Много ученици от гимназията забравят как да правят дълго деление. Компютри, калкулатори, мобилни телефонии други устройства са станали толкова тясно интегрирани в живота ни, че елементарните математически операции понякога водят до ступор. И как хората са се справили без всички тези предимства преди няколко десетилетия? Първо трябва да запомните основните математически понятия, които са необходими за деление. И така, дивидентът е числото, което ще бъде разделено. Делителят е числото, на което трябва да се дели. Това, което се случва в резултат, се нарича частно. За разделяне на ред се използва символ, подобен на двоеточие - „:“, а при разделяне на колона се използва иконата „∟“, нарича се още ъгъл по друг начин.
Също така си струва да припомним, че всяко деление може да бъде проверено чрез умножение. За да проверите резултата от деленето, достатъчно е да го умножите по делител, в резултат на което трябва да получите число, което съответства на дивидента (a: b \u003d c; следователно, c * b \u003d a). Сега за това какво е десетична дроб. Десетично число се получава чрез разделяне на единица на 0,0, 1000 и т.н. Записването на тези числа и математическите операции с тях са абсолютно същите като с цели числа. При разделяне на десетичните знамена не е необходимо да се помни къде се намира знаменателят. Всичко става толкова ясно, когато напишете число. Първо се записва цяло число, а след десетичната запетая се записват неговите десети, стотни, хилядни. Първата цифра след десетичната запетая съответства на десетки, втората на стотици, третата на хиляди и т.н.
Всеки ученик трябва да знае как да разделя десетичните дроби. Ако и дивидентът, и делителят се умножат по едно и също число, тогава отговорът, тоест частното, няма да се промени. Ако десетичната дроб се умножи по 0,0, 1000 и т.н., тогава запетаята след цялото число ще промени позицията си - ще се премести вдясно с толкова цифри, колкото има нули в числото, с което е умножено. Например, когато умножите десетичната запетая по 10, десетичната запетая ще се премести с едно число надясно. 2,9: 6,7 - умножаваме и делителя, и делимото по 100, получаваме 6,9: 3687. Най-добре е да умножите така, че при умножение по него поне едно число (делител или дивидент) да няма цифри след десетичната запетая , т.е. направи поне едно число цяло число. Още няколко примера за обвиване на запетаи след цяло число: 9.2: 1.5 = 2492: 2.5; 5,4:4,8 = 5344:74598.
Внимание, десетичната дроб няма да промени стойността си, ако й се присвоят нули вдясно, например 3,8 = 3,0. Също така стойността на дроба няма да се промени, ако нулите в самия край на числото бъдат премахнати от него вдясно: 3,0 = 3,3. Нулите в средата на числото обаче не могат да бъдат премахнати - 3.3. Как да разделим десетична дроб на естествено число в колона? За да разделите десетична дроб на естествено число в колона, трябва да направите съответния запис с ъгъл, разделяне. В частна запетая трябва да го поставите, когато разделянето на цяло число приключи. Например, 5.4|2 14 7.2 18 18 0 4 4 0 Ако първата цифра на дивидента е по-малка от делителя, тогава следващите цифри се използват, докато първото действие стане възможно.
В този случай първата цифра на дивидента е 1, тя не може да бъде разделена на 2, следователно две цифри 1 и 5 се използват за деление наведнъж: 15 се разделя на 2 с остатъка, оказва се в частно 7, и в остатъка остава 1. След това използваме следващата цифра от дивидента - 8. Намаляваме я на 1 и разделяме 18 на 2. В частното записваме числото 9. В остатъка не остава нищо, така че пишем 0. Намаляваме останалото число 4 от деленото надолу и разделяме на делителя, т.е. на 2. В частното записваме 2, а остатъкът отново е 0. Резултатът от такова деление е числото 7.2. Нарича се частно. Доста лесно е да решите въпроса как да разделите десетична дроб на десетична дроб в колона, ако знаете някои трикове. Разделянето на десетичните знаци в главата ви понякога е доста трудно, така че дългото деление се използва за улесняване на процеса.
При това деление се прилагат същите правила, както при разделяне на десетична дроб на цяло число или при разделяне на низ. Отляво на реда напишете дивидента, след това поставете символа "ъгъл" и след това напишете делителя и започнете да делите. За да се улесни разделянето и прехвърлянето на удобно място, запетаята след цяло число може да се умножи по десетки, стотици или хиляди. Например, 9,2: 1,5 = 24920: 125. Внимание, и двете дроби се умножават по 0,0, 1000. Ако дивидентът е бил умножен по 10, тогава делителят също се умножава по 10. В този пример и делителят, и делителят са умножени по 100. След това изчислението се извършва по същия начин, както е показано в примера за деление на десетична дроб по естествено число. За да се раздели на 0,1; 0,1; 0,1 и т.н., е необходимо да се умножат както делителя, така и дивидента по 0,0, 1000.
Доста често при деление в частно, тоест в отговора, се получават безкрайни дроби. В този случай е необходимо числото да се закръгли до десети, стотни или хилядни. В този случай важи правилото, ако след числото, до което трябва да закръглите, отговорът е по-малък или равен на 5, тогава отговорът се закръглява надолу, ако е повече от 5 - нагоре. Например, искате да закръглите резултата от 5,5 до хилядни. Това означава, че отговорът след десетичната запетая трябва да завършва с числото 6. След 6 има 9, което означава, че отговорът се закръгля нагоре и получаваме 5,7. Но ако беше необходимо отговорът да се закръгли 5,5 не до хилядни, а до десети, тогава отговорът би изглеждал така - 5,2. В този случай 2 не е закръглено нагоре, защото е последвано от 3 и е по-малко от 5.
В този урок ще разгледаме всяка от тези операции една по една.
Съдържание на урокаДобавяне на десетични знаци
Както знаем, десетичната част има цяла и дробна част. При добавяне на десетични дроби целите и дробните части се добавят отделно.
Например, нека добавим десетичните числа 3.2 и 5.3. По-удобно е да добавяте десетични дроби в колона.
Първо, записваме тези две дроби в колона, като целите части трябва да са под целите части, а дробните под дробните части. В училище това изискване се нарича "запетая под запетая".
Нека напишем дробите в колона, така че запетаята да е под запетаята:
Започваме да добавяме дробните части: 2 + 3 \u003d 5. Записваме петте в дробната част на нашия отговор:
Сега събираме целите части: 3 + 5 = 8. Записваме осмицата в цялата част на нашия отговор:
Сега разделяме цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, ние отново следваме правилото "запетая под запетая":
Получих отговора 8.5. Така че изразът 3,2 + 5,3 е равен на 8,5
Всъщност не всичко е толкова просто, колкото изглежда на пръв поглед. Тук също има подводни камъни, за които сега ще говорим.
Местата са десетични
Десетичните числа, като обикновените числа, имат свои собствени цифри. Това са десети места, стотни места, хилядни места. В този случай цифрите започват след десетичната запетая.
Първата цифра след десетичната запетая отговаря за десетите, втората цифра след десетичната запетая за стотните, третата цифра след десетичната запетая за хилядните.
Цифрите в десетични дроби съхраняват някои полезна информация. По-специално те съобщават колко десети, стотни и хилядни са в десетичен знак.
Например, помислете за десетичната запетая 0,345
Позицията, където се намира тройката, се нарича десето място
Позицията, където се намират четирите, се нарича стотни място
Позицията, където се намира петицата, се нарича хилядни
Нека разгледаме тази фигура. Виждаме, че в категорията на десетките има тройка. Това предполага, че има три десети в десетичната дроб 0,345.
Ако съберем дробите и тогава получаваме оригиналната десетична дроб 0,345
Вижда се, че в началото получихме отговора, но го преобразувахме в десетична дроб и получихме 0,345.
При събирането на десетични дроби се спазват същите принципи и правила, както при събирането на обикновени числа. Добавянето на десетични дроби става с цифри: десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.
Следователно, когато добавяте десетични дроби, е необходимо да се спазва правилото "запетая под запетая". Запетая под запетая осигурява същия ред, в който десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.
Пример 1Намерете стойността на израза 1,5 + 3,4
Първо, събираме дробните части 5 + 4 = 9. Записваме деветте в дробната част на нашия отговор:
Сега събираме целите части 1 + 3 = 4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:
Сега разделяме цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, ние отново спазваме правилото "запетая под запетая":
Получих отговора 4.9. Значи стойността на израза 1,5 + 3,4 е 4,9
Пример 2Намерете стойността на израза: 3,51 + 1,22
Записваме този израз в колона, като спазваме правилото "запетая под запетая"
Преди всичко добавете дробната част, а именно стотните 1+2=3. Записваме тройката в стотната част от нашия отговор:
Сега добавете десети от 5+2=7. Записваме седемте в десетата част на нашия отговор:
Сега добавете целите части 3+1=4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:
Разделяме цялата част от дробната част със запетая, като спазваме правилото „запетая под запетаята“:
Получих отговора 4,73. Значи стойността на израза 3,51 + 1,22 е 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Както при обикновените числа, при добавяне на десетични дроби, . В този случай в отговора се записва една цифра, а останалите се прехвърлят към следващата цифра.
Пример 3Намерете стойността на израза 2,65 + 3,27
Записваме този израз в колона:
Добавете стотни от 5+7=12. Числото 12 няма да се побере в стотната част на нашия отговор. Следователно в стотната част пишем числото 2 и прехвърляме единицата към следващия бит:
Сега събираме десетите от 6+2=8 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 9. Записваме числото 9 в десетата от нашия отговор:
Сега добавете целите части 2+3=5. Записваме числото 5 в цялата част на нашия отговор:
Получих отговора 5,92. Значи стойността на израза 2,65 + 3,27 е 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Пример 4Намерете стойността на израза 9,5 + 2,8
Запишете този израз в колона
Събираме дробните части 5 + 8 = 13. Числото 13 няма да се побере в дробната част на нашия отговор, така че първо записваме числото 3 и прехвърляме единицата на следващата цифра, или по-скоро я прехвърляме на цяло число част:
Сега добавяме целите части 9+2=11 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 12. Записваме числото 12 в цялата част на нашия отговор:
Разделете цялата част от дробната част със запетая:
Получих отговора 12.3. Значи стойността на израза 9,5 + 2,8 е 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
При събиране на десетични дроби броят на цифрите след десетичната запетая и в двете дроби трябва да е еднакъв. Ако няма достатъчно цифри, тогава тези места в дробната част се запълват с нули.
Пример 5. Намерете стойността на израза: 12,725 + 1,7
Преди да запишем този израз в колона, нека направим броя на цифрите след десетичната запетая и в двете дроби еднакъв. Десетичната дроб 12.725 има три цифри след десетичната запетая, докато дробът 1.7 има само една. Така че в частта 1,7 в края трябва да добавите две нули. Тогава получаваме дроб 1700. Сега можете да напишете този израз в колона и да започнете да изчислявате:
Добавете хилядни от 5+0=5. Записваме числото 5 в хилядната част от нашия отговор:
Добавете стотни от 2+0=2. Записваме числото 2 в стотната част на нашия отговор:
Добавете десети от 7+7=14. Числото 14 няма да се побере в една десета от нашия отговор. Следователно първо записваме числото 4 и прехвърляме единицата към следващия бит:
Сега добавяме целите части 12+1=13 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 14. Записваме числото 14 в цялата част на нашия отговор:
Разделете цялата част от дробната част със запетая:
Получих отговора 14 425. Значи стойността на израза 12,725+1,700 е 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Изваждане на десетичните знаци
При изваждане на десетични дроби трябва да спазвате същите правила като при събирането: „запетая под запетая“ и „равен брой цифри след десетичната запетая“.
Пример 1Намерете стойността на израза 2.5 − 2.2
Записваме този израз в колона, като спазваме правилото „запетая под запетая“:
Изчисляваме дробната част 5−2=3. Записваме числото 3 в десетата част на нашия отговор:
Изчислете цялата част 2−2=0. Пишем нула в цялата част на нашия отговор:
Разделете цялата част от дробната част със запетая:
Получихме отговора 0.3. Значи стойността на израза 2,5 − 2,2 е равна на 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Пример 2Намерете стойността на израза 7.353 - 3.1
Този израз има различен брой цифри след десетичната запетая. В дроб 7.353 има три цифри след десетичната запетая, а в дроб 3.1 има само една. Това означава, че във дроб 3.1 трябва да се добавят две нули в края, за да стане броят на цифрите и в двете дроби еднакъв. Тогава получаваме 3100.
Сега можете да напишете този израз в колона и да го изчислите:
Получих отговора 4,253. Значи стойността на израза 7,353 − 3,1 е 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Както при обикновените числа, понякога ще трябва да вземете едно от съседния бит, ако изваждането стане невъзможно.
Пример 3Намерете стойността на израза 3.46 − 2.39
Извадете стотни от 6−9. От числото 6 не изваждайте числото 9. Следователно, трябва да вземете единица от съседната цифра. След като заемаме една от съседната цифра, числото 6 се превръща в число 16. Сега можем да изчислим стотните от 16−9=7. Записваме седемте в стотната част от нашия отговор:
Сега извадете десети. Тъй като взехме една единица в категорията на десетките, цифрата, която се намираше там, намаля с една единица. С други думи, десетото място вече не е числото 4, а числото 3. Нека изчислим десетите от 3−3=0. Пишем нула в десетата част на нашия отговор:
Сега извадете целите части 3−2=1. Записваме единицата в цялата част на нашия отговор:
Разделете цялата част от дробната част със запетая:
Получих отговора 1.07. Значи стойността на израза 3,46−2,39 е равна на 1,07
3,46−2,39=1,07
Пример 4. Намерете стойността на израза 3−1.2
Този пример изважда десетичен знак от цяло число. Нека напишем този израз в колона, така че цялата част от десетичната дроб 1,23 да е под числото 3
Сега нека направим броя на цифрите след десетичната запетая еднакъв. За да направите това, след числото 3 поставете запетая и добавете една нула:
Сега извадете десети: 0−2. Не изваждайте от нула числото 2. Следователно, трябва да вземете единица от съседната цифра. Като вземете единица от съседната цифра, 0 се превръща в числото 10. Сега можете да изчислите десетите от 10−2=8. Записваме осмината в десетата част на нашия отговор:
Сега извадете целите части. Преди това числото 3 се намираше в цяло число, но ние взехме една единица назаем от него. В резултат се превърна в число 2. Следователно изваждаме 1 от 2. 2−1=1. Записваме единицата в цялата част на нашия отговор:
Разделете цялата част от дробната част със запетая:
Получих отговора 1.8. Значи стойността на израза 3−1.2 е 1.8
Десетично умножение
Умножаването на десетичните знаци е лесно и дори забавно. За да умножите десетичните знаци, трябва да ги умножите като обикновени числа, като игнорирате запетаите.
След като получите отговора, е необходимо да разделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби, след това да преброите същия брой цифри вдясно в отговора и да поставите запетая.
Пример 1Намерете стойността на израза 2,5 × 1,5
Умножаваме тези десетични дроби като обикновени числа, без да обръщаме внимание на запетаите. За да игнорирате запетаите, можете временно да си представите, че те отсъстват напълно:
Получихме 375. В това число е необходимо да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в дроби от 2,5 и 1,5. В първата дроб има една цифра след десетичната запетая, във втората дроб също има една. Общо две числа.
Връщаме се към числото 375 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:
Получих отговора 3,75. Значи стойността на израза 2,5 × 1,5 е 3,75
2,5 х 1,5 = 3,75
Пример 2Намерете стойността на израза 12,85 × 2,7
Нека умножим тези десетични знаци, игнорирайки запетаите:
Получихме 34695. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да изчислите броя на цифрите след десетичната запетая в дроби от 12,85 и 2,7. В дроб 12.85 има две цифри след десетичната запетая, в дроб 2.7 има една цифра - общо три цифри.
Връщаме се към числото 34695 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая:
Получих отговора 34 695. Значи стойността на израза 12,85 × 2,7 е 34,695
12,85 х 2,7 = 34,695
Умножаване на десетичен знак по редовно число
Понякога има ситуации, когато трябва да умножите десетична дроб по редовно число.
За да умножите десетично и обикновено число, трябва да ги умножите, независимо от запетаята в десетичната запетая. След като получите отговора, е необходимо да разделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб, след това да преброите същия брой цифри вдясно в отговора и да поставите запетая.
Например, умножете 2,54 по 2
Умножаваме десетичната дроб 2,54 по обичайното число 2, като игнорираме запетаята:
Получихме числото 508. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във дроба 2,54. Дробът 2,54 има две цифри след десетичната запетая.
Връщаме се към числото 508 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:
Получих отговора 5.08. Значи стойността на израза 2,54 × 2 е 5,08
2,54 х 2 = 5,08
Умножаване на десетичните числа по 10, 100, 1000
Умножаването на десетичните знаци по 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като умножаването на десетичните по редовни числа. Необходимо е да се извърши умножението, като се игнорира запетаята в десетичната дроб, след което в отговора се отдели цялата част от дробната част, като се брои същия брой цифри вдясно, както имаше цифри след десетичната запетая в десетичната запетая фракция.
Например, умножете 2,88 по 10
Нека умножим десетичната дроб 2,88 по 10, като игнорираме запетаята в десетичната дроб:
Получихме 2880. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във дроба 2,88. Виждаме, че във дроб 2.88 има две цифри след десетичната запетая.
Връщаме се към числото 2880 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:
Получих отговора 28.80. Изхвърляме последната нула - получаваме 28.8. Значи стойността на израза 2,88 × 10 е 28,8
2,88 х 10 = 28,8
Има и втори начин за умножаване на десетичните дроби по 10, 100, 1000. Този метод е много по-прост и удобен. Състои се във факта, че запетаята в десетичната дроб се премества надясно с толкова цифри, колкото има нули в множителя.
Например, нека решим предишния пример 2,88×10 по този начин. Без да даваме никакви изчисления, веднага разглеждаме фактора 10. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Сега във дроб 2.88 преместваме десетичната запетая надясно с една цифра, получаваме 28.8.
2,88 х 10 = 28,8
Нека се опитаме да умножим 2,88 по 100. Веднага разглеждаме фактора 100. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има две нули. Сега във дроб 2.88 преместваме десетичната запетая надясно с две цифри, получаваме 288
2,88 x 100 = 288
Нека се опитаме да умножим 2,88 по 1000. Веднага разглеждаме фактора 1000. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има три нули. Сега във дроб 2.88 преместваме десетичната запетая надясно с три цифри. Третата цифра не е там, така че добавяме още една нула. В резултат получаваме 2880.
2,88 x 1000 = 2880
Умножаване на десетичните знаци по 0,1 0,01 и 0,001
Умножаването на десетичните знаци по 0,1, 0,01 и 0,001 работи по същия начин като умножаването на десетичен знак по десетичен знак. Необходимо е да се умножат дроби като обикновени числа и да се постави запетая в отговора, като се брои толкова цифри вдясно, колкото има цифри след десетичната запетая и в двете дроби.
Например, умножете 3,25 по 0,1
Ние умножаваме тези дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите:
Получихме 325. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да изчислите броя на цифрите след десетичната запетая в дроби от 3,25 и 0,1. В дроб 3.25 има две цифри след десетичната запетая, във дроб 0.1 има една цифра. Общо три числа.
Връщаме се към числото 325 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим три цифри вдясно и да поставим запетая. След като преброим три цифри, откриваме, че числата са свършили. В този случай трябва да добавите една нула и да поставите запетая:
Получихме отговора 0,325. Значи стойността на израза 3,25 × 0,1 е 0,325
3,25 х 0,1 = 0,325
Има втори начин за умножаване на десетичните числа по 0,1, 0,01 и 0,001. Този метод е много по-лесен и удобен. Състои се във факта, че запетаята в десетичната дроб се премества наляво с толкова цифри, колкото има нули в множителя.
Например, нека решим предишния пример 3,25 × 0,1 по този начин. Без да даваме никакви изчисления, веднага разглеждаме фактора 0.1. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Сега във дроб 3.25 преместваме десетичната запетая наляво с една цифра. Премествайки запетаята с една цифра наляво, виждаме, че няма повече цифри преди трите. В този случай добавете една нула и поставете запетая. В резултат получаваме 0,325
3,25 х 0,1 = 0,325
Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,01. Незабавно погледнете множителя от 0,01. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има две нули. Сега във дроб 3,25 преместваме запетаята наляво с две цифри, получаваме 0,0325
3,25 х 0,01 = 0,0325
Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,001. Веднага погледнете множителя от 0,001. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има три нули. Сега във дроб 3,25 преместваме десетичната запетая наляво с три цифри, получаваме 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Не бъркайте умножаването на десетичните знаци по 0,1, 0,001 и 0,001 с умножението по 10, 100, 1000. Често срещана грешкаповечето хора.
При умножение по 10, 100, 1000 запетаята се премества надясно с толкова цифри, колкото има нули в множителя.
И когато се умножава по 0,1, 0,01 и 0,001, запетаята се премества наляво с толкова цифри, колкото има нули в множителя.
Ако в началото е трудно да се запомни, можете да използвате първия метод, при който умножението се извършва както при обикновени числа. В отговора ще трябва да отделите цялата част от дробната част, като преброите толкова цифри вдясно, колкото има цифри след десетичната запетая и в двете дроби.
Разделяне на по-малко число на по-голямо. Напреднало ниво.
В един от предишните уроци казахме, че при разделяне на по-малко число на по-голямо се получава дроб, в чийто числител е делимото, а в знаменателя е делителят.
Например, за да разделите една ябълка на две, трябва да напишете 1 (една ябълка) в числителя и да напишете 2 (двама приятели) в знаменателя. Резултатът е дроб. Така всеки приятел ще получи по една ябълка. С други думи, половин ябълка. Дроба е отговорът на проблем как да разделим една ябълка между две
Оказва се, че можете да решите този проблем допълнително, ако разделите 1 на 2. В края на краищата дробна черта във всяка дроб означава деление, което означава, че това деление също е разрешено във дроб. Но как? Свикнали сме с факта, че дивидентът винаги е по-голям от делителя. И тук, напротив, дивидентът е по-малък от делителя.
Всичко ще стане ясно, ако си спомним, че дроб означава смачкване, разделяне, разделяне. Това означава, че уредът може да бъде разделен на толкова части, колкото желаете, а не само на две части.
При разделяне на по-малко число на по-голямо се получава десетична дроб, в която цялата част ще бъде 0 (нула). Дробната част може да бъде всякаква.
И така, нека разделим 1 на 2. Нека решим този пример с ъгъл:
Човек не може да се раздели на две просто така. Ако зададеш въпрос "колко две са в едно" , тогава отговорът ще бъде 0. Следователно на частно пишем 0 и поставяме запетая:
Сега, както обикновено, умножаваме частното по делителя, за да извадим остатъка:
Настъпи моментът, когато устройството може да се раздели на две части. За да направите това, добавете още една нула вдясно от получената:
Получаваме 10. Разделяме 10 на 2, получаваме 5. Записваме петте в дробната част на нашия отговор:
Сега изваждаме последния остатък, за да завършим изчислението. Умножете 5 по 2, получаваме 10
Получихме отговора 0,5. Така че фракцията е 0,5
Половин ябълка може да се напише и с помощта на десетичната дроб 0,5. Ако добавим тези две половини (0,5 и 0,5), отново получаваме оригиналната цяла ябълка: 
Тази точка също може да се разбере, ако си представим как 1 см е разделен на две части. Ако разделите 1 сантиметър на 2 части, ще получите 0,5 см
Пример 2Намерете стойността на израза 4:5
Колко петици са в четири? Въобще не. Пишем на частно 0 и поставяме запетая:
Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Записваме нула под четирите. Незабавно извадете тази нула от дивидента:
Сега нека започнем да разделяме (разделяме) четирите на 5 части. За да направите това, вдясно от 4 добавяме нула и разделяме 40 на 5, получаваме 8. Пишем осмицата насаме.
Завършваме примера, като умножаваме 8 по 5 и получаваме 40:
Получихме отговора 0.8. Така че стойността на израза 4: 5 е 0,8
Пример 3Намерете стойността на израз 5: 125
Колко числа 125 са в пет? Въобще не. Пишем 0 на частно и поставяме запетая:
Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Записваме 0 под петицата. Веднага извадете от петте 0
Сега нека започнем да разделяме (разделяме) петте на 125 части. За да направите това, вдясно от тази петица пишем нула:
Разделете 50 на 125. Колко числа 125 са в 50? Въобще не. Така че в частното отново пишем 0
Умножаваме 0 по 125, получаваме 0. Записваме тази нула под 50. Веднага изваждаме 0 от 50
Сега разделяме числото 50 на 125 части. За да направите това, вдясно от 50 пишем още една нула:
Разделете 500 на 125. Колко числа са 125 в числото 500. В числото 500 има четири числа 125. Записваме четирите на частно:
Завършваме примера, като умножаваме 4 по 125 и получаваме 500
Получихме отговора 0,04. Значи стойността на израза 5: 125 е 0,04
Деление на числа без остатък
И така, нека поставим запетая в частното след единицата, като по този начин показваме, че разделянето на цели части е приключило и преминаваме към дробната част:
Добавете нула към остатъка 4
Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Пишем осемте насаме:
40−40=0. Получих 0 в остатъка. Така разделянето е напълно завършено. Разделянето на 9 на 5 води до десетичен знак от 1,8:
9: 5 = 1,8
Пример 2. Разделете 84 на 5 без остатък
Първо разделяме 84 на 5 както обикновено с остатък:
Получени на лични 16 и още 4 в баланса. Сега разделяме този остатък на 5. Поставяме запетая в частното и добавяме 0 към остатъка 4
Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осмицата в частното след десетичната запетая:
и завършете примера, като проверите дали все още има остатък:
Разделяне на десетичен знак на редовно число
Десетичната дроб, както знаем, се състои от цяло число и дробна част. Когато разделяте десетична дроб на редовно число, първо трябва:
- разделете цялата част от десетичната дроб на това число;
- след като цялата част е разделена, трябва незабавно да поставите запетая в частната част и да продължите изчислението, както при обикновеното деление.
Например, нека разделим 4,8 на 2
Нека напишем този пример като ъгъл:
Сега нека разделим цялата част на 2. Четири разделено на две е две. Пишем двойката насаме и веднага поставяме запетая:
Сега умножаваме частното по делителя и виждаме дали има остатък от делението:
4−4=0. Остатъкът е нула. Все още не пишем нула, тъй като решението не е завършено. След това продължаваме да изчисляваме, както при обикновеното деление. Вземете 8 и го разделете на 2
8: 2 = 4. Записваме четирите в частното и веднага го умножаваме по делителя:
Получих отговора 2.4. Стойност на израза 4.8: 2 е равно на 2.4
Пример 2Намерете стойността на израза 8.43:3
Разделяме 8 на 3, получаваме 2. Веднага поставете запетая след двете:
Сега умножаваме частното по делителя 2 × 3 = 6. Записваме шестицата под осмица и намираме остатъка:
Разделяме 24 на 3, получаваме 8. Пишем осмицата насаме. Веднага го умножаваме по делителя, за да намерим остатъка от делението:
24−24=0. Остатъкът е нула. Нула все още не е записана. Вземете последните три от дивидента и разделете на 3, получаваме 1. Веднага умножете 1 по 3, за да завършите този пример:
Получих отговора 2.81. Значи стойността на израза 8,43: 3 е равна на 2,81
Разделяне на десетичен знак на десетичен знак
За да разделите десетична дроб на десетична дроб, в делителя и в делителя, преместете запетаята вдясно със същия брой цифри, както има след десетичната запетая в делителя, и след това разделете на редовно число.
Например, разделете 5,95 на 1,7
Нека напишем този израз като ъгъл
Сега, в делимото и в делителя, преместваме запетаята вдясно със същия брой цифри, както има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Така че трябва да преместим запетаята вдясно с една цифра в делителя и в делителя. Прехвърляне:
След преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, десетичната дроб 5,95 се превърна в дроб 59,5. И десетичната дроб 1,7, след като премести десетичната запетая надясно с една цифра, се превърна в обичайното число 17. И вече знаем как да разделим десетичната дроб на обичайното число. По-нататъшното изчисление не е трудно:
Запетаята се премества вдясно, за да се улесни разделянето. Това е позволено поради факта, че при умножение или разделяне на делителя и делителя на едно и също число, частното не се променя. Какво означава?
Това е едно от интересни функциидивизия. Нарича се частна собственост. Помислете за израз 9: 3 = 3. Ако в този израз делителят и делителят се умножат или разделят на едно и също число, тогава частното 3 няма да се промени.
Нека умножим делителя и делителя по 2 и да видим какво ще се случи:
(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3
Както се вижда от примера, коефициентът не се е променил.
Същото се случва, когато носим запетая в делимото и в делителя. В предишния пример, където разделихме 5,91 на 1,7, преместихме запетаята с една цифра вдясно в делителя и делителя. След преместване на запетаята, фракцията 5,91 беше преобразувана във фракция 59,1, а фракцията 1,7 беше преобразувана в обичайното число 17.
Всъщност вътре в този процес се извършваше умножение по 10. Ето как изглеждаше:
5,91 × 10 = 59,1
Следователно броят на цифрите след десетичната запетая в делителя зависи от това по какво ще бъдат умножени делимото и делителя. С други думи, броят на цифрите след десетичната запетая в делителя ще определи колко цифри в делителя и в делителя ще се премести запетаята надясно.
Десетично деление на 10, 100, 1000
Разделянето на десетичен знак на 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като . Например, нека разделим 2,1 на 10. Нека решим този пример с ъгъл:
Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се премества наляво с толкова цифри, колкото има нули в делителя.
Нека решим предишния пример по този начин. 2.1: 10. Гледаме разделителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с една цифра. Преместваме запетаята наляво с една цифра и виждаме, че не са останали повече цифри. В този случай добавяме още една нула преди числото. В резултат получаваме 0,21
Нека се опитаме да разделим 2,1 на 100. В числото 100 има две нули. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с две цифри:
2,1: 100 = 0,021
Нека се опитаме да разделим 2,1 на 1000. В числото 1000 има три нули. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с три цифри:
2,1: 1000 = 0,0021
Десетично деление на 0,1, 0,01 и 0,001
Разделянето на десетичен знак на 0,1, 0,01 и 0,001 се извършва по същия начин като . В делителя и в делителя трябва да преместите запетаята надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя.
Например, нека разделим 6,3 на 0,1. Първо, преместваме запетаите в делителя и в делителя вдясно със същия брой цифри, както има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Така че преместваме запетаите в делителя и в делителя надясно с една цифра.
След преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, десетичната дроб 6.3 се превръща в обичайното число 63, а десетичната дроб 0.1, след преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, се превръща в единица. И разделянето на 63 на 1 е много просто:
Така стойността на израза 6.3: 0.1 е равна на 63
Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се прехвърля вдясно с толкова цифри, колкото има нули в делителя.
Нека решим предишния пример по този начин. 6,3:0,1. Нека разгледаме разделителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с една цифра. Преместваме запетаята вдясно с една цифра и получаваме 63
Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,01. Делителят 0.01 има две нули. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с две цифри. Но в дивидента има само една цифра след десетичната запетая. В този случай в края трябва да се добави още една нула. В резултат получаваме 630
Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,001. Делителят на 0,001 има три нули. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с три цифри:
6,3: 0,001 = 6300
Задачи за самостоятелно решаване
Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашите нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци
В последния урок научихме как да събираме и изваждаме десетични дроби (вижте урока „Добавяне и изваждане на десетични дроби“). В същото време те оцениха доколко изчисленията са опростени в сравнение с обичайните „двуетажни“ дроби.
За съжаление, при умножение и деление на десетични дроби този ефект не се получава. В някои случаи десетичната нотация дори усложнява тези операции.
Първо, нека представим нова дефиниция. Ще го срещаме доста често и не само в този урок.
Значителната част от числото е всичко между първата и последната ненулева цифра, включително ремаркетата. Говорим само за числа, десетичната запетая не се взема предвид.
Цифрите, включени в значителната част на числото, се наричат значими цифри. Те могат да се повтарят и дори да са равни на нула.
Например, разгледайте няколко десетични дроби и запишете съответните им значими части:
- 91,25 → 9125 (значими цифри: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (значими цифри: 8; 2; 4; 1);
- 15.0075 → 150075 (значими цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (значими цифри: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (има само една значима цифра: 3).
Моля, обърнете внимание: нулите в значителната част от числото не отиват никъде. Вече се сблъскахме с нещо подобно, когато се научихме да преобразуваме десетични дроби в обикновени (вижте урока „Десетични дроби“).
Този момент е толкова важен и тук се допускат толкова често грешки, че ще публикувам тест по тази тема в близко бъдеще. Не пропускайте да практикувате! И ние, въоръжени с концепцията за значителна част, всъщност ще преминем към темата на урока.
Десетично умножение
Операцията за умножение се състои от три последователни стъпки:
- За всяка дроб запишете значимата част. Ще получите две обикновени цели числа - без знаменатели и десетични точки;
- Умножете тези числа по всеки удобен начин. Директно, ако числата са малки, или в колона. Получаваме значителната част от желаната фракция;
- Разберете къде и с колко цифри се измества десетичната запетая в оригиналните дроби, за да се получи съответната значима част. Извършете обратни смени върху значителната част, получена в предишната стъпка.
Нека ви напомня още веднъж, че нулите от страните на значимата част никога не се вземат предвид. Пренебрегването на това правило води до грешки.
- 0,28 12,5;
- 6,3 1,08;
- 132,5 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 10 000.
Работим с първия израз: 0.28 12.5.
- Нека изпишем значимите части за числата от този израз: 28 и 125;
- Техният продукт: 28 125 = 3500;
- При първия множител десетичната запетая се измества с 2 цифри вдясно (0,28 → 28), а във втория - с още 1 цифра. Като цяло е необходимо преместване наляво с три цифри: 3500 → 3.500 = 3.5.
Сега нека се заемем с израза 6.3 1.08.
- Нека изпишем значимите части: 63 и 108;
- Техният продукт: 63 108 = 6804;
- Отново две измествания вдясно: съответно с 2 и 1 цифра. Общо - отново 3 цифри вдясно, така че обратното изместване ще бъде 3 цифри наляво: 6804 → 6.804. Този път няма нули в края.
Стигнахме до третия израз: 132,5 0,0034.
- Значими части: 1325 и 34;
- Техният продукт: 1325 34 = 45 050;
- В първата дроб десетичната запетая отива вдясно с 1 цифра, а във втората - с цели 4. Общо: 5 вдясно. Извършваме изместване с 5 наляво: 45050 → .45050 = 0,4505. Нулата беше премахната в края и добавена отпред, за да не остане „гола“ десетична запетая.
Следният израз: 0,0108 1600,5.
- Пишем значими части: 108 и 16 005;
- Умножаваме ги: 108 16 005 = 1 728 540;
- Преброяваме числата след десетичната запетая: в първото число има 4, във второто - 1. Общо - отново 5. Имаме: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В крайна сметка „допълнителната“ нула беше премахната.
И накрая, последният израз: 5,25 10 000.
- Значими части: 525 и 1;
- Умножаваме ги: 525 1 = 525;
- Първата дроб се измества с 2 цифри вдясно, а втората фракция се измества с 4 цифри наляво (10 000 → 1,0000 = 1). Общо 4 − 2 = 2 цифри вляво. Извършваме обратно изместване с 2 цифри вдясно: 525, → 52 500 (трябваше да добавим нули).
Обърнете внимание на последния пример: тъй като десетичната запетая се движи в различни посоки, общото изместване е през разликата. Това е много важен момент! Ето още един пример:
Да разгледаме числата 1,5 и 12 500. Имаме: 1,5 → 15 (изместване с 1 надясно); 12 500 → 125 (изместване 2 наляво). Ние „стъпваме“ с 1 цифра вдясно и след това с 2 цифри наляво. В резултат на това направихме стъпка 2 − 1 = 1 цифра вляво.
Десетично деление
Разделянето е може би най-трудната операция. Разбира се, тук можете да действате по аналогия с умножението: разделете значимите части и след това „преместете“ десетичната запетая. Но в този случай има много тънкости, които отричат потенциалните спестявания.
Така че нека разгледаме общ алгоритъм, който е малко по-дълъг, но много по-надежден:
- Преобразувайте всички десетични дроби в обикновени дроби. С малко практика тази стъпка ще ви отнеме няколко секунди;
- Разделете получените фракции по класическия начин. С други думи, умножете първата дроб по "обърнатата" втора (вижте урока "Умножение и деление на числови дроби");
- Ако е възможно, върнете резултата като десетичен знак. Тази стъпка също е бърза, защото често знаменателят вече има степен десет.
Задача. Намерете стойността на израза:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Разглеждаме първия израз. Първо, нека преобразуваме оби дроби в десетични:
Правим същото с втория израз. Числителят на първата дроб отново се разлага на фактори:
В третия и четвъртия пример има важен момент: след като се отървете от десетичната нотация, се появяват отменяеми дроби. Ние обаче няма да извършим това намаление.
Последният пример е интересен, защото числителят на втората дроб е просто число. Тук просто няма какво да се разлага на множители, така че го считаме за „празно“:
Понякога разделянето води до цяло число (говоря за последния пример). В този случай третата стъпка изобщо не се извършва.
Освен това при разделяне често се появяват „грозни“ дроби, които не могат да бъдат преобразувани в десетични. Това е мястото, където разделянето се различава от умножението, където резултатите винаги се изразяват в десетична форма. Разбира се, в този случай последната стъпка отново не се изпълнява.
Обърнете внимание и на 3-ти и 4-ти пример. В тях умишлено не намаляваме обикновените дроби, получени от десетичните дроби. В противен случай това ще усложни обратната задача - представяйки окончателния отговор отново в десетична форма.
Запомнете: основното свойство на дроб (като всяко друго правило в математиката) само по себе си не означава, че трябва да се прилага навсякъде и винаги, при всяка възможност.
В училище тези действия се изучават от прости към сложни. Следователно със сигурност е необходимо да се овладее алгоритъма за извършване на горните операции с помощта на прости примери. Така че по-късно няма да има трудности с разделянето на десетичните дроби в колона. В крайна сметка това е най-трудният вариант на подобни задачи.
Тази тема изисква последователно изучаване. Тук пропуските в знанията са неприемливи. Този принцип трябва да бъде усвоен от всеки ученик още в първи клас. Ето защо, ако пропуснете няколко урока подред, ще трябва сами да овладеете материала. В противен случай по-късно ще има проблеми не само с математиката, но и с други предмети, свързани с нея.
Втората предпоставка за успешно изучаване на математика е да се премине към примери за деление в колона само след като са усвоени събиране, изваждане и умножение.
За детето ще бъде трудно да дели, ако не е научило таблицата за умножение. Между другото, по-добре е да го научите от таблицата на Питагор. Няма нищо излишно и в този случай умножението е по-лесно за смилане.
Как се умножават естествените числа в колона?
Ако има затруднения при решаването на примери в колона за деление и умножение, тогава е необходимо да започнете решаването на проблема с умножение. Тъй като делението е обратно на умножението:
- Преди да умножите две числа, трябва да ги разгледате внимателно. Изберете този с повече цифри (по-дълъг), първо го запишете. Поставете втория под него. Освен това номерата на съответната категория трябва да са в същата категория. Тоест най-дясната цифра на първото число трябва да е над най-дясната цифра на второто.
- Умножете най-дясната цифра на най-долното число по всяка цифра от горното число, като се започне от дясно. Напишете отговора под реда, така че последната му цифра да е под тази, по която е умножена.
- Повторете същото с другата цифра от долното число. Но резултатът от умножението трябва да бъде изместен с една цифра наляво. В този случай последната му цифра ще бъде под тази, по която е била умножена.
Продължете това умножение в колона, докато изтекат числата във втория множител. Сега те трябва да бъдат сгънати. Това ще бъде желаният отговор.
Алгоритъм за умножение в колона от десетични дроби
Първо, трябва да си представим, че не са дадени десетични дроби, а естествени. Тоест премахнете запетаите от тях и след това продължете, както е описано в предишния случай.
Разликата започва, когато отговорът е написан. В този момент е необходимо да се преброят всички числа, които са след десетичната запетая и в двете дроби. Това е колко от тях трябва да преброите от края на отговора и да поставите запетая там.
Удобно е този алгоритъм да се илюстрира с пример: 0,25 x 0,33:
Как да започнем да се учим да разделяме?
Преди да решите примери за деление в колона, трябва да запомните имената на числата, които са в примера за деление. Първият от тях (този, който разделя) е делимото. Вторият (разделен на него) е делител. Отговорът е частен.
След това, използвайки прост ежедневен пример, ще обясним същността на тази математическа операция. Например, ако вземете 10 сладки, тогава е лесно да ги разделите поравно между мама и татко. Но какво ще стане, ако трябва да ги раздадете на родителите и брат си?
След това можете да се запознаете с правилата за разделяне и да ги овладеете с конкретни примери. Отначало прости, а след това преминаване към все по-сложни.
Алгоритъм за разделяне на числа в колона
Първо, представяме процедурата за естествени числа, които се делят на едноцифрено число. Те също така ще бъдат основа за многоцифрени делители или десетични дроби. Само тогава се предполага, че трябва да направи малки промени, но повече за това по-късно:
- Преди да извършите деление в колона, трябва да разберете къде се намират делителя и делителя.
- Запишете дивидента. Вдясно от него има разделител.
- Начертайте ъгъл отляво и отдолу близо до последния ъгъл.
- Определете непълния дивидент, тоест числото, което ще бъде минималното за деление. Обикновено се състои от една цифра, максимум от две.
- Изберете числото, което ще бъде написано първо в отговора. Трябва да е броят пъти, в които делителят се вписва в дивидента.
- Запишете резултата от умножаването на това число по делител.
- Запишете го под непълен делител. Извършете изваждане.
- Пренесете към остатъка първата цифра след частта, която вече е разделена.
- Отново изберете числото за отговора.
- Повторете умножението и изваждането. Ако остатъкът е нула и дивидентът е свършил, тогава примерът е готов. В противен случай повторете стъпките: разрушете числото, вземете числото, умножете, извадете.
Как да решим дългото деление, ако в делителя има повече от една цифра?
Самият алгоритъм напълно съвпада с описаното по-горе. Разликата ще бъде броят на цифрите в непълния дивидент. Сега трябва да има поне две от тях, но ако се окажат по-малки от делителя, тогава се предполага, че работи с първите три цифри.
Има още един нюанс в това разделение. Факт е, че остатъкът и пренесената към него фигура понякога не се делят на делител. След това трябва да се припише още една фигура по ред. Но в същото време отговорът трябва да е нула. Ако трицифрените числа са разделени в колона, тогава може да се наложи да бъдат премахнати повече от две цифри. След това се въвежда правилото: нулите в отговора трябва да са с една по-малко от броя на свалените цифри.
Можете да разгледате такова разделение, като използвате примера - 12082: 863.
- Непълното делимо в него е числото 1208. Числото 863 е поставено в него само веднъж. Следователно в отговор трябва да се постави 1 и да се напише 863 под 1208.
- След изваждане остатъкът е 345.
- За него трябва да разрушите числото 2.
- В числото 3452 863 се вписва четири пъти.
- В отговор трябва да бъдат написани четири. Освен това, когато се умножи по 4, се получава това число.
- Остатъкът след изваждане е нула. Тоест делението е завършено.
Отговорът в примера е 14.
Ами ако дивидентът завърши на нула?
Или няколко нули? В този случай се получава нулев остатък и все още има нули в дивидента. Не се отчайвайте, всичко е по-лесно, отколкото може да изглежда. Достатъчно е просто да припишем на отговора всички нули, които са останали неразделени.
Например, трябва да разделите 400 на 5. Непълният дивидент е 40. Пет се поставя в него 8 пъти. Това означава, че отговорът трябва да бъде записан 8. При изваждане няма остатък. Тоест делението приключи, но в дивидента остава нула. Ще трябва да се добави към отговора. По този начин, разделянето на 400 на 5 дава 80.
Ами ако трябва да разделите десетичен знак?
Отново това число изглежда като естествено число, ако не и запетаята, разделяща целочислената част от дробната част. Това предполага, че разделянето на десетичните дроби в колона е подобно на описаното по-горе.
Единствената разлика ще бъде точката и запетаята. Предполага се, че трябва да се отговори веднага, веднага щом се свали първата цифра от дробната част. По друг начин може да се каже така: разделянето на цялата част е приключило - поставете запетая и продължете решението по-нататък.
Когато решавате примери за разделяне на колона с десетични дроби, трябва да запомните, че на частта след десетичната запетая може да се присвои произволен брой нули. Понякога това е необходимо, за да завършите числата до края.
Деление на два знака след десетичната запетая
Може да изглежда сложно. Но само в началото. В края на краищата, как да извършите деление в колона от дроби по естествено число, вече е ясно. И така, трябва да сведем този пример до вече познатата форма.
Направи го лесно. Трябва да умножите и двете дроби по 10, 100, 1000 или 10 000 или може би милион, ако проблемът го изисква. Предполага се, че множителят се избира въз основа на това колко нули са в десетичната част на делителя. Тоест, в резултат на това се оказва, че ще трябва да разделите дроб на естествено число.
И ще бъде в най-лошия случай. В крайна сметка може да се окаже, че дивидентът от тази операция става цяло число. Тогава решението на примера с разделяне на колона от дроби ще бъде сведено до най-простия вариант: операции с естествени числа.
Като пример: 28,4 разделено на 3,2:
- Първо, те трябва да бъдат умножени по 10, тъй като във второто число има само една цифра след десетичната запетая. Умножаването ще даде 284 и 32.
- Предполага се, че са разделени. И наведнъж цялото число е 284 на 32.
- Първото съвпадащо число за отговора е 8. Умножавайки го, се получава 256. Остатъкът е 28.
- Делението на цялата част е приключило и в отговора трябва да се постави запетая.
- Разрушаване до остатък 0.
- Вземете отново 8.
- Остатък: 24. Добавете още 0 към него.
- Сега трябва да вземете 7.
- Резултатът от умножението е 224, остатъкът е 16.
- Разрушете още 0. Вземете 5 и вземете точно 160. Остатъкът е 0.
Разделението завършено. Резултатът от примера 28.4:3.2 е 8.875.
Ами ако делителят е 10, 100, 0,1 или 0,01?
Както при умножението, тук не е необходимо дълго деление. Достатъчно е само да преместите запетаята в правилната посока за определен брой цифри. Освен това, според този принцип, можете да решавате примери както с цели числа, така и с десетични дроби.
Така че, ако трябва да разделите на 10, 100 или 1000, тогава запетаята се премества наляво с толкова цифри, колкото има нули в делителя. Тоест, когато числото се дели на 100, запетаята трябва да се премести наляво с две цифри. Ако дивидентът е естествено число, тогава се приема, че запетаята е в края му.
Това действие дава същия резултат, както ако числото трябва да се умножи по 0,1, 0,01 или 0,001. В тези примери запетаята също се премества наляво с броя на цифрите, равна на дължинатадробна част.
При делене на 0,1 (и т.н.) или умножаване по 10 (и т.н.), запетаята трябва да се премести вдясно с една цифра (или две, три, в зависимост от броя на нулите или дължината на дробната част).
Струва си да се отбележи, че броят на цифрите, даден в дивидента, може да не е достатъчен. Тогава липсващите нули могат да се присвоят наляво (в цялата част) или вдясно (след десетичната запетая).
Деление на периодични дроби
В този случай няма да можете да получите точния отговор при разделяне в колона. Как да решим пример, ако се срещне дроб с точка? Тук е необходимо да се премине към обикновени фракции. И след това извършете разделянето им според предварително проучените правила.
Например, трябва да разделите 0, (3) на 0,6. Първата фракция е периодична. Преобразува се във фракция 3/9, която след намаляване ще даде 1/3. Втората дроб е последният десетичен знак. Още по-лесно е да запишете обикновен: 6/10, което е равно на 3/5. Правилото за делене на обикновени дроби предписва да се замени делението с умножение, а делителят с обратно число на число. Тоест примерът се свежда до умножаване на 1/3 по 5/3. Отговорът е 5/9.
Ако примерът има различни дроби...
Тогава има няколко възможни решения. Първо, можете да опитате да преобразувате обикновена дроб в десетична. След това разделете вече два знака след десетичната запетая според горния алгоритъм.
Второ, всяка последна десетична дроб може да бъде записана като обикновена дроб. Просто не винаги е удобно. Най-често такива фракции се оказват огромни. Да, и отговорите са тромави. Следователно първият подход се счита за по-предпочитан.
В тази статия ще анализираме такова важно действие с десетични дроби като деление. Първо формулираме основни принципи, след това ще анализираме как правилно да разделяме десетичните дроби по колона както на други дроби, така и на естествени числа. След това ще анализираме разделянето на обикновените дроби на десетични и обратно, а накрая ще видим как правилно да разделим дроби, завършващи на 0, 1, 0, 01, 100, 10 и т.н.
Тук разглеждаме само случаи с положителни дроби. Ако има минус преди дроба, тогава, за да действате с него, трябва да изучите материала за разделянето на рационални и реални числа.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Всички десетични дроби, както крайни, така и периодични, са просто специална форма на записване на обикновени дроби. Следователно за тях важат същите принципи, както и за съответните им обикновени дроби. По този начин ние свеждаме целия процес на разделяне на десетичните дроби до замяната им с обикновени, последвано от изчисляване по вече познати ни методи. Да вземем конкретен пример.
Пример 1
Разделете 1,2 на 0,48.
Решение
Пишем десетичните дроби под формата на обикновени дроби. Ще можем да:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
По този начин трябва да разделим 6 5 на 12 25 . Ние вярваме:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
От получената неправилна дроб можете да изберете цялата част и да получите смесено число 2 1 2 или можете да го представите като десетична дроб, така че да съответства на оригиналните числа: 5 2 \u003d 2, 5. Как да направите това, вече писахме по-рано.
Отговор: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Пример 2
Изчислете колко ще бъдат 0 , (504) 0 , 56 .
Решение
Първо, трябва да преобразуваме периодична десетична дроб в обикновена.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
След това ще преведем и крайната десетична дроб в друга форма: 0, 56 = 56 100. Сега имаме две числа, с които ще ни бъде лесно да извършим необходимите изчисления:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Имаме резултат, който също можем да преобразуваме в десетичен знак. За да направите това, разделете числителя на знаменателя, като използвате метода на колоната:
Отговор: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Ако в примера за деление срещнем непериодични десетични дроби, тогава ще действаме малко по-различно. Не можем да ги доведем до обичайните обикновени дроби, така че при деленето първо трябва да ги закръглим до определена цифра. Това действие трябва да се извърши както с дивидента, така и с делителя: ние също така ще закръглим съществуващата крайна или периодична дроб в интерес на точността.
Пример 3
Намерете колко ще бъде 0, 779 ... / 1, 5602.
Решение
На първо място, закръгляваме и двете дроби до стотни. Ето как преминаваме от безкрайни неповтарящи се дроби към крайни десетични дроби:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Можем да продължим изчисленията и да получим приблизителен резултат: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0,5.
Точността на резултата ще зависи от степента на закръгляване.
Отговор: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Как да разделим естествено число на десетична и обратно
Подходът към деленето в този случай е почти същият: заменяме крайните и периодичните дроби с обикновени и закръгляваме безкрайните непериодични. Нека започнем с примера за деление с естествено число и десетична дроб.
Пример 4
Разделете 2,5 на 45.
Решение
Нека приведем 2, 5 във формата на обикновена дроб: 255 10 = 51 2. След това просто трябва да го разделим на естествено число. Вече знаем как да направим това:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Ако преведем резултата в десетична система, тогава получаваме 0 , 5 (6) .
Отговор: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Методът на деление по колона е добър не само за естествени числа. По аналогия можем да го използваме и за дроби. По-долу ще посочим последователността от действия, които трябва да се извършат за това.
Определение 1
За да разделите колона от десетични дроби на естествени числа, трябва:
1. Добавете няколко нули към десетичната дроб вдясно (за деление можем да добавим произволен брой от тях, от който се нуждаем).
2. Разделете десетична дроб на естествено число с помощта на алгоритъм. Когато разделянето на цялата част от дроба приключи, ние поставяме запетая в полученото частно и броим по-нататък.
Резултатът от такова деление може да бъде или крайна, или безкрайна периодична десетична дроб. Зависи от остатъка: ако е нула, тогава резултатът ще бъде краен, а ако остатъците започнат да се повтарят, тогава отговорът ще бъде периодична дроб.
Нека да вземем няколко задачи като пример и да се опитаме да завършим тези стъпки с конкретни числа.
Пример 5
Изчислете колко ще бъде 65 , 14 4 .
Решение
Използваме метода на колоната. За да направите това, добавете две нули към дроба и вземете десетичната дроб 65, 1400, която ще бъде равна на оригинала. Сега пишем колона за разделяне на 4:
Полученото число ще бъде резултат от разделянето на цялата част, от която се нуждаем. Поставяме запетая, като я разделяме и продължаваме:
Достигнахме нулевия остатък, следователно процесът на разделяне е завършен.
Отговор: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Пример 6
Разделете 164,5 на 27.
Решение
Първо разделяме дробната част и получаваме:
Разделяме получената фигура със запетая и продължаваме да разделяме:
Виждаме, че остатъците започнаха да се повтарят периодично, а числата девет, две и пет започнаха да се редуват в частното. Ще спрем дотук и ще запишем отговора като периодична дроб 6, 0 (925) .
Отговор: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Такова деление може да се сведе до процеса на намиране на частна десетична дроб и естествено число, вече описано по-горе. За да направим това, трябва да умножим делителя и делителя по 10, 100 и т.н., така че делителят да се превърне в естествено число. След това изпълняваме горната последователност от действия. Този подход е възможен поради свойствата на деление и умножение. В буквален вид ги написахме така:
a: b = (a 10) : (b 10) , a: b = (a 100) : (b 100) и така нататък.
Нека формулираме правилото:
Определение 2
За да разделите една последна десетична дроб на друга, трябва:
1. Преместете запетаята в делителя и делителя вдясно с броя знаци, който е необходим, за да превърнете делителя в естествено число. Ако няма достатъчно знаци в дивидента, добавяме нули към него от дясната страна.
2. След това разделяме дроба на колона на полученото естествено число.
Нека да разгледаме конкретен проблем.
Пример 7
Разделете 7, 287 на 2, 1.
Решение: За да направим делителя естествено число, трябва да преместим запетаята с един знак вдясно. Така че преминахме към разделянето на десетичната дроб 72, 87 на 21. Нека запишем получените числа в колона и да изчислим
Отговор: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Пример 8
Изчислете 16 , 3 0 , 021 .
Решение
Ще трябва да преместим запетаята на три цифри. В делителя няма достатъчно цифри за това, което означава, че трябва да използвате допълнителни нули. Смятаме, че крайният резултат ще бъде:
Виждаме периодичното повторение на остатъци 4, 19, 1, 10, 16, 13. Коефициентът се повтаря 1, 9, 0, 4, 7 и 5. Тогава нашият резултат е периодичният десетичен 776 , (190476) .
Отговор: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Описаният от нас метод ви позволява да направите обратното, тоест да разделите естествено число на крайна десетична дроб. Да видим как се прави.
Пример 9
Изчислете колко ще бъдат 3 5 , 4 .
Решение
Очевидно ще трябва да преместим запетаята надясно с един знак. След това можем да започнем да разделяме 30, 0 на 54. Нека напишем данните в колона и да изчислим резултата:
Повтарянето на остатъка ни дава числото 0 , (5) , което е периодичен десетичен знак.
Отговор: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Как да разделим десетичните на 1000, 100, 10 и т.н.
Според вече проучените правила за деление на обикновени дроби, разделянето на дроб на десетки, стотици, хиляди е подобно на умножаването му по 1/1000, 1/100, 1/10 и т. н. Оказва се, че за да се извърши делението , в този случай е достатъчно само да преместите запетаята до желаното количество цифри. Ако в числото няма достатъчно стойности за прехвърляне, трябва да добавите необходимия брой нули.
Пример 10
И така, 56, 21: 10 = 5, 621 и 0, 32: 100 000 = 0, 0000032.
В случай на безкрайни десетични знаци правим същото.
Пример 11
Например, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) и 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .
Как да разделим десетичните на 0,001, 0,01, 0,1 и т.н.
Използвайки същото правило, можем също да разделим дроби на посочените стойности. Това действие ще бъде подобно на умножаване по 1000 , 100 , 10 съответно. За да направите това, преместваме запетаята на една, две или три цифри, в зависимост от условията на проблема, и добавяме нули, ако в числото няма достатъчно цифри.
Пример 12
Например, 5, 739: 0, 1 = 57, 39 и 0, 21: 0, 00001 = 21 000.
Това правило важи и за безкрайните десетични знаци. Съветваме ви само да внимавате с периода на дроба, който се получава в отговора.
И така, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , защото след като преместихме запетаята в десетичния знак 7 , 5716716716 ... две цифри вдясно, получихме 757 , 167167 ... .
Ако имаме непериодични дроби в примера, тогава всичко е по-просто: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .
Как да разделим смесено число или обикновена дроб на десетична и обратно
Ние също така свеждаме това действие до операции с обикновени дроби. За да направите това, трябва да замените десетични числасъответните обикновени дроби и запишете смесеното число като неправилна дроб.
Ако разделим непериодична дроб на обикновено или смесено число, трябва да направим обратното, като заменим обикновената дроб или смесеното число със съответната десетична дроб.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter