СТЕПЕН С РАЦИОНАЛЕН ПОКАЗАТЕЛ,

ФУНКЦИЯ НА МОЩНОСТ IV

§ 71. Степени с нула и отрицателни показатели

В § 69 доказахме (виж теорема 2), че за t > n

(а =/= 0)

Съвсем естествено е да искаме да разширим тази формула до случая, когато т < П . Но след това числото т - стр ще бъде или отрицателна, или нула. О. Досега говорихме само за степени с естествени показатели. По този начин ние сме изправени пред необходимостта да се вземат предвид степените на реалните числа с нула и отрицателна степен.

Определение 1. произволно число а , не е равно на нула, на степента на нула е равно на единица, тоест кога а =/= 0

а 0 = 1. (1)

Например, (-13.7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2) 0 = 1. Числото 0 няма нулева степен, тоест изразът 0 0 не е дефиниран.

Определение 2. Ако а=/= 0 и П - естествено число, тогава

а - н = 1 /а н (2)

това е степента на всяко число, което не е равно на нула, с отрицателен целочислен показател, е равна на дроб, чийто числител е единица, а знаменателят е степента на същото число a, но с показател, противоположен на степента на това експонент.

Например,

Имайки предвид тези определения, може да се докаже, че а =/= 0, формула

вярно за всякакви естествени числа т и н , и не само за t > n . За да го докаже, е достатъчно да разгледаме само два случая: t = n и т< .п , тъй като случаят m > n вече разгледано в § 69.

Позволявам t = n ; тогава . Следователно лявата част на равенството (3) е равна на 1. Дясната страна при t = n става

а m-n = а n - n = а 0 .

Но по дефиниция а 0 = 1. Така дясната страна на равенство (3) също е равна на 1. Следователно за t = n формула (3) е вярна.

Сега да предположим, че т< п . Разделяне на числителя и знаменателя на дроб на а м , получаваме:

Защото n > t , тогава . Така . Използвайки определението за степен с отрицателен показател, може да се напише .

И така, при , което трябваше да се докаже. Формула (3) сега е доказана за всякакви естествени числа т и П .

Коментирайте. Отрицателните експоненти ви позволяват да пишете дроби без знаменатели. Например,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - един ; в общи линии, а / б = а б - 1

Все пак не бива да се мисли, че при такава нотация дробите се превръщат в цели числа. Например, 3 - 1 е същата дроб като 1/3, 2 5 - 1 е същата дроб като 2/5 и т.н.

Упражнения

529. Изчислете:

530. Запишете без знаменатели на дроб:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Запишете тези десетични дроби като целочислени изрази, като използвате отрицателни показатели:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

Отговори:

Без име

ако вземем предвид, че a^x=e^x*ln(a), тогава се оказва, че 0^0=1 (лимит, за x->0)
въпреки че отговорът "несигурност" също е приемлив

Нулата в математиката не е празнота, това число е много близко до "нищо", точно като безкрайността само в обратна посока

Записвам:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Оказва се, че в този случай делим на нула и тази операция върху полето на реалните числа не е дефинирана.

преди 6 години

RPI.su е най-голямата рускоезична база данни с въпроси и отговори. Нашият проект беше реализиран като продължение на популярната услуга otvety.google.ru, която беше затворена и премахната на 30 април 2015 г. Решихме да възродим полезната услуга Google Answers, така че всеки човек да може публично да открие отговора на своя въпрос от интернет общността.

Всички въпроси, добавени към сайта на Google Answers, са копирани и запазени тук. Имената на стари потребители също се показват във вида, в който са съществували преди. Трябва само да се регистрирате отново, за да можете да задавате въпроси или да отговаряте на други.

За да се свържете с нас за всеки въпрос ОТНОСНО САЙТА (реклама, сътрудничество, обратна връзка за услугата), пишете на имейла [защитен с имейл]Публикувайте само всички общи въпроси на сайта, на тях няма да се отговори по пощата.

На какво е равна нулата, когато се повдигне на степен нула?

Защо число на степен 0 е равно на 1? Има правило, че всяко число, различно от нула, повдигнато на степен нула, ще бъде равно на единица: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Но защо е така? Когато едно число се повдигне на степен с естествен показател, това означава, че то се умножава само по себе си толкова пъти, колкото е степента: 43 = 4 × 4 × 4; 26 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Когато експонентът е 1, тогава има само един фактор по време на конструкцията (ако изобщо можем да говорим за фактори тук) и следователно резултатът от конструкцията е равен към основата на степента: 181 = 18; (–3.4)1 = –3.4 Но какво да кажем за нулевия показател в този случай? Какво се умножава по какво? Нека се опитаме да вървим по другия път. Известно е, че ако две степени имат еднакви основи, но различни показатели, тогава основата може да бъде оставена същата и индикаторите могат или да се добавят един към друг (ако градусите се умножат), или да извадят индикатора на делителя от Индикатор за дивидент (ако градусите са делими): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Сега разгледайте този пример: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Ами ако не използваме свойството градуси с една и съща основа и не извършваме изчисления в техния ред: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Така получихме желаната единица. По този начин, нулевият експонент, така да се каже, показва, че числото не се умножава само по себе си, а се разделя на себе си. И от тук става ясно защо изразът 00 няма смисъл. В крайна сметка не можете да разделите на 0. Можете да спорите по различен начин. Ако има, например, умножение на степени 52 × 50 = 52 + 0 = 52, тогава следва, че 52 е умножено по 1. Следователно, 50 = 1.

От свойствата на степените: a^n / a^m = a^(nm) ако n=m, резултатът ще бъде едно, с изключение, разбира се, a=0, в този случай (тъй като нула до която и да е степен ще бъде нула) ще се осъществи деление на нула, така че 0^0 не съществува

Акаунт на различни езици

Имена на цифри от 0 до 9 на популярни езици по света.

език	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Английски	нула	един	две	три	четири	пет	шест	седем	осем	девет
български	нула	един	две	три	четири	домашен любимец	полюс	седем	osem	девят
унгарски	нула	egy	кето	харом	negy	о т	шапка	het	nyolc	kilenc
холандски	нула	een	туи	изсушете	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
датски	нула	en	да се	тре	огън	фем	пола	syv	отте	ни
испански	cero	едино	дос	tres	cuatro	cinco	seis	siete	ocho	нов
Италиански	нула	едино	в следствие	тре	quattro	cinque	sei	сет	Ото	нов
литовски	nullis	vienas	ду	опитва се	кетури	пенки	reyi	септини	aðtuoni	девини
Deutsch	нула	ein	zwei	drei	vier	funf	sechs	sieben	acht	neun
Руски	нула	един	две	три	четири	пет	шест	седем	осем	девет
полски	нула	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
португалски	хм	dois	песни	квадро	cinco	seis	сет	oito	нов
Френски	нула	un	двойка	trois	квадрат	cinq	шест	септ	huit	neuf
чешки	нула	jedna	два	toi	ityoi	яма	¹est	sedm	osm	devite
шведски	noll	и др	tva	тре	fyra	фем	секс	sju	atta	нио
естонски	нула	uks	kaks	Колм	нели	viis	kuus	сеитсе	кахекса	ухекса

Отрицателна и нулева степен на число

Нулева, отрицателна и дробна степен

Нулев индикатор

Да повишиш дадено число до определена степен означава да го повториш с коефициент толкова пъти, колкото има единици в степенната степен.

Съгласно това определение, изразът: а 0 е безсмислено. Но за да има смисъл правилото за деление на степените на едно и също число дори в случай, когато индексът на делителя е равен на индекса на дивидента, се въвежда определението:

Нулевата мощност на всяко число ще бъде равна на единица.

Отрицателен индикатор

Изразяване а-м, само по себе си е безсмислено. Но за да има смисъл правилото за деление на степени на едно и също число дори в случай, когато индексът на делителя е по-голям от индекса на дивидента, се въвежда определението:

Пример 1. Ако дадено число се състои от 5 стотици, 7 десетки, 2 единици и 9 стотни, то може да бъде представено по следния начин:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Пример 2. Ако дадено число се състои от a десетки, b единици, c десети и d хилядни, то може да се представи по следния начин:

а× 10 1 + б× 10 0 + ° С× 10 -1 + д× 10 -3

Действия върху степени с отрицателни показатели

Когато се умножават степени на едно и също число, степените се събират.

При деление на степените на едно и също число, индикаторът за делителя се изважда от индикатора на дивидента.

За да се повиши продукт до степен, достатъчно е всеки фактор поотделно да се повиши до тази степен:

За да повдигнете дроб на степен, достатъчно е да повдигнете и двата члена на дробата поотделно на тази степен:

Когато една степен се повиши до друга степен, степените се умножават.

Дробен показател

Ако кне е кратно н, тогава изразът: няма смисъл. Но за да може правилото за извличане на корен от степента да се осъществи за всяка стойност на експонента, се въвежда определението:

Благодарение на въвеждането на нов символ, извличането на корена винаги може да бъде заменено с степенуване.

Действия върху степени с дробни степени

Действията върху степени с дробни експоненти се извършват по същите правила, които са установени за цели числа.

При доказване на тази позиция първо ще приемем, че членовете на дробите: и , служещи за степен, са положителни.

В конкретен случай нили qможе да е равно на единица.

При умножаване на степените на едно и също число дробните показатели се сумират:

При разделяне на степени на едно и също число с дробни експоненти, степента на делителя се изважда от дивидендната степен:

За да повишите степента на друга степен в случай на дробни експоненти, достатъчно е да умножите степените:

За да извлечете корена на дробен показател, достатъчно е да разделите степента на степента на корена:

Правилата за действие важат не само за положителендробни числа, но също и да отрицателен.

Има правило, че всяко число, различно от нула, повдигнато на степен нула, ще бъде равно на едно:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Защо обаче това е така?
Когато числото се повиши до степен с естествен експонент, това означава, че то се умножава само по себе си толкова пъти, колкото е степента:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Когато експонентът е 1, тогава има само един фактор по време на конструкцията (ако изобщо можем да говорим за фактори) и следователно резултатът от конструкцията е равен на основата на степента:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Но какво да кажем за нула в този случай? Какво се умножава по какво?
Нека се опитаме да вървим по другия път.

Защо число на степен 0 е равно на 1?

Известно е, че ако две степени имат еднакви основи, но различни показатели, тогава основата може да бъде оставена същата и индикаторите могат или да се добавят един към друг (ако градусите се умножат), или да извадят индикатора на делителя от индикатор за дивидент (ако градусите са делими):
3 2×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Сега разгледайте този пример:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Ами ако не използваме свойството на степените със същата основа и извършваме изчисления в реда на тяхната последователност:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Така че получихме желаната единица. По този начин, нулевият експонент, така да се каже, показва, че числото не се умножава само по себе си, а се разделя на себе си.
И от тук става ясно защо изразът 0 0 няма смисъл. В крайна сметка не можете да разделите на 0.

Има правило, че всяко число, различно от нула, повдигнато на степен нула, ще бъде равно на едно:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Защо обаче това е така?

Когато числото се повиши до степен с естествен експонент, това означава, че то се умножава само по себе си толкова пъти, колкото е степента:
43 = 4...

0 0

В алгебрата повдигането до степен нула е обичайно. Какво е степен 0? Кои числа могат да се вдигнат в нулева степен и кои не?

Определение.

Всяко число на степен нула, с изключение на нула, е равно на едно:

По този начин, независимо кое число е повдигнато на степен 0, резултатът винаги ще бъде един и същ - едно.

И 1 на степен на 0, и 2 на степен на 0, и всяко друго число - цяло, дробно, положително, отрицателно, рационално, ирационално - когато се повдигне на нулева степен, дава единица.

Единственото изключение е нула.

От нула до нула степен не е дефинирана, такъв израз няма смисъл.

Тоест всяко число с изключение на нула може да бъде повишено до нулева степен.

Ако при опростяване на израз със степени се получи число на степен нула, то може да бъде заменено с единица:

Ако при...

0 0

Като част от училищна програмастойността на израза $%0^0$% се счита за недефинирана.

От гледна точка на съвременната математика е удобно да се приеме, че $%0^0=1$%. Идеята тук е следната. Нека има произведение от $%n$% числа от вида $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. За всички $%n\ge2$% равенството $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% е изпълнено. Удобно е това равенство да се счита за смислено дори за $%n=1$%, като зададете $%p_0=1$%. Логиката тук е следната: при изчисляване на продуктите първо вземаме 1 и след това умножаваме последователно по $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Именно този алгоритъм се използва при намиране на произведения, когато се пишат програми. Ако по някаква причина умножението не се случи, тогава продуктът остава равен на единица.

С други думи, удобно е да се разглежда като имащо значение такова понятие като „продуктът на 0 фактора“, като се счита, че по дефиниция е равно на 1. В този случай може да се говори и за „празен продукт“. Ако умножим число по това...

0 0

Нула - нула е. Грубо казано, всяка степен на число е произведение на единица и степента, умножена на това число. Две в третия, да кажем, че е 1*2*2*2, две в минус първото е 1/2. И тогава е необходимо да няма дупка в прехода от положителни към отрицателни сили и обратно.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

това е целият смисъл.

просто и ясно, благодаря

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

е необходимо например просто тогава определени формули, които са валидни за положителни показатели - например x ^ n * x ^ m = x ^ (m + n) - да са все още валидни.
Същото важи и за определението отрицателна степенкакто и рационални (тоест, например, 5 на степен 3/4)

> и защо изобщо е необходимо?
Например в статистиката и теорията често се играе с нулеви мощности.

Пречат ли ви отрицателните градуси?
...

0 0

Продължаваме да разглеждаме свойствата на градусите, да вземем например 16:8=2. Тъй като 16=24 и 8=23, следователно, делението може да се запише в експоненциална форма като 24:23=2, но ако извадим степените, тогава 24:23=21. Следователно трябва да признаем, че 2 и 21 са еднакви, следователно 21=2.

Същото правило важи за всяко друго експоненциално число, така че може да се формулира правилото общ изглед:

всяко число, повдигнато на първа степен, остава непроменено

Това заключение може да ви изненада. Все още по някакъв начин можете да разберете значението на израза 21=2, въпреки че изразът "едно число две, умножено само по себе си" звучи доста странно. Но изразът 20 означава "нито едно число две, ...

0 0

Определения за степен:

1. нулева степен

Всяко ненулево число, повдигнато на степен нула, е равно на единица. Нула в степен на нула не е дефинирана

2. естествена степен, различна от нула

Всяко число x, повдигнато до естествена степен n, различна от нула, е равно на умножението на n числа x помежду си

3.1 корен от четна естествена степен, различна от нула

Коренът на четна естествена степен n, различна от нула, от всяко положително число x е такова положително число y, което, когато се повдигне до степен n, дава първоначалното число x

3.2 нечетен естествен корен

Нечетен естествен корен n от произволно число x е число y, което, когато се повдигне на степен n, дава оригиналното число x

3.3 коренът на всяка естествена степен като дробна степен

Извличането на корена на всяка естествена степен n, различна от нула от произволно число x, е същото като вдигането на това число x до дробната степен 1/n

0 0

Здравей, скъпи РЪСЕЛ!

При въвеждането на понятието степен има такава нотация: » Стойността на израза a^0 =1 » ! Това става по силата на логическата концепция за степен и нищо друго!
Похвално е, когато млад мъж се опитва да стигне до дъното! Но има неща, които просто трябва да се приемат за даденост!
Можете да конструирате нова математика само когато изучавате това, което вече е било открито преди векове!
Разбира се, ако изключим, че вие "не сте от този свят" и ви е дадено много повече от нас, останалите грешници!

Забележка: Анна Мишева направи опит да докаже недоказуемото! Също така похвално!
Но има едно голямо „НО“ – най-важният елемент липсва в неговото доказателство: Случаят на деление на НУЛА!

Вижте сами какво може да се случи: 0^1 / 0^1 = 0 / 0 !!!

Но не можете да разделите на нула!

Моля, бъдете по-внимателни!

С много най-добри пожелания и щастие в личния ви живот...

0 0

Първо ниво

Степента и нейните свойства. Изчерпателно ръководство (2019)

Защо са необходими степени? Къде ви трябват? Защо трябва да отделяте време за изучаването им?

За да научите всичко за степените, за какво са те, как да използвате знанията си Ежедневиетопрочетете тази статия.

И, разбира се, познаването на степените ще ви доближи до успешното преминаване на OGE или Единния държавен изпит и да влезете в университета на вашите мечти.

Да вървим... (Да вървим!)

Важна забележка! Ако вместо формули видите глупости, изчистете кеша си. За да направите това, натиснете CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

ПЪРВО НИВО

Възлагането в степен е същата математическа операция като събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко на човешки език, използвайки много прости примери. Обърни внимание. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.

Да започнем с добавянето.

Тук няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: ние сме осем. Всяка има две бутилки кола. Колко кола? Точно така – 16 бутилки.

Сега умножение.

Същият пример с кола може да бъде написан по различен начин: . Математиците са хитри и мързеливи хора. Те първо забелязват някои модели и след това измислят начин да ги „броят“ по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души има еднакъв брой бутилки кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.

Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но…

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И още една, по-красива:

И какви други хитри трикове за броене измислиха мързеливите математици? вдясно - вдигане на число на степен.

Повишаване на число на степен

Ако трябва да умножите число само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да повишите това число на пета степен. Например, . Математиците помнят, че две на пета степен е. И те решават такива проблеми наум – по-бързо, по-лесно и без грешки.

За да направите това, трябва само запомнете какво е подчертано с цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо се нарича втора степен квадратчисла и третото куб? Какво означава? много Добър въпрос. Сега ще имате както квадрати, така и кубчета.

Пример от реалния живот №1

Нека започнем с квадрат или втора степен на число.

Представете си квадратен басейн с размери метри на метри. Басейнът е в задния ви двор. Горещо е и наистина искам да плувам. Но ... басейн без дъно! Необходимо е да се покрие дъното на басейна с плочки. Колко плочки са ви нужни? За да определите това, трябва да знаете площта на дъното на басейна.

Можете просто да преброите, като прокарате пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър по метър. Ако вашите плочки са метър по метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде видяхте такава плочка? Плочката по-скоро ще бъде см по см. И тогава ще се измъчвате от „броене с пръст“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножавайки по, получавате плочки ().

Забелязахте ли, че умножихме едно и също число само по себе си, за да определим площта на дъното на басейна? Какво означава? Тъй като едно и също число се умножава, можем да използваме техниката на степенуване. (Разбира се, когато имате само две числа, все пак трябва да ги умножите или да ги повишите на степен. Но ако имате много от тях, тогава повишаването на степен е много по-лесно и също така има по-малко грешки в изчисленията. За изпита това е много важно).
И така, тридесет до втора степен ще бъде (). Или можете да кажете, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратното, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на някакво число. Квадратът е изображение на втората степен на число.

Пример от реалния живот №2

Ето една задача за вас, пребройте колко квадратчета има на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото... От едната страна на клетките и от другата също. За да преброите техния брой, трябва да умножите осем по осем или ... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да поставите осем на квадрат. Вземете клетки. () Така?

Пример от реалния живот №3

Сега кубът или третата степен на число. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода ще трябва да се излее в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Обемите и течностите, между другото, се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъно с размери метър и дълбочина метър и се опитайте да изчислите колко метър по метър кубчета ще влязат във вашия басейн.

Просто насочете пръста си и пребройте! Едно, две, три, четири… двадесет и две, двадесет и три… Колко се оказа? Не се ли изгубихте? Трудно ли е да броиш с пръст? Така че! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи, затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите дължината, ширината и височината му един по друг. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета ... По-лесно, нали?

Сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако правят това твърде лесно. Намаля всичко до едно действие. Те забелязали, че дължината, ширината и височината са равни и че същото число се умножава само по себе си... И какво означава това? Това означава, че можете да използвате степента. И така, това, което някога сте броили с пръст, те правят с едно действие: три в куб са равни. Пише се така:

Остава само запомнете таблицата на градусите. Освен ако, разбира се, не сте толкова мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.

Е, за да ви убедя окончателно, че градусите са измислени от безделници и хитри хора, за да решават житейските си проблеми, а не да ви създават проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример от реалния живот №4

Имате милион рубли. В началото на всяка година печелите още един милион за всеки милион. Тоест всеки един от милион в началото на всяка година се удвоява. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и „броите с пръст“, значи сте много трудолюбив човек и .. глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умен! И така, през първата година - два пъти по две ... през втората година - какво стана, с още две, през третата година ... Стоп! Забелязахте, че числото се умножава само по себе си веднъж. Значи две на пета степен е милион! Сега си представете, че имате състезание и този, който изчислява по-бързо, ще получи тези милиони... Струва ли си да си спомняте градусите на числата, какво мислите?

Пример от реалния живот №5

Имаш милион. В началото на всяка година печелите още два за всеки милион. Страхотно е нали? Всеки милион се утроява. Колко пари ще имате за една година? Да преброим. Първата година - умножете по, след това резултатът по друга... Вече е скучно, защото вече разбрахте всичко: три се умножава само по себе си пъти. Така че четвъртата степен е милион. Просто трябва да запомните, че три на четвърта степен е или.

Сега знаете, че като вдигнете число на степен, ще улесните живота си много. Нека да разгледаме по-подробно какво можете да правите с дипломите и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия ... за да не се объркате

И така, първо, нека дефинираме понятията. Какво мислиш, какво е степенно? Много е просто - това е числото, което е "на върха" на степента на числото. Не е научно, но ясно и лесно за запомняне...

Е, в същото време какво такава база за степен? Още по-просто е числото, което е отдолу, в основата.

Ето една снимка, за да сте сигурни.

Е, най-общо казано, за да се обобщи и запомни по-добре ... Степен с основа "" и индикатор "" се чете като "в степен" и се записва по следния начин:

Степента на число с естествен степен

Вероятно вече сте се досетили: защото степента е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са тези, които се използват при броене при изброяване на предмети: едно, две, три ... Когато броим елементи, не казваме: „минус пет”, „минус шест”, „минус седем”. Ние също не казваме „една трета“ или „нула точка пет десети“. Това не са естествени числа. Какви според вас са тези числа?

За тях се отнасят числа като "минус пет", "минус шест", "минус седем". цели числа.По принцип целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (тоест взети със знак минус) и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. И какво означават отрицателните ("минус") числа? Но те са измислени предимно за обозначаване на дългове: ако имате баланс на телефона си в рубли, това означава, че дължите рубли на оператора.

Всички дроби са рационални числа. Как се появиха, мислите ли? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци са открили, че нямат достатъчно естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа… Интересно, нали?

Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко, безкрайно десетичен. Например, ако разделите обиколката на кръг на неговия диаметър, тогава ще получите ирационално число.

Резюме:

Нека дефинираме понятието степен, чийто експонент е естествено число (тоест цяло число и положително).

Всяко число на първа степен е равно на себе си:
Да квадратираш число означава да го умножиш по себе си:
Да кубираш число означава да го умножиш по себе си три пъти:

Определение.За да повишите число до естествена степен означава да умножите числото по себе си по пъти:
.

Свойства на степента

Откъде са дошли тези имоти? сега ще ти покажа.

Да видим какво е и ?

По дефиниция:

Колко множителя има общо?

Много е просто: добавихме фактори към факторите и резултатът е фактори.

Но по дефиниция това е степента на число с експонента, тоест: , което се изискваше да бъде доказано.

Пример: Опростете израза.

Решение:

пример:Опростете израза.

Решение:Важно е да се отбележи, че в нашето правило задължителнотрябва да е същата причина!
Следователно, ние комбинираме градусите с основата, но оставаме отделен фактор:

само за продукти на силите!

В никакъв случай не трябва да пишете това.

2. тоест -та степен на число

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест, според дефиницията, това е степента на числото:

Всъщност това може да се нарече "закрепване на индикатора в скоби". Но никога не можете да направите това като цяло:

Нека си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем?

Но това не е вярно, наистина.

Степен с отрицателна основа

До този момент ние обсъждахме само какъв трябва да бъде експонентът.

Но каква трябва да бъде основата?

В градуси от естествен индикаторосновата може да бъде произволно число. Всъщност можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали е положително, отрицателно или четно.

Нека помислим какви знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например, числото ще бъде положително или отрицателно? А? ? С първото всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножим едно с друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. В крайна сметка помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Това е, или. Но ако умножим по, се оказва.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Справихте ли се?

Ето отговорите: В първите четири примера, надявам се всичко да е ясно? Просто разглеждаме основата и степента и прилагаме съответното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Е, освен когато основата е нула. Базата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост!

6 практически примера

Анализ на решението 6 примера

Ако не обърнем внимание на осмата степен, какво виждаме тук? Нека да разгледаме програмата за 7-ми клас. И така, помниш ли? Това е съкратената формула за умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Прилича много на един от числителните фактори, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бъдат разменени, правилото може да се приложи.

Но как да направите това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Термините магически смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да сменяме знаците в скоби.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се върнем към примера:

И отново формулата:

цяланазоваваме естествените числа, техните противоположности (тоест взети със знака "") и числото.

положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число с нулева степен е равно на единица:

Както винаги, ние се питаме: защо е така?

Помислете за някаква мощност с база. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото, каквото беше -. По какво число трябва да се умножи, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число с нулева степен е равно на единица.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна, тя трябва да е равна на произволна степен - колкото и да умножите нулата сама по себе си, пак ще получите нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число с нулева степен, то трябва да е равно. И така, каква е истината в това? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да вдигнат нула на нулева степен. Тоест сега можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем до нулева степен.

Да отидем по-нататък. В допълнение към естествените числа и числа, целите числа включват отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим същото като последния път: умножаваме някакво нормално число по същото в отрицателна степен:

От тук вече е лесно да изразите желаното:

Сега ние разширяваме полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правилото:

Число в отрицателна степен е обратното на същото число към положителна степен. Но в същото време базата не може да бъде нула:(защото е невъзможно да се раздели).

Нека обобщим:

I. Изразът не е дефиниран в случай. Ако, тогава.

II. Всяко число с нулева степен е равно на едно: .

III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число към положителна степен: .

Задачи за самостоятелно решение:

Е, както обикновено, примери за независимо решение:

Анализ на задачи за самостоятелно решение:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на изпита трябва да си готов на всичко! Решете тези примери или анализирайте тяхното решение, ако не можете да го решите и ще научите как лесно да се справяте с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме обхвата от числа, „подходящи“ като степен.

Сега помислете рационални числа.Кои числа се наричат рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа, освен това.

За да разберете какво е "дробна степен"Нека разгледаме дроб:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега запомнете правилото "степен до степен":

Какво число трябва да се повиши до степен, за да се получи?

Тази формулировка е определението на корена от та степен.

Нека ви напомня: коренът на тата степен на число () е число, което, когато се повдигне на степен, е равно.

Тоест коренът от та степен е обратната операция на степенуването: .

Оказва се, че. Очевидно този специален случай може да бъде разширен: .

Сега добавете числителя: какво е това? Отговорът е лесен за получаване с правилото мощност към мощност:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Запомнете правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат корени от четна степен от отрицателни числа!

А това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Ами изразяването?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено като други, намалени дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува и това са просто два различни записа с едно и също число.

Или друг пример: веднъж, тогава можете да го запишете. Но щом напишем индикатора по различен начин, отново получаваме проблеми: (тоест получихме съвсем различен резултат!).

За да избегнете подобни парадокси, помислете само положителен основен показател с дробен степен.

Така че, ако:

- естествено число;
е цяло число;

Примери:

Степенностите с рационален показател са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:

5 практически примера

Анализ на 5 примера за обучение

Е, сега - най-трудното. Сега ще анализираме степен с ирационален показател.

Всички правила и свойства на степени тук са абсолютно същите като за степени с рационален експонент, с изключение на

Всъщност, по дефиниция, ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест, ирационалните числа са всички реални числа с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествен, целочислен и рационален индикатор, всеки път измисляхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например естественият показател е число, умножено само по себе си няколко пъти;

...нулева мощност- това е така да се каже число, умножено само по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число още не се е появило - следователно резултатът е само известна „подготовка на число”, а именно число;

...отрицателен целочислен показател- сякаш се е случил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а разделено.

Между другото, науката често използва степен с комплексен показател, тоест експонентът дори не е реално число.

Но в училище ние не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ИДНЕТЕ! (ако се научите как да решавате такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Да започнем с вече обичайното правило за повишаване на степен до степен:

Сега погледнете резултата. Той напомня ли ти за нещо? Припомняме формулата за съкратено умножение на разликата от квадрати:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Даваме дроби в степени на k от същия вид: Или и двата знака след десетичната запетая, или и двете нормални. Получаваме например:

Отговор: 16

3. Нищо особено, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определение за степен

Степента е израз на формата: , където:

— основа на степента;
- степен.

Степен с естествен показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число до естествената степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с целочислен експонент (0, ±1, ±2,...)

Ако степента е положително цяло числономер:

ерекция до нулева мощност:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, до всяка степен е това, а от друга страна, всяко число до та степен е това.

Ако степента е цяло число отрицателнономер:

(защото е невъзможно да се раздели).

Още веднъж за nulls: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

- естествено число;
е цяло число;

Примери:

Свойства на степента

За да улесним решаването на проблеми, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Да ги докажем.

Да видим: какво е и?

По дефиниция:

И така, от дясната страна на този израз се получава следният продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с експонента, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило задължителнотрябва да има същата основа. Следователно, ние комбинираме градусите с основата, но оставаме отделен фактор:

Още едно важна забележка: това правило е - само за продукти на силите!

В никакъв случай не трябва да пиша това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към дефиницията на степента:

Нека го пренаредим така:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест, според дефиницията, това е -та степен на числото:

Всъщност това може да се нарече "закрепване на индикатора в скоби". Но никога не можете да направите това напълно:!

Нека си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това не е вярно, наистина.

Мощност с отрицателна основа.

До този момент обсъждахме само това, което трябва да бъде индикаторстепен. Но каква трябва да бъде основата? В градуси от естествено индикатор основата може да бъде произволно число .

Всъщност можем да умножим всяко число едно по друго, независимо дали е положително, отрицателно или четно. Нека помислим какви знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например, числото ще бъде положително или отрицателно? А? ?

С първото всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножим едно с друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. В крайна сметка помним едно просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Това е, или. Но ако умножим по (), получаваме -.

И така нататък до безкрай: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Възможно е да се формулират такива прости правила:

дористепен, - брой положителен.
Отрицателното число се повишава до странностепен, - брой отрицателен.
Положително число на всяка степен е положително число.
Нула на всяка степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Справихте ли се? Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и степента и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е четна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Базата не е същата, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомните това, става ясно, че това означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме определението на степени и ги разделяме една на друга, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди да анализираме последното правило, нека решим няколко примера.

Изчислете стойностите на изразите:

Решения :

Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Прилича много на един от числителните фактори, но какво не е наред? Грешен ред на термините. Ако бъдат обърнати, може да се приложи правило 3. Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега изглежда така:

Термините магически смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем свободно да сменяме знаците в скоби. Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!Не може да бъде заменен със смяна само на един нежелателен за нас минус!

Да се върнем към примера:

И отново формулата:

И така, сега последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека да разширим концепцията за степен и да опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви ще има? пъти по множители - как изглежда? Това не е нищо друго освен определението за операция умножение: общо се оказа, че има множители. Тоест, по дефиниция е степен на число с експонента:

пример:

Степен с ирационален показател

Освен информация за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален индикатор. Всички правила и свойства на степени тук са точно същите като за степен с рационален експонент, с изключението - в края на краищата, по дефиниция, ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествен, целочислен и рационален индикатор, всеки път измисляхме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например естественият показател е число, умножено само по себе си няколко пъти; число до нулева степен е като че ли число, умножено само по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори не се е появило - следователно резултатът е само определена „подготовка на номер“, а именно номер; степен с целочислен отрицателен индикатор - сякаш е настъпил определен „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (както е трудно да си представим 4-мерно пространство). По-скоро това е чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен до цялото пространство от числа.

Между другото, науката често използва степен с комплексен показател, тоест експонентът дори не е реално число. Но в училище ние не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

И така, какво да правим, ако видим ирационален показател? Правим всичко възможно да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

Отговори:

Запомнете формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
Привеждаме дробите в една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
Нищо особено, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

РЕЗЮМЕ НА РАЗДЕЛ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Степенсе нарича израз от формата: , където:

Степен с целочислен показател

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто индикатор е отрицателни и дробни числа.

Степен с ирационален показател

степен, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степента

Характеристики на степени.

Отрицателното число се повишава до дористепен, - брой положителен.
Отрицателното число се повишава до странностепен, - брой отрицателен.
Положително число на всяка степен е положително число.
Нулата е равна на всяка степен.
Всяко число с нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМА...

Как ви харесва статията? Кажете ми в коментарите по-долу дали ви е харесало или не.

Разкажете ни за вашия опит с енергийните свойства.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех с изпитите!