Удоволствие от х в дума. Стивън СтрогацУдоволствие от X

Радостта от х

Обиколка с екскурзовод по математика, от едно до безкрайност

Публикувано с разрешение от Стивън Строгац, c/o Brockman, Inc.

Всички права запазени. Никоя част от електронната версия на тази книга не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или по какъвто и да е начин, включително публикуване в Интернет и корпоративни мрежи, за частна и обществена употреба, без писменото разрешение на собственика на авторските права.

Правната подкрепа на издателството се осъществява от адвокатска кантора "Вегас-Лекс"

* * *

Тази книга е добре допълнена от:

Quanta

Скот Патерсън

Brainiac

Кен Дженингс

парична топка

Майкъл Луис

Гъвкав ум

Карол Дуек

Физиката на фондовия пазар

Джеймс Уедърол

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той с ентусиазъм говори за най-новите разработки в психологията или квантовата механика. Но щом заговорим за математика, той усеща треперене в коленете си, което силно го разстройва. Той се оплаква, че тези странни математически символи не само му се противопоставят, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за неприязънта му към математиката е много по-дълбока. Той никога няма да разбере какво правят математиците като цяло и какво имат предвид, когато казват, че това доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самите основи, буквално от 1 + 1 = 2, и да се занимавам с математика, доколкото може.

И въпреки че тази идея изглежда налудничава, това е, което ще се опитам да реализирам в тази книга. Ще ви преведа през всички основни клонове на науката, от аритметика до напреднала математика, така че тези, които искаха втори шанс, най-накрая да го използват. И този път не е нужно да сядате на бюрото си. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но това ще помогне да се разбере какво изучава тази дисциплина и защо е толкова вълнуваща за тези, които я разбират.

За да изясним какво имам предвид под живота на числата и тяхното поведение, което не можем да контролираме, нека се върнем към хотел „Класави лапи“. Да предположим, че Хъмфри тъкмо се канеше да достави поръчката, но тогава пингвините от друга стая неочаквано му се обадили и също поискали същото количество риба. Колко пъти Хъмфри трябва да извика думата "риба", след като получи две заповеди? Ако не знаеше нищо за числата, щеше да трябва да крещи толкова пъти, колкото има общо пингвини в двете стаи. Или, използвайки числа, той би могъл да обясни на готвача, че има нужда от шест риби за едно число и шест за друго. Но това, от което той наистина се нуждае, е нова концепция: добавяне. След като го овладее, той гордо ще каже, че му трябват шест плюс шест (или, ако е позьор, дванадесет) риби.

Това е същият творчески процес, както когато току-що измислихме числа. Точно както числата правят броенето по-лесно, отколкото изброяването им едно по едно, събирането улеснява изчисляването на всяка сума. В същото време този, който прави изчислението, се развива като математик. Научно тази мисъл може да бъде формулирана по следния начин: използването на правилните абстракции води до по-дълбоко вникване в същността на проблема и по-голяма сила при решаването му.

Скоро, може би дори Хъмфри ще разбере, че сега винаги може да брои.

Въпреки това, въпреки такава безкрайна перспектива, нашето творчество винаги има някои ограничения. Можем да решим какво имаме предвид под 6 и +, но след като го направим, резултатите от изрази като 6 + 6 са извън нашия контрол. Логиката не ни оставя избор тук. В този смисъл математиката винаги включва както изобретение, такаоткритие: ние изобретяванепонятия, но отворентехните последствия. Както ще стане ясно в следващите глави, в математиката нашата свобода се крие в способността да задаваме въпроси и упорито да търсим отговори на тях, но без да ги измисляме сами.

2. Каменна аритметика

Като всяко явление в живота, аритметиката има две страни: формална и забавна (или игрива).

Учихме формалната част в училище. Там ни обясниха как да работим с колони от числа, като ги събираме и изваждаме, как да ги лопатим при извършване на изчисления в електронни таблици при попълване на данъчни декларации и изготвяне на годишни отчети. Тази страна на аритметиката изглежда за мнозина важна от практическа гледна точка, но напълно мрачна.

Човек може да се запознае със забавната страна на аритметиката само в процеса на изучаване на висша математика. То обаче е естествено като детското любопитство.

В есето „Плачът на математика“ Пол Локхарт предлага да изучаваме числата с по-конкретни примери от обикновено: той ни моли да ги представим под формата на множество камъни. Например числото 6 съответства на следния набор от камъчета:

Тук едва ли ще видите нещо необичайно. По начина, по който е. Докато не започнем да манипулираме числата, те изглеждат почти еднакво. Играта започва, когато получим задача.

Например, нека да разгледаме комплекти, които имат от 1 до 10 камъка и да се опитаме да направим квадрати от тях. Това може да се направи само с два комплекта от 4 и 9 камъка, тъй като 4 = 2 × 2 и 9 = 3 × 3. Получаваме тези числа, като квадратуваме някое друго число (т.е. квадратуваме камъните).

Ето един проблем, който има по-голям брой решения: трябва да разберете кои набори ще направят правоъгълник, ако подредите камъните в два реда с равен брой елементи. Тук са подходящи комплекти от 2, 4, 6, 8 или 10 камъка; числото трябва да е четно. Ако се опитаме да подредим останалите комплекти с нечетен брой камъни в два реда, тогава винаги ще имаме допълнителен камък.

Но не всичко е загубено за тези неудобни числа! Ако вземем два такива набора, тогава допълнителните елементи ще намерят двойка за себе си и сумата ще бъде четна: нечетно число + нечетно число = четно число.

Ако разширим тези правила до числа след 10 и считаме, че броят на редовете в правоъгълника може да бъде повече от два, тогава някои нечетни числа ще позволят да се добавят такива правоъгълници. Например числото 15 ще направи правоъгълник 3×5.

Следователно, въпреки че 15 несъмнено е нечетно число, то е съставно число и може да бъде представено като три реда от по пет камъка всеки. По същия начин всеки запис в таблицата за умножение създава своя собствена правоъгълна група камъчета.

Но някои числа, като 2, 3, 5 и 7, са напълно безнадеждни. От тях не може да се изложи нищо, освен да се подредят под формата на обикновена линия (един ред). Тези странни упорити хора са известни прости числа.

Така виждаме, че числата могат да имат странни структури, които им придават определен характер. Но за да си представим целия диапазон на тяхното поведение, човек трябва да се отдръпне от индивидуалните числа и да наблюдава какво се случва по време на тяхното взаимодействие.

Например, вместо да добавяме само две нечетни числа, нека добавим всички възможни поредици от нечетни числа, започвайки от 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Изненадващо, тези суми винаги се оказват перфектни квадрати. (Вече говорихме за това как 4 и 9 могат да бъдат представени като квадрати и това важи и за 16 = 4 × 4 и 25 = 5 × 5.) Едно бързо изчисление показва, че това правило важи и за по-големи нечетни числа и очевидно има тенденция до безкрайност. Но каква е връзката между нечетните числа с техните „допълнителни“ камъни и класически симетричните числа, които образуват квадрати? Чрез правилното позициониране на камъните можем да направим ясно какво е отличителен белегелегантно доказателство.

Ключът към него ще бъде наблюдението, че нечетните числа могат да бъдат представени като равностранни ъгли, чието последователно налагане един върху друг образува квадрат!

Подобен начин на разсъждение е представен в друга наскоро издадена книга. Очарователният роман на Йоко Огава „Икономката и професорът“ проследява проницателна, но необразована млада жена и нейния десетгодишен син. Жена е наета да се грижи за възрастен математик, чиято краткосрочна памет запазва информация само за последните 80 минути от живота му поради черепно-мозъчна травма. Изгубен в настоящето, сам в жалката си вила с нищо освен номера, професорът се опитва да общува с икономката по единствения начин, който знае: като пита за размера на обувката или датата на раждане и говори с нея за нейните разходи . Професорът има особена симпатия и към сина на икономката, когото нарича Рут (Корен - корен), защото момчето има плоска глава отгоре и това му напомня за обозначението в математиката за корен квадратен √.

Един ден професорът дава на момчето проста задача - да намери сбора от всички числа от 1 до 10. След като Рут внимателно събира всички числа и се връща с отговора (55), професорът го моли да потърси по-лесен начин. Може ли да намери отговора безпросто събиране на числа? Рут рита стол и крещи: "Това не е честно!"

Малко по малко икономката също е въвлечена в света на числата и тайно се опитва сама да реши този проблем. „Не разбирам защо толкова се увлякох с детски пъзел, който няма практическа полза“, казва тя. „Първо исках да зарадвам професора, но постепенно тази дейност се превърна в битка между мен и числата. Когато се събудих сутринта, уравнението вече ме чакаше:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

и цял ден последва по петите, сякаш беше изгорен в ретината на очите ми и нямаше как да го пренебрегна. Има няколко начина за решаване на проблема на професора (интересно колко можете да намерите). Самият професор предлага начин на разсъждение, който вече приложихме по-горе. Той тълкува сбора от 1 до 10 като триъгълник от камъчета, с едно камъче в първия ред, две във втория и така нататък, до десет камъчета в десетия ред.

Тази снимка дава ясна представа за отрицателното пространство. Оказва се, че е запълнен само наполовина, което показва посоката на творческия пробив. Ако копирате триъгълник от камъчета, обърнете го и го свържете със съществуващ, ще получите нещо много просто: правоъгълник с десет реда от по 11 камъчета всеки, за общо 110 камъка.

Тъй като оригиналният триъгълник е половината от този правоъгълник, изчислената сума от числата от 1 до 10 трябва да бъде половината от 110, тоест 55.

Представянето на число като група камъчета може да изглежда необичайно, но всъщност е толкова старо, колкото самата математика. Думата "изчислете" изчисли) отразява това наследство и произлиза от лат смятане, което означава "камъче", което римляните са използвали, когато правят изчисления. Не е нужно да сте Айнщайн (което на немски означава "един камък"), за да се наслаждавате на играта с числа, но може би способността да жонглираш с камъни ще ви улесни.

Шлем за забиване е вид хвърляне в баскетбола, при което играч скача и хвърля топката през обръча отгоре надолу с едната или двете ръце. Забележка. превод

Джей Симпсън е известен играч на американски футбол. Той играе ролята на детектив Нортбърг в известната трилогия „Голо оръжие“. Обвинен е в убийство бивша съпругаи нейна приятелка и оправдана, въпреки доказателствата. Забележка. превод

За очарователната идея, че числата имат свой собствен живот и че математиката може да се счита за форма на изкуство, вижте P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009). Забележка. ред.: В руския интернет има много преводи на есето на Локхарт „Плачът на математика“. Ето един от тях: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. Тук и по-долу бележките под линия в къдрави скоби се отнасят до бележки на автора.

Тази известна фраза е взета от есето на E. Wigner Неразумната ефективност на математиката в естествените науки, Communications in Pure and Applied Mathematics, Vol. 13, бр. 1, (февруари 1960 г.), pp. 1–14. Онлайн версия е достъпна на http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html. За по-нататъшни разсъждения по този въпрос и дали математиката е изобретена или открита, вижте М. Ливио, Бог ли е математик? (Саймън и Шустър, 2009) и Р. У. Хаминг, Неразумната ефективност на математиката, American Mathematical Monthly, Vol. 87, бр. 2 (февруари 1980 г.).

Дължа голяма част от тази глава на две отлични книги: полемичното есе от П. Локхарт, Плачът на математика (Bellevue Literary Press, 2009) и романа на Ю. Огава, Домоуправителят и професорът (Picador, 2009). Забележка. ред.: Есето на Локхарт „Плачът на математика“ е споменато в коментар 1. Все още няма превод на романа на Йоко Огава на руски език.

За младите читатели, които искат да научат за числата и техните структури, вижте H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000). Забележка. изд.: Сред многобройните руски книги за принципите на математиката, нестандартните подходи към нейното изучаване, развитието на математическото творчество у децата и подобни теми, съзвучни със следващите глави на книгата, засега изтъкваме следното: Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формули. М.: АД "Век", 1995; Остер Г. Надзорник. Незаменим наръчник по математика. М.: АСТ, 2005; Рижик В. И. 30 000 урока по математика: Книга за учителя. М.: Просвещение, 2003: Тучнин Н.П. Как да задам въпрос? За математическото творчество на учениците. Ярославъл: отгоре. - Волж. Книга. издателство, 1989г.

Отлично, но повече сложни примеривизуализациите на математически изображения са представени в R. B. Nelsen, Proofs without Words (Mathematical Association of America, 1997).

През 2010 г. Стивън Строгац написа поредица от статии за основите на математиката за The New York Times. Статиите предизвикаха вълнение. Всяка колона стана най-популярната статия във вестника и събра стотици коментари. Читателите поискаха още и Стивън не разочарова - появи се тази книга, която включваше както вече публикувани части, така и напълно нови глави.

Математиката прониква във всичко на този свят, включително и нас самите, но, за съжаление, малко хора разбират това универсален езиктолкова добър, че да оцени неговата мъдрост и красота. Стивън Строгац е учителят по математика, за когото сте мечтали в гимназията. Учител, който умее да запали искра на интерес и да вдъхне любов за цял живот към предмета си. В тази невероятно лесна и забавна книга той дава на всички ни втори шанс да се запознаем с математиката. Във всяка кратка глава откривате нещо ново, от това защо изобщо са необходими числа, до теми като геометрия, интегрално смятане, статистика и безкрайност. Авторът обяснява страхотни математически идеи просто и елегантно, като дава брилянтни примери, които всеки може да разбере. Тази книга е за всеки. Тези, които не са запознати с математиката, ще я опознаят отблизо, а тези, които обичат математиката, ще четат за „кралицата на науките“ с удоволствие.

Предговор

Ще научим как забиванията на Майкъл Джордан могат да помогнат за обяснението на основите на смятането. Ще ви покажа един прост и невероятен начин да разберете основната теорема на евклидовата геометрия - Питагоровата теорема. Ще се опитаме да стигнем до дъното на някои от мистериите на живота, големи и малки: Джей Симпсън уби ли жена си; как да изместите матрака, така че да издържи възможно най-дълго; колко партньори трябва да се сменят преди да се играе сватба - и ще видим защо някои безкрайности са по-големи от други.

Математиката е навсякъде, просто трябва да се научите да я разпознавате. Можете да видите синусоидата на гърба на зебра, можете да чуете ехо от теоремите на Евклид в Декларацията за независимост; какво да кажа, дори в сухите доклади, предшестващи Първата световна война, има отрицателни числа. Можете също да видите как новите области на математиката влияят на живота ни днес, например, когато търсим ресторанти с помощта на компютър или се опитваме поне да разберем, или още по-добре, да преживеем плашещите колебания на фондовия пазар.

— Прочетете онлайн книгата „Удоволствието от X“ от Стивън Строгац —

Поредица от 15 статии под общото заглавие "Основи на математиката" се появи онлайн в края на януари 2010 г. В отговор на публикацията им се изсипаха писма и коментари от читатели от всички възрасти, сред които имаше много ученици и учители. Имаше и просто любознателни хора, които по една или друга причина „загубиха пътя“ в разбирането на математическата наука; сега се чувстват сякаш са пропуснали нещо, което си заслужава, и биха искали да опитат отново. Бях особено доволен от благодарността от родителите ми за факта, че с моя помощ успяха да обяснят математиката на децата си, а самите те започнаха да я разбират по-добре. Изглежда, че дори моите колеги и другари, запалени почитатели на тази наука, с удоволствие четат статиите, с изключение на онези моменти, когато се надпреварваха помежду си, за да предложат всякакви препоръки за подобряване на моето потомство.

Въпреки общоприетото схващане, в обществото има ясен интерес към математиката, въпреки че се обръща малко внимание на това явление. Чуваме само за страха от математиката и въпреки това мнозина с удоволствие биха се опитали да го разберат по-добре. И след като това се случи, ще бъде трудно да ги откъснете.

Тази книга ще ви запознае с най-сложните и усъвършенствани идеи от света на математиката. Главите са кратки, лесни за четене и всъщност не зависят една от друга. Сред тях са тези, включени в първата поредица от статии в New York Times. Така че веднага щом почувствате лек математически глад, не се колебайте да преминете към следващата глава. Ако искате да разберете въпроса, който ви интересува по-подробно, тогава в края на книгата има бележки с допълнителна информация и препоръки какво още можете да прочетете за него.

Удоволствието от X - Стивън Строгац (изтегляне)

(уводна версия)

И накрая, ви предлагаме да гледате интересно видео

Основният проблем на училищната математика е, че в нея няма проблеми. Да, знам какво минава за проблеми в класната стая: тези безвкусни, скучни упражнения. „Ето задачата. Ето как да го решите. Да, случват се на изпити. Домашни задачи 1-15. Какъв мрачен начин да научите математика: станете обучено шимпанзе.
Пол Локхард
от есето "Плачът на математика"

Математиката може би е един от най-странните клонове на науката. В нито един друг предмет противоположностите не се комбинират толкова силно: от строгостта на формалните доказателства до способността да се „виждат“ определени конструкции. Математиката има както вътрешна красота, така и външна красота. Няма нищо по-вълнуващо от решаването на математически задачи. И никой друг предмет не се преподава в училище толкова некомпетентно.

Как обикновено започва изучаването на математика в училище? От издаването на неразбираем набор от символи и дефиниции на 7-8 годишни деца и система от алгоритми за използване на тази абракадабра. Запомнят се отделни неща, например таблицата за умножение.

В следващите класове, базирани на тази система, учениците ще бъдат разказвани и принудени да запомнят набор от шамански ритуали, които им позволяват да решават трудни проблеми. Ще се появят нови дефиниции, като "правилна дроб" и "неправилна дроб" без най-малкото обяснение откъде идва и най-важното защо. Специално вниманиеще бъдат посветени на решаването на безполезни и трудни текстови проблеми, които имат същата връзка с реалността като самите алгоритми.

Като малък тест можем да предложим да запомните: колко пъти в живота си трябваше да определите правилната или неправилната дроб?

Бях принуден да науча наизуст: квадратът от сбора на две числа е равен на сбора от техните квадрати, увеличен с двойното им произведение. Нямах и най-малка представа какво може да означава това; когато не можех да си спомня тези думи, учителят ме удари с книга по главата, което обаче ни най-малко не стимулираше интелекта ми.
Бертран Ръсел
Английски философ, логик и математик

В същото време учителите безмилостно ще потискат всяко несъгласие. Опитайте да напишете 5/2 вместо 2 1/2 (на което винаги искате да възразите: ако имам три ябълки, всяка от които е разделена наполовина, тогава ще взема 5 половини, а не 2 ябълки и 1 половина).

Тази тема може да бъде продължена още доста време. Нещо повече, това вече е направено в есето на Пол Локхарт „Плачът на математика“. Показва доста добре "Кой е виновен". Но на втория отговор не беше даден важен въпрос- "Какво да правя".

Отговор на този въпрос е даден в една прекрасна книга, наскоро преведена на руски. Книгата се казва The Pleasure of x.

Удоволствие от х

Ако не можете да обясните нещо на шестгодишно дете, вие самият не го разбирате.
Алберт Айнщайн

Това е книгата, която трябва да е настоленза всеки учител по всякакъв технически предмет, било то математика или информатика.

Авторът на това лакомство, Стивън Строгац, е математик от световна класа и преподавател по приложна математика в университета Корнел в САЩ (един от водещите технически университети в света). И, ако се съди по книгата, този човек съчетава две прекрасни качества, които правят тази работа бестселър: Стивън Строгац е силен математик и учител в едно лице.

Можете да преподавате, но не познавате добре предмета. Можете да знаете добре предмета, но не можете да преподавате. Можете да направите и двете, но посредствено. Стивън Строгац принадлежи към различен тип: той знае и знае как да преподава правилно.

За какво е тази книга? Всъщност за всичко, което по някакъв начин е свързано с математиката. Разделите на книгата на пръв поглед са подбрани хаотично (числа, съотношения, цифри, време на промени, разнообразни данни, граници са възможни), но докато четете, започвате да разбирате какво е искал да предаде авторът. Книгата е базирана на изследвания. Изследване, проведено от автора съвместно с читателя.

Обхватът на разглежданите задачи е огромен. Всеки човек, дори отлични познания по математика, ще научи нещо ново от нея. В същото време се разглеждат както практически задачи (например изчисляване на лихвите, получени от акции, инвестирани на фондовия пазар), така и абсолютно абстрактни.

Много задачи са дадени в исторически контекст. Бих искал да се спра тук отделно: сега историята на развитието на математиката е изхвърлена от почти всички учебници. Междувременно, само чрез разбиране на историческия контекст, човек може да премине целия път – от най-простата аритметика до съвременните математически теории.

Да разгледаме, например, квадратни уравнения. Колко сълзи бяха проляти както от ученици, така и от учители в опит да запомнят заклинанието: X едно-две е равно на минус ba плюс или минус коренът от ba на квадрат минус четири a-tse и разделете всичко на две a.

Впрочем този начин на писане вече не е правилен според новите математически стандарти - ок. редактор.

Хората с добра памет и/или "в темата" все още могат да си спомнят теоремата на Виета. Но вместо всичко това Стивън Строгац дава елегантно обяснение, измислено от ал-Хорезми, с помощта на което, без никакви формули, можете лесно и естествено да намерите решение (макар и непълно: в онези дни отрицателните числа все още не са били широко използван). И ви уверявам, всеки, който прочете това решение, ще го запомни завинаги. Първият път.

От глава на глава сложността на задачите се увеличава. Но разбирането не се губи, което е особеното удоволствие от четенето на „Удоволствието на х“. Читателят се потапя в атмосферата, която авторът е създал за него, на практика, в един прекрасен нов свят.

Не знам с какво да сравня тази книга. Може би с известните лекции на Фейман по физика или с „Сигурно се шегувате, г-н Фейман“. Но едно е сигурно: тази книга ще остави своя отпечатък в душите на тези, които я четат.

Тази книга е добре допълнена от:

Quanta

Скот Патерсън

Brainiac

Кен Дженингс

парична топка

Майкъл Луис

Гъвкав ум

Карол Дуек

Физиката на фондовия пазар

Джеймс Уедърол

Радостта от х

Обиколка с екскурзовод по математика, от едно до безкрайност

Стивън Строгац

удоволствие от х

Вълнуващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

Информация от издателството

Публикува се за първи път на руски език

Публикувано с разрешение от Стивън Строгац, c/o Brockman, Inc.

Строгац, П.

удоволствие от х. Едно вълнуващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света / Стивън Строгац; per. от английски. - М. : Ман, Иванов и Фербер, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Тази книга е в състояние да промени радикално вашето отношение към математиката. Състои се от кратки глави, във всяка от които ще откриете нещо ново. Ще научите колко полезни са числата за изучаване на света около вас, ще разберете красотата на геометрията, ще се запознаете с елегантността на интегралното смятане, ще видите важността на статистиката и ще се докоснете до безкрайността. Авторът обяснява основните математически идеи просто и елегантно, като дава брилянтни примери, които всеки може да разбере.

Всички права запазени.

Никоя част от тази книга не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма без писменото разрешение на притежателите на авторските права.

Правната подкрепа на издателството се осъществява от адвокатска кантора "Вегас-Лекс"

Предговор

Колко полезни са числата за изучаване на света около нас, каква е красотата на геометрията, колко елегантни са интегралните изчисления и колко важна е статистиката? Стивън Строгац говори за всичко това в книгата си The Pleasure of X. Авторът обяснява основните математически идеи просто и елегантно, като дава примери, които всеки може да разбере. сайтът публикува една от главите на книгата, издадена от издателство Ман, Иванов и Фербер.

Статистиката изведнъж стана модерна. С появата на интернет, електронната търговия, социални мрежи, проект за дешифриране на човешкия геном, и във връзка с развитието на дигиталната култура като цяло светът започна да се задушава в данни. Маркетолозите изучават нашите вкусове и навици. Разузнавателните служби събират информация за нашето местоположение, имейли и телефонни обаждания. Спортните статистици жонглират с числа, за да решат кои играчи да купят, кой да наемат и кой да пейка. Всеки се стреми да комбинира точките в графика и да открие закономерност в хаотичното натрупване на данни.

Не е изненадващо, че тези тенденции се отразяват в ученето. „Нека да преминем към статистиката“, увещава Грег Манкиу, икономист от Харвардския университет, в колона на New York Times.

„Учебната програма по математика в гимназията отделя твърде много време на традиционни теми като евклидова геометрия и тригонометрия. Тези умствени упражнения, полезни за обикновения човек, обаче нямат голяма полза Ежедневието. За студентите би било много по-полезно да научат повече за теорията на вероятностите и статистиката." Дейвид Брукс отива още по-далеч. В статията си за дисциплини, които заслужават внимание за получаване на достойно образование, той пише: „Вземете статистика. Ще видите, оказва се, че да знаете какво е стандартно отклонение ще ви бъде много полезно в живота.

Напълно възможно е, а също така е добре да разберем какво е разпределение. Това е първото нещо, за което смятам да говоря. И бих искал да се съсредоточа върху него, защото това е един от основните уроци на статистиката: нещата изглеждат безнадеждно случайни и непредвидими, когато се разглеждат поотделно, но в съвкупност те разкриват закономерност и предвидимост.

Може да сте виждали демонстрация на този принцип в някой научен музей (ако не, видеоклиповете могат да бъдат намерени онлайн). Типичен експонат е измислица, наречена дъска на Галтън, която донякъде прилича на машина за флипер, само без плавниците. Вътре в него на равни интервали има равни редове от щифтове.

Галтон дъска

Опитът започва с Горна част Galton дъските са пуснати стотици топки. Когато падат, те се сблъскват с щифтовете и с еднаква вероятност отскачат или надясно, или наляво, а след това се разпределят в долната част на дъската, попадайки в отделения със същата ширина. Височината на колоната от топки показва вероятността, с която топката може да бъде на дадено място. Повечето топчета са поставени приблизително в средата, вече са по-малко отстрани и още по-малко по краищата.

Като цяло картината е изключително предсказуема: топките винаги образуват разпределение във формата на камбана, въпреки че е невъзможно да се предвиди къде ще попадне всяка отделна топка.

Как отделните злополуки се превръщат в общи модели? Но така работи произволността. В средната колона са се натрупали най-много топки, защото преди да се търкалят надолу, много от тях ще направят приблизително еднакъв брой скокове надясно и наляво и в резултат ще бъдат някъде по средата. Няколко единични топки, разположени по ръбовете, образуват разпределителни опашки - това са топките, които при сблъсък с щифтовете винаги отскачат в една и съща посока. Такива отскоци са малко вероятни, поради което има толкова малко топки около ръбовете.

Точно както местоположението на всяка топка се определя от сбора от много случайни събития, толкова много явления в този свят са резултат от много малки обстоятелства и също се подчиняват на кривата на камбаната. Този принцип работи Застрахователни компании. Те могат точно да посочат броя на своите клиенти, които умират всяка година. Те обаче не знаят кой точно няма да има късмет този път.

Или вземете, например, височината на човек. Зависи от безброй инциденти, свързани с генетиката, биохимията, храненето и заобикаляща среда. Ето защо е вероятно, когато се разглеждат заедно, височината на възрастните мъже и жени ще бъде извивка с форма на камбана.

В публикация в блога, озаглавена „Фалшиви данни, които хората съобщават за себе си онлайн“, статистиката на сайта за запознанства OkCupid наскоро публикува графика на растежа на своите клиенти, или по-скоро стойностите, които са докладвали. Установено е, че темповете на растеж и на двата пола, както се очаква, образуват крива с форма на камбана. Изненадващо обаче и двете разпределения бяха изкривени вдясно с около два инча от очакваните стойности.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М. : Ман, Иванов и Фербер, 2014.

По този начин или височината на анкетираните от OkCupid клиенти е над средната, или те добавят няколко инча към ръста си, когато се описват онлайн.

Идеализирана версия на тези камбанови криви е това, което математиците наричат нормално разпределение. Това е едно от най-важните понятия в статистиката, което има теоретична обосновка. Може да се покаже, че нормалното разпределение произтича от добавянето Голям броймалки случайни фактори, всеки от които действа независимо от другите. И много неща се случват по този начин.

Но не всички. И това е вторият момент, на който бих искал да обърна внимание. Нормалното разпределение не е толкова повсеместно, колкото изглежда. В продължение на сто години и особено през последните няколко десетилетия учените и статистиците отбелязват съществуването на много явления, които се отклоняват от тази крива и следват своя собствен график. Любопитно е, че подобни видове разпределения практически не се споменават в учебниците по елементарна статистика и ако се появят, обикновено се считат за някаква патология.

Това е странно. Ще се опитам да обясня, че много явления от съвременния живот имат по-голям смисъл, ако се разберат тези „патологични“ разпределения. Това е новото нормално. Вземете например разпределението на размерите на градовете в Съединените щати. Вместо да се групират около някаква средна крива на камбаната, по-голямата част от градовете са малки и следователно се групират от лявата страна на графиката.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М. : Ман, Иванов и Фербер, 2014.

И тогава повече населениеградове, толкова по-редки са такива градове. С други думи, в съвкупност разпределението ще бъде L-образна крива, а не крива на камбана.

И в това няма нищо изненадващо. Всеки знае, че има много по-малко мегаполиси, отколкото малките градове. Въпреки че не е толкова очевидно, размерите на градовете следват просто красиво разпределение - ако ги погледнете в логаритмичен мащаб.

Ще приемем, че разликата между два града е една и съща, ако населението им се различава с еднакъв брой пъти (както всеки два клавиша на пиано, разделени с октава, винаги се различават два пъти по честота). И ние ще направим същото по вертикалната ос.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М. : Ман, Иванов и Фербер, 2014.

Сега данните са на крива, която е почти идеална права линия. Въз основа на свойствата на логаритмите е лесно да се заключи, че оригиналната L-образна крива е степенна зависимост, която се описва с функция от вида

където x е населението на града, y е броят на градовете с този размер, c е константа, а степента a (степенна степен) определя отрицателния наклон на правата линия.

Разпределението на мощността има някои нелогични, от гледна точка на традиционната статистика, свойства. Например, за разлика от нормалното разпределение, техните модове, медиани и средни стойности не съвпадат поради изкривената, изкривена форма на L-образните криви.

Президентът Буш извлече голяма полза от това, като обяви през 2003 г., че намаляването на данъците е спестило на всяко семейство средно 1586 долара. Макар и математически правилен, тук той в своя полза взе за основа средната дедукция, която криеше огромните удръжки от стотици хиляди долари, получавани от 0,1% от най-богатото население в страната. Известно е, че „опашката” от дясната страна на разпределението на дохода следва степенен закон и в такава ситуация използването на средната стойност е подвеждащо, тъй като е далеч от реалната си стойност. В действителност повечето семейства получиха по-малко от $650 обратно. При това разпределение медианата е много по-малка от средната.

Този пример демонстрира най-важното свойство на разпределенията по степенен закон: те имат "тежки опашки" в сравнение с най-малко малките "течни опашки" на нормално разпределение. Големи опашки като тази, макар и редки, са по-чести в разпределението на данните, отколкото обикновените криви на камбана.

На Черен понеделник, 19 октомври 1987 г., Dow Jones Industrial Average падна с 22%. В сравнение с обикновено нивоволатилността на фондовия пазар, този спад беше повече от двадесет стандартни отклонения. Според традиционната статистика (която използва нормалното разпределение) подобно събитие е почти невъзможно: неговата вероятност е по-малка от едно на 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,00 на степента. Това обаче се случи – защото колебанията на цените на фондовия пазар не следваха нормално разпределение.

Разпределенията с "тежка опашка" са по-подходящи за тяхното описание. Това се случва при земетресения, пожари и наводнения, което затруднява застрахователните компании да управляват риска.

Същият математически модел описва броя на смъртните случаи във войни и терористични атаки, както и други, много по-мирни неща, като броя на думите в романа или броя на сексуалните партньори, които човек има.

Въпреки че прилагателните, използвани за описване дълги опашки, излагат ги в не особено благоприятна светлина, "опашатите" разпределения гордо носят опашките си. Смел, тежък и дълъг? Да, така е. Но в този случай ми покажете кое е нормално?