 142
поръчка
24.1. Общи бележки 142
24.2. Някои методи за решаване на 143
24.3. Теореми за оценка 144
§ 25. Хомогенни линейни диференциални уравнения от втори ред 145
25.1. Редукция на линейни диференциални уравнения от втори ред
25.2. Допълнителни забележки относно редуцирането на линейни уравнения от втори ред
25.3. Разлагане на решението в продължителна дроб 149
25.4. Общи бележки за нулевите решения 150
25.5. Нули на решения на краен интервал 151
25.6. Поведението на решенията за x->inf 153
25.7. Линейни диференциални уравнения от втори ред с единични точки
25.8. Приблизителни решения. Асимптотични решения с реална променлива
25.9. Асимптотични решения; комплексна променлива 161 25.10. WBC метод 162 Глава VII. Линейни диференциални уравнения на трето и четвърто
поръчки
§ 26. Линейни диференциални уравнения от трети порядък 163
§ 27. Линейни диференциални уравнения от четвърти ред 164 Глава VIII. Приблизителни методи за интегриране на диференциал
уравнения
§ 28. Приблизително интегриране на диференциални уравнения 165
първа поръчка
28.1. Методът на прекъснатите линии 165.
28.2. Допълнителен метод на половин стъпка 166
28.3. Метод Runge-Hein-Kutta 167
28.4. Комбиниране на интерполация и последователни приближения 168
28.5. Метод на Адамс 170
28.6. Допълнения към метода на Адамс 172
§ 29. Приблизително интегриране на диференциални уравнения 174
по-високи поръчки
29.1. Приблизителни методи за интегриране за системи от диференциални уравнения от първи ред
29.2. Метод на прекъсната линия за диференциални уравнения от втори ред 176
29.3. Метод Рунге-Кута за диференциални уравнения от втори ред
29.4. Метод на Адамс - Щормер за уравнението y"=f(x,y,y) 177
29.5. Метод на Адамс - Щормер за уравнението y"=f(x,y) 178
29.6. Методът на Блес за уравнение y"=f(x,y,y) 179
ЧАСТ ДВЕ
Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствени стойности Глава I. Проблеми с гранични стойности и задачи за собствени стойности за линейни
диференциални уравнения n-ти ред
§ 1. Обща теория на граничните задачи 182
1.1. Нотации и предварителни изявления 182
1.2. Условия за разрешимост на краен проблем 184
1.3. Конюгирана гранична задача 185
1.4. Самоприсъединени гранични задачи 187
1.5. Функция на Грийн 188
1.6. Решаване на проблем с нехомогенна гранична стойност с помощта на функцията на Грийн 190
1.7. Обобщена функция на Грийн 190
§ 2. Задачи за гранични стойности и задачи за собствени стойности за уравнението 193
£w(y) + xx)y = 1(x)
2.1. Собствени стойности и собствени функции; характерен детерминант ох)
2.2. Съединена задача със собствени стойности и резольвента на Грийн; пълна биортогонална система
2.3. Нормализирани гранични условия; редовни проблеми със собствени стойности 2.4. Собствени стойности за регулярни и неправилни проблеми със собствени стойности
2.5. Разширяване на дадена функция в собствени функции на регулярни и неправилни проблеми със собствени стойности
2.6. Самоприсъединени нормални проблеми със собствени стойности 200
2.7. Върху интегралните уравнения на Фредхолм тип 204
2.8. Връзка между гранични задачи и интегрални уравнения от типа на Фредхолм
2.9. Връзка между проблеми със собствени стойности и интегрални уравнения от тип Фредхолм
2.10. Върху интегралните уравнения на Волтера тип 211
2.11. Връзка между граничните задачи и интегралните уравнения от типа на Волтера
2.12. Връзка между проблеми със собствени стойности и интегрални уравнения от типа на Волтера
2.13. Връзка между проблемите със собствени стойности и вариационното смятане
2.14. Приложение към разширение на собствените функции 218
2.15. Допълнителни забележки 219
§ 3. Приблизителни методи за решаване на задачи за собствени стойности и 222-
гранични стойностни проблеми
3.1. Приблизителен метод на Галеркин-Риц 222
3.2. Приблизителен метод на Грамел 224
3.3. Решаване на нехомогенна гранична задача по метода на Галеркин-Риц
3.4. Метод на последователни приближения 226
3.5. Приблизително решение на гранични задачи и задачи за собствени стойности по метода на крайните разлики
3.6. Метод на смущения 230
3.7. Оценка на собствената стойност 233
3.8. Преглед на начините за изчисляване на собствени стойности и 236 собствени функции
§ 4. Самоприсъединени задачи за собствени стойности за уравнението 238
F(y)=W(y)
4.1. Постановка на проблема 238
4.2. Общи предварителни бележки 239
4.3. Нормални проблеми със собствени стойности 240
4.4. Положителни задачи със собствени стойности 241
4.5. Разширение на собствените функции 244
§ 5. Гранични и допълнителни условия в по-общ вид 247 Глава II. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствени стойности за системи
линейни диференциални уравнения
§ 6. Гранични задачи и задачи за собствени стойности за системи 249
линейни диференциални уравнения
6.1. Обозначаване и условия на разрешимост 249
6.2. Конюгирана гранична задача 250
6.3. Матрицата на Грийн 252 6.4. Задачи със собствени стойности 252-
6.5. Самоприсъединени проблеми със собствени стойности 253 Глава III. Задачи за гранични стойности и задачи за собствени стойности за уравнения
по-ниски поръчки
§ 7. Задачи от първи ред 256
7.1. Линейни задачи 256
7.2. Нелинейни задачи 257
§ 8. Линейни гранични задачи от втори ред 257
8.1. Общи бележки 257
8.2. Функция на Грийн 258
8.3. Оценки за решения на гранични задачи от първи вид 259
8.4. Гранични условия за |х|->inf 259
8.5. Намиране на периодични решения 260
8.6. Един проблем с гранична стойност, свързан с изследването на флуидния поток 260
§ 9. Линейни задачи за собствени стойности от втори ред 261
9.1. Общи бележки 261
9.2 Самоприсъединени проблеми със собствени стойности 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y и граничните условия са самосъединени 266
9.4. Проблеми със собствени стойности и вариационният принцип 269
9.5. Относно практическото изчисляване на собствени стойности и собствени функции
9.6. Проблеми със собствени стойности, не непременно самосъединени 271
9.7. Допълнителни условия от по-общ вид 273
9.8. Задачи със собствени стойности, съдържащи множество параметри
9.9. Диференциални уравнения със сингулярности в гранични точки 276
9.10. Проблеми със собствени стойности на безкраен интервал 277
§10. Нелинейни гранични задачи и проблеми със собствени стойности 278
втора поръчка
10.1. Задачи с гранични стойности за краен интервал 278
10.2. Гранични задачи за полуограничен интервал 281
10.3. Проблеми със собствени стойности 282
§единадесет. Задачи за гранични стойности и задачи за собствени стойности на третия
осми ред
11.1. Линейни задачи за собствени стойности от трети порядък 283
11.2. Линейни задачи за собствени стойности от четвърти порядък 284
11.3. Линейни задачи за система от две диференциални уравнения от втори ред
11.4. Нелинейни гранични задачи от четвърти ред 287
11.5. Проблеми със собствени стойности от по-висок порядък 288
ЧАСТ ТРЕТА
ОТДЕЛНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ
Предварителни бележки 290 Глава I. Диференциални уравнения от първи ред
1-367. Диференциални уравнения от първа степен по отношение на U 294
368-517. Диференциални уравнения от втора степен по отношение на 334 518-544. Диференциални уравнения от трета степен по отношение на 354
545-576. Диференциални уравнения в по-общ вид 358Глава II. Линейни диференциални уравнения от втори ред
1-90. да" + ... 363
91-145. (брадва + юй " + ... 385
146-221.x2 y" + ... 396
222-250. (x 2 ± a 2) y "+ ... 410
251-303. (ах 2 + bx + c) y " + ... 419
304-341. (ах 3 +...)y" + ... 435
342-396. (ах 4 +...)y" + ... 442
397-410. (О" +...)y" + ... 449
411-445. Други диференциални уравнения 454
г лава III. Линейни диференциални уравнения от трети порядък Глава IV. Линейни диференциални уравнения от четвърти порядък Глава V. Пети и по-високи линейни диференциални уравнения
Заповеди Глава VI. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред
1-72. ay"=F(x,y,y) 485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187. / (x) xy "CR (x,; y,; y") 503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. Други диференциални уравнения 520Глава VII. Нелинейни диференциални уравнения на трето и повече
Високи ордени Глава VIII. Системи от линейни диференциални уравнения
Предварителни бележки 530
1-18. Системи от две диференциални уравнения от първи ред с 530
постоянни коефициенти 19-25.
Системи от две диференциални уравнения от първи ред с 534
променливи коефициенти
26-43. Системи от две диференциални уравнения от порядък над 535
първо
44-57. Системи от повече от две диференциални уравнения 538 Глава IX. Системи от нелинейни диференциални уравнения
1-17. Системи от две диференциални уравнения 541
18-29. Системи от повече от две диференциални уравнения 544
ДОПЪЛНЕНИЯ
За решението на линейни хомогенни уравнения от втори ред (И. Зборник) 547
Допълнения към книгата на Е. Камке (Д. Митринович) 556
Нов начин за класифициране на линейни диференциални уравнения и 568
конструиране на общото им решение с помощта на рекурсивни формули
(И. Зборник)
Индекс 571

име: Наръчник по обикновени диференциални уравнения.

„Наръчник по обикновени диференциални уравнения“ на известния немски математик Ерих Камке (1890 – 1961) е уникално по материално покритие издание и заема достойно място в световната справочна математическа литература.
Първото издание на руския превод на тази книга се появява през 1951 г. Последните две десетилетия бяха период на бързо развитие на изчислителната математика и компютърните технологии. Съвременните изчислителни инструменти позволяват бързо и с голяма точност да се решават различни проблеми, които преди са изглеждали твърде тромави. По-специално, числените методи се използват широко в задачи, свързани с обикновени диференциални уравнения. Независимо от това, възможността за записване на общото решение на едно или друго диференциално уравнение или система в затворена форма в много случаи има значителни предимства. Следователно обширният справочен материал, който е събран в третата част на книгата на Е. Камке – около 1650 уравнения с решения – остава от голямо значение и сега.

В допълнение към посочения референтен материал, книгата на Е. Камке съдържа представяне (макар и без доказателства) на основните понятия и най-важните резултати, свързани с обикновените диференциални уравнения. Той също така обхваща редица такива въпроси, които обикновено не са включени в учебниците по диференциални уравнения (например теорията на граничните задачи и проблемите на собствените стойности).
Книгата на Е. Камке съдържа много факти и резултати, полезни в ежедневната работа, тя се оказа ценна и необходима за широк кръг учени и специалисти в приложните области, за инженери и студенти. Три предишни издания на превода на този наръчник на руски език бяха приветствани от читателите и отдавна разпродадени.
Преводът на руски език е препроверен спрямо шестото немско издание (1959 г.); коригирани неточности, грешки и печатни грешки. Всички вмъквания, коментари и допълнения, направени в текста от редактора и преводача, са оградени в квадратни скоби. В края на книгата, под заглавието "Допълнения", има съкратени преводи (изпълнени от Н. Х. Розов) на онези няколко статии в списанието, допълващи справочната част, която авторът споменава в шестото немско издание.

ЧАСТ ПЪРВА
ОБЩИ МЕТОДИ ЗА РЕШЕНИЕ
Глава I
§ 1. Диференциални уравнения, разрешени по отношение на
производна: y" \u003d f (x, y); основни понятия
1.1. Обозначение и геометричен смисъл на диференциала
уравнения
1.2. Наличие и уникалност на решение
§ 2. Диференциални уравнения, разрешени по отношение на
производна: y" \u003d f (x, y); методи на решение
2.1. Метод на полилиния
2.2. Метод на последователни приближения на Пикард-Линдельоф
2.3. Прилагане на силови редове
2.4. По-общ случай на разширяване на серия25
2.5. Разширение в серия в параметър 27
2.6. Връзка с частни диференциални уравнения27
2.7. Теореми за оценка 28
2.8. Поведение на решенията за големи стойности x 30
§ 3. Неразрешени диференциални уравнения по отношение на 32
производна: F(y", y, x)=0
3.1. Относно решенията и методите за решение 32
3.2. Правилни и единични линейни елементи33
§ 4. Решение на частни форми на диференциални уравнения от първите 34
поръчка
4.1. Диференциални уравнения с отделими променливи 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. Линейни диференциални уравнения 35.
4.4. Асимптотично поведение на решенията на линейни диференциални уравнения
4.5. уравнение на Бернули y"+f(x)y+g(x)ya=0 38
4.6. Хомогенни диференциални уравнения и техните редукции38
4.7. Обобщени хомогенни уравнения 40
4.8. Специално уравнение на Рикати: y "+ y2 \u003d bxa 40
4.9. Общо уравнение на Рикати: y"=f(x)y2+g(x)y+h(x)41
4.10. Уравнение на Абел от първи вид44
4.11. Уравнение на Абел от втори вид47
4.12. Уравнение в общи диференциали 49
4.13. Интегриращ фактор 49
4.14. F(y",y,x)=0, "интегриране чрез диференциране" 50
4.15. (a) y=G(x, y"); (b) x=G(y, y") 50
4.16. (а) G(y ",x)=0; (b) G(y\y)=Q 51
4.17. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
4.18. Уравнения на Клеро 52
4.19. Уравнение на Лагранж-Д'Аламбер 52
4.20. F(x, xy"-y, y")=0. Трансформация на Лежандър53
Глава II. Произволни системи от диференциални уравнения, решени по отношение на производни
§ 5. Основни понятия54
5.1. Обозначение и геометричен смисъл на системата от диференциални уравнения
5.2. Наличие и уникалност на решение 54
5.3. Теорема за съществуването на Каратеодори 5 5
5.4. Зависимост на решението от началните условия и параметри56
5.5. Проблеми с устойчивостта57
§ 6. Методи за решаване 59
6.1. Метод на полилиния59
6.2. Метод на Пикард-Линдельоф за последователни приближения59
6.3. Приложение на силов ред 60
6.4. Връзка с частни диференциални уравнения 61
6.5. Редукция на системата с помощта на известна връзка между решенията
6.6. Редукция на системата чрез диференциране и елиминиране 62
6.7. Теореми за оценка 62
§ 7. Автономни системи 63
7.1. Определение и геометричен смисъл на автономна система 64
7.2. За поведението на интегралните криви в околност на особена точка в случай n = 2
7.3. Критерии за определяне на вида на сингулярната точка 66
Глава III.
§ 8. Произволни линейни системи70
8.1. Общи бележки70
8.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решение70
8.3. Редукция на нехомогенна система до хомогенна71
8.4. Теореми за оценка 71
§ 9. Хомогенни линейни системи72
9.1. Свойства на разтвора. Системи за фундаментални решения 72
9.2. Теореми за съществуването и методи на решение 74
9.3. Редукция на системата до система с по-малко уравнения75
9.4. Конюгирана система от диференциални уравнения76
9.5. Самоприсъединени системи от диференциални уравнения, 76
9.6. Конюгирани системи от диференциални форми; Идентичност на Лагранж, формула на Грийн
9.7. Фундаментални решения78
§10. Хомогенни линейни системи с особени точки 79
10.1. Класификация на особени точки 79
10.2. Слаби единични точки80
10.3. Силно единични точки 82
§единадесет. Поведение на решенията за големи стойности на x 83
§12. Линейни системи в зависимост от параметър84
§тринадесет. Линейни системи с постоянни коефициенти 86
13.1. Хомогенни системи 83
13.2. По-общи системи 87
Глава IV. Произволни диференциални уравнения от n-ти ред
§ 14. Решени уравнения по отношение на най-високата производна: 89
yin)=f(x,y,y\...,y(n-\))
§15. Уравнения не са разрешени по отношение на най-високата производна:90
F(x,y,y\...,y(n))=0
15.1. Уравнения в общи диференциали90
15.2. Обобщени хомогенни уравнения 90
15.3. Уравнения, които не съдържат изрично x или y 91
Глава V Линейни диференциални уравнения от n-ти ред,
§ шестнадесет. Произволни линейни диференциални уравнения от n-ти ред92
16.1. Общи бележки92
16.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решение92
16.3. Елиминиране на производната (n-1)-ти порядък94
16.4. Редукция на нехомогенно диференциално уравнение до хомогенно
16.5. Поведение на решенията за големи стойности на x94
§17. Хомогенни линейни диференциални уравнения от n-ти порядък 95
17.1. Свойства на решения и теореми за съществуване 95
17.2. Намаляване на реда на диференциално уравнение96
17.3. 0 нулеви решения 97
17.4. Фундаментални решения 97
17.5. Конюгирани, самосъединени и антисамосъединени диференциални форми
17.6. идентичност на Лагранж; Формулите на Дирихле и Грийн 99
17.7. Върху решения на съединени уравнения и уравнения в тотални диференциали
§ осемнадесет. Хомогенни линейни диференциални уравнения с единично число101
точки
18.1. Класификация на особени точки 101
18.2. Случаят, когато точката x=E е редовна или слабо единична104
18.3. Случаят, когато точката x=inf е редовна или слабо единична108
18.4. Случаят, когато точката x = % е силно сингулярна 107
18.5. Случаят, когато точката x=inf е силно сингулярна 108
18.6. Диференциални уравнения с полиномни коефициенти
18.7. Диференциални уравнения с периодични коефициенти
18.8. Диференциални уравнения с двойно периодични коефициенти
18.9. Случаят на реална променлива112
§деветнадесет. Решаване на линейни диференциални уравнения с помощта на 113
определени интеграли
19.1. Общ принцип 113
19.2. Преобразуване на Лаплас 116
19.3 Специална трансформация на Лаплас 119
19.4. Мелин трансформация 120
19.5. Преобразуване на Ойлер 121
19.6. Решение с двойни интеграли 123
§ 20. Поведение на решенията за големи стойности на x 124
20.1. Полиномни коефициенти124
20.2. По-общи коефициенти 125
20.3. Непрекъснат коефициент 125
20.4. Теореми за трептене126
§21. Линейни диференциални уравнения от n-ти ред в зависимост от127
параметър
§ 22. Някои специални видове линейни диференциали129
уравнения от n-ти порядък
22.1. Хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти
22.2. Нехомогенни диференциални уравнения с константи130
22.3. Уравнения на Ойлер 132
22.4. Уравнение на Лаплас132
22.5. Уравнения с полиномни коефициенти133
22.6. Уравнение на Похамер 134
Глава VI. Диференциални уравнения от втори ред
§ 23. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред 139
23.1. Методи за решаване на определени видове нелинейни уравнения 139
23.2. Някои допълнителни забележки140
23.3. Теореми за пределна стойност 141
23.4. Теорема за трептене 142
§ 24. Произволни линейни диференциални уравнения на второто 142
поръчка
24.1. Общи бележки142
24.2. Някои методи за решаване на 143
24.3. Теореми за оценка 144
§ 25. Хомогенни линейни диференциални уравнения от втори ред 145
25.1. Редукция на линейни диференциални уравнения от втори ред
25.2. Допълнителни забележки относно редуцирането на линейни уравнения от втори ред
25.3. Разлагане на решението в продължителна дроб 149
25.4. Общи бележки за нули на решение150
25.5. Нули на решения на краен интервал151
25.6. Поведение на решенията за x->inf 153
25.7. Линейни диференциални уравнения от втори ред с единични точки
25.8. Приблизителни решения. Асимптотични решения с реална променлива
25.9. Асимптотични решения; комплексна променлива161
25.10. WBC метод 162
Глава VII. Линейни диференциални уравнения на трето и четвърто
поръчки
§ 26. Линейни диференциални уравнения от трети ред163
§ 27. Линейни диференциални уравнения от четвърти ред 164
Глава VIII. Приблизителни методи за интегриране на диференциал
уравнения
§ 28. Приблизително интегриране на диференциални уравнения 165
първа поръчка
28.1. Методът на прекъснатите линии165.
28.2. Допълнителен метод на половин стъпка 166
28.3. Метод Runge-Hein-Kutta 167
28.4. Комбиниране на интерполация и последователни апроксимации168
28.5. Метод на Адамс 170
28.6. Допълнения към метода на Адамс 172
§ 29. Приблизително интегриране на диференциални уравнения 174
по-високи поръчки
29.1. Приблизителни методи за интегриране за системи от диференциални уравнения от първи ред
29.2. Метод на прекъсната линия за диференциални уравнения от втори ред 176
29.3. Метод Рунге-Кута за диференциални уравнения от втори ред
29.4. Метод на Адамс - Щормер за уравнението y "=f (x, y, y) 177
29.5. Метод на Адамс - Щормер за уравнението y "=f (x, y) 178
29.6. Методът на Блес за уравнението y"=f(x,y,y) 179

ЧАСТ ДВЕ
Проблеми с гранични стойности и собствени стойности
Глава I Задачи за гранични стойности и задачи за собствени стойности за линейни
диференциални уравнения от n-ти порядък
§ 1. Обща теория на граничните задачи182
1.1. Нотации и предварителни изявления 182
1.2. Условия за разрешимост на краен проблем184
1.3. Конюгирана гранична задача 185
1.4. Самоприсъединени гранични задачи 187
1.5. Функция на Грийн 188
1.6. Решаване на проблем с нехомогенна гранична стойност с помощта на функцията на Грийн 190
1.7. Обобщена функция на Грийн 190
§ 2. Задачи за гранични стойности и задачи за собствени стойности за уравнението 193
£SHU(Y)+YX)Y = 1(X)
2.1. Собствени стойности и собствени функции; характеристика детерминанта A(X)
2.2. Съединена задача със собствени стойности и резольвента на Грийн; пълна биортогонална система
2.3. Нормализирани гранични условия; редовни проблеми със собствени стойности
2.4. Собствени стойности за регулярни и неправилни проблеми със собствени стойности
2.5. Разширяване на дадена функция в собствени функции на регулярни и неправилни проблеми със собствени стойности
2.6. Самоприсъединени нормални проблеми със собствени стойности 200
2.7. Върху интегралните уравнения на Фредхолм тип 204
2.8. Връзка между гранични задачи и интегрални уравнения от типа на Фредхолм
2.9. Връзка между проблеми със собствени стойности и интегрални уравнения от тип Фредхолм
2.10. Върху интегралните уравнения от тип Волтера211
2.11. Връзка между граничните задачи и интегралните уравнения от типа на Волтера
2.12. Връзка между проблеми със собствени стойности и интегрални уравнения от типа на Волтера
2.13. Връзка между проблемите със собствени стойности и вариационното смятане
2.14. Приложение за разширение по отношение на собствените функции218
2.15. Допълнителни забележки219
§ 3. Приблизителни методи за решаване на задачи за собствени стойности u222-
гранични стойностни проблеми
3.1. Приблизителен метод на Галеркин-Риц222
3.2. Приблизителен метод на Грамел224
3.3. Решаване на нехомогенна гранична задача по метода на Галеркин-Риц
3.4. Метод на последователни приближения 226
3.5. Приблизително решение на гранични задачи и задачи за собствени стойности по метода на крайните разлики
3.6. Метод на смущения 230
3.7. Оценка на собствената стойност 233
3.8. Преглед на начините за изчисляване на собствени стойности и 236 собствени функции
§ 4. Самоприсъединени задачи със собствени стойности за уравнение238
F(y)=W(y)
4.1. Постановка на проблема 238
4.2. Общи предварителни бележки 239
4.3. Нормални проблеми със собствени стойности 240
4.4. Положителни задачи със собствени стойности 241
4.5. Разширение на собствените функции 244
§ 5. Гранични и допълнителни условия от по-общ вид 247
Глава II. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствени стойности за системи
линейни диференциални уравнения
§ 6. Гранични задачи и задачи за собствени стойности за системи 249
линейни диференциални уравнения
6.1. Обозначаване и условия на разрешимост 249
6.2. Конюгирана гранична задача 250
6.3. Зелена матрица252
6.4. Задачи със собствени стойности 252-
6.5. Самоприсъединени задачи със собствени стойности 253
Глава III. Задачи за гранични стойности и задачи за собствени стойности за уравнения
по-ниски поръчки
§ 7. Задачи от първи ред256
7.1. Линейни задачи 256
7.2. Нелинейни задачи 257
§ 8. Линейни гранични задачи от втори ред257
8.1. Общи бележки 257
8.2. Функция на Грийн 258
8.3. Оценки за решения на гранични задачи от първи вид259
8.4. Гранични условия за |х|->inf259
8.5. Намиране на периодични решения 260
8.6. Един проблем с гранична стойност, свързан с изследването на флуидния поток 260
§ 9. Линейни задачи за собствени стойности от втори ред 261
9.1. Общи бележки 261
9.2 Самоприсъединени проблеми със собствени стойности 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y и граничните условия са самосъединени266
9.4. Проблеми със собствени стойности и вариационният принцип269
9.5. Относно практическото изчисляване на собствени стойности и собствени функции
9.6. Проблеми със собствени стойности, които не са непременно самосъединени271
9.7. Допълнителни условия от по-общ вид273
9.8. Задачи със собствени стойности, съдържащи множество параметри
9.9. Диференциални уравнения със сингулярности в гранични точки 276
9.10. Проблеми със собствени стойности на безкраен интервал 277
§10. Нелинейни гранични задачи и проблеми със собствени стойности 278
втора поръчка
10.1. Задачи с гранични стойности за краен интервал 278
10.2. Гранични задачи за полуограничен интервал 281
10.3. Проблеми със собствени стойности282
§единадесет. Задачи за гранични стойности и задачи за собствени стойности на третия
осми ред
11.1. Линейни задачи за собствени стойности от трети ред283
11.2. Линейни задачи за собствени стойности от четвърти порядък 284
11.3. Линейни задачи за система от две диференциални уравнения от втори ред
11.4. Нелинейни гранични задачи от четвърти ред 287
11.5. Проблеми със собствени стойности от по-висок порядък288

ЧАСТ ТРЕТА
ОТДЕЛНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ
Предварителни бележки 290
Глава I Диференциални уравнения от първи ред
1-367. Диференциал, уравнения от първа степен по отношение на U 294
368-517. Диференциални уравнения от втора степен по отношение на 334
518-544. Диференциални уравнения от трета степен по отношение на 354
545-576. Диференциални уравнения от по-общ вид358
Глава II. Линейни диференциални уравнения от втори ред
1-90. да" + ...363
91-145. (брадва + юй " + ... 385
146-221.x2 y" + ... 396
222-250. (x2 ± a2) y "+ ... 410
251-303. (ax2 + bx + c) y" + ... 419
304-341. (ax3 +...)y" + ...435
342-396. (ax4 +...)y" + ...442
397-410. (ах "+ ...) y" + ... 449
411-445. Други диференциални уравнения 454
Глава III. Линейни диференциални уравнения от трети ред
Глава IV. Линейни диференциални уравнения от четвърти ред
Глава V Линейни диференциални уравнения от пето и по-високо
поръчки
Глава VI. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред
1-72. ay"=F(x,y,y)485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187. / (x) xy "CR (x,; y,; y") 503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. Други диференциални уравнения 520
Глава VII. Нелинейни диференциални уравнения на трето и повече
високи поръчки
Глава VIII. Системи от линейни диференциални уравнения
Предварителни бележки 530
1-18. Системи от две диференциални уравнения от първи ред с530
постоянни коефициенти 19-25.
Системи от две диференциални уравнения от първи ред с534
променливи коефициенти
26-43. Системи от две диференциални уравнения от порядък по-горе535
първо
44-57. Системи от повече от две диференциални уравнения538
Глава IX. Системи от нелинейни диференциални уравнения
1-17. Системи от две диференциални уравнения541
18-29. Системи от повече от две диференциални уравнения 544
ДОПЪЛНЕНИЯ
За решението на линейни хомогенни уравнения от втори ред (И. Зборник) 547
Допълнения към книгата на Е. Камке (Д. Митринович) 556
Нов начин за класифициране на линейни диференциални уравнения и 568
конструиране на общото им решение с помощта на рекурсивни формули
(И. Зборник)
Индекс 571