Бескровни И.М. един

1 OAO Angstrem-M

Целта на работата е да се разработят методи и алгоритми за изчисляване на питагорови тройки от вида a2+b2=c2. Процесът на анализ е извършен в съответствие с принципите на системния подход. Наред с математическите модели се използват графични модели, които показват всеки член на питагоровата тройка под формата на съставни квадрати, всеки от които се състои от набор от единични квадрати. Установено е, че безкраен набор от питагорови тройки съдържа безкраен брой подмножества, които се различават по разликата между стойностите b-c. Предложен е алгоритъм за образуване на питагорови тройки с всяка предварително определена стойност на тази разлика. Показано е, че питагорейските тройки съществуват за всяка стойност 3≤a

Питагорови тризнаци

системен анализ

математически модел

графичен модел

1. Аносов Д.Н. Поглед към математиката и нещо от нея. - М.: МТСНМО, 2003. - 24 с.: ил.

2. Ayerland K., Rosen M. Класически въведение в съвременна теориячисла. – М.: Мир, 1987.

3. Beskrovny I.M. Системен анализ и Информационни технологиив организации: Урок. - М.: РУДН, 2012. - 392 с.

4. Саймън Сингх. Последната теорема на Ферма.

5. Ферма П. Изследвания по теория на числата и диофантов анализ. – М.: Наука, 1992.

6. Яптро. Ucoz, достъпно на: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Питагоровите тройки са кохорта от три цели числа, които удовлетворяват питагорейското отношение x2 + y2 = z2. Най-общо казано, това е специален случай на диофантови уравнения, а именно системи от уравнения, в които броят на неизвестните е по-голям от броя на уравненията. Те са известни отдавна, още от времето на Вавилон, тоест много преди Питагор. И те придобиха името, след като Питагор доказа своята известна теорема на тяхна основа. Въпреки това, както следва от анализа на множество източници, в които по един или друг начин се засяга въпросът за питагорейските тройки, въпросът за съществуващите класове на тези тройки и възможните начини за тяхното формиране все още не е напълно разкрит.

Така че в книгата на Саймън Сингх се казва: - "Учениците и последователите на Питагор... разказаха на света тайната за намиране на така нареченото питагорейско три k." След това обаче четем: - „Питагорейците мечтаеха да намерят други питагорейски тройки, други квадрати, от които да може да се добави трети голям квадрат. …С увеличаването на числата, питагорейските тройки стават все по-редки и по-трудни и по-трудни за намиране. Питагорейците изобретиха метод за намиране на такива тройки и, използвайки го, доказаха, че има безкрайно много питагорейски тройки.

Думи, които предизвикват объркване, са подчертани в цитата. Защо "питагорейците са мечтали да намерят ...", ако са "измислили метод за намиране на такива тройки ...", и защо за големи числа "става все по-трудно да ги намерите ...".

В работата на известния математик Д.В. Аносов, желаният отговор изглежда е даден. - „Има такива тройки естествени (т.е. положително цяло число) числа x, y, z, че

x2 + y2 = z2. (един)

… възможно ли е да се намерят всички решения на уравнението x2+y2=z2 в естествени числа? …Да. Отговорът е, че всяко такова решение може да бъде представено като

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

където l, m, n - цели числа, и m>n, или в подобна форма, в която x и y се разменят. Можем да кажем малко по-накратко, че x, y, z от (2) с всички възможни натурали l и m > n са всички възможни решения на (1) до пермутация на x и y. Например тройката (3, 4, 5) се получава с l=1, m=2, n=1. ... Очевидно вавилонците са знаели този отговор, но как са стигнали до него, не е известно.”

Обикновено математиците са известни със своята взискателност към строгостта на формулировките си. Но в този цитат такава строгост не се наблюдава. И така, какво точно: намерете или си представите? Очевидно това са напълно различни неща. Ето ред от "прясно изпечени" тройки (получени по метода, описан по-долу):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Няма съмнение, че всяка от тези тройки може да бъде представена под формата на релация (2) и тогава стойностите на l, m, n могат да бъдат изчислени. Но това е след като са намерени всички стойности на тройките. Но какво да кажем преди това?

Не може да се изключи, че отговорите на тези въпроси отдавна са известни. Но по някаква причина те все още не са открити. По този начин целта на тази работа е систематичен анализ на съвкупността от известни примери за питагорейски тройки, търсене на системообразуващи връзки в различни групи тройки и идентифициране на системни характеристики, характерни за тези групи, а след това разработването на прости ефективни алгоритми за изчисляване на тройки с предварително определена конфигурация. Под конфигурация имаме предвид връзката между количествата, които съставляват тройката.

Като инструментариум, математически апарат на ниво, което не излиза извън рамките на математиката, преподавана в гимназията, и системен анализ, базиран на методите, описани в.

Изграждане на модели

От позиции системен анализвсяка питагорова тройка е система, образувана от обекти, които са три числа и техните свойства. Тяхната съвкупност, при която обектите се поставят в определени отношения и образуват система, която има нови свойства, които не са присъщи нито на отделните обекти, нито на други от тяхната съвкупност, където обектите се поставят в други отношения.

В уравнение (1) обектите на системата са естествени числа, свързани с прости алгебрични отношения: вляво от знака за равенство е сборът от две числа, повдигнати на степен 2, вдясно е третото число, също повдигнато на степен на 2. Отделните числа, вляво от равенството, изведени на степен 2, не налагат никакви ограничения върху операцията на тяхното сумиране - получената сума може да бъде всякаква. Но знакът за равенство, поставен след операцията за сумиране, налага системно ограничение върху стойността на тази сума: сумата трябва да бъде такова число, че резултатът от операцията по извличане на квадратния корен да е естествено число. И това условие не е изпълнено за числа, заместени в лявата част на равенството. Така знакът за равенство, поставен между два члена на уравнението и третия, превръща тройката от членове в система. Нова функция на тази система е въвеждането на ограничения върху стойностите на оригиналните числа.

Въз основа на формата на писане, Питагоровата тройка може да се разглежда като математически модел на геометрична система, състояща се от три квадрата, свързани помежду си чрез сумиране и равенство, както е показано на фиг. 1. Фиг. 1 е графичен модел на разглежданата система, а нейният вербален модел е твърдението:

Площта на квадрат с дължина на страна c може да бъде разделена без остатък на два квадрата със страни а и b, така че сумата от техните площи да е равна на площта на оригиналния квадрат, тоест и трите количествата a, b и c са свързани чрез релацията

Графичен модел на разлагането на квадрат

В рамките на каноните на системния анализ е известно, че ако един математически модел отразява адекватно свойствата на определена геометрична система, тогава анализът на свойствата на самата система ни позволява да изясним свойствата на нейния математически модел, да познайте ги по-задълбочено, за да ги изясните и, ако е необходимо, да ги подобрите. Това е пътят, който ще следваме.

Нека уточним, че според принципите на системния анализ операциите по събиране и изваждане могат да се извършват само върху съставни обекти, тоест обекти, съставени от набор от елементарни обекти. Следователно ние ще възприемаме всеки квадрат като фигура, съставена от набор от елементарни или единични квадрати. Тогава условието за получаване на решение в естествени числа е еквивалентно на приемането на условието, че единичният квадрат е неделим.

Единичен квадрат е квадрат, чиято дължина на всяка страна е равна на единица. Тоест, когато площта на единичен квадрат определя следния израз.

Количественият параметър на квадрата е неговата площ, която се определя от броя на единичните квадрати, които могат да бъдат поставени върху дадена площ. За квадрат с произволна стойност x, изразът x2 определя площта на квадрата, образуван от сегменти с дължина x единични сегменти. х2 единични квадрати могат да бъдат поставени върху площта на този квадрат.

Горните дефиниции може да се възприемат като тривиални и очевидни, но не са. Д.Н. Аносов дефинира понятието площ по различен начин: - „...площта на фигура е равна на сбора от площите на нейните части. Защо сме сигурни, че това е така? ... Представяме си фигура, направена от някои хомогенен материал, то площта му е пропорционална на количеството материя, съдържаща се в него – масата му. Освен това се разбира, че когато разделим тяло на няколко части, сумата от техните маси е равна на масата на първоначалното тяло. Това е разбираемо, защото всичко се състои от атоми и молекули и тъй като броят им не се е променил, тяхната обща маса също не се е променила... В крайна сметка, всъщност масата на парче хомогенен материал е пропорционална на неговия обем; следователно трябва да знаете, че обемът на "листчето", който има формата на дадена фигура, е пропорционален на неговата площ. С една дума, ... че площта на фигура е равна на сумата от площите на нейните части, в геометрията е необходимо да се докаже това. ... В учебника на Киселев честно се постулира като някакво предположение съществуването на област, която притежава точно това свойство, което сега обсъждаме, и се казваше, че това всъщност е вярно, но няма да го доказваме. Така че теоремата на Питагор, ако се докаже с площи, в чисто логически смисъл, ще остане недоказана напълно.

Струва ни се, че въведените по-горе определения на единичния квадрат премахват посочения D.N. Аносова несигурност. В крайна сметка, ако площта на квадрат и правоъгълник се определя от сумата на единичните квадрати, които ги запълват, тогава когато правоъгълникът е разделен на произволни съседни части, площта на правоъгълника е естествено равна на сбор от всички негови части.

Нещо повече, въведените дефиниции премахват несигурността при използването на понятията "разделя" и "добавя" по отношение на абстрактни геометрични фигури. Наистина, какво означава да разделиш правоъгълник или друга плоска фигура на части? Ако е лист хартия, тогава може да се изреже с ножица. Ако земята - поставете ограда. Стая - поставете преграда. Ами ако е начертан квадрат? Начертайте разделителна линия и декларирайте, че квадратът е разделен? Но в крайна сметка D.I. Менделеев: "... Можеш да декларираш всичко, но ти - давай, демонстрирай!"

И използвайки предложените дефиниции, „Разделете фигура“ означава да разделите броя на единичните квадрати, запълващи тази фигура на две (или повече) части. Броят на единичните квадрати във всяка от тези части определя нейната площ. Конфигурацията на тези части може да бъде дадена произволно, но сумата от техните площи винаги ще бъде равна на площта на оригиналната фигура. Може би математиците ще сметнат тези аргументи за неправилни, тогава ще ги приемем като предположение. Ако подобни предположения са приемливи в учебника на Кисельов, тогава би било грях да не използваме такава техника.

Първата стъпка в системния анализ е да се идентифицира проблемната ситуация. В началото на този етап бяха разгледани няколкостотин питагорейски тройки, открити в различни източници. В същото време беше обърнато внимание на факта, че целият набор от Питагорейски тройки, споменати в публикациите, може да бъде разделен на няколко групи, които се различават по конфигурация. Ще разгледаме разликата в дължините на страните на оригиналния и извадените квадрати като знак за конкретна конфигурация, т.е. стойност c-b. Например в публикациите често се показват тройки, които отговарят на условието c-b=1. Приемаме, че цялото множество от такива питагореви тройки образува множество, което ще наречем "Клас c-1", и ще анализираме свойствата на този клас.

Помислете за трите квадрата, показани на фигурата, където c е дължината на страната на квадрата, който трябва да бъде намален, b е дължината на страната на квадрата, който трябва да се извади, а a е дължината на страната на образувания квадрат от тяхната разлика. На фиг. 1 се вижда, че при изваждане на площта на извадения квадрат от площта на намаления квадрат, в остатъка остават две ленти от единични квадрати:

За да се образува квадрат от този остатък, условието трябва да е изпълнено

Тези отношения ни позволяват да определим стойностите на всички членове на тройката чрез едно дадено число c. Най-малкото число c, което удовлетворява съотношение (6), е c = 5. По този начин бяха определени дължините и на трите страни на квадратите, удовлетворяващи съотношение (1). Припомнете си, че стойността b на страната на средния квадрат

беше избран, когато решихме да оформим среден квадрат, като намалим страната на оригиналния квадрат с едно. Тогава от отношения (5), (6). (7) получаваме следната зависимост:

от което следва, че избраната стойност c = 5 еднозначно определя стойностите b = 4, a = 3.

В резултат на това се получават отношения, които позволяват представяне на всяка питагорова тройка от класа "c - 1" в такава форма, където стойностите на трите члена се определят от един определен параметър - стойността c:

Добавяме, че числото 5 в горния пример се появи като минимум от всички възможни стойности на c, за които уравнение (6) има решение в естествени числа. Следващото число, което има същото свойство, е 13, след това 25, след това 41, 61, 85 и т. н. Както можете да видите, в тази серия от числа интервалите между съседните числа се увеличават бързо. Така например, след валидна стойност, следващата валидна стойност е , а след , следващата валидна стойност е , тоест валидната стойност е повече от петдесет милиона от предишната!

Сега е ясно откъде идва тази фраза в книгата: - „С увеличаването на числата питагорейските тройки са все по-рядко срещани и става все по-трудно да ги намерите ...“. Това твърдение обаче не е вярно. Трябва само да погледнете питагорейските тройки, съответстващи на горните двойки съседни стойности на c, тъй като една характеристика веднага хваща окото - и в двете двойки, в които стойностите на c са разделени от толкова големи интервали, стойностите на a се оказват съседни нечетни числа. Наистина, за първия чифт имаме

и за втория чифт

Така че не самите тройки са „все по-рядко срещани“, а интервалите между съседните стойности на c се увеличават. Самите питагорейски тройки, както ще бъде показано по-долу, съществуват за всяко естествено число.

Сега помислете за тройките на следващия клас - "Клас c-2". Както се вижда от фиг. 1, при изваждане от квадрат със страна c квадрат със страна (c - 2), остатъкът е сбор от две единични ленти. Стойността на тази сума се определя от уравнението:

От уравнение (10) получаваме връзка, която дефинира която и да е от безкрайния набор от тройки клас "c-2":

Условието за съществуване на решение на уравнение (11) в естествени числа е всяка такава стойност c, за която a е естествено число. Минималната стойност на c, за която съществува решение, е c = 5. Тогава „началната“ тройка за този клас тройки се определя от множеството a = 4, b = 3, c = 5. Това е отново класическата се образува тройно 3, 4, 5, само че сега площта на квадрата, който трябва да се извади, е по-малка от площта на остатъка.

И накрая, нека анализираме тройките от клас "s-8". За този клас тройки, като извадим площта на квадрата от площта c2 на оригиналния квадрат, получаваме:

Тогава от уравнение (12) следва:

Минималната стойност на c, за която съществува решението, е c = 13. Питагоровата тройка при тази стойност ще приеме формата 12, 5, 13. В този случай площта на квадрата, който трябва да се извади, отново е по-малка от площ на остатъка. И пренареждайки обозначенията на места, получаваме тройката 5, 12, 13, която по своята конфигурация принадлежи към клас "c - 1". Изглежда, че по-нататъшният анализ на други възможни конфигурации няма да разкрие нищо принципно ново.

Извличане на изчислени съотношения

В предишния раздел логиката на анализа беше разработена в съответствие с изискванията на системния анализ в четири от петте му основни етапа: анализ на проблемната ситуация, формиране на цели, формиране на функции и формиране на структура. Сега е време да преминем към последния, пети етап – тест за осъществимост, тоест тест за степента, в която са постигнати целите. .

Таблица 1 е показана по-долу. 1, който показва стойностите на питагорейските тройки, принадлежащи към клас "c - 1". Повечето тройки се срещат в различни публикации, но тройки за стойности, равни на 999, 1001, не са открити в известни публикации.

маса 1

Питагорови тройки от клас "c-1"

Може да се провери дали всички тройки удовлетворяват съотношение (3). Така една от поставените цели е постигната. Взаимоотношенията (9), (11), (13), получени в предишния раздел, дават възможност за образуване на безкраен набор от тройки чрез задаване на единствения параметър c, страната на намаления квадрат. Това, разбира се, е по-конструктивен вариант от съотношение (2), за чието използване трябва да се зададат произволно три числа l, m, n, имащи каквато и да е стойност, след което да се търси решение, знаейки само, че в крайна сметка, със сигурност ще се получи питагорейска тройка и кое не е известно. В нашия случай конфигурацията на формираната тройка е известна предварително и е необходимо да се зададе само един параметър. Но, уви, не всяка стойност на този параметър има решение. И трябва предварително да знаете неговите допустими стойности. Така че резултатът е добър, но далеч от идеалния. Желателно е да се получи такова решение, че питагорейските тройки да могат да бъдат изчислени за произволно дадено естествено число. За целта да се върнем към четвъртия етап - формиране на структурата на получените математически отношения.

Тъй като изборът на стойността c като основен параметър за определяне на останалите членове на тройката се оказа неудобен, трябва да се опита друг вариант. Както се вижда от табл. 1, изборът на параметър a като основен изглежда за предпочитане, тъй като стойностите на този параметър са в ред в поредица от нечетни естествени числа. След прости трансформации привеждаме отношения (9) в по-конструктивна форма:

Отношенията (14) ни позволяват да намерим питагорова тройка за всяка предварително зададена нечетна стойност a. В същото време простотата на израза за b ви позволява да извършвате изчисления дори без калкулатор. Всъщност, избирайки например числото 13, получаваме:

И съответно за числото 99 получаваме:

Отношенията (15) позволяват получаването на стойностите и на трите члена на питагореевия низ за всяко дадено n, започвайки от n=1.

Сега разгледайте питагорейските тройки от клас "c - 2". В табл. 2 показва десет такива тройки като пример. Освен това в известни публикации са открити само три двойки тройки – 8, 15, 23; 12, 35, 36; и 16, 63, 65. Това се оказа достатъчно, за да се определят моделите, по които се формират. Останалите седем са открити от по-рано изведени отношения (11). За удобство на изчисленията тези съотношения бяха трансформирани така, че всички параметри да бъдат изразени чрез a. От (11) очевидно следва, че всички тройки за клас "c - 2" удовлетворяват следните отношения:

таблица 2

Питагорови тройки от клас "c-2"

Както се вижда от табл. 2, целият безкраен набор от тройки от клас "c - 2" може да бъде разделен на два подкласа. За тройки, при които стойността на a се дели на 4 без остатък, стойностите на b и c са нечетни. Такива тройки, за които GCD = 1, се наричат ​​примитивни. За тройки, чиито стойности a не се делят на 4 в цели числа, и трите члена на тройката a, b, c са четни.

Сега нека преминем към преглед на резултатите от анализа на третия от избраните класове - клас "c - 8". Изчислените отношения за този клас, получени от (13), имат вида:

Отношенията (20), (21) по същество са идентични. Разликата е само в избора на последователност от действия. Или, в съответствие с (20), се избира желаната стойност на a (в този случай тази стойност трябва да бъде разделена на 4), след което се определят стойностите на b и c. Или се избира произволно число и след това от отношения (21) се определят и трите члена на питагоровата тройка. В табл. 3 показва редица питагорейски тройки, изчислени по този начин. Въпреки това, изчисляването на стойностите на питагорейските тройки е още по-лесно. Ако е известна поне една стойност, тогава всички следващи стойности се определят много просто от следните отношения:

Таблица 3

Валидността на отношението (22) за всички може да се провери както чрез тройки от табл. 2, както и от други източници. Като пример, в табл. 4 курсив тройки от обширна таблица на питагорейските тройки (10 000 триплета), изчислени на базата на компютърна програмапо отношение (2) и с удебелен шрифт - тройки, изчислени по отношение (20). Тези стойности не бяха в посочената таблица.

Таблица 4

Питагорови тройки от клас "s-8"

Съответно, за тройки от формата могат да се използват следните отношения:

И за тройки от формата<>, имаме съотношението:

Трябва да се подчертае, че горните класове тройки "c - 1", "c - 2", "c - 8" съставляват повече от 90% от първите хиляда тройки от посочената таблица. Това дава основание тези класове да се считат за базови. Нека добавим, че при извеждане на отношения (22), (23), (24) не са използвани специални свойства на числата, изучавани в теорията на числата (прости, взаимно прости и др.). Разкритите закономерности при образуването на питагорейските тройки се дължат единствено на системните свойства на геометричните фигури, описани от тези тройки – квадрати, състоящи се от набор от единични квадрати.

Заключение

Сега, както каза Андрю Уайлс през 1993 г., „Мисля, че трябва да спра дотук“. Поставената цел е напълно постигната. Показано е, че анализът на свойствата на математическите модели, чиято структура е свързана с геометрични фигури, е значително опростена, ако в процеса на анализ, наред с чисто математически изчисления, се вземат геометричните свойства на изследваните модели под внимание. Опростяването се постига, по-специално, поради факта, че изследователят "вижда" желаните резултати, без да извършва математически трансформации.

Например, равенство

става очевидно без трансформации от лявата му страна, трябва само да се погледне фиг. 1 за графичен модел на това равенство.

В резултат на това на базата на извършения анализ е показано, че за всеки квадрат със страна могат да се намерят квадрати със страни b и c такива, че за тях е изпълнено равенство и се получават отношения, които дават резултати с минимално количество на изчисленията:

за нечетни стойности a,

и - за четни стойности.

Библиографска връзка

Бескровни И.М. СИСТЕМЕН АНАЛИЗ НА ПИТАГОРОВИТЕ ТРОЙНИ СВОЙСТВА // Съвременен високи технологии. - 2013. - No 11. - С. 135-142;
URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (дата на достъп: 20.03.2020 г.). Предлагаме на вашето внимание списанията, издавани от издателство "Академия по естествена история"

Изучаването на свойствата на естествените числа доведе питагорейците до друг „вечен“ проблем на теоретичната аритметика (теория на числата) - проблем, чиито зародиши са си проправили път много преди Питагор в Древен Египет и Древен Вавилон, и общо решение не е намерено до този ден. Нека започнем със задачата, която в съвременните термини може да бъде формулирана по следния начин: решаване на неопределеното уравнение в естествени числа

Днес тази задача се нарича проблем на Питагор, а неговите решения - тройки естествени числа, отговарящи на уравнение (1.2.1) - се наричат Питагорови тризнаци. Поради очевидната връзка на питагоровата теорема с питагоровата задача, на последния може да се даде геометрична формулировка: намерете всички правоъгълни триъгълници с цели крака х, ги целочислена хипотенуза z.

Конкретни решения на питагорейския проблем са били известни в древни времена. В папирус от времето на фараон Аменемхет I (около 2000 г. пр. н. е.), съхраняван в Египетския музей в Берлин, откриваме правоъгълен триъгълник със съотношение на страните (). Според най-големия немски историк на математиката М. Кантор (1829 - 1920), в древен Египет е имало специална професия харпедонапти- "обтегачи на въжета", които по време на тържествената церемония по полагането на храмове и пирамиди отбелязват прави ъгли с въже с 12 (= 3 + 4 + 5) равномерно разположени възела. Методът за конструиране на прав ъгъл с харпедонапти е очевиден от фигура 36.

Трябва да се каже, че друг познавач на древната математика, ван дер Варден, категорично не е съгласен с Кантор, въпреки че самите пропорции на древноегипетската архитектура свидетелстват в полза на Кантор. Както и да е, днес се нарича правоъгълен триъгълник със съотношение на страните египетски.

Както е отбелязано на стр. 76, е запазена глинена плочка, датираща от древновавилонската епоха и съдържаща 15 реда питагорейски тройки. В допълнение към тривиалната тройка, получена от египетското (3, 4, 5) чрез умножение по 15 (45, 60, 75), има и много сложни питагорейски тройки, като (3367, 3456, 4825) и дори (12709 , 13500, 18541)! Няма съмнение, че тези числа са намерени не чрез просто изброяване, а по някакви единни правила.

И все пак въпросът за общо решениеуравнение (1.2.1) в естествени числа е поставено и решено само от питагорейците. Общата формулировка на всеки математически проблем е била чужда както на древните египтяни, така и на древните вавилонци. Едва с Питагор започва формирането на математиката като дедуктивна наука и една от първите стъпки по този път е решаването на проблема за питагорейските тройки. Първи решения на уравнение (1.2.1) древна традициясе свързва с имената на Питагор и Платон. Нека се опитаме да реконструираме тези решения.

Ясно е, че Питагор е мислил за уравнение (1.2.1) не в аналитична форма, а под формата на квадратно число, вътре в което е необходимо да се намерят квадратните числа и . Естествено беше числото да бъде представено под формата на квадрат със страна гедна страна по-малко zоригинален квадрат, т.е. Тогава, както е лесно да се види от Фигура 37 (просто вижте!), за оставащото квадратно число трябва да е изпълнено равенството. Така стигаме до системата линейни уравнения

Събирайки и изваждайки тези уравнения, намираме решението на уравнение (1.2.1):

Лесно е да се види, че полученото решение дава естествени числа само за нечетни. Така най-накрая имаме

И т. н. Традицията свързва това решение с името на Питагор.

Забележете, че системата (1.2.2) може да се получи и формално от уравнение (1.2.1). Наистина,

откъдето, ако приемем , стигаме до (1.2.2).

Ясно е, че решението на Питагор е намерено при доста твърдо ограничение () и съдържа далеч от всички питагорови тройки. Следващата стъпка е да поставите , След това , тъй като само в този случай ще бъде квадратно число. Така че системата възниква също ще бъде питагорова тройка. Сега основното

Теорема.Ако стрИ qвзаимно прости числа с различна четност, тогава всички примитивни питагорови тройки се намират по формулите

След това разглеждаме добре познатите методи за генериране на ефективни питагорови тройки. Учениците на Питагор бяха първите, които измислиха прост начин за генериране на питагорови тройки, използвайки формула, чиито части представляват питагорова тройка:

м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ((м 2 + 1)/2) 2 ,

Където м- несдвоен, м>2. Наистина ли,

4м 2 + м 4 − 2м 2 + 1
м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((м 2 + 1)/2) 2 .
4

Подобна формула е предложена от древногръцкия философ Платон:

(2м) 2 + (м 2 − 1) 2 = (м 2 + 1) 2 ,

Където м- произволно число. За м= 2,3,4,5 се генерират следните триплети:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Както можете да видите, тези формули не могат да дадат всички възможни примитивни тройки.

Помислете за следния полином, който се разлага на сбор от полиноми:

(2м 2 + 2м + 1) 2 = 4м 4 + 8м 3 + 8м 2 + 4м + 1 =
=4м 4 + 8м 3 + 4м 2 + 4м 2 + 4м + 1 = (2м(м+1)) 2 + (2м +1) 2 .

Оттук следват следните формули за получаване на примитивни тройки:

а = 2м +1 , б = 2м(м+1) = 2м 2 + 2м , ° С = 2м 2 + 2м + 1.

Тези формули генерират тройки, в които средното число се различава от най-голямото точно с една, тоест не се генерират и всички възможни тройки. Тук първите тройки са: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

За да се определи как да се генерират всички примитивни тройки, трябва да се изследват техните свойства. Първо, ако ( а, б, в) тогава е примитивна тройка аИ б, бИ ° С, ноИ ° С— трябва да е взаимно проста. Нека бъде аИ бсе разделят на д. Тогава а 2 + б 2 също се дели на д. респективно ° С 2 и ° Стрябва да се разделят на д. Тоест не е примитивна тройка.

Второ, сред числата а, бединият трябва да бъде сдвоен, а другият - несдвоен. Наистина, ако аИ б- сдвоени, значи отще бъдат сдвоени и числата могат да бъдат разделени на поне 2. Ако и двете са несдвоени, тогава те могат да бъдат представени като 2 к+1 и 2 л+1, къде к,л- някои цифри. Тогава а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+1+4л 2 +4л+1, т.е. от 2, както и а 2 + б 2 има остатък от 2, когато се раздели на 4.

Нека бъде от- произволно число, т.е от = 4к+и (и=0,…,3). Тогава от 2 = (4к+и) 2 има остатък от 0 или 1 и не може да има остатък от 2. По този начин, аИ бне може да бъде раздвоен, т.е а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+4л 2 +4л+1 и остатък от 2 по 4 трябва да е 1, което означава, че оттрябва да бъде несдвоен.

Такива изисквания за елементите на питагоровата тройка се удовлетворяват от следните числа:

а = 2мн, б = м 2 − н 2 , ° С = м 2 + н 2 , м > н, (2)

Където мИ нса взаимно прости с различни двойки. За първи път тези зависимости стават известни от произведенията на Евклид, който е живял 2300 r. обратно.

Нека докажем валидността на зависимостите (2). Нека бъде но- тогава двойно бИ ° С- несдвоен. Тогава ° С + би ° С − б- двойки. Те могат да бъдат представени като ° С + б = 2uИ ° С − б = 2v, където u,vса някои цели числа. Ето защо

а 2 = от 2 − б 2 = (° С + б)(° С − б) = 2u 2 v = 4UV

И следователно ( а/2) 2 = UV.

Може да се докаже от противоречие, че uИ vса взаимно прости. Нека бъде uИ v- се разделят на д. Тогава ( ° С + б) И ( ° С − б) са разделени на д. И следователно ° СИ бтрябва да се разделят на д, а това противоречи на условието за питагоровата тройка.

Защото UV = (а/2) 2 и uИ vвзаимно просто, това е лесно да се докаже uИ vтрябва да са квадрати от някои числа.

Така че има положителни цели числа мИ н, такъв, че u = м 2 и v = н 2. Тогава

но 2 = 4UV = 4м 2 н 2 така
но = 2мн; б = u − v = м 2 − н 2 ; ° С = u + v = м 2 + н 2 .

Защото б> 0, тогава м > н.

Остава да покажем това мИ нимат различни двойки. Ако мИ н- сдвоени, значи uИ vтрябва да бъдат сдвоени, но това е невъзможно, тъй като те са взаимно прости. Ако мИ н- несдвоен, значи б = м 2 − н 2 и ° С = м 2 + н 2 ще бъдат сдвоени, което е невъзможно, тъй като ° СИ бса взаимно прости.

По този начин всяка примитивна питагорова тройка трябва да отговаря на условия (2). В същото време цифрите мИ нНаречен генериране на числапримитивни тризнаци. Например, нека имаме примитивна питагорова тройка (120,119,169). В такъв случай

но= 120 = 2 12 5, б= 119 = 144 − 25 и ° С = 144+25=169,

Където м = 12, н= 5 - генериране на числа, 12 > 5; 12 и 5 са ​​взаимно прости и с различни двойки.

Може да се докаже, че числата м, нформули (2) дават примитивна питагорова тройка (a,b,c). Наистина ли,

но 2 + б 2 = (2мн) 2 + (м 2 − н 2) 2 = 4м 2 н 2 + (м 4 − 2м 2 н 2 + н 4) =
= (м 4 + 2м 2 н 2 + н 4) = (м 2 + н 2) 2 = ° С 2 ,

т.е ( а,б,° С) е питагорова тройка. Нека докажем това докато а,б,° Сса взаимно прости числа от противоречие. Нека тези числа се разделят на стр> 1. Тъй като мИ нтогава имат различни двойки бИ ° С- несдвоен, т.е стр≠ 2. Защото Рразделя бИ ° С, тогава Ртрябва да разделим 2 м 2 и 2 н 2 , което е невъзможно, тъй като стр≠ 2. Следователно м, нса взаимно прости и а,б,° Ссъщо са взаимно прости.

Таблица 1 показва всички примитивни питагорови тройки, генерирани по формули (2) за м≤10.

Таблица 1. Примитивни питагорейски тройки за м≤10

м	н	а	б	° С	м	н	а	б	° С
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Анализът на тази таблица показва наличието на следната серия от модели:

• или а, или бсе делят на 3;
• едно от числата а,б,° Ссе дели на 5;
• номер носе дели на 4;
• работа а· бсе дели на 12.

През 1971 г. американските математици Тейгън и Хедуин предложиха такива малко известни параметри на правоъгълен триъгълник като неговата височина (височина) за генериране на тройки з = ° С− b и излишък (успех) д = а + б − ° С. На фиг.1. тези количества са показани на определен правоъгълен триъгълник.

Фигура 1. Правоъгълен триъгълник и неговият растеж и излишък

Името „излишък“ произлиза от факта, че това е допълнителното разстояние, което трябва да се измине по протежение на краката на триъгълника от един връх до противоположния, ако не минавате по неговия диагонал.

Чрез излишък и растеж, страните на Питагоровия триъгълник могат да бъдат изразени като:

д 2 д 2
а = з + д, б = д + ——, ° С = з + д + ——, (3)
2з 2з

Не всички комбинации зИ дможе да съответства на питагорови триъгълници. За даденост звъзможни стойности де продукт на някакво число д. Този номер дсе нарича растеж и се отнася до зпо следния начин: де най-малкото положително число, чийто квадрат се дели на 2 з. Защото дмногократни д, тогава се пише като д = kd, където ке цяло положително число.

С помощта на двойки ( к,з) можете да генерирате всички питагорови триъгълници, включително непримитивни и обобщени, както следва:

(дк) 2 (дк) 2
а = з + дк, б = дк + ——, ° С = з + дк + ——, (4)
2з 2з

Освен това тройката е примитивна ако кИ зса взаимно прости и ако з =± q 2 в q- несдвоен.
Освен това, това ще бъде точно питагорейска тройка, ако к> √2 з/дИ з > 0.

Да намеря кИ зот ( а,б,° С) направете следното:

• з = ° С − б;
• записвам зкак з = pq 2, където стр> 0 и такъв, който не е квадрат;
• д = 2pqако стр- несдвоени и д = pq, ако p е сдвоен;
• к = (а − з)/д.

Например за тройката (8,15,17) имаме з= 17−15 = 2 1, така че стр= 2 и q = 1, д= 2 и к= (8 − 2)/2 = 3. Така че тази тройка се дава като ( к,з) = (3,2).

За тройката (459,1260,1341) имаме з= 1341 − 1260 = 81, така че стр = 1, q= 9 и д= 18, следователно к= (459 − 81)/18 = 21, така че кодът на тази тройка е ( к,з) = (21, 81).

Уточняване на тройки с зИ кима номер интересни имоти. Параметър кравно на

к = 4С/(dP), (5)

Където С = аб/2 е площта на триъгълника и П = а + б + ° Се неговият периметър. Това следва от равенството eP = 4С, което идва от питагоровата теорема.

За правоъгълен триъгълник де равен на диаметъра на окръжността, вписана в триъгълника. Това идва от факта, че хипотенузата от = (но − r)+(б − r) = а + б − 2r, където rе радиусът на окръжността. Оттук з = ° С − б = но − 2rИ д = а − з = 2r.

За з> 0 и к > 0, ке редовният номер на тризнаците а-б-° Св поредица от питагорови триъгълници с нарастване з. От таблица 2, която показва няколко опции за тройки, генерирани от двойки з, к, може да се види, че с увеличаване кстраните на триъгълника се увеличават. По този начин, за разлика от класическото номериране, номерирането по двойки з, кима по-висок ред в последователности от триплети.

Таблица 2. Питагорови тройки, генерирани от двойки h, k.

з	к	а	б	° С	з	к	а	б	° С
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

За з > 0, дудовлетворява неравенството 2√ з ≤ д ≤ 2з, при което долната граница се достига при стр= 1, а горната, при q= 1. Следователно стойността дпо отношение на 2√ зе мярка за това колко здалеч от квадрата на някакво число.

Важен пример за диофантово уравнение е дадено от Питагоровата теорема, която свързва дължините x и y на катетите на правоъгълен триъгълник с дължината z на неговата хипотенуза:

Разбира се, вие сте попаднали на едно от прекрасните решения на това уравнение в естествени числа, а именно питагоровата тройка числа x=3, y=4, z=5.Има ли други тризнаци?

Оказва се, че има безкрайно много питагорейски тройки и всички те са открити отдавна. Те могат да бъдат получени чрез добре познати формули, за които ще научите от този параграф.

Ако диофантовите уравнения от първа и втора степен вече са решени, тогава въпросът за решаването на уравненията е повече високи градусивсе още остава отворен, въпреки усилията на най-големите математици. В момента, например, известната хипотеза на Ферма, че за всяка стойност на цяло число n2уравнението

няма решения в цели числа.

За решаване на определени видове диофантови уравнения се използват т.нар комплексни числа.Какво е? Нека буквата i обозначава някакъв обект, който отговаря на условието i 2 = -1(ясно е, че нито едно реално число не отговаря на това условие). Помислете за изразите на формата α+iβ,където α и β са реални числа. Такива изрази ще се наричат ​​комплексни числа, като са дефинирали операциите на събиране и умножение върху тях, както и върху биноми, но с единствената разлика, че изразът аз 2навсякъде ще заменим числото -1:

7.1. Много от тримата

Докажете, че ако x0, y0, z0- Питагорова тройка, после тройка y 0 , x 0 , z 0И x 0 k, y 0 k, z 0 kза всяка стойност на естествения параметър k също са питагорови.

7.2. Частни формули

Проверете това за всякакви естествени стойности m>nтриединство на формата

е питагорейска. Дали е някаква питагорова тройка x, y, zмогат да бъдат представени в този вид, ако позволите да пренаредите числата x и y в тройката?

7.3. Несводими тризнаци

Питагорова тройка числа, които нямат общ делител, по-голям от 1, ще се нарече неприводима. Докажете, че питагоровата тройка е неприводима само ако две от числата в тройката са взаимно прости.

7.4. Свойство на неприводимите тройки

Докажете, че във всяка неприводима питагорова тройка x, y, z числото z и точно едно от числата x или y са нечетни.

7.5. Всички несводими тройки

Докажете, че тройка от числа x, y, z е неприводима питагорова тройка, ако и само ако съвпада с тройката до порядъка на първите две числа 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2,където m>n- взаимно прости естествени числа с различна четност.

7.6. Общи формули

Докажете, че всички решения на уравнението

в естествени числа са дадени до порядъка на неизвестните x и y от формулите

където m>n и k са естествени параметри (за да се избегне дублирането на всякакви тройки, достатъчно е да се изберат числа от тип взаимно прости и освен това с различна четност).

7.7. Първите 10 тризнаци

Намерете всички питагорови тройки x, y, zудовлетворяване на условието х

7.8. Свойства на питагорейските тройки

Докажете това за всяка питагорова тройка x, y, zтвърденията са верни:

а) поне едно от числата x или y е кратно на 3;

б) поне едно от числата x или y е кратно на 4;

в) поне едно от числата x, y или z е кратно на 5.

7.9. Приложение на комплексни числа

Модулът на комплексно число α + iβнаречено неотрицателно число

Проверете това за всички комплексни числа α + iβИ γ + iδимот е изпълнен

Използвайки свойствата на комплексните числа и техните модули, докажете, че всякакви две цели числа m и n удовлетворяват равенството

т.е. дават решение на уравнението

цели числа (сравнете със задача 7.5).

7.10. Непитагорейски тройки

Използвайки свойствата на комплексните числа и техните модули (вижте задача 7.9), намерете формули за всяко целочислено решение на уравнението:

а) x 2 + y 2 \u003d z 3; б) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Решения

7.1. Ако x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 ,тогава y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 ,и за всяка естествена стойност на k, която имаме

Q.E.D.

7.2. От равенства

заключаваме, че тройката, посочена в задачата, удовлетворява уравнението x 2 + y 2 = z 2в естествени числа. Не всяка питагорова тройка обаче x, y, zмогат да бъдат представени в тази форма; например тройката 9, 12, 15 е питагорова, но числото 15 не може да бъде представено като сбор от квадратите на произволни две естествени числа m и n.

7.3. Ако някакви две числа от питагоровата тройка x, y, zимат общ делител d, тогава той ще бъде и делител на третото число (така че в случая x = x 1 d, y = y 1 dние имаме z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2) d 2,откъдето z 2 се дели на d 2 и z се дели на d). Следователно, за да бъде една питагорова тройка неприводима, е необходимо всички две от числата в тройката да бъдат взаимно прости,

7.4. Обърнете внимание, че едно от числата x или y, да речем x, на неприводима питагорова тройка x, y, zе странно, защото в противен случай числата x и y не биха били взаимно прости (вижте задача 7.3). Ако другото число y също е нечетно, тогава и двете числа

дайте остатък от 1, когато се раздели на 4, и числото z 2 \u003d x 2 + y 2дава остатък от 2, когато се дели на 4, тоест се дели на 2, но не се дели на 4, което не може да бъде. По този начин числото y трябва да е четно, а числото z трябва да бъде нечетно.

7.5. Нека питагореецът се утрои x, y, zе неприводимо и за определеност числото x е четно, докато числата y, z са нечетни (виж задача 7.4). Тогава

къде са числата са цели. Нека докажем, че числата a и b са взаимно прости. Всъщност, ако имат общ делител по-голям от 1, тогава числата ще имат същия делител z = a + b, y = a - b,т.е. тройката не би била неприводима (виж проблем 7.3). Сега, разширявайки числата a и b в произведения на прости множители, забелязваме, че всеки прост множител трябва да бъде включен в продукта 4ab = x2само до четна степен и ако то се включва в разширението на числото a, то не се включва в разширението на числото b и обратно. Следователно всеки прост множител се включва в разширяването на числото a или b поотделно само до четна степен, което означава, че самите тези числа са квадрати от цели числа. Нека сложим тогава получаваме равенства

освен това естествените параметри m>n са взаимно прости (поради взаимно простите числа а и b) и имат различна четност (поради нечетното число z \u003d m 2 + n 2).

Нека сега естествени числа m>n с различна четност са взаимно прости. След това тройката x = 2mn, y = m 2 - n 2, z = m 2 + n 2, според задача 7.2, е питагор. Нека докажем, че е неприводимо. За да направите това, достатъчно е да проверите дали числата y и z нямат общи делители (вижте задача 7.3). Всъщност и двете от тези числа са нечетни, тъй като номерата на типа имат различни четности. Ако числата y и z имат някакъв прост общ делител (тогава трябва да е нечетно), то всяко от числата и и с тях и всяко от числата m и n има един и същ делител, което противоречи на тяхната взаимна простота.

7.6. По силата на твърденията, формулирани в задачи 7.1 и 7.2, тези формули дефинират само питагорейските тройки. От друга страна, всяка питагорова тройка x, y, zслед редуцирането й с най-големия общ делител k, двойката числа x и y става неприводима (виж задача 7.3) и следователно може да бъде представена до порядъка на числата x и y във вида, описан в задача 7.5. Следователно всяка питагорова тройка се дава от посочените формули за някои стойности на параметрите.

7.7. От неравенството z и формулите на задача 7.6 получаваме оценката m 2 т.е. m≤5. Предполагайки m = 2, n = 1И k = 1, 2, 3, 4, 5,получаваме тризнаци 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Предполагайки m=3, n=2И k = 1, 2,получаваме тризнаци 5, 12, 13; 10, 24, 26. Предполагайки m = 4, n = 1, 3И k = 1,получаваме тризнаци 8, 15, 17; 7, 24, 25. И накрая, ако приемем m=5, n=2И k = 1,получаваме три 20, 21, 29.